MODEL LOGLINIER TIGA DIMENSI UNTUK MENGETAHUI
HUBUNGAN JALUR MASUK, ASAL SEKOLAH DAN INDEKS
PRESTASI KUMULATIF (IPK) PADA MAHASISWA FMIPA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
SKRIPSI
WIWIN ARDIYANTI
100803057
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MODEL LOGLINIER TIGA DIMENSI UNTUK MENGETAHUI
HUBUNGAN JALUR MASUK, ASAL SEKOLAH DAN INDEKS
PRESTASI KUMULATIF (IPK) PADA MAHASISWA FMIPA
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai
gelar Sajana Sains
WIWIN ARDIYANTI
100803057
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Persetujuan Pembimbing Tunggal :
PERSETUJUAN
Judul : Model Loglinier Tiga Dimensi Untuk Mengetahui Hubungan Jalur Masuk, Asal Sekolah Dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) Pada Mahasiswa FMIPA Universitas Sumatera Utara
Kategori : Skripsi
Nama : Wiwin Ardiyanti Nomor Induk Mahasiswa : 100803057
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juli 2014
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing, Ketua,
Persetujuan Pembimbing Ganda :
PERSETUJUAN
Judul : Model Loglinier Tiga Dimensi Untuk Mengetahui Hubungan Jalur Masuk, Asal Sekolah Dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) Pada Mahasiswa FMIPA Universitas Sumatera Utara
Kategori : Skripsi
Nama : Wiwin Ardiyanti Nomor Induk Mahasiswa : 100803057
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juli 2014
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Ujian Sinulingga, M.Si Drs. Henry Rani S, M.Si NIP. 195603031984031004 NIP. 195303031983031002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
MODEL LOGLINIER TIGA DIMENSI UNTUK MENGETAHUI HUBUNGAN JALUR MASUK, ASAL SEKOLAH DAN INDEKS
PRESTASI KUMULATIF (IPK) PADA MAHASISWA FMIPA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2014
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunian-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunana skripsi ini dengan judul Model Loglinier Tiga Dimensi untuk Mengetahui Hubungan Jalur Masuk, Asal Sekolah, dan Nilai IPK pada Mahasiwa FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Terimakasih penulis sampaikan kepada Drs. Henry Rani S, M.Si selaku pembimbing 1 dan Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih kepada pembanding saya yaitu Drs. Open Darnius, M.Sc dan Drs. Gim Tarigan, M.Si atas kritik dan saran-sarannya. Terimakasih kepada Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Sc selaku Ketua Departemen dan Sekertaris Departemen
MODEL LOGLINIER TIGA DIMENSI UNTUK MENGETAHUI HUBUNGAN JALUR MASUK, ASAL SEKOLAH DAN INDEKS PRESTASI
KUMULATIF (IPK) PADA MAHASISWA FMIPA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ABSTRAK
Kualitas mahasiswa merupakan tinggi rendahnya prestasi belajar mahasiswa selama perkuliahan di perguruan tinggi yang dapat dilihat dari nilai evaluasi belajar, baik nilai evaluasi di setiap semester maupun rekapitulasi nilai Indeks Prestasi Kumulatif (IPK). Memiliki IPK yang tinggi akan lebih memungkinkan atau membuka peluang yang lebih besar bagi para lulusan untuk mendapatkan pekerjaan. Faktor yang mempengaruhi Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) terbagi dua yaitu faktor internal dan faktor eksternal. Dalam penelitian ini digunakan faktor internal yaitu jalur masuk universitas dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) mahasiswa. Faktor eksternal yaitu asal daerah sekolah SMA atau sederajat. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui keterkaitan antar faktor internal dan eksternal dalam kualitas mahasiswa dengan metode model loglinier. Prosedur yang digunakan untuk menganalisis model loglinier tiga dimensi adalah: (1) menentukan statistik cukup minimal, (2) uji independensi, (3) estimasi nilai harapan, (4) uji Goodness of Fit, (5) uji asosiasi parsial, (6) pemilihan model terbaik, (6) interpretasi parameter dengan odds ratio. Estimasi dalam model loglinier mengunakan maksimum likelihood. Uji signifikansi dari model-model yang telah diperoleh digunakan uji Goodness of Fit. Hasil analisis yang dilakukan bahwa model loglinier tiga dimensi yang terbaik adalah model ���� = �+ ���+��� +
���+�����yang disimbolkan dengan (�,��). Berdasarkan model tersebut diketahui
ada hubungan asal daerah sekolah SMA atau sederajat dengan tingkat IPK menurut jenis jalur masuk.
MODEL LOGLINIER THREE DIMENSION FOR ASSOCIATION DRIVEWAYS, ORIGIN AREA HIGH SCHOOL AND UNIVERSITY GRADE POINT AVERAGE (GPA)
OF STUDENTS OF FMIPA OF UNIVERSITY NORTH OF SUMATERA
ABSTRACT
The quality of students is high or low achievement of students during lectures at universities can be seen from the value of the evaluation study, both the value of evaluation in each semester and recapitulation value GPA (GPA). Have a high GPA will further enable or greater opportunities for graduates to get jobs. Factors affecting the grade point average (GPA) is divided into two, namely internal factors and external factors. This study used an internal factor is the path to go to university and grade point average (GPA) of students. External factors, namely the origin area high school or equivalent. The purpose of this study was to determine the relationship between internal and external factors in the quality of the student with the methods loglinier models. The procedure used to analyze the three- dimensional model of loglinier are: (1) determine the minimal sufficient statistics, (2) test of independence, (3) estimate the expected value, (4) Goodness of Fit test, (5) partial association test, (6) selecting the best model, (6) the interpretation of the odds ratio parameters. Estimates in the model using maximum likelihood loglinier. Test the significance of the models that have been obtained using test of Goodness of Fit. The results of the analysis conducted that the three-dimensional model of the best loglinier is a model ���� = �+ ���+���+���+����� symbolized by (�,��). Based on the model of the relationship is known to exist along regional high school or equivalent with a GPA level according to the type of driveway.
2.14 Uji Independensi 29
2.15 Uji Asosiasi Parsial 30
2.16 Interpretasi Parameter Model 31
Bab 3. Hasil dan Pembahasan 3.1 Tahapan Penyelesaian Data 33
3.2 Tabel Kontingensi 35
3.3 Statistik Cukup Minimal 36
3.4 Uji Independensi 37
3.5 Estimasi Nilai Harapan 40
3.6 Pemilihan Model Terbaik 41
3.6.1 Uji Goodness of Fit 41
3.6.2 Uji Asosiasi Parsial 42
3.7 Interpretasi Parameter 45
Bab 4. Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 51
4.2 Saran 52
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
Tabel
1.1 Relasi antara Indeks Prestasi Semester (IPS) dan 7 Beban Kredit Maksmum
2.1 Wilayah Administrasi Mebidang 9
2.2 Tabel Kontingensi � × � 15
2.3 Tabel Kontingensi � × � × � 16 2.4 Model-model Loglinier Tiga Dimensi 19 2.5 Statistik Cukup Minimal pada Model Loglinier 24
2.6 Derajat Kebebasan 28
3.1 Tabel Kontingensi Kualitas Mahasiswa 35 3.2 Tabel Kontingensi Kualitas Mahasiswa yang meme- 36
nuhi Asumsi Chi Square
3.3 Nilai Statistik Cukup Minimal 37 3.4 Nilai Harapan Independensi Tabel Tiga Dimensi 39 3.5 Perhitungan �2 atau �2Menggunakan Excel 39
3.6 Estimasi Nilai Harapan 41
3.7 Uji Goodness of Fit pada Model Loglinier 42 3.8 Nilai Harapan Model Loglinier Terbaik 46 3.9 Tabel Estimasi Conditional Odds ratio 46 3.10 Tabel Parsial Conditional Association antara � dan � 47
pada Model (�,��)
3.11 Tabel Parsial Conditional Association antara � dan � 48 pada Model (�,��)
3.12 Tabel Marginal � dan � mengabaikan Tingkat IPK 48 3.13 Tabel Parsial Conditional Association antara � dan � 49
pada Model (�,��)
3.14` Tabel Marginal � dan � mengabaikan Asal Sekolah 49
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
Gambar
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul Halaman
Lampiran
1 Tabel Distribusi �2 56
2 Uji Chi Square 57
3 Tabel Marginal Statistik Cukup Minimal 62
4 Model Loglinier Mutually Independent (�,�,�) 64
5 Model Loglinier Jointly Independent (�,��) 65
6 Model Loglinier Jointly Independent (��,�) 66
7 Model Loglinier Jointly Independent (��,�) 67
8 Model Loglinier Conditionally Independent (��,��) 69
9 Model Loglinier Conditionally Independent (��,��) 70
10 Model Loglinier Conditionally Independent (��,��) 71
11 Model Loglinier Homogoneous (��,��,��) 72
MODEL LOGLINIER TIGA DIMENSI UNTUK MENGETAHUI HUBUNGAN JALUR MASUK, ASAL SEKOLAH DAN INDEKS PRESTASI
KUMULATIF (IPK) PADA MAHASISWA FMIPA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ABSTRAK
Kualitas mahasiswa merupakan tinggi rendahnya prestasi belajar mahasiswa selama perkuliahan di perguruan tinggi yang dapat dilihat dari nilai evaluasi belajar, baik nilai evaluasi di setiap semester maupun rekapitulasi nilai Indeks Prestasi Kumulatif (IPK). Memiliki IPK yang tinggi akan lebih memungkinkan atau membuka peluang yang lebih besar bagi para lulusan untuk mendapatkan pekerjaan. Faktor yang mempengaruhi Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) terbagi dua yaitu faktor internal dan faktor eksternal. Dalam penelitian ini digunakan faktor internal yaitu jalur masuk universitas dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) mahasiswa. Faktor eksternal yaitu asal daerah sekolah SMA atau sederajat. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui keterkaitan antar faktor internal dan eksternal dalam kualitas mahasiswa dengan metode model loglinier. Prosedur yang digunakan untuk menganalisis model loglinier tiga dimensi adalah: (1) menentukan statistik cukup minimal, (2) uji independensi, (3) estimasi nilai harapan, (4) uji Goodness of Fit, (5) uji asosiasi parsial, (6) pemilihan model terbaik, (6) interpretasi parameter dengan odds ratio. Estimasi dalam model loglinier mengunakan maksimum likelihood. Uji signifikansi dari model-model yang telah diperoleh digunakan uji Goodness of Fit. Hasil analisis yang dilakukan bahwa model loglinier tiga dimensi yang terbaik adalah model ���� = �+ ���+��� +
���+�����yang disimbolkan dengan (�,��). Berdasarkan model tersebut diketahui
ada hubungan asal daerah sekolah SMA atau sederajat dengan tingkat IPK menurut jenis jalur masuk.
MODEL LOGLINIER THREE DIMENSION FOR ASSOCIATION DRIVEWAYS, ORIGIN AREA HIGH SCHOOL AND UNIVERSITY GRADE POINT AVERAGE (GPA)
OF STUDENTS OF FMIPA OF UNIVERSITY NORTH OF SUMATERA
ABSTRACT
The quality of students is high or low achievement of students during lectures at universities can be seen from the value of the evaluation study, both the value of evaluation in each semester and recapitulation value GPA (GPA). Have a high GPA will further enable or greater opportunities for graduates to get jobs. Factors affecting the grade point average (GPA) is divided into two, namely internal factors and external factors. This study used an internal factor is the path to go to university and grade point average (GPA) of students. External factors, namely the origin area high school or equivalent. The purpose of this study was to determine the relationship between internal and external factors in the quality of the student with the methods loglinier models. The procedure used to analyze the three- dimensional model of loglinier are: (1) determine the minimal sufficient statistics, (2) test of independence, (3) estimate the expected value, (4) Goodness of Fit test, (5) partial association test, (6) selecting the best model, (6) the interpretation of the odds ratio parameters. Estimates in the model using maximum likelihood loglinier. Test the significance of the models that have been obtained using test of Goodness of Fit. The results of the analysis conducted that the three-dimensional model of the best loglinier is a model ���� = �+ ���+���+���+����� symbolized by (�,��). Based on the model of the relationship is known to exist along regional high school or equivalent with a GPA level according to the type of driveway.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Menurut Saefuddin, dkk (2009) statistika adalah ilmu tentang pengumpulan, analisis dan interpretasi data dalam rangka pengambilan keputusan. Peran statistika penting dalam membaca data karena keputusan dibuat berdasarkan data.
Data adalah suatu bentuk pencatatan berulang mengenai karakteristik suatu objek. Pencatatatan masing-masing individu dicatat dengan identitas tertentu dan masing-masing individu dicatat ke dalam peubah tertentu. Peubah disebut juga dengan variabel. Berdasarkan sifatnya variabel dibagi menjadi dua yaitu variabel
kuantitatif dan variabel kualitatif. Variabel yang nilai-nilainya dengan menggunakan alat ukur seperti tinggi disebut variabel kuantitatif. Variabel yang nilai-nilainya ditetapkan menurut katagori tertentu di sebut variabel katagorik atau kualitatif.
memodelkan jumlah sel pada tabel kontingensi. Tujuan yang ingin dicapai pada model loglinier adalah mengestimasi parameter yang menjelaskan hubungan antar variabel katagorik. Penerapan model loglinier yang disusun dalam tabel kontingensi banyak ditemui pada kehidupan sehari-hari, salah satu contoh penulis membahas penerapannya dalam kasus kualitas mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara (USU).
Kualitas mahasiswa adalah tinggi rendahnya prestasi belajar mahasiswa selama perkuliahan di perguruan tinggi yang dapat dilihat dari nilai evaluasi belajar, baik nilai evaluasi di setiap semester maupun rekapitulasi nilai Indeks Prestasi Kumulatif (IPK). Universitas Sumatera Utara (USU) sebagai salah satu institusi pendidikan tinggi juga memiliki harapan yang tinggi agar mahasiswa dapat memiliki prestasi belajar yang baik, sehingga nantinya ketika lulus bisa meraih Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) yang tinggi. Memiliki IPK yang tinggi akan lebih memungkinkan atau membuka peluang yang lebih besar bagi para lulusan untuk
mendapatkan pekerjaan. Hal ini dikarenakan salah satu syarat yang sering dijadikan persyaratan untuk bisa lolos seleksi administrasi adalah besarnya IPK lulusan. Kecenderungan sekarang semakin banyak instansi, baik instansi pemerintah maupun swasta, yang menuntut IPK yang tinggi bagi para pelamarnya.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara (USU) terdiri dari empat jurusan (S1) pada FMIPA yaitu Marematika, Kimia, Fisika dan Biologi. Dari empat jurusan tersebut diketahui bahwa kualitas mahasiswa FMIPA S1 (2007-2009) sebagian besar memiliki IPK dibawah 2,75 sebaiknya dalam memudahkan melamar pekerjaan lebih baik memiliki IPK minimal 2,75.
rendah. Umumnya kota-kota metropolitan memiliki pendidikan yang lebih baik dibanding dengan kota-kota diluar daerah tersebut.
Berdasarkan hal tersebut faktor-faktor yang mempengaruhi kualitas mahasiswa perlu diperhatikan baik dari internal maupun eksternal. Faktor internal yang mempengaruhi kualitas adalah indeks prestasi kumulatif (IPK) dan jalur masuk. Faktor eksternal yang mempengaruhi kualitas adalah asal daerah sekolah SMA atau sederajat. Berdasarkan faktor-faktor tersebut, penulis tertarik meneliti penerapan model loglinier tentang kualitas mahasiswa berdasarkan jalur masuk, nilai Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) dan asal daerah bersekolah. Selanjutnya variabel tersebut dibagi menjadi beberapa katagorik. Menggunakan model loglinier dapat diketahui variabel yang saling berhubungan untuk kasus kualitas mahasiswa ini.
Berdasarkan uraian diatas maka penulis memilih judul penelitian “Model Log Linear Tiga Dimensi untuk Mengetahui Hubungan Jalur Masuk, Asal Sekolah dan Nilai IPK Pada Mahasiswa FMIPA Universitas Sumatera Utara ”.
1.2Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana memperoleh model loglinier terbaik dan hasil estimasi pada data kualitas mahasiswa (S1) FMIPA USU berdasarkan faktor jalur masuk, Indeks
Prestasi Kumulatif (IPK), dan asal bersekolah SMA atau sederajat ?
1.3Pembatasan Masalah
Penelitian ini memiliki beberpa batasan masalah yaitu:
1. Populasi mahasiswa (S1) FMIPA USU jurusan Matematika, Kimia, Fisika, dan Biologi yang berstatus aktif kuliah dimulai dari semester VI keatas. 2. Jenis jalur masuk yang berlaku pada mahasiswa tersebut untuk ujian tulis
3. Mahasiswa yang asal daerah bersekolah SMA atau sederajat di Provinsi Sumatera Utara.
4. Analisis menggunakan model loglinier dengan bantuan program SPSS 16.
1.4Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model hubungan terbaik antara variabel pengamatan dan mengukur kualitas mahasiswa.
1.5Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini yaitu:
1. Pembaca dapat mengetahui hubungan antara jalur masuk, asal sekolah dan nilai IPK pada mahasiswa S1 FMIPA USU.
2. Mengenal prosedur model loglinier dalam analisis tabel kontingensi tiga dimensi.
3. Memberikan gambaran kepada pemerintah dalam menentukan kebijakan kuota jenis jalur masuk penerimaan mahasiswa.
4. Memberikan gambaran potensi pendidikan daerah dalam hal akademik mahasiswa.
1.6Tinjauan Pustaka
Menurut Razia Azen dan Cindy M.Walker (2011) model loglinier digunakan untuk memodelkan nilai-nilai sel pada tabel kontingensi. Tujuan yang ingin dicapai dengan model logliner yaitu mengestimasi parameter yang menjelaskan hubungan antara variabel katagorik. Variabel katagorik pada model loglinier tidak dibedakan antara variabel penjelas dan variabel respon tetapi semua variabel sebagai variabel respon yang dibentuk pada nilai-nilai sel berupa semua kombinasi dari tingkat variabel katagorik yang termasuk dalam model. Menurut Agresti (2002) model
terjadi antar variabel katagorik. Model loglinier bertujuan untuk memodelkan nilai-nilai pada sel tabel kontingensi.
Tabel kontingensi digunakan untuk melihat hubungan antara dua atau lebih variabel katagorik. Menurut Bayo lawal (2003), ada dua jenis variabel katagorik yaitu variabel nominal dan ordinal. Variabel katagorik dapat juga terbentuk dari pengelompokan atau pengklasifikasian. Untuk menguji hipotesis pada tiap model
yang diuji digunakan uji pearson chi square (�2) dan likelihood ratio (�2).
1.7Metodologi Penelitian
1.7.1 Studi Pendahuluan
Dalam penelitian ini penulis melakukan studi literatur dan mencari bahan dari buku dan internet yang membahas mengenai model loglinier.
1.7.2 Pengumpulan Data
Populasi pada penelitian ini adalah seluruh mahasiswa (S1) FMIPA USU yaitu Matematika, Biologi, Fisika, Kimia yang berstatus masih aktif kuliah dimulai dari
semester VI. Data yang digunakan adalah data sekunder dari kantor bagian akademik FMIPA USU. Data mahasiswa yaitu jenis jalur masuk, asal daerah sekolah SMA atau sederajat, dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) dapat diketahui. Data yang diperoleh akan disesuaikan dengan kriteria yang diperlukan untuk penelitian. Diketahui jumlah populasi penelitian adalah 546 mahasiswa. Penentuan ukuran sampel dengan menggunakan rumus Slovin yaitu:
�= �
1 +�(�2)
= 546
1 + 546(0,052)
= 546
2,365
Keterangan:
� = jumlah sampel
� = jumlah populasi
� = taraf signifikansi (0,05)
Pengambilan sampel menggunakan teknik sampling acakan tak proporsional dengan stratifikasi (Disproportionate Stratified Random Sampling). Dalam cara disproporsional, penentuan sampel dilakukan tidak dengan mengambil proporsi yang sama bagi setiap subkelompok atau strata akan tetapi dimaksudkan untuk mencapai jumlah tertentu dari masing-masing strata. Strata terbagi dua yaitu jalur tulis dan jalur unggulan, jumlah masing-masing strata diambil 55% dari jalur tulis dan 45% dari jalur unggulan.
1.7.3 Pengolahan Data
Setelah data diperoleh, langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian yaitu: 1. Data tersebut kemudian dikelompokkan ke dalam tiga variabel katagorik,
yaitu:
a. Variabel bebas I (�) : Jenis jalur masuk mahasiswa. Jenis jalur masuk mahasiswa diukur melalui skala pengukuran nominal dengan katagori:
�1 = Jalur tertulis
�2 = Jalur Unggulan Sekolah
b. Variabel bebas II (�): Asal daerah mahasiswa saat bersekolah SMA
atau sederajat. Asal daerah mahasiswa saat bersekolah SMA atau sederajat berdasarkan Mebidang (Medan, Binjai, Deli Serdang) yang diukur dengan skala pengukuran nominal dengan katagori:
�1 = Dalam Mebidang �2 = Luar Mebidang
c. Variabel bebas III (�): Nilai indeks prestasi kumulatif (IPK). Nilai
Tabel 1.1 Relasi antara Indeks Prestasi Semester (IPS) dan
Beban Kredit Maksimum
IPS Beban Kredit
3,00 – 4,00 24
2,50 – 2,99 22
2,00 – 2,49 20
1,50 – 1,99 17
0,00 – 1,49 15
Sumber : Peraturan Akademik Program Sarjana Universitas Sumatera Utara
Oleh karena itu katagori nilai IPK sebagai berikut:
�1 =3,00 – 4,00 �2 = 2,50 – 2,99 �3 = 2,00 – 2,49 �4 = 1,50 – 1,99 �5 = 0,00 – 1,49
2. Kemudian data disusun kedalam tabel kontingensi tiga dimensi.
3. Analisis data dengan model loglinier untuk memperoleh model terbaik yang memiliki pengaruh-pengaruh yang signifikan dalam mencerminkan
hubungan ketiga variabel dengan menggunakan uji pearson chi square (�2)
dan likelihood ratio (�2). Langkah-langkah analisis sebagai berikut:
a. Meghitung statistik cukup minimal untuk membantu perhitungan nilai harapan masing–masing model.
b. Uji independensi untuk melihat ada tidaknya hubungan ketiga variabel. c. Estimasi frekuensi harapan tiap model untuk uji Goodness of fit.
e. Asosiasi Parsial untuk melihat parameter–parameter pengaruh interaksi yang masuk kedalam model.
f. Interpretasi model untuk mengetahui hubungan antar interaksi dalam model dan ukuran kualitas mahasiswa dengan odds ratio menggunakan nilai estimasi parameter atau nilai harapan.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Kawasan Metropolitan Mebidang
Kawasan Mebidang (Medan, Binjai dan Deli Serdang) saat ini menjadi pusat pertumbuhan ekonomi di wilayah Propinsi Sumatera Utara dan juga sebagai pintu gerbang keluar masuknya barang sebagai pusat pertumbuhan ekonomi, penyediaan fasilitas pendidikan tentunya lebih baik dibanding di daerah luar kawasan metropolitan. Secara resmi kawasan Mebidang telah ditetapkan oleh Gubenur Propinsi Sumatera Utara sebagai Mebidang Metropolitan Area (MMA) pada tahun 1985. Wilayah Mebidang terdiri dari 40 kecamatan yang meliputi 21 kecamatan di Kota Medan, 5 kecamatan di Kota Binjai dan 14 kecamatan (dari 33 kecamatan) di Kabupaten Deli Serdang.
Tabel 2.1 Wilayah Administrasi Mebidang
Kabupaten/Kota Kecamatan
Medan Medan Tuntungan, Medan Selayang, Medan Johor, Medan Amplas, Medan Denai, Medan Tembung, Medan Kota, Medan Area, Medan Baru, Medan Polonia, Medan Maimun, Medan Sunggal, Medan Helvetia, Medan Petisah, Medan Barat, Medan Timur, Medan Perjuangan, Medan Deli, Medan Labuhan, Medan Marelan, dan Medan Belawan.
Binjai Binjai Selatan,Binjai Kota, Binjai Timur, Binjai Utara, dan Binjai Barat
Deli Serdang Hamparan Perak, Labuhan Deli, Sunggal, Percut Sei Tuan, Batang Kuis, Tanjung Morawa, Lubuk Pakam, Pagar Merbau, Beringin, Pantai Labu, Patumbak, Deli Tua, Namo Rambe, dan Pancur Batu
Menggunakan definisi Mebidang, daerah asal bersekolah dikelompokkan menjadi dua yaitu dalam daerah dan luar daerah. Dalam daerah merupakan asal daerah mahasiswa bersekolah SMA atau sederajat yang berada pada kawasan Mebidang. Luar Daerah merupakan asal daerah mahasiswa bersekolah SMA atau sederajat yang berada pada kawasan di luar Mebidang. Konsep Mebidang penulis gunakan sebagai perbandingan potensi mahasiswa yang bersekolah SMA atau sederajat. Mebidang dipilih sebagai dasar pengelompokkan karena kawasan metropolitan memberikan gambaran kemajuan kota di dalam kawasan tersebut di berbagai bidang.
2.2 Skala Pengukuran
Kesesuaian antara macam data dengan metode analisis statistiknya didasarkan pada skala pengukuran datanya. Ada empat macam skala pengukuran yaitu:
1. Skala nominal
Angka yang berfungsi hanya untuk membedakan, merupakan identitas/lambang/simbol, urutan tidak berlaku, operasi matematika juga tidak berlaku, misalnya jenis kelamin.
2. Skala ordinal
Angka yang berfungsi sebagai nominal dan juga menunjukkan urutan, misalnya tingkat kualitas.
3. Skala interval
Angka yang selain berfungsi sebagai nominal dan ordinal juga menunjukkan jarak yang sama, titik nol letaknya sembarang dan dipergunakan untuk rating misalnya kenaikan suhu.
4. Skala rasio
Angka yang berfungsi sebagai nominal, ordinal dan interval. Skala rasio memiliki titik nol yang tidak sembarang misalnya tinggi badan.
Skala pengukuran variabel, menggambarkan pemahaman terhadap data yang
2.3 Klasifikasi Data
Data merupakan kumpulan angka atau huruf hasil dari penelitian terhadap sifat/karakteristik yang diteliti. Menurut Sudjana (2005) data menurut sumbernya terbagi dua jenis yaitu:
a. Data intern adalah data yang diambil/diperoleh dari dalam suatu badan usaha atau dirinya sendiri, misalnya data hasil penjualan pegawai perusahaan A.
b. Data ekstern adalah data yang diperoleh di luar suatu badan atau dirinya sendiri, misalnya data hasil penjualan perusahaan A digunakan perusahaan B maka perusahaan B menggunakan data ekstern. Data ekstern dibagi menjadi dua yaitu ekstern primer (data primer) dan data ekstern sekunder (data sekunder). Jika data itu diperoleh/dikumpulkan dan diolah oleh badan yang sama atau dirinya sendiri maka disebut data primer misalnya data hasil wawancara. Jika data yang diperoleh dari badan atau instansi lain disebut data sekunder misalnya data BPS.
Menurut Sudjana (2005) berdasarkan bentuk/jenis data dibagi menjadi dua jenis yaitu:
a. Data yang berbentuk bilangan disebut data kuantitatif atau numerik. Menurut nilainya, dikenal dua golongan data kuantitatif ialah:
1. Data dengan variabel diskrit (data diskrit) merupakan data hasil menghitung dan mebilang misalnya Kabupaten B sudah membangun 85 gedung sekolah.
2. Data dengan variabel kontinu (data kontinu) merupakan data hasil pengukuran misalnya tinggi badan seseorang 155 cm.
b. Data yang berbentuk bukan bilangan disebut data kualitatif atau data katagorik, misalnya katagori mahasiswa berprestasi dan tidak berprestasi.
katagorik muncul setiap kali variabel diukur pada skala yang hanya mengklasifikasikan responden ke dalam sejumlah kelompok. Dengan demikian, data katagorik dari hasil suatu pengamatan mengandung variabel-variabel yang berkatagorik. Dalam analisis statistik seringkali data numerik dirubah ke dalam data katagorik dengan cara dilakukan pengelompokan/pengklasifikasian.
2.4 Variabel (Peubah)
Isi data pada umumnya bervariasi sehingga muncul istilah variabel. Oleh karena itu, variabel merupakan karakteristik yang nilai datanya bervariasi dari satu pengukuran ke pengukuran berikutnya. Menurut Saefuddin, dkk (2009) variabel (peubah) menurut sifatnya dibedakan menjadi dua jenis yaitu:
1. Variabel (peubah) kuantitatif adalah peubah yang sifatnya kontinu dan hasil pengukuran merupakan nilai pendekatan yang tergantung kepada ketelitian alat ukur yang digunakan. Nilai sebenarnya dari peubah tersebut sulit dinyatakan oleh nilai tunggal tertentu tetapi dalam bentuk selang nilai. Misalnya tinggi badan seseorang 160 cm.
2. Variabel (peubah) kualitatif adalah peubah yang nilai-nilainya ditetapkan menurut katagori tertentu dinamakan variabel (peubah) katagorik. Variabel (peubah) katagorik sifatnya terputus atau diskrit. Atribut pengamatan dalam hal ini dikelaskan kedalam katagori-katagori tertentu yang tidak saling tumpang tindih. Misalnya jenis kelamin yaitu perempuan dan laki-laki.
Variabel kuantitatif dikenal sebagai variabel numerik sedangkan variabel kualitatif dikenal sebagai variabel katagorik. Variabel katagorik pada umumnya berisi variabel yang berskala nominal dan ordinal. Menurut Bayo lawal (2003) ada dua jenis variabel katagorik yaitu variabel nominal dan ordinal. Variabel nominal adalah sekumpulan katagori yang saling lepas dan tidak memiliki urutan. Variabel
2.5 Distribusi Poisson
Menurut Saefuddin, dkk (2009) apabilla rataan banyaknya sukses dalam selang pengamatan tersebut diketahui sebesar �, maka distribusi poisson yang menyatakan
peluang diperolehnya sukses sebanyak � pada selang tertentu adalah:
�(�;�) =�−���
�! ,�= 0,1,2, … ,∞; �= 2,71828 (2.1)
Keterangan:
�= rataan banyaknya sukses
�= banyaknya kejadian sukses
�= eksponensial
Menurut Sudjana (2005) distribusi Poisson sering digunakan untuk menetukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang. Distribusi Poisson dapat dianggap sebagai pendekatan
terhadap distribusi Binomial. Jika dalam hal distribusi binom, jumlah observasi � cukup besar sedangkan peluang terjadinya peristiwa �adalah� sangat dekat
kepada nol sedemikian sehingga �= �.� tetap, maka distribusi Binomial sangat
baik didekati oleh distribusi Poisson. Pendekatan ini sering dilakukan jika � ≥50 sedangkan �.�< 5 atau �< 0,1
2.6 Model Pengambilan Sampel
1. Poisson: Kumpulan observasi mengikuti proses poisson, tiap sel pada klasifikasi silang diamati pada suatu interval waktu tertentu. Pengamatan sampel yang dilakukan untuk setiap sel dalam tabel ini tanpa diketahui lebih dulu banyaknya jumlah observasi yang akan diambil.
2. Multinomial: Jumlah sampel sebanyak � telah ditentukan, kemudian setiap individu sampelnya diklasifikasikan ke dalam sel tabel kontingensi yang bersesuaian.
3. Product Multinomial: Setiap katagori pada variabel baris mengikuti pengambilan sampel multinomial dengan ukuran sampel ��+ dan klasifikasi setiap anggota pada sampel menurut katagori variabel kolom (peran baris dan kolom bertukar tempat).
Pada penulisan skripsi ini data yang ada diperoleh melalui pengambilan sampel dengan model multinomial.
2.7 Tabel Kontingensi
Menurut Razia Azen dan Cindy M. Walker (2011) ketika subyek atau objek diklasifikasikan secara simultan oleh dua atau lebih atribut, hasil pada klasifikasi silang dapat disusun dengan baik sebagai tabel hitung yang disebut tabel kontingensi. Tabel kontingensi digunakan untuk melihat hubungan antara dua atau lebih variabel katagorik. Penggunaan tabel kontingensi yang akan dibahas pada penelitian ini penulis kelompokkan menjadi dua yaitu tabel kontingensi dua dimensi dan tabel kontingensi tiga dimensi.
1. Tabel Kontingensi Dua Dimensi
Menurut G. Tutz (2012), nilai sel ��� adalah nilai observasi dengan
sel(�,�) dengan �� = �,�� =�. Tabel kontingensi dua dimensi merupakan
klasifikasi antar variabel 1 misal variabel observasi A yaitu ��sebagai baris
�� sebagai kolom dengan tingkat �= 1,2,⋯,�. Penyajian dalam daftar baris dan kolom tersebut biasa dikenal dengan tabel kontingensi dua dimensi. Jika
data disajikan dalam bentuk tabel frekuensi menurut variabel katagorik � dan
� yang mempunyai dua baris dan dua kolom disebut tabel kontingensi 2 × 2. Data yang disusun dalam tabel katagorik � × �sebagai berikut:
Tabel 2.2 Tabel Kontingensi � × �
��
1 2 ⋯ �
��
1 �11 �12 ⋯ �1� �1+
2 �21 ⋱ ⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
� ��1 ⋯ ��� ��+
�+1 ⋯ �+�
Sumber: G. Tutz (2012)
Keterangan:
�+� = ∑��=1��� ,�+� = ∑��=1���
�+� = jumlah marginal pada variabel baris �+� = jumlah marginal pada variabel kolom
Subskrip “+” menyatakan penjumlahan pada indeks tersebut.
2. Tabel Kontingensi Tiga Dimensi
Menurut G Tutz (2012), nilai sel ���� adalah nilai observasi dengan sel
(�,�,�) dengan �� =�,�� =�,�� = �. Tabel kontingensi tiga dimensi
merupakan klasifikasi antar variabel 1 misal variabel observasi A yaitu
�� sebagai baris dengan tingkat �= 1,2,⋯,� dan variabel 2 misal variabel
observasi B yaitu ��sebagai kolom dengan tingkat � = 1,2,⋯,� dan
variabel 3 misal variabel observasi C yaitu ��sebagai layer dengan tingkat
Tabel 2.3 Tabel Kontingensi � × � × �
��++= jumlah marginal pada variabel baris �+�+= jumlah marginal pada variabel kolom �++� = jumlah marginal pada variabel layer
2.8 Model Loglinier
Menurut Razia Azen dan Cindy M. Walker (2011) model loglinier digunakan untuk memodelkan jumlah sel pada tabel kontingensi. Tujuan yang ingin dicapai pada model loglinier adalah mengestimasi parameter yang menjelaskan hubungan antar variabel kategori. Tidak adanya perbedaan antara variabel penjelas dengan variabel respon, sehingga model loglinier hanya dapat menggambarkan struktur interaksi antar variabelnya. Analisis log linier merupakan perluasan dari tabel kontingensi dua dimensi di mana hubungan bersyarat di antara dua atau lebih variabel kategori diskrit dianalisis dengan mengambil logaritma natural dari frekuensi sel pada tabel kontingensi. Model loglinier yang akan dibahas adalah model loglinier dua dimensi dan model loglinier tiga dimensi.
1. Model Loglinier Pada Tabel Kontingensi Dua Dimensi a. Model Loglinier Independen
Andaikan probabilitas sel pada tabel kontingensi dua dimensi adalah ���
dengan jumlah observasi � dan nilai harapan ��� =�.���. Berdasarkan
sifat independen maka ��� =�.��+.�+� dimana ��+ adalah probabilitas
dari variabel baris � dan �+� adalah probabilitas dari variabel kolom �.
Ketika praktek, ��� tidak diketahui yang diamati adalah ���, sehingga
probabilitas harus ditaksir untuk mencari frekuensi harapan. Besarnya
probabilitas dapat dihitung dengan ���+= ��+
� ,��+� = �+�
� , sehingga
estimasi nilai harapannya sebagai berikut:
���� = �.���+.��+� =
(��+)(�+�)
� (2.2)
Keterangan :
����� = nilai harapan
Setelah terbentuk tabel kontingensi dua dimensi, model loglinier akan menggambarkan pola hubungan antar variabel katagorik. Model independen logliniernya berdasarkan peluang yaitu:
��� = �+ ���+��� (2.3) Keterangan:
� = 1,2,⋯,� dan � = 1,2,⋯,�
��� = ln���� = logaritma natural dari frekuensi harapan sel ke ��
� = parameter rataan umum
��� = parameter pengaruh utama variabel pertama (�) pada katagori ke� ��� = parameter pengaruh utama variabel kedua (�) pada katagori ke�
b. Model Loglinier Lengkap
Frekuensi harapan pada model loglinier lengkap sama dengan nilai observasinya ���� =���. Model umum disebut juga model saturated.
Model lengkap pada dua dimensi sebagai berikut:
��� = �+ ���+��� +����� (2.4)
Keterangan:
� = 1,2,⋯,� dan �= 1,2,⋯,�
��� =ln���� = logaritma natural dari frekuensi harapan sel ke �� � = parameter rataan umum
��� = parameter pengaruh utama variabel pertama (�) pada katagori ke� ��� = parameter pengaruh utama variabel kedua (�) pada katagori ke� ����� = parameter pengaruh interaksi variabel pertama (�) katagori ke�
dengan variabel kedua (�) katagori ke�
2. Model Loglinier Pada Tabel Kontingensi Tiga Dimensi
banyak model loglinier yang dianalisis. Pada tabel tiga dimensi, model-model loglinier tersebut sebagai berikut:
Tabel 2.4 Model-model Loglinier Tiga Dimensi
Modela Interpretasi Simbol
Model Tipe
Formula untuk model yang tidak tertulis memiliki kemiripan, misalnya
untuk (XZ, Y), ���� = �+ ���+��� +���+�����. Sumber: Agresti (2002)
Pada tabel 2.4 model umum loglinier tiga dimensi yaitu:
����� = parameter pengaruh interaksi variabel pertama (�) katagori ke�
dengan variabel kedua (�) katagori ke�
����� = parameter pengaruh interaksi variabel pertama (�) katagori ke�
dengan variabel ketiga (�) katagori ke�
����� = parameter pengaruh interaksi variabel kedua (�) katagori ke� dengan
variabel ketiga (�) katagori ke�
������� = parameter pengaruh interaksi variabel pertama (�) katagori ke-�
variabel kedua (�) katagori ke-� dengan variabel ketiga (�) katagori ke�
2.9 Kendala Parameter
Menurut Agresti (2002) perbedaan software menggunakan perbedaaan kendala. Menurut Bayo lawal (2003) penggunaan software menggunakan PROC GENMOD pada SPSS sehingga identifikasi kendala yaitu untuk hanya parameter pada katagori terakhir dari setiap variabel dan hubungan interaksinya yang diatur bernilai nol. Ini
disebut means model atau �-model. Identifikasi kendala penting dilakukan agar tidak overparameterized. Menurut A. W. Vogelesang (1996) Metode yang lain untuk membatasi jumlah parameter pada model adalah ANOVA-model, yang mana jumlah parameter pada setiap pengaruh adalah nol. Pada ANOVA-model, rata-rata
umum merupakan intercept sedangkan pada �-model rata-rata umum ditambah parameter pada setiap tingkat terakhir variabel merupakan intercept, ini artinya bahwa pengurangan tingkat terakhir pada setiap tingkat variabel. Pada penelitian ini menggunakan kendala �-model.
Misalkan untuk model dua dimensi pada persamaan (2.4) maka estimasi adalah
�̂= ln�����= ���
�̂�� =��� − ��� �̂�� =��� − ���
�̂���� = ��� − ��� − ��� +���
�̂�� =�̂�� = 0,0 dan �̂���� =�̂���� = �̂���� = 0,0
Dimana
��� = ln���; ��� = ln���
Menggunakan cara yang sama untuk ���,���,���.
Jika diketahui nilai harapan, model dapat ditaksir estimasinya dengan yaitu dengan substitusi ��� = ln���� dimana �= 1,2,⋯,� ; � = 1,2,⋯,�.
Model tiga dimensi pada persamaan (2.5) maka estimasi adalah
�̂ = ln������=����
�̂�� =���� − ���� �̂�� =�
��� − ���� �̂���� = �
��+− ���+− ���++���+ �̂���� =�
�+� − ��+�− ��+� +��+� �̂������ = ���� − ���� − ���� +����
Estimasi yang serupa untuk parameter �̂�� dan �̂����.
Dengan kendala
�̂�� =�̂�� = �̂�� = 0,0
�̂���� =�̂���� =�̂���� = �̂���� = �̂���� =�̂���� = 0,0 �̂������ =�̂������ =�̂������ = 0,0
dimana
���� = ln���� ; ���� = ln����
���+=∑��=1ln����; ���+=∑��=1ln���� ; ���+=∑��=1ln����
Menggunakan cara yang sama untuk ����, ����,���+,���+,��+�,��+� dimana � =
1,2,⋯,� ; � = 1,2,⋯,�.
2.10 Prinsip Hirarki
variabel, jika ada interaksi dua arah yang masuk ke dalam model maka pengaruh utama pada variabel juga masuk ke dalam model. Misal mengikuti model loglinier secara hirarki jika ada mengandung dua interaksi yaitu satu untuk � dan � dan satu
untuk � dan �, maka juga mengandung pengaruh utama semua tiga variabel:
���� = �+ ���+���+���+ ����� +����� (2.6)
Jika ada salah satu dari pengaruh utama yang tidak masuk ke dalam model maka model tidak hirarki.
2.11 Statistik Cukup Minimal dan Fungsi Likelihood
Setelah diperoleh model loglinier yang terbaik, maka selanjutnya melakukan estimasi parameter dari model loglinier tersebut. Estimasi suatu parameter dalam model loglinier berarti menaksir nilai harapan tiap sel pada tabel kontingensi.
Misalkan terpilih model (��,��), maka untuk mendapatkan estimasi parameter
�,���,���,���,�����,����� adalah dengan estimasi nilai ����. Metode penaksiran yang digunakan adalah metode maksimum likelihood adalah prosedur untuk menemukan nilai estimasi dari satu atau lebih parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood. Sebelum mendapatkan estimasi nilai harapan dari model loglinier dengan metode maksimum likelihood, terlebih dahulu dicari statistik cukup dari
model loglinier.
Menurut Agresti (2002), sebelum menentukan kecocokan model loglinier, hal pertama yang harus diperoleh adalah statistik cukup minimal. Statistik cukup adalah tabel marginal yang melambangkan model. Menurut Bayo lawal (2003), statistik cukup minimal adalah susunan penjumlahan yang berhubungan dengan pengaruh pada model loglinier. Peluang gabungan poisson pada {����} adalah
� � ��
−�����
��� ����
����! �
� �
(2.7)
�(�) =� � � ����
menjadi bentuk logaritma maka diperoleh
���� = exp��+ ���+��� +���+����� +�����+����� +�������� (2.10)
Persamaan (2.10) disubstitusi ke persamaan log likelihood, yaitu:
�(�) =� � � ����
Notasi � merupakan parameter-parameter dalam model yang menjelaskan
respon dari masing-masing variabel. Pada persamaan (2.11), {��++}, {�+�+} dan
{�++�} merupakan koefisien dari masing-masing parameter dan jika {��++}, {�+�+}
dan {�++�} berdiri sendiri tanpa diikuti oleh parameter-parameter maka {��++},
{�+�+} dan {�++�} adalah statistik cukup. Beberapa statistik cukup sesuai model
sebagai berikut:
Model Statistik Cukup Minimal
Menurut Agresti (2002), nilai harapan pada suatu model merupakan penyelesaian menggunakan persamaan likelihood. Derivatif persamaan likelihood terhadap parameter-parameternya masing-masing disama dengankan nol sehingga diperoleh statistik cukup sama dengan nilai harapan. Misalkan untuk model
diperoleh
∂L(m)
∂��� =��++− � � ���� � �
0 =��++− � � ���� � �
��++= � � ���� � �
��++= ���++ semua � (2.13)
Menggunakan cara yang sama untuk ���.
3. Derifatif L(m)terhadap �����
∂L(m)
∂����� =��+� − � �����+ ��� +��� +���+�����+������ �
Karena ln������=�+ ��� +��� +���+�����+�����
exp��+ ��� +��� +���+�����+������= ����
diperoleh
∂L(m)
∂����� =��+� − � ���� �
0 =��+� − � ���� �
��+� = � ���� �
��+� = ���+� semua � dan � (2.14)
Menggunakan cara yang sama untuk �����.
Berdasarkan model (��,��) tersebut, terlihat nilai harapan mempunyai
kesamaan dengan total marginal observasi data �� dan ��.
Menyelesaikan persamaan likelihood pada model (��,��) berdasarkan bentuk
Nilai estimasi harapan disesuaikan dengan model masing-masing.
2.13 Uji Kebaikan Khi Kuadrat (Chi Squared Goodness of Fit Tests)
Menurut Saefuddin, dkk (2013) distribusi khi kuadrat digunakan sebagai uji kebaikan pengepasan (goodness of fit test). Statistik uji ini bertujuan menghitung jumlah kuadrat selisih antara nilai harapan dengan nilai observasi. Menurut S. Michael agar pengujian hipotesis dengan chi-kuadrat dapat digunakan dengan baik, maka hendaknya memenuhi asumsi sebagai berikut:
1. Random sampling tidak diperlukan, asalkan sampel tidak bias. Namun, yang terbaik cara untuk memastikan sampel tidak bias adalah pilihan acak.
2. Pengamatan bersifat independen. Asumsi penting untuk chi square adalah pengamatan yang independen.
3. Mutually exclusive baris dan kolom pada variabel katagorik yang termasuk dalam pengamatan.
4. Uji chi square tidak dapat dilakukan ketika katagori tumpang tindih atau tidak termasuk pada pengamatan.
5. Nilai harapan yang besar. Uji chi square untuk perkiraan yang terbaik ketika nilai harapan cukup besar dengan syarat tidak ada nilai harapan yang kurang dari 1 dan tidak lebih dari 20% dari nilai yang diharapkan kurang dari 5. Jika ditemukan data demikian maka dilakukan penggabungan katagori.
Pada pengujian chi square dengan banyak katagori, bila terdapat lebih dari satu nilai harapan kurang dari 5 maka nilai-nilai harapan tersebut dapat digabungkan dengan konsekuensi jumlah kategori akan berkurang dan informasi yang diperoleh juga berkurang.
Jika nilai observasi ���� dan nilai harapan ����� , statistik uji pearson chi square
�2 untuk tabel kontingensi tiga dimensi yaitu:
�2 =� � �(���� − �����) 2
����� �
�=1 �
�=1 �
�=1
Statistika alternatif untuk menguji kebaikan pengepasan adalah uji likelihood ratio square �2 yaitu:
�2 = 2� � � �
��� �� ������� ���� �
�=1 �
�=1 �
�=1
(2.18)
Jika �ℎ�����2 > ��2;�� atau �ℎ�����2 > ��2;�� maka tolak �0. �0 adalah hipotesis nol
model yang ingin diuji. Taraf signifikansi (� ) yang digunakan �= 0,05.
Nilai harapan dan derajat bebas disesuaikan dengan model yang diuji. Derajat bebas adalah banyaknya sel dalam tabel kontingensi dikurangi banyaknya parameter yang ditaksir dalam model.
Tabel 2.6 Derajat Kebebasan
Model Derajat Kebebasan
(�,�,�) ��� − � − � − �+ 2
(��,�) (� −1)(�� −1)
(��,�) (� −1)(�� −1)
(��,�) (� −1)(�� −1)
(��,��) �(� −1)(� −1)
(��,��) �(� −1)(� −1)
(��,��) �(� −1)(� −1)
(��,��,��) (� −1)(� −1)(� −1)
(���) 0
Sumber: Agresti (2002)
Menurut Agresti (2002), nilai �2 atau �2 yang besar menunjukkan kesesuian yang rendah antara frekuensi pengamatan dengan frekuensi harapan atau model
diuji kurang sesuai, dan sebaliknya. Menurut Saefuddin, dkk (2009) nilai �2 atau
�2 yang kecil menunjukkan kesesuaian yang tinggi antara nilai observasi dengan
nilai harapan, dan semakin besar nilai �2 atau �2 menunjukkan ketaksesuaian
2.14 Uji Independensi
Uji independensi adalah uji untuk melihat ada tidaknya hubungan antar dua atau lebih variabel katagorik suatu hasil observasi. Pada tabel tiga dimensi dengan
peluang gabungan ������ pada tiga variabel respon, hipotesis nol statistik
independen adalah
�0:���� =��++�+�+�++� untuk semua �,�dan � ( tidak ada hubungan antara
ketiga variabel)
Statistik uji independensi yang digunakan adalah uji pearson chi square �2 dan statistik alternatif yaitu uji likelihood ratio square �2.
Menurut Kazmier (2005) independensi mengimplikasikan bahwa pengetahuan terhadap katagori yang menjadi dasar penggolongan observasi dalam hal satu variabel tidak ada dampaknya pada probabilitas masuknya variabel yang lain ke dalam salah satu dari beberapa katagori. Ketika tiga variabel terlibat, frekuensi yang diamati dimasukkan ke dalam tabel klasifikasi tiga arah yaitu tabel
kontingensi tiga dimensi � × � ×�, di mana � mengindikasi jumlah baris, �
mengindikasi jumlah kolom, dan � mengindikasi jumlah layer.
Jika hipotesis nol tentang independensi ditolak untuk data-data tersebut, hal ini mengindikasikan bahwa dua variabel tersebut saling terikat atau dependen dan hal ini berarti terdapat hubungan antar keduanya. Berdasarkan hipotesis tentang independensi dari ketiga variabel, nilai yang diharapkan yang terkait dengan setiap sel dalam tabel kontingensi harus proporsional dengan nilai total yang diamati termasuk dalam kolom, baris dan layer yang memuat sel tersebut, yang terkait
dengan ukuran sampel total. Andaikan ��++ adalah nilai total marginal baris, �+�+
adalah nilai total marginal kolom, �++� adalah nilai total marginal layer, rumus
nilai yang diharapkan adalah:
����� =
(��++)��+�+�(�++�)
Uji independensi memiliki nilai yang sama dengan estimasi nilai harapan pada model loglinier mutually independent. Derajat kebebasan uji independen juga sama dengan model loglinier mutually independent ��� − � − � − �+ 2.
2.15 Uji Asosiasi Parsial
Uji asosiasi parsial bertujuan untuk menguji hubungan ketergantungan antara dua variabel dalam setiap level variabel (conditional association). Hubungan
ketergantungan beberapa variabel yang merupakan parsial dari suatu model
lengkap. Misalkan ingin menguji parameter ����� = 0 yang artinya menguji model
hipotesisnya adalah sebagai berikut:
H0 : variabel satu dan variabel dua independen dalam setiap level variabel tiga
(����� = 0)
H1 : �����0 (����� ≠0)
Parameter – parameter dalam model loglinier akan diuji signifikansinya dengan selisih statistik uji likelihood ratio square (deviance). Pengujian ini memerlukan selisih statistik uji likelihood ratio square (deviance) sebagai berikut:
a. Statisik likelihood ratio square berdasarkan model sederhana dinyatakan dengan simbol �2(�1), dengan derajat bebas ��1.
b. Statistik likelihood ratio berdasarkan model lengkap dinyatakan dengan
simbol �2(�0), dengan derajat bebas ��0.
c. Selisih statistik likelihood ratio (deviance): �2[(�1)|(�0)] =�2(�1)− �2(�
0), dengan derajat bebas �� =��1 − ��0.
d. Jika �2(�1|�0) ≥ �(2��,�) maka model �1 ditolak. Kemudian analisis untuk
model – model sederhana yang lain terhadap model lengkapnya. Model yang diterima adalah model terbaik.
Menurut Agresti (2002) interpretasi parameter model loglinier menggunakan efek order tertinggi. Interpretasi model yang menggunakan efek dua faktor di gambarkan dengan conditional odds ratio. Odds ratio pada tabel parsial sebagai conditional odds ratio. Misalkan untuk setiap tingkat � pada variabel �, conditional association antara � dan � menggunakan (� −1)(� −1) odds ratio, seperti
���(�) =
������+1,�+1,� ��,�+1,���+1,�,�
, 1≤ � ≤ � −1, 1≤ � ≤ � −1. (2.20)
dengan cara yang sama, (� −1)(� −1) odds ratio {��(�)�} yang menggambarkan
conditional association �� dan (� −1)(� −1) odds ratio {�(�)��} yang menggambarkan conditional association ��. Model loglinier biasa menggunakan
kendala pada conditional odds ratio, misalkan conditional association antara � dan
� maka {���(�) = 1,� = 1, … ,� −1,� = 1, … ,� −1,�= 1, … ,�}.
Parameter dua faktor secara langsung berhubungan terhadap conditional odds ratio, yaitu
ln���(�) =��
������+1,�+1,� ��+1,���1,�+1,�
=����� +����+1,�+1− ����,�+1 − ����+1,�
���(�) = exp������ +����+1,�+1 − ����,�+1 − ����+1,�� (2.21)
Karena disisi kanan sama untuk semua � adalah sama, dengan tidak adanya faktor ketiga sehingga ekivalen
���(1) = ���(2) =⋯ =���(�) untuk semua � dan �.
Model loglinier menggunakan kendala sehingga jika tabel kontingensi 2 × 2 maka
conditional odds ratio �� adalah exp(�11��) karena �22�� = �12�� =�21�� = 0.
Jika � dan � independen pada setiap tabel parsial, maka � dan � dikatakan conditionally independent, dengan syarat �. Semua conditional odds ratio antara
ln���(�) = ln
������+1,�+1,� ��+1,���1,�+1,�
ln���(�) = ln���� + ln��+1,�+1,� −ln��+1,�� −ln�1,�+1,� = 0
���(�) = exp(0) = 1 (2.22)
Bernilai satu juga untuk hubungan conditionally independent lainnya. Menurut Razia Azen dan Cindy M. Walker (2011) misal � dan � dikatakan conditionally
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Tahapan Penyelesaian Data
Data yang digunakan dalam penelitian adalah data sekunder yaitu data yang diambil dari Kasubang. Akademik tentang kualitas mahasiswa (S1) FMIPA USU aktif semester VI. Tinggi rendahnya kualitas mahasiswa tergantung pada jenis jalur masuk, asal daerah sekolah SMA atau sederajat dan Indeks Prestasi Akademik (IPK). Pengolahan data dengan bantuan program SPSS 16.
Penelitian menggunakan tiga variabel, yaitu:
d. Variabel bebas I (�) : Jenis jalur masuk mahasiswa. Jenis jalur masuk mahasiswa diukur melalui skala pengukuran nominal dengan katagori:
�1 = Jalur tertulis
�2 = Jalur Unggulan Sekolah
Variabel bebas II (�): Asal daerah mahasiswa saat bersekolah SMA atau sederajat. Asal daerah mahasiswa saat bersekolah SMA atau
sederajat diukur dengan skala pengukuran nominal dengan katagori:
�1 = Dalam mebidang �2 = Luar mebidang
e. Variabel bebas III (�): Nilai indeks prestasi kumulatif (IPK). Nilai
indeks prestasi kumulatif (IPK) diukur dengan skala pengukuran nominal dengan katagori:
�5 = 3,00 – 4,00
Penyelesaian masalah untuk data kualitas mahasiswa diberikan beberapa tahapan yaitu:
Gambar 3.1 Tahap Penyelesaian Masalah
Data Kualitas Mahasiswa aktif semester VI
Membentuk Tabel Kontingensi
Analisis Loglinier Tiga Dimensi
Uji Independensi
Uji Asosiasi Parsial
Interpretasi Parameter Model
Kesimpulan Statistik Cukup Minimal
Uji Goodness of Fit Estimasi Nilai
3.2 Tabel Kontingensi
Menurut Razia Azen dan Cindy M. Walker (2011), ketika subyek atau objek diklasifikasikan secara simultan oleh dua atau lebih atribut, hasil pada klasifikasi silang dapat disusun dengan baik sebagai tabel hitung yang disebut tabel kontingensi. Tabel kontingensi digunakan untuk melihat hubungan antara dua atau lebih variabel katagorik. Data kualitas mahasiswa (S1) aktif dari semester VI keatas diklasifikasi ke dalam tabel kontingensi tiga dimensi. Tabel kontingensi antara tiga variabel yaitu jenis jalur masuk, asal daerah sekolah SMA atau sederajat dan Indeks Prestasi Akademik (IPK) sebagai berikut:
Tabel 3.1 Tabel Kontingensi Kualitas Mahasiswa
Jenis
Berdasarkan Tabel 3.1 terdapat nilai observasi nol sedangkan untuk memenuhi asumsi chi square yaitu tidak ada nilai harapan yang kurang dari 1 dan tidak lebih dari 20% dari nilai yang diharapkan kurang dari 5. Oleh karena itu dilakukan penggabungan katagori IPK sebagai berikut:
�1 = 0,00 – 2,49 �2 = 2,50 – 2,99 �3 = 3,00 – 4,00
maka terbentuk tabel kontingensi yang memenuhi asumsi chi square. Uji asumsi chi square dapat dilihat pada Lampiran 2.
Tabel 3.2 Tabel Kontingensi Kualitas Mahasiswa yang Memenuhi Asumsi
Chi Square
Jenis Jalur Masuk
Asal Daerah Sekolah
Tingkat IPK
0,00 – 2,49 2,50 – 2,99 3,00 – 4,00 Jumlah
Tertulis
Dalam
Mebidang 16 10 25 51
Luar
Mebidang 12 30 33 75
Unggulan Sekolah
Dalam
Mebidang 6 4 20 30
Luar
Mebidang 16 27 31 74
Jumlah 50 71 109 230
Tabel kontingensi ���, dengan � indeks dari baris �, � indeks dari kolom � dan
� indeks dari layer �. Jumlah observasi �= 230. Pada penelitian ini, tabel kontingensi yang terbentuk 2 × 2 × 3.
3.3 Statistik Cukup Minimal
Tabel 3.3 Nilai Statistik Cukup Minimal
Model Statistik Cukup Minimal
(�,�,�) {��++}, {�+�+}, {�++�}
= {126,104}, {81,149}, {50,71,109}
(�,��) {��++}, {�+��}
= {126,104}, {22,14,45,28,57,64}
(��,�) {��+�}, {�+�+}
= {28,40,58,22,31,51}, {81,149}
(��,�) {���+}, {�++�}
= {51,75,30,74}, {50,71,109}
(��,��) {��+�}, {�+��}
= {28,40,58,22,31,51}, {22,14,45,28,57,64}
(��,��) {���+}, {�+��}
= {51,75,30,74}, {22,14,45,28,57,64}
(��,��) {���+}, {��+�}
= {51,75,30,74}, {28,40,58,22,31,51}
(��,��,��) {���+}, {��+�}, {�+��}
= {51,75,30,74}, {28,40,58,22,31,51},
{22,14,45,28,57,64}
(���) {����}
= {16,10,25,12,30,33,6,4,20,16,27,31}
Tabel marginal nilai statistik cukup minimal dapat dilihat pada Lampiran 3.
3.4 Uji Independensi
Uji idependensi adalah uji untuk melihat ada tidaknya hubungan antar dua atau lebih variabel katagorik suatu hasil observasi. Pada tabel tiga dimensi dengan
peluang gabungan ������ pada tiga variabel respon, hipotesis nol statistik
�0: Tidak ada hubungan antara variabel jenis jalur masuk, asal daerah sekolah
SMA atau sederajat dan tingkat Indeks Prestasi Akademik (IPK) ( ���� =
��++�+�+�++�)
�1: Ada hubungan antara variabel jenis jalur masuk, asal daerah sekolah SMA atau
sederajat dan tingkat Indeks Prestasi Akademik (IPK) ( ���� ≠ ��++�+�+�++�)
Nilai harapan uji independensi dapat dihitung menggunakan rumus:
����� = (��++)��+�+�(�++�)
�2 , untuk �= 1,2 ;� = 1,2 ; dan �= 1,2,3.
Nilai harapan uji independensi bernilai sama dengan nilai harapan model mutually independent pada Lampiran 4.
Tabel 3.4 Nilai harapan independensi tabel tiga dimensi
Jenis
Setelah mendapatkan nilai ekpektasi maka dilakukan perhitungan uji pearson
chi square �2 atau likelihood ratio square �2. Hasil uji pearson chi square atau likelihood ratio square dapat dilihat pada model mutually independent pada Lampiran 4, jika dihitung manual dengan Excel sebagai berikut:
�2 = � � ������ − ������
Kesimpulan: Nilai uji pearson chi square �2 = 17,150 atau statistik alternatif likelihood ratio square �2 = 18,183. Karena nilai �2 atau �2 yang lebih dari 14,0671 maka tolak �0 sehingga ada hubungan antara variabel jenis jalur masuk, asal daerah sekolah SMA atau sederajat dan Indeks Prestasi Akademik (IPK).
Uji independen diketahui bahwa terdapat hubungan antara ketiga variabel yang diselidiki, maka akan dilakukan prosedur pemodelan loglinier untuk melihat lebih jauh komponen model lainnya yang akan signifikan dengan model yang akan terbentuk.
3.5 Estimasi Nilai Harapan
Sebelum mencari nilai uji pearson chi square �2 dan likelihood ratio square �2 pada masing – masing model dicari nilai harapan �����. Dengan bantuan SPSS
Tabel 3.6 Estimasi Nilai Harapan
3.6.1 Uji Goodness of Fit
Saefuddin, dkk (2013) nilai �2 atau �2 yang kecil menunjukkan kesesuaian yang tinggi antara nilai observasi dengan nilai harapan, dan semakin besar nilai �2 atau
�2 menunjukkan ketaksesuaian antara nilai observasi dengan nilai harapan yang
berarti tertolaknya �0. �0 adalah hipotesis model yang diuji. Dengan bantuan SPSS diperoleh nilai tersebut, dapat dilihat pada Lampiran Output SPSS sesuai model masing – masing.
Tabel 3.7 Uji Goodness of Fit pada Model Loglinier
Model �2 �2 ��
(�,�,�) 18,187 17,152 7 (�,��) 6,616 6,419 5 (��,�) 17,979 17,043 5 (��,�) 14,780 14,256 6 (��,��) 14,572 13,908 4 (��,��) 6,408 6,245 3 (��,��) 3,210 3,174 4 (��,��,��) 2,585 2,556 2
(���) 0,0 0,0 0
Berdasarkan tabel 3.7, model-model yang sesuai yaitu:
1. Model (�,��) karena nilai �2 atau �2 ≤ �0,05;52 = 11,143
2. Model (��,��) karena nilai �2 atau �2 ≤ �0,05;32 = 7,815
3. Model (��,��) karena nilai �2 atau �2 ≤ �0,05;42 = 9,488
4. Model (��,��,��) karena nilai �2 atau �2 ≤ �0,05;22 = 5,992
Perhitungan manual misalnya untuk model loglinier mutually independent yaitu sama dengan uji independensi sebelumnya.
3.6.2 Uji Asosiasi Parsial
diketahui model – model yang memiliki kesesuaian yang tinggi yaitu model (�,��), (��,��), (��,��) dan model (��,��,��). Model loglinier
menggunakan prinsip hirarki maka model akan diuji dari yang terlengkap sampai
sederhana. Misalkan untuk menguji ����� = 0 atau model (��,��) terpilih
dibanding model (��,��,��) dengan menggunakan statistik likelihood ratio square (deviance) dengan hipotesis nol sebagai berikut:
H0 : variabel jenis jalur masuk dan variabel tingkat IPK independen dalam setiap
level jenis asal daerah sekolah SMA atau sederajat ((����� = 0) atau ���� = �+
���+��� +��� +����� +�����)
H1 : �����0 ((����� ≠0) atau ���� = �+ ��� +��� +���+����� +����� +�����)
Model sederhana dinyatakan dengan simbol �2(�1), dengan derajat bebas ��1 dan
model lengkap dinyatakan dengan simbol �2(�0), dengan derajat bebas ��0, maka
�1 adalah (��,��) dengan ��1 = 4 dan �0 adalah (��,��,��) dengan ��0 =
2. Taraf signifikansi (� ) yang digunakan �= 0,05. Derajat kebebasan ��= 4−
2 = 2.
Nilai Kritis: ��2;�� = �0,05;22 = 7,815
�0 diterima bila �ℎ�����2 < 7,815 �0ditolak bila �ℎ�����2 ≥ 7,815
Statistik uji likelihood ratio square (deviance) yaitu
�2[(�
1)|(�0)] =�2(�1)− �2(�0)
�2[(��,��) |(��,��,��)] =3,210−2,585 = 0,625.
Karena �2 < �0,05;22 = 7,815 sehingga gagal tolak H0 yaitu variabel jenis jalur
masuk dan variabel tingkat IPK independen dalam setiap level jenis asal daerah
sekolah SMA atau sederajat atau diterimanya model ���� = �+ ���+��� +���+
����� +�����. Model (��,��) adalah model yang sederhana dan terbaik dalam
Gambar 3.2 Asosiasi Parsial Model Terbaik
