Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks
2.1 Penjumlahan, Perkalian Skalar,
dan Perkalian Matriks
• aij: unsur dari matriks A di baris i dan kolom j.
Definisi
Dua matriks adalah sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan jika unsur terkaitnya juga sama.
Penjumlahan Matriks
Definisi
Untuk A dan B berupa matriks dengan ukuran yang sama.
sum A + B adalah matriks diperoleh dari penjumlahan unsur A dan B. Matriks A + B akan berukuran sama sebagai A dan B.
Jika A dan B tidak sama ukurannya, maka kedua matriks tersebut tidak dapat dijumlahkan.
.
maka
,
jika
Lalu
C
A
B
c
ij
a
ij
b
ij
i,j
Contoh
.
7
2
4
5
dan
,
8
1
3
6
5
2
,
3
2
0
7
4
1
Untuk
B
C
A
Tentukan A + B dan A + C, jika dapat dijumlahkan. Solusi
.
11
1
3
1
9
3
8
3
1
2
3
0
6
7
5
4
2
1
8
1
3
6
5
2
3
2
0
7
4
1
)
1
(
B
A
Perkalian Skalar dari matriks
Definisi
Untuk A berupa matriks dan c berupa skalar. Perkalian skalar dari A oleh c, didenotasikan cA, merupakan matriks yang didapatkan dari perkalian setiap unsur dari A oleh c. Matrix cA akan mempunyai ukuran yang sama sebagai A.
Contoh . 0 2 7 4 2 1 Untuk A
.
0
9
21
12
6
3
0
3
)
3
(
3
7
3
4
3
)
2
(
3
1
3
3
A
Amati bahwa A dan 3A keduanya merupakan matriks 2 3.
. , maka , jika Lalu B cA bij caij i j
Negasi dan Pengurangan
Definisi
Matriks (1)C dituliskan –C dan disebut negatif dari C.
Contoh
.
6
4
0
1
8
2
dan
5
6
3
2
0
5
Diketahui
B
A
.
1
8
3
)
1
(
2
8
0
2
5
B
A
Definisi pengurangan dalam penjumlahan dan perkalian adalah :
A – B = A + (–1)B Contoh
2
6
3
7
0
1
lalu
,
2
6
3
7
0
1
C
C
.
,
,
maka
,
jika
Lalu
C
A
B
c
ij
a
ij
b
ij
i
j
Perkalian Matriks
26
12
)
5
4
(
)
2
3
(
)
5
2
(
)
2
1
(
5
2
4
3
5
2
2
1
5
2
4
3
2
1
Contoh
2
0
10
19
6
14
6
1
0
2
2
0
0
2
3
5
0
2
6
1
3
1
2
0
3
1
3
5
3
1
6
2
3
1
0
5
0
2
3
1
Contoh 1
ada.
tidak
produk
bahwa
n
Menunjukka
.
3
6
2
7
,
5
1
4
2
1
3
Untuk
AB
B
A
3
6
2
7
5
1
4
2
1
3
AB
3
2
5
1
4
6
7
5
1
4
3
2
2
1
3
6
7
2
1
3
AB tidak ada. Solusi
i j i j in nj nj j j in i i ija
b
a
b
a
b
b
b
b
a
a
a
c
2 1 1 2 2 1 2 1Definisi
Untuk jumlah kolom dalam matriks A berupa sama sebagaimana jumlah dari baris di matriks B. Produk AB ada.
Jika jumlah kolom dalam A tidak sama dengan jumlah baris B, Untuk A: matriks mn , B: matriks nk ,
Matriks produk C=AB mempunyai unsur
Contoh 2
ada.
produk
jika
,
dan
Tentukan
.
6
2
3
1
0
5
,
0
2
3
1
Untuk
BA
AB
B
A
6
2
3
1
0
5
0
2
3
1
AB
.
2
0
10
9
1
6
14
Solusi Catatan. Umumnya, ABBA. BA tidak ada.
3
4
2
(
3
2
)
(
4
1
)
2
c
1
0
5
2
3
7
dan
4
3
1
2
B
A
Contoh3 Untuk C = AB, Tentukan c23.Ukuran dari Matriks Produk
Jika A merupakan matriks m r dan B merupakan matriks r n, maka AB akan berupa matriks m n. A m r B r n = AB m n Contoh
Jika A merupakan matriks 5 6 dan B merupakan matriks 6 7.
Karena A mempunyai enam kolom dan B mempunyai enam baris, maka AB
ada.
Definisi
Matriks nol merupakan matriks yang semua unsurnya nol.
Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsurnya yang tidak ada di bagian diagonalnya adalah nol.
Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang setiap unsur diagonalnya adalah 1.
nol
matriks
0
0
0
0
0
0
0
0
0
mn0
A
diagonal
matriks
0
0
0
0
0
0
22 11
nna
a
a
A
identitas
matriks
1
0
0
0
1
0
0
0
1
nI
Matriks Khusus
Teorema 2.1
Untuk A adalah matriks m n dan Omn adalah matriks nol m n. Untuk B adalah matriks bujur sangkar n n. On dan In adalah matriks nol dan n n matriks
identitas. Maka, A + Omn = Omn + A = A BOn = OnB = On BIn = InB = B Contoh 4
.
4
3
1
2
dan
8
5
4
3
1
2
Untuk
B
A
A
O
A
8
5
4
3
1
2
0
0
0
0
0
0
8
5
4
3
1
2
23 2 20
0
0
0
0
0
0
0
3
3
1
2
O
O
B
2
1
1
0
2
1
(a) A: mn, B: nr
Untuk kolom B adalah matriks B1, B2, …, Br. Tulis B=[B1 B2 … Br]. Lalu AB=A[B1 B2 … Br]=[AB1 AB2 … ABr].
1
2
0
3
1
4
dan
5
1
0
2
B
A
Perkalian matriks dalam kolom
Contoh
1
3
,
2
1
,
0
4
3 2 1B
B
B
2
11
4
6
2
8
AB
dan
2
6
,
11
2
,
4
8
3 2 1AB
AB
AB
(b) A: mn, B: n1, dimana A=[A1 A2 … An] dan . Didapatkan,
5
2
3
dan
5
8
4
1
3
2
B
A
Perkalian Matriks terkait dengan kolom
Contoh
5
1
,
8
3
,
4
2
3 2 1A
A
A
3
5
5
1
5
8
3
2
4
2
3
AB
nb
b
B
1
n n n nb
A
b
A
b
A
b
b
A
A
A
AB
1 1 2 2 1 2 1 Partisi Matriks
Matriks dapat disub-bagikan menjadi jumlah sub-matriks.
Contoh
S
R
Q
P
A
1
5
2
4
1
3
2
1
0
dimana,
2
dan
5
1
4
1
2
1
,
3
0
Q
R
S
P
SN
RM
QN
PM
N
M
S
R
Q
P
AB
Contoh
N
M
B
S
R
Q
P
A
4
5
1
2
0
1
dan
2
3
4
2
0
3
1
2
1
Contoh 5
Untuk
SJ
RH
QJ
PH
J
H
S
R
Q
P
AB
.
1
3
1
1
2
1
dan
4
2
0
3
1
1
B
A
Sebagaimana dengan matriks A.
S
R
Q
P
A
4
2
0
3
1
1
Partisi matriks A diinterpretasikan sebagai matriks 22. Untuk produk AB sehingga ada, maka B harus dipartisi menjadi matriks yang mempunyai dua baris.
Untuk
.
1
3
1
1
2
1
J
H
B
2 16 6 3 6 3 2 1 0 1 3 1 4 1 2 1 2 1 3 1 0 1 1 2 1 3 12.2 Sifat-sifat Aljabar Operasi
Matriks
Teorema 2.2 -1
Untuk A, B, dan C berupa matriks dan a, b, dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran matriks merupakan operasi yang dapat ditampilkan.
Sifat-sifat penjumlahan matriks dan perkalian skalar
1. A + B = B + A Sifat komutatif dari penjumlahan
2. A + (B + C) = (A + B) + C Sifat asosiatif dari penjumlahan
3. A + O = O + A = A (dimana O merupakan matriks nol yang sesuai) 4. c(A + B) = cA + cB Sifat distributif darri penjumlahan
5. (a + b)C = aC + bC Sifat distributif dari penjumlahan
Untuk A, B, dan C berupa matriks dan a, b, dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran matriks merupakan suatu operasi yang dapat ditampilkan.
Sifat-sifat perkalian matriks
1. A(BC) = (AB)C Sifat asosiatif dari perkalian
2. A(B + C) = AB + AC Sifat distributif dari perkalian
3. (A + B)C = AC + BC Sifat distributif dari perkalian
4. AIn = InA = A (dimana In merupakan matriks nol yang sesuai) 5. c(AB) = (cA)B = A(cB)
Catatan:AB BA umumnya, perkalian matriks bukan komutatif.
3
1
2
0
5
1
2
7
3
3
5
4
3
1
2
. 25 11 10 21 6 0 9 2
B
C
A
3
5
2
.
1
3
2
0
and
,
1
2
7
3
,
5
4
3
1
Let
B
C
A
Contoh 1 BuktikanThm 2.2 (A+B=B+A).
)
(
)
(
A
B
ij
a
ij
b
ij
b
ij
a
ij
B
A
ijMenurut unsur (i,j)th dari matriks A+B dan B+A:
Contoh 2
.
11
3
1
1
1
2
2
0
1
3
1
0
1
3
2
1
AB
.
1
9
0
1
4
11
3
1
1
1
2
)
(
C
AB
.
0
1
4
dan
,
2
0
1
3
1
0
,
1
3
2
1
Untuk
B
C
A
Hitung ABC. Solusi A B C = D 22 23 31 21 ABC = (AB)C = A(BC)Dalam aljabar diketahui bahwa hukum pembatalan berlaku.
Jika
ab
=
ac
dan
a
0 maka
b
=
c
.
Jika
pq
= 0 maka
p
= 0 atau
q
= 0.
Bagaimanapun hasil yang sesuai tidak benar untuk matriks.
AB
=
AC
tidak berimplikasi
dengan
B
=
C
.
PQ
=
O
tidak berimplikasi
dengan
P
=
O
atau
Q
=
O
.
Perhatian
Contoh.
tetapi
,
8
6
4
3
bahwa
Amati
.
2
3
8
3
dan
,
1
2
2
1
,
4
2
2
1
matriks
a
Sebagaiman
(1)
C
B
AC
AB
C
B
A
.
3
1
6
2
dan
,
4
2
2
1
matriks
a
Sebagaiman
(2)
P
Q
Pangkat Matriks
Teorema 2.3
Jika A merupakan sebuah matriks bujur sangkar n n dan r dan s
merupakan integer bukan negatif, maka 1. ArAs = Ar+s.
2. (Ar)s = Ars. 3. A0 = I
n (secara definisi)
Definisi
Jika A merupakan matriks bujur sangkar, maka
kali k kA
AA
A
Contoh 3
.
hitung
,
0
1
2
1
Jika
A
A
4
2
1
2
3
0
1
2
1
0
1
2
1
2A
.
6
5
10
11
2
1
2
3
2
1
2
3
4
A
Solusi 2 2 2 2 2 2 24
6
3
5
7
3
6
2
5
7
)
2
(
3
)
2
(
B
BA
AB
AB
B
A
B
BA
AB
A
AB
B
A
B
A
B
B
A
A
Contoh 4 Sederhanakan ungkapan matriks berikut
AB
B
A
B
A
B
B
A
A
(
2
)
3
(
2
)
2
7
2
5
SolusiSistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear m dalam n variabel sebagaimana berikut
m n mn m n n
b
x
a
x
a
b
x
a
x
a
1 1 1 1 1 11Untuk
m n mn m nb
b
B
x
x
X
a
a
a
a
A
1 1 1 1 11dan
,
,
Dapat dituliskan sistem persamaan dalam bentuk matriks
Solusi Persamaan Linear
Sesuai dengan sistem persamaan linear homogen AX=0. Untuk X1 dan X2 berupa solusi. Maka
AX1=0 and AX2=0
A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 0 X1 + X2 juga merupakan solusi
Catatan.
Himpunan solusi untuk sistem persamaan linear merupakan himpunan tertutup dari penjumlahan dan perkalian skalar, yang merupakan sub-ruang.
Jika c merupakan skalar,
Contoh 5
Sesuai sistem persamaan linear homogen berikut.
0
5
0
3
0
8
2
3 2 1 3 2 3 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
Dapat ditunjukkan bahwa ada banyak solusi,
x
1=2
r
,
x
2=3
r
,
x
3=
r
.
Solusi merupakan vektor dalam R
3dari bentuk (2
r
, 3
r
,
r
) or
r
(2, 3, 1).
Solusi membentuk sub-ruang R
3dari
dimensi 1.
Catatan.
x
1=0,
…
,
x
n= 0, merupakan
solusi sampai setiap sistem homogen.
Himpunan solusi untuk setiap sistem
melewati asalnya.
Solusi untuk sistem Nonhomogen
Untuk AX=Y berupa sistem persamaan linear, sehingga Y0. Untuk X1 dan X2 berupa dua solusi, maka
AX1=Y dan AX2=Y
A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 2Y X1 + X2 bukan sebuah solusi. Jika c adalah skalar,
A(cX1) = cAX1 = cY cX1 bukan solusi.
Latihan 41
Tunjukkan bahwa himpunan solusi untuk sistem persamaan linear nonhomogen tidak tertutup pada penjumlahan dan perkalian skalar, dan bahwa bukan sub-ruang dari Rn..
Bukti
Contoh
6
5
2
3
8
8
2
3 2 1 3 2 3 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
Menurut sistem persamaan linear nonhomogen berikut.
Solusi umum dari sistem ini adalah (2
r+
4, 3
r+
2,
r
).
(2
r+
4, 3
r+
2,
r
) =
r
(2, 3, 1)+(4, 2, 0)
Catatan bahwa
r
(2, 3, 1)
merupakan solusi umum
dari sistem homogen
terkait. Vektor (4, 2, 0)
merupakan solusi khusus
untuk sistem nonhomogen
terkait dengan
r
=0.
Matriks Idempotent dan Nilpotent
Definisi
(1) Matriks bujur sangkar A dikatakan idempotent jika A2=A.
(2) Matriks bujur sangkar A dikatakan nilpotent jika ada integer positif p
dimana Ap=0. Integer terendah p pada Ap=0 disebut derajat nilpotency
dari matriks.
.
2
1
6
3
,
2
1
6
3
(1)
A
A
2
A
Contoh2
:
nilpotency
derajat
.
0
0
0
0
,
3
1
9
3
(2)
2
B
B
2.3 Matriks Simetris
Definisi
Transpose matriks A, didenotasikan At, merupakan matriks yang mempunyai kolom dari baris matriks A.
Contoh
1
3
4
.
dan
,
6
5
4
7
2
1
,
0
8
7
2
B
C
A
0
7
8
2
tA
6
7
5
2
4
1
tB
.
4
3
1
tC
j
i
A
A
m
n
A
n
m
A
:
t
:
,
(
t)
ij ji,
.
yaitu,
Teorema 2.4 Sifat-sifat transpos
Untuk A dan B berupa matriks dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran matriks merupakan matriks yang dapat ditampilkan.
1. (A + B)t = At + Bt Transpos dari penjumlahan 2. (cA)t = cAt Transpos dari perkalian skalar 3. (AB)t = BtAt Transpos dari produk
ni jn i j i j ni i i jn j j ji ij tb
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a
AB
AB
2 2 1 1 2 1 2 1)
(
)
(
Teorema 2.4 Sifat-sifat Transpos
Buktikan nomor 3. (AB)t= BtAt
j i j i jn ni j j ni i i t t t t ij t tb
a
b
a
b
a
a
a
a
b
b
b
A
j
B
i
A
j
B
i
A
B
2 1 1 2 2 1 2 1]
dari
[baris
]
dari
kolom
[
]
dari
[kolom
]
dari
baris
[
)
(
Matriks Simetris
6
3
9
4
3
2
3
2
9
3
7
0
4
2
0
1
3
8
4
8
7
1
4
1
0
4
5
5
2
sesuai sesuaiDefinisi
Matriks simetris merupakan matriks yang sama dengan transpos-nya.
j
i
a
a
A
A
t,
i.e.,
ij
ji
,
ContohContoh 3
UntukC = aA+bB, dimana a dan b merupakan skalar.
Ct = (aA+bB)t
= (aA)t + (bB)t Teorema 2.4 (1)
= aAt + bBt Teorema 2.4 (2)
= aA+ bB karena A dan B adalah simetris
= C
Lalu C adalah simetris.
Buktikan
Untuk A dan B berupa matriks simetris dari ukuran yang sama. Untuk C berupa kombinasi linear dari A dan B. Buktikan bahwa produk C adalah simetris.
Contoh 4
*Harus menunjukkan (a) AB merupakan simetris AB = BA, dan sebaliknya, (b) AB merupakan simetris AB = BA.
() Untuk AB berupa simetris, maka
AB= (AB)t definisi dari matriks simetris = BtAt Teorema 2.4 (3)
= BA karena A dan B merupakan simetris
() Untuk AB = BA, maka (AB)t = (BA)t
= AtBt Teorema 2.4 (3)
= AB karena A dan B merupakan simetris Buktikan
Untuk A dan B berupa matriks simetris dari ukuran yang sama. Buktikan bahwa produk AB merupakan simetris jika dan hanya jika AB = BA.
Contoh 3
BuktikanUntuk A berupa matriks simetris. Buktikan bahwa A2 merupakan simetris.
t
A )
Definisi
Untuk A berupa matriks bujur sangkar. Trace dari A, didenotasikan tr(A)
merupakan jumlah unsur diagonal dari A. Lalu jika merupakan matriks n x n. tr(A) = a11 + a22 + … + ann
Contoh 5
Tentukan trace dari matriks
.
0
3
7
6
5
2
2
1
4
A
Solusi Sehingga,.
1
0
)
5
(
4
)
(
A
tr
Trace matriks
Teorema 2.5 Sifat-sifat Trace
UntukA dan B berupa matriks dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran dari matriks merupakan operasi yang dapat ditampilkan.
1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B) 2. tr(AB) = tr(BA)
3. tr(cA) = c tr (A) 4. tr(At) = tr(A)
Karena unsur diagonal dari A + B are (a11+b11), (a22+b22), …, (ann+bnn), maka
tr(A + B) = (a11 + b11) + (a22 + b22) + …+ (ann + bnn)
= (a11 + a22 + … + ann) + (b11 + b22 + … + bnn) = tr(A) + tr(B).
Contoh (2) tr(AB)=tr(BA)
1
0
1
1
2
3
,
2
1
0
2
3
1
B
A
5
2
11
8
,
1
2
1
2
4
6
2
2
0
BA
AB
)
(
3
)
(
AB
tr
BA
tr
Matriks dengan unsur-unsur kompleks
Unsur matriks dapat berupa bilangan kompleks. Bilangan kompleks berbentuk
z = a + bi
Dimana a dan b merupakan bilangan real dan a disebut bagian real dan b
bagian imajiner dari z.
.
1
i
Contoh 7
.
3
2
1
2
3
dan
5
4
2
3
2
Untuk
i
i
i
B
i
i
i
A
Hitung A + B, 2A, dan AB. Solusi
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
B
A
8
2
5
3
5
3
2
5
1
4
2
2
3
3
2
3
2
1
2
3
5
4
2
3
2
i
i
i
i
i
i
A
10
8
4
6
2
4
5
4
2
3
2
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
AB
9
10
4
11
)
3
2
)(
2
3
(
)
2
)(
2
(
)
1
)(
2
3
(
3
)
2
(
3
2
1
2
3
5
4
2
3
2
Definisi
(i) Istilah konjugasi dari matriks A didenotasikan A dan diperoleh dengan mengambil konjugasi setiap unsur matriks.
(ii) Transpos konjugasi dari A sditulis dan didefinisikan oleh A*=At. (iii) Matriks bujur sangkar C dikatakan hermitian jika C=C*.
i
i
i
A
7
6
4
1
3
2
Contoh (i), (ii)
i
i
i
A
7
6
4
1
3
2
i
i
i
A
A
t7
4
1
6
3
2
* Contoh (iii) *4
3
2
C
i
C
2.4 Invers Matriks
Definisi
Untuk A berupa matriks n n . Jika matriks B ditemukan pada AB = BA = In, maka
A dikatakan invertible dan B disebut invers dari A. Jika suatu matriks B tidak ada, maka A tidak mempunyai invers. (didenotasikan B = A1, dan Ak=(A1)k )
4
3
2
1
A
Contoh 1Buktikan bahwa matriks mempunyai invers
.
1
2
2
1
2
3
B
Bukti 2 2 1 2 31
0
0
1
1
2
4
3
2
1
I
AB
2 2 1 2 31
0
0
1
4
3
2
1
1
2
I
BA
Teorema 2.7
Jika matriks mempunyai invers, maka invers-nya unik.
Bukti
Untuk B dan C berupa invers dari A. Lalu AB = BA = In, dan AC = CA = In.
Kalikan kedua sisi persamaan AB = In dengan C.
C(AB) = CIn
(CA)B = C InB = C
B = C
Lalu matriks dapat diinvers hanya mempunyai satu invers.
Untuk A berupa matriks n
n yang
dapat diinvers, Cari A
-1
?
,
.
Untuk
A
1
X
1X
2
X
nI
n
C
1C
2
C
n Pencarian A1 dengan mencari X1, X2, …, Xn. Karena AA1 =I n, maka
.
2 1 2 1X
X
nC
C
C
nX
A
.
,
,
,
yaitu,
AX
1
C
1AX
2
C
2
AX
n
C
nSelesaikan sistem tersebut dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan
:
.
:
:
penambahan
matriks
2 1 2 1 n n nX
X
X
I
C
C
C
A
:
:
1
.
A
I
n
I
nA
Eliminasi Gauss-Jordan untuk
mencari Invers Matriks
UntukA berupa matriks n n.
1. Adjoin matriks identitas In n n dari A untuk membentuk matriks [A : In]. 2. Hitung bentuk baris tereduksi dari [A : In].
Jika bentuk barisam tereduksi berupa [In : B], maka B adalah invers dari A. Jika bentuk barisan tereduksi tidak berupa [In : B], pada sub-matriks n n
tidak In, maka A tidak mempunyai invers.
Matriks A n n dapat diinvers jika dan hanya jika direduksi bentuk barisannya, yaitu In.
Contoh 2
Tentukan invers matriks
5
3
1
5
3
2
2
1
1
A
Solusi
1
0
0
5
3
1
0
1
0
5
3
2
0
0
1
2
1
1
]
:
[
A
I
3
1
0
1
3
2
0
0
1
2
1
1
0
0
0
1
2
1
1
1
R
R1
R3
2)
(
R2
1
0
1
3
2
0
0
1
2
1
1
0
0
0
1
2
1
1
R2
)
1
(
1
2
3
1
0
0
0
1
2
1
1
0
0
1
3
1
0
1
R2
)
2
(
R3
R2
R1
.
1
3
5
1
1
0
Lalu,
1
A
1
2
3
1
0
0
1
3
5
0
1
0
0
1
0
0
0
1
R3
)
1
(
R2
R3
R1
1
1
3
5
0
0
0
0
1
1
2
1
0
0
1
2
3
0
1
3R2
R3
R2
)
1
(
R1
Contoh 3
Tentukan invers matriks berikut, jika ada.
4
1
2
7
2
1
5
1
1
A
Solusi
1
0
0
4
1
2
0
1
0
7
2
1
0
0
1
5
1
1
]
:
[
A
I
3
1
0
2
6
3
0
0
1
1
2
1
0
0
0
1
5
1
1
R1
)
2
(
R3
1)R1
(
R2
Tidak diperlukan untuk meneruskan lebih lanjut.
Bentuk barisan tereduksi tidak dapat mempunyai satu di lokasi (3, 3). Bentuk barisan tereduksi tidak dapat berbentuk [In : B].
Sifat-sifat Invers Matriks
Untuk A dan B dapat diinvers matriksnya dan c merupakan skalar bukan nol, Lalu
A
A
1)
1
(
1.
1 11
)
(
.
2
A
c
cA
1 1 1)
(
.
3
AB
B
A
n nA
A
)
(
)
(
.
4
1
1 t tA
A
)
(
)
(
.
5
1
1 Buktikan 1. Dengan definisi, AA1=A1A=I.)
)(
(
)
)(
(
.
2
cA
1
c
A
1
I
1
c
A
1cA
)
)(
(
)
(
)
)(
(
.
3
AB
B
1A
1
A
BB
1A
1
AA
1
I
B
1A
1AB
n n n n n nA
A
I
A
A
A
A
A
A
(
)
(
)
.
4
1 kali 1 1 kali 1
,
)
(
)
(
,
.
5
AA
1
I
AA
1 t
A
1 tA
t
I
Contoh 4
.
)
(
menghitung
untuk
tersebut
informasi
Gunakan
.
4
3
1
1
bahwa
diperoleh
maka
,
1
3
1
4
Jika
1 1
tA
A
A
Solusi.
)
(
)
(
4
1
3
1
4
3
1
1
1 1
t t tA
A
Teorema 2.8
Untuk AX = Y berupa sistem persamaan linear dalam n variabel. Jika A–1 ada, solusinya unik dan diberikan oleh X = A–1Y.
Buktikan
(X = A–1Y merupakan solusi.)
Substitusikan X = A–1Y menjadi persamaan matriks.
AX = A(A–1Y) = (AA–1)Y = InY = Y.
(Solusinya unik.)
Untuk X1 merupakan suatu solusi, maka AX1 = Y. Kalikan kedua sisi persamaan tersebut dengan A–1 sehingga,
A–1AX1= A–1Y InX1 = A–1Y
Contoh 5
Selesaikan sistem persamaan
2
5
3
3
5
3
2
1
2
3 2 1 3 2 1 3 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
SolusiSistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks :
2
3
1
5
3
1
5
3
2
2
1
1
3 2 1x
x
x
Jika matriks koefisien dapat diinvers, solusi uniknya berupa
2
3
1
5
3
1
5
3
2
2
1
1
1 3 2 1x
x
x
Inversnya dapat ditemukan di contoh 2, sehingga didapatkan,
