Estimasi Parameter Copula Dan Aplikasinya Pada Klimatologi

Estimasi Parameter Copula

Dan Aplikasinya Pada Klimatologi

Irwan Syahrir (1309 201 001

)

Dosen Pembimbing:

Dr. Ismaini Zaini, M.Si

Latar belakang

2

1. PENDAHULUAN

Analisis Statistik

Distribusi Normal

- Masalah lebih mudah dan sederhana

- Mudah perhitungan estimasi

Analisis hubungan

antara 2 (dua)

variabel

pengukuran dependensi antara variabel

Pearson

Korelasi

Asumsi

-Spearman

- Kendall

Kasus distribusi tidak normal

Latar belakang (lanjutan)

Pendekatan “Copula”

Mengapa?

- Mampu mengatasi dependensi variabel yang berdistribusi tak normal - Informasi struktur dependen lebih banyak

- Lebih fleksibel : distribusi marginal dari variabel dependen dapat

dibedakan atau bahkan dapat mengetahui distribusi variabel yang tidak diketahui. (Schölzel ,2008)

Kasus Multivariat

kompleks

Penelitian

_{- Biostatistic}

- Risk management - insurance/actuaria- Climatology/meteorology, etc

Ketidaknormalan diabaikan dalam perhitungan korelasi

Struktur dependensi

4

Latar belakang (lanjutan)

 hidrology : Favre et al. (2004) dan Genest et al. (2007).

 Keuangan dan asuransi : Cherubini et al. (2004) dan Mcneil et al. (2005)  Ekonometrika dan time series: Patton (2002;2009).

 Klimatologi : Schölzel (2008).

Schölzel (2008), menjelaskan pola distribusi dan fungsi densitas dari variabel random multivariat pada data temperatur, curah hujan dan kecepatan angin.

Penelitian dengan pendekatan Copula :

Sklar (1959)

Theorema Sklar’s _{Suatu cara untuk menjelaskan} struktur dependensi vektor random Estimasi copula menyatakan bahwa setiap distribusi marginal harus

dihitung dan dimasukkan ke dalam estimasi distribusi multivariat

Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).

(Choroś et al. ,2010)

Estimasi

Parameter Copula

Pendekatan model parametrik,

semiparametrik dan non parametrik

(Charpentier et.al.,2006)

Kasus

Klimatologi

Copula

Archimedean

Gumbel

Clayton

Aplikasi Geoscience (Embrechts et al.,2001)

6

•

Tujuan Penelitian

1. Menentukan estimasi parameter copula archimedean

2. Mengaplikasikan pada data klimatologi



Manfaat Penelitian

1. Memperkenalkan metode alternatif yaitu pendekatan copula

khususnya keluarga archimedean, yang dapat diaplikasikan pada

data iklim yang distribusinya tidak normal.

•

Batasan Masalah

1. Estimasi parameter copula dg pendekatan Kendall’s Tau

2. Parameter Copula gumbel dan Clayton

3. Variabel yang dilibatkan hanya dibatasi 2 (dua) variabel atau

bivariat, yaitu data kecepatan angin rata-rata dengan tekanan

udara diatas permukaan air laut dan kecepatan angin dengan

temperatur udara

2. Teori Copula

1

,...,

m

X X

F

F

dengan domain

Suatu m dimensi vektor random X dengan fungsi distribusi

kumulatif

marginal (Marginal Cumulative Distribution

Function)

Variabel random multivariat

Asumsi

1

(

)

0

X

F

−∞ =

joint distribusi dari vektor random dapat

ditulis sebagai fungsi dari distribusi

marginalnya.

1

( )

1

X

F

∞ =

1 1

( )

(

( ),....,

(

)

m X X X X m

F

x

=

C

F

x

F

x

ℜ

_{Theorema Sklar’s}

(1959)

fungsi yang menghubungkan margin univariat menjadi distribusi multivariat, dimana fungsi tersebut merupakan fungsi distribusi bersama dari variabel random uniform standar normal. (Nelsen ,1999)

fungsi distribusi bersama dari

transformasi variabel random

(

)

j j X j

U

=

F

X

j=1,…,m 1 1 1 1 0 0

( ,...,

)

...

( ,...,

)

...

m u u X m X m m

C

u

u

=

∫ ∫

c

u

u

du

u

Distribusi fungsi copula

1 1

( )

(

( ),....,

(

)

m X X X X m

F

x

=

C

F

x

F

x

[ ]

[ ] [ ]

: 0,1 ...

0,1

0,1

X

C

x x

→

Uj

memiliki

distribusi

marginal

yg

uniform. Jika distribusi

marginalnya

kontinu, maka fungsi copula adalah unik

(nelsen,2006)

8

(

)

j j X j

u

=

F

x

setiap probabilitas densitas bersama dapat

dituliskan sebagai hasil dari probabilitas

densitas marginal dan densitas copula.

1 1 1

( )

( )...

(

).

( ,...,

)

m

X x X m X m

f

x

=

f

x

f

x

c

u

u

Fungsi distribusi multivariat

dengan marginal uniform standar

Fungsi copula

Keluarga Copula

Copula Students t

Fungsi densitas copula normal :

10 a. Copula Ellip b. Copula Archimedian

(

)

(

) (

)

1 2 1 1 , , 1 2 1 2 _{1 1} 1 2 ( ), ( ) ( , ) ( ) ( ) X X u u c u u u u ρ ρ

ϕ

ϕ

ϕ

− − − − Φ Φ = Φ Φ

Copula ellip Copula normal

(

1 1

)

1 2 1 2

( ,

)

( ),

(

)

C u u

_ρ

= Φ Φ

_ρ −

u

Φ

−

u

Fungsi copula normal :

1 2 2 2 , , 1 2 ₂ 2 1 2 1 2

1

1

( ,

)

exp

[

2

]

2(1

)

2

1

X X ρ

x x

x

x

x x

ϕ

ρ

ρ

π

ρ





=

_

−

+

−

_

−

−





dimana

Fungsi distribusi kumulatif bivariat standar normal dengan korelasi ρ (sklar,1959)

1

Karakteristik Copula student’s t

Copula Students t

Dalam kasus bivariat copula t dapat dituliskan sebagai berikut:

1 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 ₂ 1 1 2 2 1 2 2 2 2 ( , , , ) (1 ) 2 2 x 1 (1 ) v v d t u t u t v v v C u u v v v x x x x dx dx v ρ π ρ ρ ρ − − −∞ −∞ + − +   Γ_ _ =   Γ_{ } −    ₊ − +   ₋   

∫

∫

1 v v t t −

dimana ρ adalah koefisien korelasi, ν adalah jumlah derajat bebas.

Contoh pdf dari t-Copula dengan ρ=0,865 dan v =∞, 5, 2.5 (dari kiri ke kanan).

Copula Archimedian

(i) Clayton (ii) Frank (iii) Gumbel

1

X 1 1

C ( ,...,

u

u

_m

)

=

φ φ

−

( ( ) ...

u

+ +

φ

(

u

_m

))

Fungsi copula archimedian

fungsi disebut fungsi generator dari copula (Nelsen ,2006)

( ) 1 (Clayton) 1 ( ) log (Frank) 1 ( ) ( log ) (Gumbel) C F F G C u F G u u e u e u u θ θ θ θ

φ

φ

φ

− = −  −  = _{ } −   = −

φ

12 1 X 1 2 1 2

C ( ,

u u

)

=

φ φ

−

( ( )

u

+

φ

(

u

))

Kasus bivariat

3. Estimasi Copula

Estimasi parameter copula dapat diperoleh dengan metode Maximum

Likelihood Estimation (MLE) (Mikosch ,2006). Dengan mendeskripsikan

parameter yang diberikan copula dan distribusi marginal, estimasi ML diperoleh

dengan memaksimumkan fungsi log likelihood.

1 2 1 1 2 2 1

( ,

,...,

)

( ( ),

( ),...,

(

)

( )

d d d d i i i

f x x

x

c F x

F x

F x

f x

=

=

∏

1 2 1 2 1 2

( ,

,...,

)

( ,

,...,

)

,...,

d d d

C u u

u

c u u

u

u u

u

∂

=

∂ ∂

∂

densitas dari d-dimensi copula

C u u

( ,

1 2

,...,

u

d

; )

θ

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

ln ( ,

f x x

; , )

θ ρ

=

ln ( ( ; ),

c F x

θ

F x

( ; ); ) ln

θ ρ

+

f x

( ; ) ln

θ

+

f x

( ; )

θ

model fungsi likelihood Copula

Menurut Genest dan rivest (1993) untuk mengkonstruksi

estimasi parameter COPULA dapat menggunakan observasi

nilai Kendall’s tau

1 0

( )

1 4

( )

u

du

u

φ

τ

φ

= +

′

∫

4. Estimasi Parameter Copula Archimedean

C

- Cuaca (weather)

- Iklim (climate)

_{besaran unsur fisika atmosfer}

unsur cuaca atau

unsur iklim

- penerimaan radiasi

matahari

-

suhu udara

- kelembaban udara

-

tekanan udara

-

Kecepatan angin

- arah angin

- penutupan awan

- presipitasi (embun, hujan, salju)

- evaporasi.

Cuaca

keadaan udara pada saat tertentu dan di wilayah tertentu yang

_{relatif sempit dan pada jangka waktu yang singkat.}

Iklim

keadaan cuaca rata-rata dalam waktu satu tahun yang dilakukan

_{dalam waktu yang lama dan meliputi wilayah yang luas.}

Pengertian Cuaca dan Iklim

 Tekanan udara adalah suatu gaya yang timbul akibat adanya berat dari lapisan udara.

Besarnya tekanan udara di setiap tempat pada suatu saat berubah-ubah. Makin tinggi suatu tempat dari permukaan laut, makin rendah tekanan udaranya. Besarnya tekanan udara diukur dengan barometer dan dinyatakan dengan milibar (mbar).

 Angin adalah udara yang bergerak dari daerah bertekanan udara tinggi ke daerah

bertekanan udara rendah. Kecepatan angin dapat diukur dengan suatu alat yang disebut Anemometer

 Temperatur Udara adalah tingkat atau derajat panas dari kegiatan molekul dalam

atmosfer yang dinyatakan dengan skala Celcius, Fahrenheit, atau skala Reamur.

16

Dari pengertian diatas dapat diketahui bahwa antara tekanan

udara,kecepatan angin dan temperatur udara saling berhubungan.

Perbedaan tekanan udara di suatu daerah akan mengakibatkan

adanya pergerakan angin dari daerah yang bertekanan tinggi ke

daerah yang bertekanan rendah.

5. Metodology

Data klimatologi

Kecepatan angin rata-rata

(km/jam)

Tekanan udara diatas

permukaan air laut (mbar)

Sumber data

Stasiun Surabaya/Perak

Data observasi harian

Tahun 2005-2009

Sampel : 1691 pengamatan

Aplikasi data

Temperatur udara ( C)

0

τ

τ

Variabel penelitian:

Kajian teori

18

A. Tujuan pertama

• Mendefinisikan fungsi distribusi bersama variabel random. • Menentukan fungsi distribusi Copula untuk kasus bivariat. • Menentukan fungsi likelihood Copula

• Mengestimasi parameter fungsi Copula dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).

• Mengestimasi parameter Copula Archimedean untuk keluarga Gumbel dan Clayton dengan pendekatan Kendall’s Tau

B. Tujuan kedua:

• Membuat scatter plot antara kedua variabel yaitu : i. Kecepatan angin rata-rata dan tekanan udara ii. Kecepatan angin rata-rata dan temperatur udara

• Menguji ketaknomalan data dengan menggunakan histogram dan uji Kolmogorov-Smirnov • Menghitung parameter dependensi antara kedua variabel dengan observasi nilai Kendall’s Tau

• Menghitung parameter pada Copula Archimedean khususnya Copula Gumbel dan Copula Clayton . • Menentukan estimasi fungsi Copula Archimedean pada keluarga Clayton dan Gumbel.

5. Hasil dan Pembahasan

1 2 1 1 2 2

( ,

)

{ ( ),

(

)}

F x x

=

C F x

F x

Nelsen (2006)

Fungsi distribusi

bivariat

1 1 1 2 1 1 2 2 1 2

( ,

)

{

( ),

(

)}, ,

[0,1]

C u u

=

F F

−

u

F

−

u

u u

∈

Transformasi

Fungsi copula

2 1 2 1 2 1 2 1 2

( ,

)

( ,

)

C u u

, ,

[0,1]

c u u

u u

u u

∂

=

∈

∂ ∂

Fungsi densitas copula

bivariat

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

( ,

)

{ ( ),

(

)} ( )

(

) , ,

f x x

=

c F x

F x

f x f x

x x

∈ 

20 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

{

(

),

(

)} (

)

(

)

n u u i

L

c

F x

F x

f x

f

x

=

= Π

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

ln ( ,

f x x

; , )

θ ρ

=

ln ( ( ; ),

c F x

θ

F x

( ; ); ) ln

θ ρ

+

f x

( ; ) ln

θ

+

f x

( ; )

θ

no closed form

Fungsi likelihood Copula

numerik

Observasi Kendall’s Tau.

Estimasi

parameter copula

Nelsen (2006)

Hasil dan Pembahasan

1 0

( )

1 4

'( )

C

u

du

u

φ

τ

φ

= +

∫

Estimasi Parameter Copula Archimedean

( )u

φ

Fungsi generator copula

21 1 0 1 1 0

( )

1 4

( )

(

1) /

=1+4

2

C C c C C

u

du

u

u

du

u

θ θ

φ

τ

φ

θ

θ

θ

− − −

= +

′

−

₌

−

+

∫

∫

1 0 1 1 0

( )

1 4

( )

1

( log )

=1+4

( log( ))

/

G G G G G

u

du

u

u

du

u

u

θ θ

φ

τ

φ

θ

θ

−

θ

= +

′

−

−

₌

−

−

∫

∫

Gumbel:

_{Clayton :}

1

(1

)

G

θ

τ

=

−

2

1

C

τ

θ

τ

=

−

22 Family Copula (C_θ) Parameter range Clayton Gumbel 1 1 2 1 2

( ,

)

(

1)

Cl

C

_θ

u u

=

u

−θ

+

u

−θ

−

θ

θ

∈ − ∞

[

1,

]

\ 0

{ }

(

)

1 1 2 1 2

( , ) exp (log ) (log )

Gu

C_θ u u = _− u θ + u θ θ _

 

θ

∈ ∞

[ ]

1,

Fungsi Copula Keluarga Archimedean Versi Bivariat

5. Hasil dan Pembahasan (lanjutan)

Aplikasi Copula

. Plot-plot yang terkonsentrasi dalam satu area menunjukkan adanya korelasi yang berdekatan. Sedangkan plot-plot yang outlier menunjukkan hubungan yang sangat jauh antar kedua variabel. Hubungan dependensi antar kedua variabel tidak dapat hanya dideskripsikan dengan korelasi pearson karena banyaknya outlier pada scatter plot. Untuk mengatasi hal tersebut maka struktur dependensi dapat dijelaskan dengan korelasi yang berbasis pada rank yaitu korelasi kendall tau atau

Scatter plot wind ave vs SLP

Variabel Kolmogorov-Smirnov

Statistic df Sig.

Wind_ave 0,064 1691 0,000

SLP 0,046 1691 0,000

T mean 0.037 1691 0,029

Histogram Wind Ave (kecepatan angin, km/jam) Histogram SLP(Tekanan udara, Mbar)

24

b. Temperatur udara (T mean- 0C)

26 Grafik distribusi bivariat antara kecepatan angin dan tekanan udara

kedua variabel adalah dependen, meskipun tingkat dependensinya kecil. Plot antar keduanya menunjukkan terkonsentrasi pada beberapa ruang interval yaitu pada ujung scatter, tetapi pada bagian interval tertentu diantara keduanya plot tidak jelas. Bagian plot yang tidak jelas mengindikasikan tail dependence. Dari sini dapat didefinisikan beberapa copula yang memiliki karakteristik bentuk tail dependence.

28

Scatter plot rank antara Wind_ave dengan SLP pada transformasi uniform [0,1]

Scatter plot rank antara Wind_ave dengan T_mean pada transformasi uniform [0,1]

Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel dan Clayton

dengan θ = 2

Gumbel Copula Clayton Copula

Copula Gumbel Copula Clayton

Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel dan

30

Gumbel Copula Clayton Copula

Gumbel Copula Clayton Copula

Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel

dan Clayton dengan θ =10

Scatter plot rank bivariat sampel random dari keluarga Gumbel

Pearson Kendall Spearman

Correlation 0,1397741 0,1281978 0,1838372

p-value 7,84 x 10-9 _{7,772 x 10}-15 _{2,554 x 10}-14

Sebelum melakukani fitting model copula maka terlebih dulu mengestimasi koefisien korelasi dari kedua variabel tersebut dengan 3 metode, yaitu Pearson, Spearman dan Kendall.

α <0,05

Tabel pengukuran korelasi wind_ave vs SLP

Pearson Kendall Spearman

Korelasi 0,2069568 0,1474547 0,2120737

p-value 2,2 x 10-16 _{2,2 x 10}-16 _{2,2 x 10}-16

32 2 = 1 2(0,1281978) 1 0,1281978 = 0,294098 c τ θ τ − = − 1 1 1 = 1 0,1281978 = 1,147049 G θ τ = − −

Perhitungan parameter copula berbasis Kendall’s Tau Kecepatan angin vs tekanan udara

Kecepatan angin vs temperatur udara

2 = 1 2(0,1474547) 1 0,1474547 = 0,345213 c τ θ τ − = − 1 1 1 = 1 0,1474547 = 1,172958 G θ τ = − −

Parameter copula clayton Parameter copula gumbel Parameter copula clayton _{Parameter copula gumbel}

• Copula Clayton 1 1 2 1 2 1 0,294098 0,294098 0,294098 1 2 1 2 ( , ) ( 1) ( , ) ( 1) Cl Cl C u u u u C u u u u θ θ θ θ θ − − − − = + − = + −

A. Kecepatan angin dan tekanan udara B. Kecepatan angin dan tekanan udara

• Copula Gumbel

(

)

1

1 2 1 2

( , ) exp (log ) (log )

Gu C_θ u u = _− u θ + u θ θ_  

(

)

1 1,147049 _{1,147049 1,147049} 1 2 1 2

( , ) exp (log ) (log )

Gu C_θ u u = _− u + u _   • Copula Clayton • Copula Gumbel 1 1 2 1 2 ( , ) ( 1) Cl C_θ u u = u−θ +u−θ − θ 1 0,345213 0,345213 0,345213 1 2 1 2 ( , ) ( 1) Cl Cθ u u = u− +u− −

(

)

1 1 2 1 2

( , ) exp (log ) (log )

Gu C_θ u u = _− u θ + u θ θ _  

(

)

1 1,172958 _{1,172958 1,172958} 1 2 1 2

( , ) exp (log ) (log )

Gu

C_θ u u = _− u + u _

 

34

Estimasi parameter θ dan nilai loglikelihood dihitung untuk mengetahui model struktur dependensi yang terbaik pada copula

Copula Estimate Std. error Z Log likelihood

Gumbel 1.112993 0.01904045 58.45411 22.87724

Clayton 0.1703254 0.03308843 5.147582 15.99025

Tabel Model Fitting Untuk Copula Archimedean Untuk Kecepatan Angin Dan Tekanan Udara

Copula Estimate Std. error Z Log likelihood

Gumbel 1,138937 0.01967057 57,90054 32.83936

Clayton 0.2613921 0.03432309 7.615633 37.29556

Tabel Model Fitting Untuk Copula Archimedean Untuk Kecepatan Angin Dan Temperatur Udara Model terbaik

Model terbaik

A. Kecepatan angin dan tekanan udara

B. Kecepatan angin dan tekanan udara

Copula Gumbel

(

)

1

1 2 1 2

( ,

)

exp

(log

)

(log

)

Gu

C

_θ

u u

=



_

−

u

θ

+

u

θ θ



_





(

)

1 1,147049 _{1,147049 1,147049} 1 2 1 2

( ,

)

exp

(log

)

(log

)

Gu

C

_θ

u u

=



_

−

u

+

u



_





Copula Clayton

1 1 2 1 2

( ,

)

(

1)

Cl

C

_θ

u u

=

u

−θ

+

u

−θ

−

θ 1 0,345213 0,345213 0,345213 1 2 1 2

( ,

)

(

1)

Cl

C

_θ

u u

=

u

−

+

u

−

−

36

Scatter plot rank dari Copula Gumbel untuk variabel random

dengan parameter θ = 1,147049

Scatter plot rank antara Wind_ave dengan SLP pada transformasi

Scatter plot rank dari Copula Clayton untuk variabel random

dengan parameter θ = 0,345213

Scatter plot rank antara Wind_ave dengan T_mean

Kesimpulan

38 1. Variabel kecepatan angin rata-rata (wind_ave) dan tekanan udara diatas

permukaan air laut (SLP) memiliki distribusi yang tidak normal.

2. Copula archimedean dapat digunakan untuk menjelaskan struktur dependensi kedua variabel iklim tersebut.

3. Copula Archimedean dari keluarga Gumbel merupakan model terbaik untuk menjelaskan struktur dependensi antara variabel kecepatan angin rata-rata dan tekanan udara diatas permukaan air laut.

4. Copula Clayton merupakan model terbaik untuk variabel kecepatan angin rata-rata temperatur udara

Saran

1. Dalam penelitian ini peneliti menghitung estimasi parameter Copula Archimedean dengan pendekatan parametrik, padahal seringkali kasus yang muncul dalam analisis data adalah pola distribusi data termasuk katagori non parametrik. Oleh karena itu perlu adanya perhitungan estimasi dengan pendekatan non parametrik.

2. Perlu juga adanya penelitian pembanding dalam perhitungan estimasi dengan menggunakan keluarga Copula yang lain, misal: Copula Ellip yang meliputi Copula Normal dan Copula Student’s t.

3. Pada penelitian ini struktur dependensi antara kedua variabel dalam bentuk scatter plor rank tidak terlalu kelihatan dengan jelas karena dimungkinkan jumlah sampel data hanya pada observasi selama 5 tahun. Oleh karena itu pada penelitian berikutnya perlu ditambah sampel penelitian hingga 10 tahun atau lebih.

Terima Kasih