Suplemen Kuliah STATISTIKA
Prodi Sistem Informasi (SI 3) – STIKOM AMBON
Pertemuan 5
Pokok Bahasan Sub Pok Bahasan Referensi Waktu
Konsep Peluang (Probabbility Concept)
1. Ruang Contoh dan Kejadian 2. Pengolahan terhadap Kejadian 3. Mencacah Titik Contoh 4. Peluang Suatu Kejadian 5. Peluang Bersyarat
6. Peluang Total dan Kaidah Bayes
Walpole E. Ronald.
1988. Pengantar Statistika, Edisi Ketiga, Jilid 1
1. Ruang Contoh dan Kejadian
Suatu percobaan hasilnya tidak dapat diramalkan dengan pasti sebelumnya. Akan tetapi meskipun belum diketahui dengan pasti hasilnya, namun himpunan semua kemungkinan hasil percobaan yang mungkin terjadi dapat diketahui. Kumpulan semua hasil percobaan yang mungkin terjadi disebut Ruang Contoh (Sample Space) dan disimbolkan dengan S. Sedangkan himpunan bagian dari suang contoh disebut Kejadian (event). Beberapa teladan adalah sebagai berikut :
a. Ruang Contoh dari dua mata uang yang dilempar sekali adalah :
S = {GG, GA, AG, AA} dimana G melambangkan sisi gambar A melambangkan sisi angka.
Sedangkan E yang merupakan himpunan yang berisi satu sisi gambar dari dua mata uang yang dilemparkan satu kali disebut Kejadian, dengan
A = {GA, AG}, A S.
b. Percobaan melemparkan dua mata dadu satu kali, maka ruang contohnya terdiri atas 36 titik, yakni S ={(i, j), i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} atau S = {(1,1), (1,2), …., (1,6), (2,1), …., (6, 6)}
Misalkan E menyatakan kejadian jumlah angka kedua dadu 7, maka kejadian E dinyatakan E = {(1,6), (2, 5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
Sedangkan suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi disebut kejadian mustahil. Misalkan dalam percobaan melempar dua buah dadu yang masing-masing sisinya bermata satu sampai enam, maka kejadian bahwa kedua mata dadu yang muncul berjumlah 1 merupakan suatu kejadian yang mustahil.
2. Pengolahan terhadap Kejadian
Kejadian merupakan suatu himpunan maka semua operasi himpunan juga berlaku terhadap kejadian.
Beberapa operasi kejadian yang penting adalah sebagai berikut : a. Gabungan Kejadian.
Gabungan dua kejadian E dan F dituliskan sebagai E F adalah suatu kejadian yang unsurnya terdiri dari semua unsur ruang contoh S yang termasuk unsur kejadian E atau termasuk unsur kejadian F atau termasuk dua-duanya.
b. Irisan Kejadian
Irisan dua kejadian E dan F dituliskan sebagai E F adalah suatu kejadian yang unsurnya terdiri dari semua unsur ruang contoh S yang sekaligus termasuk unsur kejadian E dan kejadian F.
c. Kejadian terpisah (mutually exclusive).Dua kejadian E dan F disebut kejadian terpusah jika dan hanya jika tidak ada unsur kejadian E yang merupakan unsur kejadian F atau sebaliknya. Jadi E F = d. Komplemen kejadian. Jika E suatu kejadian, maka komplemen (tandingan) kejadian E dicatat sebagai
adalah suatu kejadian yang unsurnya semua unsur dalam ruang contoh S yang tidak merupakan unsur kejadian E.
Contoh : Misalkan sebuah dadu mata enam dilempar dua kali E adalah kejadian jumlah mata dadu yang muncul adalah tujuh, yaitu E = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, maka
={(1, j); i+j 7 , i,j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
F adalah kejadian jumlah mata dadau yang muncul adalah enam, yaitu F = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} Maka E F =
3. Mencacah Titik Contoh a. Kaidah Penggandaan
Misalkan suatu percobaan terdiri atas dua operasi atau lebih. Setiap kemungkinan/cara dalam operasi pertama dapat dilanjutkan dengan operasi kedua, dan setiap operasi kedua dapat dilanjutkan dengan operasi ketiga dan seterusnya. Maka banyaknya cara yang dapat dibentuk dalam percobaan tersebut dapat diperoleh berdasarkan hasil kali dari masing-masing kemungkinan setiap operasi. Karena prinsip perhitungan banyaknya cara didasarkan atas penggandaan dari banyaknya cara dari masing-masing operasi maka prinsip ini disebut Hukum Penggandaan.
Teorema :
Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n1 cara dan setiap cara ini dilanjutkan dengan operasi kedua yang dapat dilakukan dengan n2 cara dan setiap cara sebelumnya dilanjutkan lagi dengan operasi ketiga yang dapat dilakukan dengan n3 cara dan seterusnya sampai sederetan k buah operasi, maka semua operasi tersebut dapat dikerjakan secara bersama-sama dengan n1 x n2 x n3 x ….x nk cara.
Contoh : Misalkan polresta Bogor akan membuat plat nomor mobil yang masing-masing terdiri atas lima digit. Tiga digit pertama pertama dengan huruf capital dan dua digit terakhir diisi dengan angka. Huruf O dan I tidak boleh digunakan karena mirip dengan angka 0 dan 1. Huruf pertama harus konsonan, dan digit terakhir harus angka genap. Ada berapa banyak nomor mobil yang bisa dibuat oleh polresta Bogor.
Penyesaian :
Perlu diperhatikan bahwa setiap huruf atau angka pada kasus ini boleh berulang. Karena huruf O dan I tidak boleh digunakan maka tersedia 26-2=24 huruf yang terdiri atas 3 huruf vocal dan 21 huruf konsonan. Sedangkan digit angka ada 10 yang terdiri atas 5 digit genap dan 5 digit ganjil. Jadi digit pertama diisi 21 cara, digit kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi dengan 24 cara, digit keempat dapat diisi dengan 10 cara, dan digit kelima dapat diisi dengan 5 cara. Sehingga banyaknya plat mobil yang berbeda dapat dibuat adalah 21 x 24 x 24 x 10 x 5 = 604800 buah pelat mobil.
b. Kaidah Penjumlahan
Hukum penjumlahan digunakan untuk menghitung banyaknya cara yang diperoleh dalam suatu percobaan yang mengandung lebih dari satu alternative/pilihan.
Teorem 2:
Jika suatu operasi diselesaikan dengan 2 alternatif; alternatif pertama dapat dilakukan dengan n1 cara, alternatif kedua dengan n2 cara, maka operasi tersebut dapat dilakukan dengan n1 + n2 cara.
Contoh : Misalkan kita mau pergi dari Bogor ke Jakarta dengan angkutan umum. Berdasarkan jenis angkutan umum yang digunakan, ada dua kemungkinan yaitu naik bis atau naik kereta api. Jika naik bis, maka ada 3 cara (yaitu : lewat Parung, lewat Cibinong dan Tol Jagorawi), sedangkan jika naik kereta api hanya ada satu cara. Jadi banyak cara pergi dari Bogor ke Jakarta dengan angkutan umum adalah 3 + 1 cara.
c. Permutasi Definisi.
Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang dipilih sebagian atau seluruhnya.
Permutasi dapat dipandang sebagai bentuk khusus dari hukum penggandaan. Kekhususannya adalah jika banyaknya cara dalam operasi diketahui, katakana sama dengan n, maka banyaknya yang dapat dilakukan untuk keseluruhan operasi (n operasi) sama dengan :
n1xn2 x…. x nn-1x nn = n x (n-1) x……x 2 x 1 Teorema
Jika ada n buah benda yang berbeda maka banyaknya permutasi (susunan) dan n benda tersebut adalah P(n, n) = n!
Catatan
P(n, n) dibaca permutasi tingkat n dari n
n! = n x (n-1) x (n-2) x … x (3) x (2) x (1) x (0!), dan (0!) = 1
Contoh : Misalkan dalam sebuah kelas yang terdiri atas 6 mahasiswa dan 4 mahasiswai, semua siswa akan disusun berdasarkan hasil ujiannya. Jika tidak ada dua orang atau lebih yang mendapatkan nilai sama, maka banyaknya urutan yang mungkin adalah :
10 ! = 3628800
Jika yang pria diurutkan sesame pria lalu diikuti oleh wanita yang diurut sesame wanita, maka banyaknya jenis urutan yang mungkin adalah
2x6 ! x 4 ! = 2x 17280= 34560
Teorema.
Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda jika diambil r benda sekaligus (disebut permutasi tingkat r dari n) adalah:
P(n,r) = ( ) Contoh:
Suatu panitia yang terdiri dari 3 orang dengan rincian seorang sebagai ketua, seorang sebagai sekretaris, dan seorang sebagai bendahara akan dipilih dari 8 orang yang tersedia. Seorang panitia tidak boleh merangkap jabatan. Maka banyaknya susunan panitia berbeda yang mungkin adalah :
P(8,3) = 8!/5! = 336 buah.
d. Kombinasi
Dalam banyak hal kadang-kadang kita ingin mengetahui banyaknya cara memilih r buah benda dari n benda yang ada tanpa memperhatikan urutan benda terpilih. Pemilihan seperti ini disebut kombinasi.
Definisi 2.5.1.
Kombinasi adalah kelompok yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang dipilih sebagian atau seluruhnya.
Sebagai ilustrasi misalkan kita memiliki empat huruf yaitu A, B, C, D dan dari huruf tersebut dipilih tiga huruf tanpa memperhatikan susunan huruf terpilih. Maka banyaknya kombinasi dari huruf terpilih adalah ABC, ABD, ACD, BCD yaitu 4 buah kombinasi, yang sebenarnya dapat dihitung sebagai :
( )
Teorema.
Banyaknya kombinasi dari n benda yang berbeda jika dipilih sebanyak r buah benda adalah ( ) ( ) ( )
Contoh :
Misalkan sebuah panitia yang terdiri atas 3 orang yang akan dipilih dari 4 pasang suami istri yang tersedia, maka banyaknya panitia berbeda yang dapat dibentuk adalah :
( )
( ) 4. Peluang Suatu Kejadian a. Peluang Klasik
Definisi : Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N titik contoh yang saling berpeluang sama, dan jika tepat ada sebanyak n dari titik contoh tersebut merupakan unsure dari kejadian E, maka peluang kejadian E adalah
( ) ( ) ( ) Contoh :
1. Berapa peluang pengambilan sebuah kartu As dari sebuah kartu bridge. Penyelesaian : n (S)=
banyaknya kartu bridge = 52, n (E)= banyaknya kartu As=4 P(E) = 4/52
2. Dua orang dipilih untuk menjadi panitia ulang tahun dari 3 orang wanita dan 4 orang laki-laki yang ada. Berapa peluang terpilih satu orang adalah wanita.
n(S)= banyaknya 2 orang terpilih dari 7 orang yang ada = C(7, 2) = 21
n(E)= banyaknya satu orang wanita terpilih dari tiga orang wanita yang ada = C(3,1) C(4,1) =
=3x4 =12 P(E) = n(E)/n(S) = 12/21 = 4/7 b. Peluang secara Subyektif
Tidak semua kejadian dapat timbul secara berulang-ulang seperti serangkaian percobaan atau sampling.
Ada kalanya suatu kejadian atau peristiwa hanya timbul sekali saja. Misalkan, Berapa peluang hidup di mars? Berapa peluang dapat bertahan hidup dalam kondisi dingin?
Peluang demikian dinamakan peluang subjektif atau peluang perorangan. Pada peluang subjektif ini, beberapa individu yang rasional dapat memiliki tingkat keyakinan perorangan yang berbeda meskipun mereka dihadapkan pada kenyataan-kenyataan atau hal-hal yang sama. Karena itu, peluang subjektif tentang suatu peristiwa yang tertentu dapat saja berbeda.
c. Aksioma peluang
Suatu percobaan yang memiliki ruang contoh S, untuk setiap kejadian E, peluang kejadian E, P(E), diasumsikan sebagai suatu bilangan yang memenuhi tiga aksioma berikut antara lain :
1. 0 ( ) 1 2. P(S) =1
3. P(Ec) = 1 – P(E)
4. P (E F) = P(E) + P(F) – P(EF)
5. P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P (EG) – P (FG) + P (EFG) Contoh :
1. Dua keping mata uang seimbang yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama satu sama lainnya dilemparkan satu kali, misalkan E1 adalah kejadian munculnya sisi Gambar pada mata uang pertama, dan E2 adalah kejadian munculnya sisi Angka pada mata uang kedua.
Tentukan
a. Ruang Contoh, Kejadain E1, E2, E1 E2, E1-E2, E1 E2 b. Peluang sisi Gambar hanya muncul pada mata uang pertama
c. Peluang munculnya sisi Gambar pada mata uang pertama atau sisi Agka pada mata uang kedua.
Penyelesaian:
S = {(GG), (GA), (AG), (AA)}
E1= {(GG), (GA)}
E2 = {(GA), (AA)}
E1 E2 = {(GA)}
E1-E2 = {(GG)}
E1 E2 ={(GG), (GA), (AA)}
P(E1-E2) = P(E1) – P(E1 E2) = 2/4- 1/4 = 1/4 P(E1 E2) = P(E1) + P (E2) - P(E1 E2) =2/4 + 2/4 – 1/4 =3/4
2. Sebuah komite yang terdiri dari 5 orang diseleksi dari 6 orang laki-laki dan 9 orang wanita. Jika proses seleksi secara acak, berapa peluang bahwa komite tersebut terdiri 3 laki-laki dan 2 wanita.
Penyelesaian : ( ) ( )( )
( )
5. Peluang Bersyarat
Peluang bersyarat (Conditional probability) digunakan untuk menyatakan peluang untuk suatu kejadian bila kejadian lain telah terjadi. Perhatikan ilustrasi berikut ini :
Misalkan kita menggulirkan dua dadu dan masing-masing dari 36 hasil-percobaan yang ada berpeluang sama untuk terjadi, sehingga peluangnya masing-masing ialah
. Lebih jauh misalkan dadu pertama muncul mata 3. Maka, berapa peluang bahwa jumlah kedua mata dadu yang muncul sama dengan 8? Bila diketahui bahwa dadu pertama muncul mata 3, maka paling banyak ada 6 kemukinan hasil-percobaan, yaitu (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), dan (3,6). Karena setiap hasil-percobaan ini pada mulanya berpeluang muncul sama, maka hasil-hasil percobaan ini juga tetap berpeluang muncul sama. Jadi peluang yang diinginkan ialah .
Jika E menyatakan kejadian diperolehnya jumlah mata 8, sedangkan F adalah kejadian bahwa dadu pertama muncul mata 3, maka peluang yang baru diperoleh di atas dinamakan peluang bersyarat terjadinya E bila diketahuai F telah terjadi, dan dilambangkan sebagai P (E|F)
Ilustrasi di atas memberikan ide bahwa pada kasus diskret dengan peluang sama untuk setiap kejadian dasar
( | )
( ) ( )
asalkan n(B) > 0
atau pada kasus umum
( | ) ( )
( ) Formula peluang bersyarat juga dapat ditulis sebagai
( ) ( ) ( | )
asal P(B) > 0 Contoh :
1. Sekeping uang logam dilemparkan dua kali. Jika diasumsikan bahwa keempat titik di dalam ruang contoh S = {(G, G), (G, A), (A, G), (A, A)} berpeluang muncul sama, berapakah peluang bersyarat kedua lemparan itu menghasilkan sisi gambar, bila diketahui lemparan pertama menghasilkan sisi gambar?
Penyelesaian:
Jika E={G, G } menyatakan kejadian bahwa kedua lemparan menghasilkan sisi gambar, dan F ={(G, G), (G, A)} kejadian bahwa lemparan pertama menghasilkan sisi gambar, maka peluang yang dicari ialah
( | ) ( ) ( )
(*( )+) (*( ) ( )+)
2. Jika ada pesawat datang, radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang 0.99. Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat) dengan peluang 0.1. Asumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke wilayah kita sebesar 0.05. Tentukan besarnya peluang false alarm (tidak ada pesawat, radar mendeteksinya) dan kesalahan deteksi (ada pesawat, tapi radar menyatakan tidak ada).
Penyelesaian :
Misalkan A adalah kejadian pesawat asing memasuki wilayah dan R adalah kejadian radar mendeteksi adanya pesawat Berdasarkan keterangan diperoleh P(A) = 0.05,P(R|A) = 0.99 dan P(R|Ac) = 0.1 Yang ingin dicari adalah P(R Ac) dan P(Rc A)
P(false alarm) = P(R Ac) = P(Ac)P(R|Ac) = 0.95 x 0.1 = 0.095;
dan P(salah deteksi) = P(Rc A) = P(A)P(Rc|A) = 0.05 x 0.01 = 0.0005 6. Peluang Total
Perhatikan gambar berikut
Jika B adalah sebuah kejadian, dan A1, …, An membentuk partisi bagi ruang contoh (saling terpisah dan membagi habis ), maka B dapat dituliskan sebagai gabungan dari irisan B dengan setiap Ai yaitu B = (B A1) (B A2) … (B An)
Dengan demikian peluangnya adalah P(B) = P(B A1) + P(B A2) + … + P(B An) Dan karena P(B Ai)=P(Ai) P(B|Ai) maka
P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2) + … + P(An) P(B|An) (Persamaan 3.3.1) Persamaan di atas dikenal dengan kaidah peluang total
Contoh :
Andaikan jika harga saham hari ini naik, maka peluang besok harganya naik adalah 0.8, dan peluang harga esok hari turun adalah 0.2. Jika harga hari ini turun, maka peluang esok hari naik adalah 0.6 dan turun esok hari 0.4. Diketahui harga hari ini mengalami kenaikan. Berapa peluang pada hari ke-3 berikutnya harga saham akan mengalami kenaikan?
Penyelesaian :
Andaikan Ni adalah kejadian pada hari ke-i harganya naik Ti adalah kejadian pada hari ke-i harganya turun
Yang ditanyakan adalah P(N3)
P(N3) = P(N2) P(N3|N2) + P(T2) P(N3|T2) = P(N2) 0.8 + P(T2) 0.6 P(N2)= P(N1) P(N2|N1) + P(T1) P(N2|T1) = P(N1) 0.8 + P(T1) 0.6 P(T2)= P(N1) P(T2|N1) + P(T1) P(T2|T1) = P(N1) 0.2 + P(T1) 0.4 P(N1) = 0.8
P(T1) = 0.2
dengan memasukkan nilai P(N1) dan P(T1) maka akan diperoleh nilai peluang yang dicari.
7. Kaidah Bayes
Persamaan (3.3.1) telah dijelaskan misalkan bahwa A1, A2, ..., An adalah kejadian-kejadian yang saling menyisihkan sedemikian rupa sehingga
i = S
Dengan kata lain, tepat satu di antara kejadian-kejadian A1, A2, …, An yang akan terjadi.
Dengan menuliskan B =
(B Ai )
Dan dengan meggunakan kenyataan bahwa kejadian-kejadian i , i = 1, … , saling menyisihkan, maka kita memperoleh bahwa
( ) ∑ ( )
∑ ( | )
( )
Sekarang misalkan bahwa B telah terjadi dan kita tahu mana yang juga terjadi. Berdasarkan (Persamaan 3.1.3) kita memperoleh bahwa
( | ) ( ) ( )
( )
∑ ( | ) ( ) ( )
Persamaan (3.5.1) dikenal sebagai rumus Bayes, yang diberi nama mengikuti Thomas Bayes,seorang filsuf berkebangsaan Inggris.
Contoh :
Tiga anggota sebuah organisasi telah dicalonkan sebagai ketua. Peluang tuan Adam terpilih adalah 0.3, peluang tuan Brown terpilih adalah 0.5, dan peluang Nyonya Cooper terpilih adalah 0.2. Seandainya Tuan Adams terpilih, peluang terjadinya kenaikan iuran anggota naik adalah 0.8. Seandainya Tuan Brown atau Nyonya Cooper terpilih peluang kenaikan iuran anggota masing-masing adalah 0.1 dan 0.4. Ternyata iuran anggota naik, berapa peluang Nyonya Cooper menjadi ketua terpilih bagi organisasi tersebut ?.
Penyelesaian :
Peluang Adam terpilih =P(A)=0.3 Peluang Brown terpilih = P(B) = 0.5 Peluang Cooper terpilih = P(C) = 0.2
Peluang iuran naik bila Adam terpilih = P(N|A)= 0.8
Peluang iuran naik bila Brown terpilih= P(N|B)= 0.1 Peluang iuran naik bila Cooper terpilih = P(N|C) = 0.4
Berapa peluang Cooper terpilih bila ternyata iuran telah naik= P(C|N) ? ( | ) ( )
( )
( | ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
~~~~~~~SEKIAN~~~~~
Oleh-Oleh # dikumpulkan Minggu depan Ya…
1. Dua orang dipilih untuk menjadi panitia ulang tahun dari 3 orang wanita dan 4 orang laki-laki yang ada. Berapa peluang terpilih satu orang adalah wanita.
2. Sebuah kotak terdiri dari 3 bola Merah, 2 bola Putih dan 4 bola Kuning. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak, tentukan peluang :
a. Bola yang terambil ketiganya berwarna kuning b. Bola yang terambil paling sedikit 2 bola kuning c. Bola yang terambil berbeda warna
d. Bola yang terambil terdiri dari 2 merah dan 1 kuning
3. Sebuah keluarga mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya adalah perempuan bila yang tertua perempuan?
4. Jika ada pesawat datang, radar mampu mendeteksi secara tepat dengan peluang 0.9.
Jika tidak ada pesawat, radar salah mendeteksi (menyatakan ada pesawat) dengan peluang 0.1. Asumsikan bahwa peluang sebuah pesawat asing masuk ke wilayah kita sebesar 0.05. Diketahui bahwa P(A) = 0.05 P(R|A) = 0.9 dan P(R|Ac) = 0.1. Jika diketahui bahwa radar mendeteksi adanya pesawat, berapa peluang pesawat tersebut benar-benar telah memasuki wilayah yang bersangkutan?
5. Sebuah perusahaan asuransi percaya bahwa orang-orang dapat dibagi atas dua kelompok –yang cenderung mengalami kecelakaan (accident prone) dan yang tidak.
Statistik perusahaan menunjukkan bahwa orang yang cenderung mengalami kecelakaan akan mengalami kecelakaan pada suatu waktu dalam kurun waktu 1 tahun dengan peluang 0.4, sedangkan peluang ini turun menjadi 0.2 untuk yang tidak cenderung mengalami kecelakaan. Bila diasumsikan bahwa 30 persen populasi cenderung mengalami kecelakaan, berapa peluang bahwa seorang pemegang polis baru akan mengalami kecelakaan dalam waktu setahun sejak ia membeli polis tersebut.
