METODE SIMPLEKS 06/10/2014. Angga Akbar Fanani, ST., MT. SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) ~ ~

METODE SIMPLEKS

Angga Akbar Fanani, ST., MT.

SPL Nonhomogen dengan penyelesaian tunggal (unique) Cari penyelesaian dari sistem :

x1– 2x2+ x3= -5

3x1+ x2– 2x3= 11

-2x1+ x2+ x3= -2

Metode Gauss-Jordan:

lakukan OBE, bawa (A G) menjadi bentuk echelon baris tereduksi.

(A G) =                2 1 1 2 11 2 1 3 5 1 2 1 ~                12 3 3 0 26 5 7 0 5 1 2 1               4 1 1 0 26 5 7 0 5 1 2 1 ~ ~               26 5 7 0 4 1 1 0 5 1 2 1  1 2 1 5 Jadi penyelesaiannya : {(2, 3, -1)}. r(A) = 3 r(A G) = 3 n = 3  1 2 1 5 ~              1 1 0 0 3 0 1 0 4 0 2 1 ~           1 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1

Persamaan terakhir menjadi: x1= 2

x2= 3

METODE SIMPLEK

Metode

geometrik

untuk

menyelesaikan

permasalahan linier programming. Metode grafik

hanya

dapat

digunakan

untuk

menyelesaikan

permasalahan dengan 2 variabel dan dengan sedikit

fungsi pembatas.

Apa yang dapat dilakukan dengan permasalahan dengan variabel keputusan lebih dari dua?

Digunakan metode aljabar yang disebut metode

simplek,

yang diekmbangkan

oleh

George

B.

Dantzig

(1914-2005)

pada tahun 1947

ketika

bertugas di Angkatan Udara Amerika.

SIMPLEX METHOD

langkah-1 Tulis persamaan ke dalam bentuk persamaan standar optimasi, tentukan slack variabel. langka h-3 Pilih kolom pivot langkah-5 Pilih elemen pivot dan lakukan operasi pivot. STOP

Solusi optimal telah didapatkan

STOP

Permasalahan linier programming tidak memiliki solusi optimal langkah 3 apakah terdapat indikator negatif pada baris Zj? langkah 4 Apakah terdapat elemen positif pada kolom pivot, diatas garis tebal? langka h-2 Buat tabel standar simplek

Untuk menyelesaikan permasalahan linier programming dalam bentuk standar, terapkan langkah berikut:

1- Rubah pertidaksamaan dalam fungsi tujuan menjadi sebuah

persamaan dengan menambahkanslack variables.

2- Buattabel awal simplek.

3- Pilihpivot column. ( kolom dengan nilai negatif terbesar pada baris Zj)

4- Pilihpivot row. (baris dengan nilai non negatif terkecil ketika besaran

dari ruas kanan dibagi dengan elemen dari kolom pivot.)

5-Lakukan operasi baris elementer untuk menghitung nilai baru dari baris pivot sehingga pivot bernilai 1 (membagi setiap anggota baris

denganpivot number.)

6- Lakukan operasi baris elementer untuk membuat semua angka pada pivot kolom bernilai 0 kecuali pivot number. Jika semua nilai pada baris Zj ernilai positif atau nol, maka ini merupakan tabel akhir. Jika tidak kembali ke langkah 3.

7- jika sudah diperoleh tabel akhir, maka linier programing telah mendapatkan solusi optimal yaitu terletak pada sudut kanan baris Zj.

Indeks

Pivot Column: kolom dari tabel yang merepresentasikan

variabel yang dimasukan kedalam tabel solusi.

Pivot Row: Baris dari tabel yang merepresentasikan variabel

yang dikeluarkan dari tabel solusi.

Pivot Number: Element pertemuan antara pivot column dan the

pivot row.

Slack Variabel: merepresentasikan sumber daya yang tidak

Tebel Simplek

Sebagian besar permasalahan pada dunia nyata

seringkali terlalu kompleks untuk diselesaikan

dengan metode grafik. Permasalahan tersebut

memiliki banyak

titik

untuk dievaluasi dan

pengerjaan

aljabar

akan

panjang

.

Tabel simplek

merupakan langkah yang

sistematis

untuk mengevaluasi gabungan dari bebrapa

variebel

dalam rangka untuk mendapatkan slusi

terbaik.

Semua variabel solusi

Variabel basis koefisien

0

Contoh soal

Perusahaan furnitur ABC memproduksi meja dan

kursi. Setiap meja membutuhkan 4 jam kerja

dari tukang kayu dan dua jam kerja dari bagian

finishing. Sedangkan setiap kursi membutuhkan

3 jam tukang kayu dan 1 jam finishing. Dalam 1

minggu tersedia 240 jam tukang kayu dan 100

jam jam finishing. Setiap meja menghasilkan

keuntungan

Rp.

70,-

dan

setiap

kursi

menghasilkan keuntungan Rp. 50,-. Berapakah

kursi dan meja yang harus diproduksi?

Semua informasi terkait contoh soal

Sumber daya Meja ( ) Kursi ( ) batasan Tukang kayu (jam) 4 3 240 Finishing (jam) 2 1 100 keuntungan 70 50 1 x x₂ Fungsi tujuan Batasan tukang kayu Batasan finishing Batasan non negatif

1 2 70 50 P x  x 1 2 4x 3x 240 1 2 2x 1x 100 1, 2 0 x x 

Langkah 1

Langkah pertama metode simplek adalah merubah pertidaksamaan menjadi persamaan. Tanda kurang dari (≤) atau lebih dari (≥) dirubah menjadi sama dengan menambahkan slack variabel.

Asumsikan sebagai jam tukang kayu dan sebagai jam finishing yang belum digunakan dalam 1 minggu. Fungsi batasan akan menjadi;

atau

Sumber daya yang tidak digunakan tidak menghasilkan keuntungan, slack variabel dapat dimasukan dalam fungsi objektif dengan koefisien nol (0) :

1 2 1 1 2 2 4 3 240 2 100 x x s x x s       1

s

s

2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3 0 240 2 0 100 x x s s x x s s         1 2 1 2 1 2 1 2 70 50 0 0 70 50 0 0 0 P x x s s P x x s s         

Permasalahan tersebut dapat diselesaikan sebagai 3

persamaan linier dengan 5 variabel dengan P

merupakan nilai maximum;

Kemudian, sisetm persamaan linier dapat ditulis dalam sebuah matik berukuran 3x6. Tabel awal adalah sebagai berikut; 1, 2, , ,1 2 x x s s P 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3 0 240 2 0 100 70 50 0 0 0 x x s s x x s s P x x s s             

Basic variabel x1 x2 S1 S2 P Right Hand Side S₁ 4 3 1 0 0 240 S₂ 2 1 0 1 0 100 P -70 -50 0 0 1 0

Solusi berdasarkan tabel awal;

Pada tabel awal simplek variabel S1 and S2masuk kedalam solusi. Solusi

awal menggunakan asumsi bahwa semua sumber daya jam kerja belum digunakan. Dengan demikian slack variabel memiliki nilai terbesar.

1 0, 2 0, 1 240, 2 100, 0 x  x  s  s  P

Langkah 2

Variabel yang berada pada tabel solusi disebut variabel basis (basic variabel). Setiap variabel basis bernilai sesuai dengan nilai pada RHS (right hand side). Sedangkan semua variabel selain variabel basis bernilai nol (0). Pada proses simplek, variabel basis pada tabels solusi

digantikan oleh variabel lain yang tidak berada pada tabel solusi. Nilai dari variabel yang keluar dari tabel solusi nilainya menjadi nol (0).

Pilih kolom pivot (tentukan variabel yang akan masuk ke dalam tabel solusi). Pilih kolom dengan nilai negatif paling besar pada baris fungsi tujuan.

Langkah 3

variabel basis x1 x2 S1 S2 P Right hand side S₁ 4 3 1 0 0 240 S₂ 2 1 0 1 0 100 P -70 -50 0 0 1 0 Pivot column

x1 seharusnya masuk ke tabel solusi dikarenakan setiap unit x1

(meja) berkontribusi keuntungan sebesar 70 lebih besar dari kursi yaitu sebesar 50.

Langkah 4

Dikarenakan nilai fungsi tujuan untuk pivot

kolom bernilai negatif.

langkah 5

Pilih baris pivot (variabel yang akan dikeluarkan dari tabel solusi). Bagi elemen Right hand side (RHS) untuk setiap baris dengan elemen dari olom pivot. Baris pivot adalah baris dengan hasil pembagian yang bernilai non negatif paling kecil.

variabel basis x1 x2 S1 S2 P Right hand side S₁ 4 3 1 0 0 240 S₂ 2 1 0 1 0 100 P -70 -50 0 0 1 0 240 / 460 100 / 250

Pivot column Pivot row

masuk

keluar

Pivot number

Masukan x1 pada menjadi variabel basis. 60 meja dapat diproduksi

berdasarkan batasan 240 jam kerja tukang kayu, namun hanya 50 meja yang dapat diproduksi berdasarkan batasan 100 jam kerja finishing. Sehingga

Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai baru dari baris pivot, yaitu dengan membagi setiap elemen dengan pivot number.

variabel basis x1 x2 S1 S2 P Right hand side S₁ 4 3 1 0 0 240 x₁ 1 1/2 0 1/2 0 50 P -70 -50 0 0 1 0 2 2 R

variabel basis x1 x2 S1 S2 P Right hand side S₁ 0 1 1 -2 0 40 x₁ 1 1/2 0 1/2 0 50 P 0 -15 0 35 1 3500 2 1 4.R R   2 3 70.R R

Lakukan operasi baris elementer sehingga semua elemen dari kolom pivot menjadi nol (0) kecuali pivot number yang harus bernilai satu (1).

Dikarenakan 50 meja diproduksi sehingga jam kerja tukang kayu yang belum digunakan berkurang sebesar 200 (4 jam/meja dikalikan 50), sehingga akan bernilai 40 dari sebelumnya 240. memproduksi 50 meja akan menghasilkan keuntungan sebesar 3500.

Sehingga solusi baru ,

Selanjutnya ulangi langkah hingga semua nilai pada baris fungsi tumenjadi variabel basis.

Pilih kolom pivot baru. Masukan x2should enter into the solution mix.

Pilih baris pivot baru, keluarkan S1 dari variabel basis,ganti dengan x2.

1 50, 2 0, 1 40, 2 0, 3500 x  x  s  s  P variabel basis x1 x2 S1 S2 P Right hand side S₁ 0 1 1 -2 0 40 x₁ 1 1/2 0 1/2 0 50 P 0 -15 0 35 1 3500 40 /140 50 / 0,5 100 Enter Exit

variabel basis x1 x2 S1 S2 P Right hand side x₂ 0 1 1 -2 0 40 x₁ 1 0 -1/2 3/2 0 30 P 0 0 15 5 1 4100

Hitung nilai baru bagi baris pivot. Dikarenakan pivot number sudah bernilai 1, semua nilai pada baris pivot tetap.

Lakukan operasi baris elementer sehingga semua elemen dari kolom pivot menjadi nol (0) kecuali pivot number yang harus bernilai satu (1).

1 2 1 . 2 R R   1 3 15.R R

Jumlah kursi yang diproduksi adalah 40 , sehingga jumlah meja yang diproduks turun 20 (1/2 meja/kursi dikalikan 40). Jumlah meja yang diproduksi turun dari 50 menjadi 30. penurunan 20 meja digantIf 40 chairs are made, then the number of tables are redukan 40 kursi berdampak pada kenaikan keuntungan sebesar 600. keuntungan total berubah dari 3500 menjadi 4100. Pada tabel hasil iterasi kedua didapatkan bahwa semua

elemenya bernilai positif semua, dengan demikian solusi tersebut merupakan nilai fungsi tujuan yang maksimum.

Hasil

Tabel simplek merepresentasikan solusi optimal

untuk permasalahan LP, dengan kombinasi

variabelkeputusan sebagai berikut:

dan fungsi keuntungan atau P= 4100

Solusi optimal (keuntungan maksimal yang

mungkin dihasilkan) adalah dengan

memproduksi 30 meja dan 40 kursi dengan

keuntungan sebesar 4100.

1 30, 2 40, 1 0, 2 0