A B S T R A K. Setiap teori integral selalu memuat masalah sebagai. berikut. Jika untuk setiap n berlaku fungsi f n

A B S T R A K

Setiap teori integral selalu memuat masalah sebagai berikut. Jika untuk setiap n berlaku fungsi f_n terintegral dan barisan fungsi {f_n} konvergen ke f hampir di mana-mana pada selang (a,b), maka syarat cukup apakah yang diperlu-kan agar fungsi f juga terintegral pada selang yang sama dan

1 i m Jbf (t)dt = Jbl i m f (t)dt

n n

n -+ m m

Untuk integral Lebesgue syarat cukup yang dimaksud telah terumuskan menjadi beberapa bentuk, antara lain jika if )

n merupakan barisan terdominasi atau jika fungsi asal

Lebes-gue fn kontinu mutlak seragam pada [a,b). Untuk integral Henstock syarat cukup yang dimaksud telah terumuskan dalam beberapa bentuk, antara lain jika {f_n} merupakan barisan konvergen terkendali ke f pada lad)) atau If } merupakan

n

barisan terdominasi. Sekarang masalah tersebut di atas a-kan diteliti untuk integral tumpat Bullen.

Integral _{tu mpat} Bullen dibangun berdasarkan atas pengertian partisi liput penuh tumpat. Liput penuh tumpat merupakan pengitlaktumpatan liput penuh. j adi integral tum-pat Bullen merupakan pengitlaktumtum-patan integral Henstock. Oleh karena itu, setelah menelusuri pengertian dasar pengi-tlaktumpatan, jikalau mungkin disusun lebih dahulu bentuk

itlak tumpat setiap pengertian yang berkaitan dengan inte-gral Henstock. Sebagai contoh pengertian limit

diitlaktum-patkan menjadi pengertian limit tumpat, pengertian tu-runan diitlaktumpatkan menjadi pengertian tutu-runan tumpat, pengertian kekontinuan diitlaktumpatkan menjadi pengerti-an kekontinupengerti-an tumpat, dpengerti-an seterusnya. Pengertipengerti-an-penger- Pengertian-penger-tian dalam bentuk tumpat seperti itu banyak yang telah di-rumuskan. Dengan Cara yang sama pengertian barisan fungsi konvergen seragam dapat diitlaktumpatkan menjadi

penger-tian bentuk tumpatnya yaitu pengerpenger-tian barisan fungsi kon-vergen tumpat lokal. Dengan Cara seperti itu penelitian

ma-salah tersebut di atas dikerjakan.

Hasil-hasil penelitian dapat dirumuskan sebagai beri-kut. Jika f e R (a,b), yaitu f terintegral tumpat Bullen_ap pada [a,b) untuk setiap n dan {fn} konvergen ke f hampir di mana-mana pada (a,b], diperoleh tiga pasang rumusan sya-rat cukup agar f E R (a,b] dan_e.p

1 i m (R )fbf (t)dt = (Rx ) f 1 i m f (t)dt

n -i m nP a n ap a n -i m n

Tiga pasang syarat cukup yang dimaksud ternyata ekuivalen dan masing-masing sebagai berikut :

a. (i) { F } konvergen tumpat lokal ke F pada [a,b] de-_n ngan F sebagai fungsi asal-R _ap fungsi f , dan

k

(ii) F e ACG (a,b) seragam._{n ap}

b. (i) dan

(iii) Ada barisan himpunan tutup {X. } dengan [a,b] _

U X, dan untuk setiap c > 0 dan i ada bilangan asli n sehingga untuk setiap k c (0,1) dan

3 ak, (ik e X. ( k=1,2, ... ,p ) dengan ak< Ok5 a k«s ada himpunan EX k C [ a_k,0k) dengan ak, (ik E Ek, a(EX) (1-X)(flk-ak) dan p k

£

i

0(F

m

-F

n;E k

)

< c untuk setiap n,m n.. c. (1) dan

(iv) Para fn paling sedikit mempunyai satu fungsi

ma-• *

yor-Pa_P dan satu fungsi minor-P_{_ oP} secara bersama. Selain tiga pasang syarat cukup di atas Juga dapat disusun syarat-syarat cukup yang lain, tetapi masing-masing dapat dipandang sebagai akibat salah satu syarat cukup di atas. Di bawah ini ditulis syarat-syarat cukup yang dimaksud.

-

F

n E AC[a,b) seragam.

- Ada fungsi G,H E C [a,b) n ACG [a,b) sehingga G(u,v) <__{op op}

F (u,v)

_{n 5 N(u,v) untuk setiap u,v e (a,b) dan u < v.}

k

- Ada fungsi g,h e Rap[a,b1 sehingga g(x) 5 f(x) 5 h(x)_n

hampir di mana-mana pada [a,bl.

- fs(x) <_ fi(x) 5 fa(x) 5... hampir di mana-mana

pada (a,bl dan

{F

n

(a,b)}

konvergen.

- ( F } konvergen tumpat lokal ke f pada [a,bl.

Fungsi f dikatakan terintegral-RDap pada [a,b1 jika

ada barisan fungsi langkah (O

n

} _{yang konvergen} t...,_4.,.

ke f pada tad)), yaitu

{0

n

}

konvergen ke f hampir

at

mana-mana pada (a,bl dan memenuhi kondisi (a). Dengan mengguna-kan pengertian itu definisi tipe Riesz untuk integral tumpat Bullen dapat dirumuskan sebagai berikut :

Fungsi f terintegral tumpat Sullen pada [a,bl Jika dan hanya jika f terintegral-RD pada [a,b1 dan

A B S T R A C T

For every n let the function fn be integrable in some

sense on [a,b] and the sequence

{id

convergent to f

almost everywhere on [a,b]. A common but interesting problem is to find sufficient conditions in order that f will be

integrable on [a,b] and J b_{f(t)dt = 1 i m f}b_{f (t)dt. In the}

° a m

case of Lebesque"s integral, several such sets of conditions have been established, for instance that all the functions

f are dominated by one integralble function or, that all

the primitives of 7 are uniformly absolutely continuous on [a,b]. In the case of Henstock"s integral, it is sufficient

that the sequence {it } converges in the controlled sense

or, that all the functions are dominated by some integral function.

This dissertation is concerned with seeking solutions for the above problem in case of the approximately

continuous integral of Sullen. This integral is based on the concept of an approximately full cover, which is an

approximate generalization of a full cover. Therefore

Builen"s approximate continuous integral is the approximate generalization of Henstock"s integral.

It is therefore logical that the search for those sufficient conditions starts with formulating approximate generalizations for concepts and notions associated with the Henstock"s integral and convergence of functions. The new concepts include : limits, derivatives, primitives,

continuity, absolute continuity, local convergence and controlled convergence of functions.

Let R

ap

[a,b] denote the class of all approximately continuously integrable functions on [a,b] and for f e R

op

[a,b] let CR* _)fb

f(t)dt be its Bullen integral over [a,b]. The main result of this dissertation can be formulated as follows.

Suppose the sequence of functions if

a1 in _Rap* fast)]

converges almost everywhere on [a,b] to the function f and for each n let F be its Bullen R* _-primitive.

n ap

Then, the three following conditions are equivalent and are sufficient to insure that f c R* [a,b] and

(Rap)fbf(t)dt = 1 i m (Rap)fbjn(t)dt :

n -, co a

(a) (i) the sequence {Fn} converges locally approximately

to F on [a,b] and

(ii) the functions Fne ACG* [a,b] uniformly.

(b) (1) and

(ill) There is a sequence of closed sets {X.} such that

[a,b] = U X_, and for every e > 0 and i there is a

positive integer n, such that for any X e (0,1) and a_k, (3_{k e X (k=1,2,...,p) with} a_k<(3_k 5 a_kts

there is a set EXk c [a_{k ,Pk ] with} a_k , (3_k a Ek,

N(E

k

3 p E o(Fm F ;E k ) < e n k-1 for every n,m ? n.. (c) (1) and

( iv) f have at least one common R

ap

-major function

and at least one common R *_ap-minor function on

[a,b].

Furthermore, other sufficient conditions can be derived as a corollary of condition (a), (b), or (c).

(d) There exist G,H E C_ap[a,b] n ACG

ap

[a,b] such that

G(u,v) F (u,v) H(u,v) for every u,v e [a,b] and u < v.

(e) There exist 8,h e R*_ap[a,b] such that g(x) f(x)_n

5 h(x) almost everywhere on [a,b].

(f) fi( x) 5 fz( x) fa(x)... almost everywhwre on

[a,b] and the sequence {F (a,b)} is convergent.

(g) {F } is locally approximately convergent to / on [a,b].

Based on the above main results, we may construct a type Riess definition of the approximately continuous

integral of Sullen as follows. A function f is said to be

RD_up-integrable on[a,b] if there exists a sequence of simple

to f on [a,b], i.e., {0_,1 _{converges to f almost everywhere}

on Ca,b] and satisfies the condition (a). Using RD * _-integral,

np the Riess type definition of the approximately continuous

integral of Bullen can be formalated as follows.

A function f is approximately continuous integrable

of Bullen on [a,b] if and only if f is RD*_-integrable

on [a,b] and (R

ap