BILANGAN DAN SISTEM BILANGAN (aisyah)

BILANGAN DAN SISTEM BILANGAN St Aisyah S

I. PENDAHULUAN

Konsep bilangan awalnya hanyalah untuk kepentingan menghitung dan mengingat jumlah. Lambat laun setelah para ahli matematika menambah perbendaharaan symbol dan kata tepat untuk mendefinisikan bilangans bahasa matematika menjadi suatu yang penting dalam setiap perubahan kehidupan. Apalagi bilangan selalu hadir dalam setiap perkembangan teknologis sainss en.konomis bahkan dalam dunia music dan hiburan

Dahulus ketika orang primitive hidup di gua-gua dengan mengandalkan makanannya dari tanaman dan pepohonan disekitar gua atau berburu untuk sekali makans kehadiran bilangans hitung menghitung tdak terlalu di butuhkan.Tapi tatkala mereka mulai hidup untuk persediaan makanan s mereka harus menghitung berapa banyak ternak miliknya dan berapa banyak milik tetangganya.maka mulailah mereka membutuhkan hitung menghitung

Pada awalnya hanya menggunakan konsep lebih sedikit atau lebih banyak untuk melakukan perhitungn. Misalnya membandikan dua kelompok kupu-kupu yang berbeda banyaknyas mereka hanya membandingkan sedikit banyaknya kedua kelompok kupu-kupu tersebut. Akan tetapi kepastian jumlah tentang milik seseoran tersebut atau milik orang lain mulai dibutuhkan sehingga mulai mengenall dan belajar perhitungan sederhana. Mula- mula manusia menggunakan kerikils menggunakan simpul talis menggunakan jari jemari atau memakai ranting untuk menyatakan banyaknya hewan dan kawanannya. Atau anggota keluarga yang tinggal bersamanya. Inilah dasar pemahaman tentang konsep bilangan.Ketika seorang berpikir tentang bilangan dua maka dalam benaknya tertananm pengertian benda sebanyak dua buah misalnya dua kupu-kupu.

menggambarkan bilangan itu dalam suatu lambang. Lambang (symbol) untuk menulis suatu bilangan yang disebut angka.

Lambang bilangan dibuat oleh suatu suku bangsa untuk membuat sebuah system penulisan bilangan yang berlaku untuk bangsanya seperti bangsa maya pada 500 tahun SMs bangsa babilonias bangsa arabs mesir kunos scina kuno dan hindu-arab kuno.bangsa romawi kuno. Bangsa Romawi menggunakan angka-angka sebagai system bilangan romawi berbentul huruf-huruf seperti Is IIs IIIs IVs …s XXs Ls Cs Ds M yang hingga saat ini masih di pergunakan untuk penulisan nomor bab dalam penulisan karya ilmiah

Dalam perkembangan selanjutnyas angka hindu arab kuno ditemukan dalam manuskrip Spanyol abad X dan menjadi cikal bakal bagi angka-angka yang dipakai sekarang ini

II. Sistem Bilangan

Aritmetika disebut jug Ilmu hitung adalah bagian matematika yang membahas bilangan berikut operasinya.Secara sederhana dapat dinyatakan bahwa aritmetika adalah ilmu hitung tentang bilangan .Di pendidikan dasar dipelajari penjumlahan (lambang “ +”)s pengurangan (lambang “ – “)s perkalian (lambang” x “ atau “ .” )spembagian (lambang” :”)sperpangkatan (lambangnya berupa besarnya pangkat dengan diletakkan secara uppercases pangkat 2 atau kuadrat misalnya…..2_{s penarikan akar (lambing” √a untuk akar}

pangkat dua dari as untuk akar pangkat n dari a dan logaritma (lambang g_{log a atau log}

g a untuk logaritma a dengan pokok

logaritma g. Disamping itu juga digunakan pasangan kurung “(…)” untuk mengelompokkan suatu jenis operasi. Jika demikians maka bila ada bilangan langsung didepan atau dibelakang kurungs maksudnya bilangan tersebut dikalikan dengan bilangan yang ada di dalam kurung. Misalnya 2(2 + 4) adalah 2 dikalikan dengan hasil penjumlahan 3 dan 4

itu sendiri (tunggal)s misalnya perpeangkatans Operasi biner menyangkut dua bilangan dalam himpunan yang bersangkutan.

Dalam suatu operasi bilangan yang memuat berbagai macam operasis telah disepakati bahwa:

(i) Untuk menandakan bahwa suatu operasi dua bilangan harus didahulukan maka digunakan tanda kurung buka dan tutup melingkupi kedua bilangan tersebut beserta operasinya. Jika dieprlukan maka mungkin diperlukan lebih dari satu pasang kurung buka dan tutups jika demikian maka operasi di antara pasang kurung yang terdalam mendahului operasi di dalam pasangan di luarnya.

(ii) Perkalian dan pembagian mempunyai “kekuatan” sama artinya dioperasikan sesuai urutannya

(iii) Penjumlahan dan pengurangan mempunyai “ kekuatan “ sama artinya dioperasikan sesuai urutannya.

(iv) Perkalian dan pembagian lebih kuat dari penjumlahan dan pengurangan

Pada dasarnya perpangkatan dan penarikan akar merupakan operasi unarsyang operasinya terhadap sebuah bilangan tertentus sehingga tidak selalu dapat dilakukan terhadap masing-masing bilangan yang dinyatakan dalam bentuk operasi. Jika kemudian ada yang dapat dilakukans hal tersebut hanya terbatas untuk operasi tertentu saja. Misalnya (3 + 4)2 _{≠ 3}2 _{+ 4}2 _{tetapi ( 3 x 4)}2 _{= 3}2 _{x 4}2

√4+9 ≠ √4 +√9s tetapi √4x9 = √4 x√9

III.Mengenal Berbagai Jenis Bilangan

Jenis atau macam bilangan berkembang bersamaan dengan perkembangan jaman dan digunakan untuk mengungkapkan sesuatu.Awalnya untuk mengungkapkan banyaknya sesuatus oleh keperluan berikutnyas operasinya memerlukan ungkapan-ungkapan yang lebih lanjut namun perlu juga lebih sederhana.Demikianlah maka ungkapan yang kemudian diwujudkan dalam berbagai lambang juga berkembang.

bakal bagi angka-angka yang dipakai sekarang ini. Namun demikian pada zaman modern sekarang inis system penulisan bilangan yang dikenal dan dipakai oleh hampIr setiap bangsa yang ada di dunia adalah system penulisan bilangan yang dikembangkan oleh bangsa Arab dengan “angka Arab” angka-angka pokoknya adalah 0s1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s sedangkan angka yang lebih dari 9 ditulis dengan mengkombinasikan angka-angka pokok tadi. Misalnya bilangan sepuluh ditulis sebagai “10” yaitu kombinasi angka 1 dan 0 denikian juga bilangan duapuluhmpat ditulis sebagai “ 24”yaitu kombinasi 2 dan 4

Dari system penulisan angka tadi s kemudian orang-orang mulai memberi nama-nama khusus terhadap bilangan tertentu yang dikembangkan oleh bangsa Arab itu untuk kepentingan tertentu. Misalnyas untuk keperluan hitung menghitungs maka orang mulai memerlukan “bilangan penghitung”(counting number)” yaitu bilangan 1s 2s 3s 4s 5s …s dan seterusnyas dimana 3 titik setelah bilangan 5 mencirikan bahwa bilangan itu masih diteruskan sampai tak ada batasnya dengan aturan bahwa bilangan berikutnya diperoleh dengan menambah 1 kepada bilangan sebelumnya.Dari perkembngan tersebut kini kita mengenal beberapa jenis bilangan antara lain:

1. Bilangan bilangan penghitung 1s 2s 3s 4s 5s ….sekarang dikenal dengan bilangan asli. Dan apabila dihimpun menjadi sebuah himpunan maka disebutlah himpunan itu dengan himpunan A 2. Untuk keperluan dalam aljabarsmisalnya persamaan 3x + 5 =

11s tidak memiliki penyelesaian apabila x peubah bilangan asli s karena x yang memenuhi persamaan itu adalah – 2 bukanlah bilangan aslis sehingga orang-orang kemudian memperluas bilangan asli menjadi bilangan bulat.Apabila dihimpun menjadi sebuah himunan maka disebut himpunan bilangan bulat

Bilangan bulat :{ …-3s -2s -1s 0s1s 3s ..} 3. Bilangan Cacah : 0s 1s 2s 3s ………

4. Bilangan rasional : Bilangan yang dapat dinyatakan dalam

semua bilangan rasional dinyatakan R = { a_b ∣ a s b R dan b ≠∊

0 }

Misalnya ₁₇8 ,24₅₇s 3 =6₂

Diantara bilangan rasional ada yang merupakan bilangan bulat ada pula yang merupakan bilangan pecah.Jika bilangan rasional bentuk decimals maka bagian decimal memiliki perulangan. Perulangannya merupakan sejumlah angka tertentu atau pada 0 ( nol) contoh

1

5=0,200000000000000000…

1₇=0,142857142857142857142857

Bilangan decimal yang berulang dengan 0s perulangannya

tidak dituliskan sehingga ditulis 1₅=0,2

Bagian decimal yang tidak 0 dituliskan sebagai berikut 1

7=0,142857142857142857142857 =0, 142857atau0,142857

Apakah setiap bilangan bulat merupakan bilangan rasional ? Jawabannya yak arena setiap bilangan bulat dapat ditulis dalam

bentuk a_b ∣ a s b R dan b ≠ 0s sehingga semua himpunan∊

bilangan bulat merupakan bagian dari himpunan bilangan rasional atau B ⊂ R

5. Bilangan irasional :Bilangan yang muncul karena tidak

ditemukannya bentuk a_b yang dapat mewaklilinyas meskipun

dalam keseharian sering dijumpai.Hali ini memunculkan bilangan dengan lambang yaitu √2s yang merupakan salah satu contoh bilangan irasional. Jika dinyatakan dalam bentuk decimals maka bagian desimalnya tidak pernah terjadi perulangan.

6. Bilangan reals yang memuat kelima macam bilangan diatas . dituliskan dalam himpunan bilangan Real dilambangkan dengan R

7. Bilangan Imajiners yang muncul misalnya dengan tidak ditemukan nilai √−1 di antara bilangan real

8. Bilangan Kompleks yang merupakan gabungan bilangan real dan imajiners yaitu bilangan yang berbentuk a + bi dengan a dan b bilangan real dan I = √−1. Bilangan real a disebut bilangan reals sedangkan bilangan real b disebut bagian imajiner

Selain jenis-jenis bilangan diatas dikenal pula jenis bilangan lainnyas misalnya

1. Bilangan primas yaitu bilangan asli yang memiliki tepat dua factor yang berbedas yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh : 1s2s3s5s7s11s…

Beberapa bilangan prima palindrome (bilangan yang jika lambangnya dibaca dari depan dan belakang sama dan agak khusus diantaranya

2. Bilangan komposit adalah bilangan asli bukan 1 dan bukan bilangan prima

3. Bilangan sempurna adalah bilangan yang jumlah semua pembagiannya kecuali dirinya sendiri sama dengan bilangan tersebut. Contoh : 6 = 1+2+3 dan 28 = 1+2+4+7+14

4. Bilangan berkekurangan adalah bilangan yang jumlah semua pembagi kecuali dirinya sendiri kurang dari bilangan tersebut.Contoh :14 karena 1+2+7<14

5. Bilangan berkelebihan adalah bilangan yang jumlah semua pembagi kecuali dirinya sendiri lebih dari bilangan tersebut.Contoh : 12 karena 1+2+3+4+6.12

6. Bilangan kuadrat diartikansebagai bilangan yang merupakan kuadrat sempurnadari sebuh bilangan asli. Contih 22 _{= 4}

8. Bilangan aljabar adalah bilangan yang merupakan akar dri suatu persamaan suku banyak. Contoh : anxn + an-1xn-1+ an-2x n-2_{+…+ a}

2x2+ a1x+ a0 = 0

9. Bilangan transendetal adalah bilangan real yang bukan aljabar. Contoh π

IV. Sistem Bilangan Real

Jika R adalah himpuna bilangan reals maka untuk setiap a+b = cs system bilangan real berlaku sifat t

a. Sifat tertutup (Closure) : untuk setiap asb Rs jika a+b = c∊ dan a x b = ds maka

(i) c R dan∊ (ii)d R∊

b. Sifat Assosiatif (pengelompokan). Untuk setiap as bs cs R∊ berlaku

(i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii)a x (b + c) = (a + b) x c

c. Ada elemen netral (unsure identitas)s yaitu 0 (n0l)pada penjumlahan dan 1 pada perkalian .Untuk setiap a R maka∊

(i) a +0 = a = 0 +a (ii)1 x a = a = a x 1

d. Elemen invers (lawan). Setiap bilangan real a mempunyai invers penjumlahan (aditif) yaitu –a (baca : negative a). dan untuk setiap a R dan a≠ 0 mempunyai sebuah invers∊

perkalian 1_a (kebalikan dari a).

e. Sifat komutatif. Untuk setiap as b Rs maka berlaku∊ (i) a + b = b+ a

(ii)a x b = b x a

f. Distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.Untuk setiap as bs R berlaku∊

Pada penjumlahan “ +” adalah lambang untuk operasi penjumlahan atau pertambahans sehingga kalimat matematika jumlah delapan dan lima sama dengan 13 ditulis secara singkat dengan “ 8 + 5 = 13 ”.Tandan + mulai dipakai pada abad ke -15 untuk menandai karung padi-padian atau gandum yang melebihi besar yang ditentukan sebelumnya. Sifat-sifat operasi penjumlahan sebagai berikut

1. Himpunan semua bilangan real tertutup terhadap operasi penjumlahans yaitu untuk setiap bilangan real a + bs maka a + b merupakan bilangan real

2. Operasi penjumlahan bersifat komutatifs yaitu untuk setiap bilangan real a dan b berlaku a + b =b +a

3. Operasi penjumlahan bersifat assosiatifs yaitu untuk setiap bilangan real as b dan c berlaku a + (b + c) = (a + b) + c

4. Operasi penjumlahan berlaku Unsure identitas yaitu 0s karena setiap bilangan real a berlaku

a + 0

5. Setiap bilangan real a memiliki lawan terhadap operasi penjumlahan yaitu (-a)s karena a + (-a) = (-a) + a = 0

2. Pengurangan

Operasi kurang adalah lawan (invers) dari operasi tambahs misalnya “ 6 dikurangi dengan 5” sama artinya dengan “ 6 ditambah dengan lawan dari 5” sehingga 6 – 5 = 6 + (-5) = 1

Contoh 5 – 9 = 4 + (-9) = - 5

-4 – 12 = -4 + (- 12) = - -16 8 – ( - 15) = 8 + (+15)

-23 – (- 17) = -23 + 17 = -6

Jadi untuk setiap bilangan a dan b berlaku a – b = a + ( -b)s yaitu mengurangi dengan sebuah bilangan sama dengan menambah dengan lawan dari bilangan itu

Perkalian adalah penjumlahan yang berulang. Maksudnya 3 x 5 sama artinya 5 + 5 + 5 sehingga 3 x 5 = 5 + 5 + 5 s Begitu pula yang dimaksud 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

Didalam aljabar yang dimaksud dengan 3 x a = a + a + a dapat ditulis secara singkat dengan 3as dalam hal ini tanda “ x” atau kali tidak ditulis lagi

Operasi perkalian memiliki sifat-sifat yaitu

1. Komutatif (pertukaran) yaitu untuk setiap bilangan real a dan b berlaku a + b = b + a

2. Assosiatif ( pengelompokan ) yaitu untuk setiap tiga bilangan real as bs c berlaku a + (b + c ) = (a + b) + c

3. Perkalian memiliki unsure identitas kali yaitu 1s sebab untuk setiap bilanganreal a berlaku a x 1 = 1 x a = a

4. Perpangkatan

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang. Misalnya tulisan 2 x 2 x 2 dapat disingkat 2 3_{s sehingga 2 x2 x2 = 2} 3_{. Angka 3 disebut pangkat sedangkan angka 2 pada 2} 3 _disebut

bilangan pokok ( bilangan yang dipangkatkan)

Di dalam aljabar yang dimaksud p3 _{adalah p x p x p s}

sehingga p3 _{= p x p x p}

Karena p2 _{= p x p dan p}5 _{= p x p x p x p x p sehingga p}2 _{x p}5 _{= (p x}

p) x (p x p x p x p x p ) = p x p x p x p x p x p x p = p7

Berdasarkan penjelasan diatass ternyata untuk bilangan – bilangan cacah m dan n selalu berlaku am _{x a}n _{= a}m + n

5. Pembagian

Pembagian merupakan lawan dari perkalian. Maksudnya kalimat pembagian 10 : 2 sama artinya dengan kalimat perkalian 2 x 5 = 10 atau 5 x 2 = 10

Kesimpulan

4s 5s 6s7s 8s9. Jenis bilangan dikembangkan untuk keperluan tertentusmisalnya keperluan hitung menghitung. Dari perkembangan tersebut maka dikenal jenis bilangan diantaranya: bilangan asalis bilangan cacahs bilangan bulats bilangan rasionals bilangan irrasinals bilangan reals bilangan imajiners dan bilangan kompleks. Selain itu juga terdapat jenis bilangan lain yakni bilangan primas bilangans komposits bilangan sempurnas bilangan berkekurangans bilangan berkelebihans bilangan kuadats bilangan kubiks bilangan aljabars dan bilangan transendetal.