A. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Tipe 1: Tipe 3: 1.x - Halaman 1-20

1 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

A.

Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri

Tipe 1: Tipe 3:

1. ysinx  y'cosx 1. ysinnx  y'nsinn1xcosx

2. ycosx  y'sinx 2. ycosnx  y'ncosn1xsinx

3. ytanx  y'sec2x 3. ytannx  y'ntann1xsec2x 4. ycotx  y'csc2x 4. ycotnx  y'ncotn1xcsc2x

5. ysecx  y'secxtanx 5. ysecnx  y'nsecnxtanx

6. ycscx  y'cscxcotx 6. ycscnx  y'ncscnxcotx

Tipe 2: Tipe 4:

1. ysinu  y'cosuu' 1. ysinnu  y'nsinn1ucosuu'

2. ycosu  y'sinuu' 2. ycosnu  y'ncosn1usinuu'

3. ytanu  y'sec2uu' 3. ytannu  y'ntann1usec2uu' 4. ycotx  y'csc2x 4. ycotnu  y'ncotn1ucsc2uu' 5. ysecu  y'secutanuu' 5. ysecnu  y'nsecnutanuu'

6. ycscu  y'cscucotuu 6. ycscnu  y'ncscnucotuu'

B.

Rumus-rumus Fungsi Trigonometri

1.

Rumus Kebalikan

1.

x x

csc 1

sin  2.

x x

sec 1

cos  3.

x x

cot 1 tan 

2.

Rumus Perbandingan

1.

x x x

cos sin

tan  2.

x x x

sin cos cot 

3.

Identitas Pythagoras

1. sin2 xcos2 x1 2. 1tan2 xsec2x 3. 1cot2 xcsc2 x

4.

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

1. sin2x2sinxcosx 3. (1 cos2 ) 2

1

sin2 x  x

2. cos2xcos2 xsin2 x2cos2 x112sin2 x 4. (1 cos2 ) 2

1

cos2 x  x

5.

Rumus-rumus Sinus dan Kosinus

1. 2sinAcosBsin(AB)sin(AB) 3. 2cosAcosBcos(AB)cos(AB) 2. 2cosAsinBsin(AB)sin(AB) 4. 2sinAsinBcos(AB)cos(AB)

C.

Rumus-rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri

Tipe 1:

1.



sinxdxcosxC 3.



tanxdxlnsecx C 5.



secxdxlnsecxtanx C

2.



cosxdxsinxC 4.



cotxdxlnsinx C 6.



cscxdxlncscxcotx C

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA

2 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Bukti:

dx x x xdx







cos sin tan

Misalnya tcosx, maka dtsinxdx, sehingga

C x C

x C

t C t t

dt dx

x x

xdx 



        





lnsec

cos 1 ln 1

ln ln

cos sin

tan (qed)

2. Buktikan bahwa



cotxdxlnsinx C

Bukti: Alternatif 1:

dx x x xdx







sin cos cot

Misalnya tsinx, maka dtcosxdx, sehingga

C x C

t t dt dx x x

xdx 



   





ln lnsin sin

cos

cot (qed)

Alternatif 2:

Misalnya x y

2 π

, maka dxdy, sehingga

C x

xdx 



tan lnsec

C y dy

y 

      

       



( ) lnsec ₂π 2

π

tan

C y

ydy 





cot lncsc

C y

ydy 



cot lncsc

C y

ydy  



1

csc ln cot

C y

ydy 



cot lnsin

atau



cotxdxlnsinx C

(qed) 3. Buktikan bahwa



secxdxlnsecxtanx C

Bukti: Alternatif 1:











  _

   

x x

dx x x x dx

x x

x x x xdx

tan sec

tan sec sec

tan sec

tan sec sec sec

2

Misalnya secxtanxt, maka



secxtanxsec2x



dxdt, sehingga











  _

   

x x

dx x x x dx

x x

x x x xdx

tan sec

tan sec sec

tan sec

tan sec sec sec

2

C x x C

t t

dt _{    }





ln lnsec tan

(qed)

Alternatif 2:











  _

   

x x

dx x x x dx

x x

x x x xdx

tan sec

tan sec sec

tan sec

tan sec sec sec

2

Misalnya secxtanxt, maka



secxtanxsec2x



dxdt, sehingga











  _

   

x x

dx x x x dx

x x

x x x xdx

tan sec

tan sec sec

tan sec

tan sec sec sec

2

C x x C

t t

dt _{    }





ln lnsec tan

(qed)

Alternatif 3:









 _

x xdx dx

x xdx

2

sin 1

cos cos

3 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Uraikan bentuk

2

1 1

t

 sebagai berikut.

t

Alternatif 4:

Misalnya t_tan21x_{, maka dt xdx}



_x



_dx



_t2



_dx

Dengan demikian,







Uraikan bentuk

2

1 1

t

 sebagai berikut.

4 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014 Alternatif 1:





sehingga





Alternatif 2:





Alternatif 3:



Uraikan bentuk

2

1 1

t

 sebagai berikut.

5 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Alternatif 4:

Misalnya t_tan21x_{, maka dt xdx}



_x



_dx



_t2



_dx

Dengan demikian,

t C x C

Alternatif 5:

6 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA

Tentukan setiap integral berikut ini.

1.



sin(2x5)dx

3.



12tan(3x8)dx

5.



4sec(26x)dx

2.



8cos(64x)dx

4.



5cot(10x7)dx

6.



csc(12x8)dx

4 3

Solusi:

1.



x dx cos(2x5)C

2 1 )

5 2 sin(

2.

x dx   x C  x C

       





sin(6 4 ) 2sin(6 4 ) 4

1 8 ) 4 6 cos( 8

3.



x dx lnsec(3x8C

3 1 ) 8 3 tan( 12

4.



x dx  x C ln(10x7) C

2 1 )

7 10 ( ln 10

1 5 ) 7 10 cot( 5

5.

x dx   x   x C  x   x C

      



lnsec(2 6 ) tansec(2 6 ) 8lnsec(2 6 ) tansec(2 6 ) 6

1 48 ) 6 2 sec( 48

6.

x dx  x  x C x  x C

      



lncsc(12 8) cot(12 8)

16 1 )

8 12 cot( ) 8 12 csc( ln 12

1 4 3 ) 8 12 csc( 4 3

Tipe 3:

1.



ax bxdx





sin(ab)xsin(ab)x



dx

2 1 cos

sin 3.



ax bxdx





cos(ab)xcos(ab)x



dx

2 1 cos

cos

2.



ax bxdx





sin(ab)xsin(ab)x



dx

2 1 sin

cos 4.



ax bxdx





cos(ab)xcos(ab)x



dx

2 1 sin

sin

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA

Tentukan setiap integral berikut ini.

1.



8sin5xcos2xdx 2.



cos4xsin2xdx 3.



3cos7xcos5xdx 4.



sin6xsin4xdx

5 2

Solusi:

1.



x xdx



8



sin



5x2x



sin



5x2x





dx

2 1 2 cos 5 sin

8 4





sin7xsin3x



dx  x cos3xC

3 4 7 cos 7 4

2.



x xdx





sin



4x2x



sin



4x2x





dx

2 1 2

sin 4

cos 





sin6xsin2x



dx

2 1

C x

x 



 cos2

4 1 6 cos 12

1

3.



x xdx



3



cos



7x3x



cos



7x3x





dx

2 1 3 cos 7 cos

3 





cos10xcos4x



dx

2 3

C x

x 

 sin4

8 3 10 sin 20

3

4.



x xdx





cos



6x4x



cos



6x4x





dx

5 2 2 1 4

sin 6 sin 5

2

_

_



 

 cos10x cos2xdx

5 1

C x

x 



 sin2

10 1 7 sin 50

1

Tipe 4:

1. x C

n xdx

x n

n _



 



_sin 1

1 1 cos

sin 4. x C

n xdx

x n

n _

 

 



2 _cot 1

1 1 csc

cot

2. x C

n xdx

x n

n _

 

 



_cos 1

1 1 sin

cos 5. x C

n xdx

x n

n _{ }

7 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

3. x C

n xdx

x n

n _



 



2 _tan 1

1 1 sec

tan 6. x C

n xdx

x n

n _  _



_{csc cot} 1_csc 1

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA

Tentukan hasil dari setiap integral berikut ini.

1.



sin2xcosxdx

3.



tan4xsec2xdx

5.



12sec5xtanxdx

2.



12cos3xsinxdx

4.



cot2xcsc2xdx

6.



csc7xcotxdx

Solusi:

1.



sin2xcosxdx



sin2xdsinx xC

  _sin21

1 2

1

C x

 _sin3

3 1

2.



12cos3xsinxdx12



cos3xdcosx xC

  

 _cos31

1 3

1

12 3cos4xC

3.



tan4xsec2xdx



tan4xdtanx xC

  _tan41

1 4

1

C x

 _tan5

5 1

4.



cot2xcsc2xdx



cot2xdcotx xC

 

 _cot21

1 2

1

C x

  _cot3

3 1

5.



120sec5xtanxdx



120sec4xdsecx xC

 

 _sec41

1 4

1

120 24sec5xC

6.



csc7xcotxdx



csc6xdcscx xC

 

 61

csc 1 6

1

C x



 7

csc 7 1

Tipe 5:

1.



sinnxdx 3.



tannxdx 5.



secnxdx

2.



cosnxdx 4.



cotn xdx 6.



cscnxdx

SOAL-SOAL DAN SOLUSINYA

1. Jika I_n



sinnxdx, buktikan bahwa I C

n n x x n

xdx

I n

n n

n 

  







 _

2

1 _cos 1

sin 1

sin .

Bukti:



 xdx

I_n sinn dan In 



n xdx

2

2 sin





 x xdx

I_n sinn1 sin

Misalnya usinn1x du(n1)sinn2xcosxdx dan dvsinxdx vcosx, sehingga:





     

  _{x xdx}  _{x x x n}  _{x xdx C}

I_n sinn1 sin sinn1 ( cos ) ( cos )( 1)sinn 2 cos

sinn1xcosx(n1)



sinn2xcos2xdxC

sinn1xcosx(n1)



sinn2x(1sin2x)dxC

sinn1xcosx(n1)



sinn2xdx(n1)



sinn xdxC

sinn1xcosx(n1)I_n2(n1)I_nC C

I n x x I

n

8 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

C I n x x

nI_nsinn1 cos ( 1) _n2

C I n n x x n

xdx

I n

n n

n 

  







 _

2

1 _cos 1

sin 1

sin (qed)

2. Selesaikanlah

a.



sin2xdx c.



sin6xdx e.



sin10xdx

b.



sin4xdx d.



sin8xdx f.



sin12xdx

Solusi:

a. Alternatif 1:

x

x cos2

2 1 2 1 sin2  

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

x x

C C

x b a

x cos2

2 1 2 1 cos 2 2

2 2 cos sin

1 2

0 2 1 2

1 2

2 _{     }

 



x



dx dx xdx x x C

xdx  







  





sin2

4 1 2 1 2 cos 2 1 2

1 2

cos 1 2 1 sin2

Alternatif 2:

C I n n x x n

xdx

I n

n n

n 

  







 _

2

1 _cos 1

sin 1 sin

C I x

x xdx

I₂ 



2  21   _22 

2 1 2 cos sin

2 1 sin

 x x I₀ C

2 1 cos sin 2 1

 x x



sin0 xdxC

2 1 cos sin 2 1

 x x



dxC

2 1 cos sin 2 1

 x x xC

2 1 cos sin 2 1

b. Alternatif 1:

x x

x x

x cos 2

4 1 2 cos 2 1 4 1 2

cos 2 1 2 1 ) (sin

sin 2

2 2

2

4 _{   }

  

   

 

  

    

 x cos4x

2 1 2 1 4 1 2 cos 2 1 4 1

x cos4x

8 1 8 1 2 cos 2 1 4

1_{  }

 x cos4x

8 1 2 cos 2 1 8

3_{ }



Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

x C

x C

C

x c x b a

x cos4

2 2 cos 2 2

2 4 cos 2

cos sin

1 4

0 4 1

4 1 4 1 4

2 4 4

 

  

 



 x cos4x

8 1 2 cos 2 1 8

3_{ }









  



 _{ }

 x x dx

xdx cos4

8 1 2 cos 2 1 8 3

sin4 



dx



xdx



cos4xdx

8 1 2 cos 2 1 8

3

 x x sin4xC

32 1 2 sin 4 1 8 3

9 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

c. Alternatif 1:

x

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

sin6xabcos2xccos4xdcos6x

Alternatif 2:

10 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

d. Alternatif 1:

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

sin8xabcos2xccos4xdcos6xecos8x

Alternatif 2:

11 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

e. Alternatif 1:





Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

12 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Alternatif 2:

C

f. Alternatif 1:

13 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

14 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

I C

n n x x n

xdx

I n

n n

n 

  







 _

2

1 _cos 1

sin 1 sin

I₁₂ 



12xdx 121x x  I_122C

12 1 12 cos sin

12 1 sin

 11x x I₁₀C

12 11 cos sin 12

1

 11x x



sin10xdxC

12 11 cos sin 12

1

 



_{  }

 

 x x x x x x sin xcosx

160 21 cos sin 80

9 cos sin 10

1 12 11 cos sin 12

1 11 9 7 5

x x x x xC

   

256 63 cos sin 256

63 cos sin 128

21 3

 x x x x x x x x sin xcosx

512 77 cos sin 640

77 cos sin 320

33 cos sin 120

11 cos sin 12

1 _{11 9 7 5 3}

x xC

1024 231 2

sin 1024

231

3. Selesaikanlah

a.



sinxdx c.



sin5xdx e.



sin9xdx

b.



sin3xdx d.



sin7xdx f.



sin11xdx

Solusi:

a.



sinxdxcosxC

Alternatif 1:



sin3xdx



sin2xsinxdx





1cos2x



sinxdx



sinxdx



cos2xsinxdx  x cos3 xC

3 1 cos

Alternatif 2:

C x x

C x x

xdx     



3 3 3

cos 3 1 cos cos

3 1 cos 1 1

sin

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

I C

n n x x n

xdx

I n

n n

n 

  







 _

2

1 1

cos sin

1 sin

I 



xdx  x x  I32C

1 3 3

3

3 1 3 cos sin

3 1 sin

 2 x x I₁C

3 2 cos sin 3 1

 x x



sinxC

3 2 cos sin 3

1 2

 x x cosxC

3 2 cos sin 3

1 2

b. Alternatif 1:

sin xdx sin xsinxdx



1 cos x



sinxdx



1 2cos x cos x



sinxdx

4 2

2 2 4

5











    

15 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

 x 3 x cos5xC

5 1 cos 3 2 cos

Alternatif 2:

C x x

x C

x x

x

xdx       



5 3 5 3 _cos5

5 1 cos 3 2 cos cos

5 1 cos 3 2 cos 1 1

sin

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang

nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

I C

n n x x n

xdx

I_n 



sinn 1sinn1 cos  1 _n2

I₅ 



5xdx 51x x  I_52C

5 1 5 cos sin

5 1 sin

 4 x x I₃ C

5 4 cos sin 5 1

 4 x x



sin3xdxC

5 4 cos sin 5 1

x x x x xC

  



_{ }

 

 cos

3 2 cos sin 3 1 5 4 cos sin 5

1 4 2

 x x x x cosxC

15 8 cos sin 15

4 cos sin 5

1 4 2

c. Alternatif 1:



sin7 xdx



sin6xsinxdx





1cos2 x



3sinxdx







13cos2x3cos4xcos6x



sinxdx







sinx3cos2xsinx3cos4xsinxcos6xsinx



dx





sinxdx3



cos2xsinxdx3



cos4xsinxdx



cos6xsinxdx

 x 3 x 5x cos7 xC

7 1 cos 5 3 cos 3 3 cos

 x 3 x 5 x cos7 xC

7 1 cos 5 3 cos cos

Alternatif 2:



7 xdx x 3x 5 x cos7 xC

7 1 cos 5 3 cos 3 3 cos 1 1

sin

 x 3 x 5 x cos7 xC

16 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya

sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

I C

n n x x n

xdx

I_n 



sinn 1sinn1 cos  1 _n2

I₇ 



7 xdx 71x x  I_72C

7 1 7 cos sin

7 1 sin

 6 x x I₅C

7 6 cos sin 7 1

 6 x x



sin5 xdxC

7 6 cos sin 7 1

x x x x x x xC

  



_{  }

 

 cos

15 8 cos sin 15

4 cos sin 5 1 7 6 cos sin 7

1 _{6 4 2}

 x x x x x x cosxC

35 16 cos sin 35

8 cos sin 35

6 cos sin 7

1 6 4 2

d. Alternatif 1:



sin9 xdx



sin8 xsinxdx





1cos2 x



4sinxdx







14cos2x6cos4x4cos6xcos8x



sinxdx







sinx4cos2xsinx6cos4xsinx4cos6xsinxcos8xsinx



dx





sinxdx4



cos2xsinxdx6



cos4xsinxdx4



cos6xsinxdx



cos8xsinxdx

 x 3x 5x 7 x cos9 xC

9 1 cos 7 4 cos 5 6 cos 3 4

cos

Alternatif 2:



9 xdx x 3x 5 x 7 x cos9 xC

9 1 cos 7 4 cos 5 6 cos 3 4 cos 1 1

sin

 x 3x 5x 7 x cos9 xC

9 1 cos 7 4 cos 5 6 cos 3 4 cos

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang

nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

I C

n n x x n

xdx

17 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

I₉ 



9 xdx 91x x  I_92C

9 1 9 cos sin

9 1 sin

C I x

x  



 8 ₇

9 8 cos sin 9 1

C xdx x

x  



 8



_sin7

9 8 cos sin 9 1

C x x

x x

x x

x x

x 

  

 

_{  }

 

 cos

35 16 cos sin 35

8 cos sin 35

6 cos sin 7 1 9 8 cos sin 9

1 8 6 4 2

C x x

x x

x x

x x

x     



 cos

315 128 cos

sin 315

64 cos sin 105

16 cos sin 63

8 cos sin 9

1 8 6 4 2

e. Alternatif 1:



sin11xdx



sin10xsinxdx





1cos2 x



5sinxdx







15cos2x10cos4x10cos6x5cos8xcos10 x



sinxdx







sinx5cos2xsinx10cos4xsinx10cos6xsinx5cos8xsinxcos10xsinx



dx





sinxdx5



cos2xsinxdx10



cos4xsinxdx10



cos6xsinxdx5



cos8xsinxdx



cos10xsinxdx

 x 3 x 5 x 7 x 9x cos10 xC

11 1 cos 9 5 cos 7 10 cos

5 10 cos

3 5

cos

 x 3x 5x 7 x 9 x cos10xC

11 1 cos 9 5 cos 7 10 cos

2 cos 3 5

cos

Alternatif 2:



11xdx x 3 x 5 x 7 x 9 x cos10xC

11 1 cos 9 5 cos 7 10 cos

5 10 cos

3 5 cos 1 1

sin

 x 3 x 5 x 7 x 9 x cos10xC

11 1 cos 9 5 cos 7 10 cos

2 cos 3 5 cos

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang

nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

I C

n n x x n

xdx

I_n 



sinn 1sinn1 cos  1 _n2

I₁₁



11xdx 111x x  I_112C

11 1 11 cos sin

18 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

 10x x I₉C

11 10 cos sin 11

1

C xdx x

x  



 10



9

sin 11 10 cos sin 11

1

 

 

_{  }

 

 x x x x x x x x sin xcosx

315 64 cos sin 105

16 cos sin 63

8 cos sin 9 1 11 10 cos sin 11

1 10 8 6 4 2

C x

 

cos 315 128

C x x

x x

x x

x x

x x

x      



 cos

693 256 cos

sin 693 128 cos

sin 231

32 cos sin 693

80 cos sin 99 10 cos sin 11

1 _{10 8 6 4 2}

4. Jika I_n



cosnxdx, buktikan bahwa I C

n n x x n

xdx

I_n 



cosn 1cosn1 sin  1 _n2 .

Bukti:



 xdx

I_n cosn dan I_n2



cosn2xdx





 x xdx

I_n cosn1 cos

Misalnya ucosn1x du(n1)cosn2x(sinx)dx dan dvcosxdx vsinx, sehingga:

C dx x x n

x x

x xdx

x

I_n



cosn1 cos cosn1 sin 



sin ( 1)cosn2 (sin ) 

cosn1xsinx(n1)



cosn2xsin2xdxC

cosn1xsinx(n1)



cosn2x(1cos2x)dxC

cosn1xsinx(n1)



cosn2xdx(n1)



cosnxdxC

cosn1xsinx(n1)I_n2(n1)I_n C

C I n x x I

n

I_n( 1) _ncosn1 sin ( 1) _n2

C I n x x

nI_ncosn1 sin ( 1) _n2

C I n n x x n

xdx

I_n 



cosn 1cosn1 sin  1 _n2 (qed)

5. Selesaikanlah

a.



cos2xdx c.



cos6xdx e.



cos10xdx

b.



cos4xdx d.



cos8xdx f.



cos12xdx

Solusi:

19 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

x

x cos2

2 1 2 1 cos2  

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

x x

C C

x b a

x cos2

2 1 2 1 cos 2 2

2 2 cos cos

1 2

0 2 1 2

1 2

2 _{     }

 



x



dx dx xdx x x C

xdx  







  





sin2

4 1 2 1 2 cos 2 1 2

1 2

cos 1 2 1 cos2

Alternatif 2:

C I n n x x n

xdx

I_n 



cosn 1cosn1 sin  1 _n2

C I x

x xdx

I 



    22 

1 2 2

2

2 1 2 sin cos

2 1 cos

 x x I₀ C

2 1 sin cos 2 1

 x x



cos0 xdxC

2 1 sin cos 2 1

 x x



dxC

2 1 sin cos 2 1

 x x xC

2 1 sin cos 2 1

b. Alternatif 1:

x x

x x

x cos 2

4 1 2 cos 2 1 4 1 2

cos 2 1 2 1 ) (cos

cos 2

2 2

2

4 _{   }

  

    

x x x cos4x

8 1 8 1 2 cos 2 1 4 1 4 cos 2 1 2 1 4 1 2 cos 2 1 4

1 _{   }

   

    



x cos4x

8 1 2 cos 2 1 8

3_{ }



Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

C x C x

C

x c x b a

x cos4

2 2 cos 2 2

2 4 cos 2

cos cos

1 4

0 4 1

4 1 4 1 4

2 4 4

 

  

 



 x cos4x

8 1 2 cos 2 1 8 3

 









  



 _{ }

 x x dx

xdx cos4

8 1 2 cos 2 1 8 3

cos4 



dx



xdx



cos4xdx

8 1 2 cos 2 1 8

3

 x x sin4xC

32 1 2 sin 4 1 8 3

20 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

c. Alternatif 1:

x

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.