9
EDUKREASI Jurnal Penelitian Pendidikan dan Pembelajaran
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Institut Keguruan dan Teknologi Larantuka Jl. Ki Hajar Dewantara, No.06, Waibalun, Flores Timur e-mail: ojs@gmail.com; web: https://iktl.ac.id
ANALISIS DINAMIK TRANSMISI PENYAKIT MENINGITIS
Roberta Uron Hurit1
1 Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Institut Keguruan dan Teknologi Larantuka Email: uronhurit@gmail.com
Abstrak
Model matematika SEIR diformulasi untuk menganalisis dinamika transmisi penyakit meningitis. Fokus dari penelitian ini adalah untuk mengetahui model matematika transmisi penyakit meningitis dan menganalisis kestabilan titik endemik terhadap perubahan nilai-nilai parameter. Kajian ini dilakukan dengan pendekatan analitik. Hasil analitik dan numerik sejalan. Hasil analisis menunjukan titik endemik diatas realistik karena memenuhi 𝑆 = 𝐸 = 𝐼 = 𝑅 > 0. Dari titik 𝐸∗ terlihat bahwa penyebut tidak akan sama dengan nol. Jika demikian maka pembilangnya harus besar sama dengan nol. Diperoleh: 𝛽 >𝜇(𝛾+𝜇)
𝛼−𝛾−𝜇
Titik endemik akan menjadi realistik jika nilai 𝛽 memenuhi.
Kata-kata Kunci: analisis dinamik, model seir, titik keseimbangan
Abstract
The SEIR mathematical model is formulated to analyze the transmission dynamics of meningitis. The focus of this study is to determine the mathematical model of meningitis transmission and to analyze the stability of the endemic points to changes in parameter values. This study was conducted using an analytical approach.
Analytical and numerical results are in line. The results of the analysis show that the endemic point is above realistic because it meets 𝑆 = 𝐸 = 𝐼 = 𝑅 > 0 From point 𝐸∗ it can be seen that the denominator will not equal zero. If so, the numerator must be equal to zero. Obtained 𝛽 >𝜇(𝛾+𝜇)
𝛼−𝛾−𝜇. The endemic point will be realistic if the value of 𝛽 meets
Keywords: dynamic analysis, SEIR model, equlibrium points
10 PENDAHULUAN
Penyakit Meningitis menginfeksi sekitar 400 juta orang dengan tingkat kematian mencapai 25% (WHO, 2011). Populasi penderita terbesar berasal dari negara-negara di Afrika dan Asia. Jumlah kasus meningitis di Indonesia pada tahun 2012 adalah sebesar 12.010 pasien laki-laki dan 7.371 pasien wanita. Dari jumlah tersebut, 1025 pasien meninggal dunia. Pada tahun 2013 menurut data dari RS Dr. Soetomo yang berlokasi di Surabaya menjadi salah satu data nasional menunjukkan bahwa jumlah pasien meningitis yang dirawat sebanyak 40 orang, di mana 60%
diantaranya adalah laki-laki dan 40% adalah wanita. Dari 40 penderita meningitis tersebut, 7 penderita meninggal dunia. Sementara itu, pada tahun 2014 dilaporkan 36 pasien tertular meningitis dimana 67% pasien laki-laki dan sisanya adalah pasien wanita. Dari jumlah tersebut, 11 pasien dilaporkan meninggal dunia (Menkes RI, 2013).
Penyebab penyakit meningitis adalah virus haemophilus influensa. Virus ini berkembang di bagian belakang hidung dan mulut, dan kemudian memasuki sistem pernapasan melalui bersin atau batuk.
Penderita akan mengalami kematian bila tidak ditangani secara tepat. Masa inkubasi dari virus tersebut adalah 10 (sepuluh hari). Pada masa inkubasi ini, penderita telah terinfeksi virus tetapi belum dapat menunjukkan gejala- gejala penyakit dan juga belum dapat menularkannya pada orang lain (Solomon ,2018).
Salah satu teknik yang dapat digunakan untuk menganalisis dinamika penyebaran penyakit adalah model matematika. Model matematika diformulasi berdasarkan karakteristik dari penyakit tersebut. Sebagaimana telah diuraikan sebelumya, untuk penyakit meningitis terdapat masa inkubasi di mana individu telah terserang penyakit tetapi belum dapat menularkannya.
Oleh karena itu, model matematika yang akan diformulasi adalah model epidemik SEIR, dimana populasi dibagi kedalam kelompok susceptible (S), kelompok exposed (E), kelompok infected (I), dan kelompok recovered (R). Kelompok susceptible (S) yakni individu yang rentan terhadap penyakit meningitis;
kelompok exposed (E) yakni individu yang
telah terserang penyakit tetapi belum dapat menularkannya; kelompok infected (I) yakni individu yang telah terserang dan dapat menularkan penyakit; dan kelompok recovered (R) yakni individu yang telah sembuh dari penyakit.
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Gambaran umum penyakit
Penyakit meningitis adalah penyakit yang terjadi akibat adanya infeksi meninges atau yang dikenal dengan selaput yang melindungi sistem syaraf pusat pada tubuh manusia. Infeksi tersebut dapat terjadi karena adanya peradangan yang disebabkan oleh bakteri, jamur maupun virus pada selaput meninges. Penyakit ini mampu membuat bagian syaraf manusia, seperti sumsum tulang belakang dan otak menjadi rusak (Anderson, 2015). Penyakit meningitis dapat menyerang kelompok umur manapun, tetapi yang paling rawan adalah kelompok anak-anak usia balita dan orang tua (Mayoclinic, 2010). Selain faktor umur, kelompok orang yang rentan terkena meningitis adalah sebagai berikut: (Salomon, 2018).
1. Seseorang yang memiliki pleuroperitoneal CSF dalam otak.
2. Seseorang yang menggunakan prosedur tulang belakang, seperti halnya anestesi tulang belakang.
3. Seseorang dengan cacat dural 4. Penderita penyakit diabetes
5. Seseorang yang terinfeksi bakteri Endokarditis
6. Para pecandu alkohol dan pecandu narkotika.
Meningitis yang disebabkan oleh bakteri lebih berbahaya ketimbang virus karena infeksi melalui virus bisa ditangani sampai sembuh total bila melakukan pengobatan yang intensif (Mayoclinic, 2010). Beberapa faktor yang menyebabkan orang-orang menjadi rentan terkena meningitis adalah usia, bekerja pada lngkungan yang berhubungan dengan hewan, orang dengan sistem kekebalan
tubuh lemah, ibu hamil dan tinggal pada
11 wilayah yang padat penduduk (Gunawan, 2015).
2.2 Pengobatan dan Pencegahan Penyakit Meningitis. (Mayo Clinic, 2018)
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah segera dibawa ke Rumah Sakit dan pastikan bahwa Rumah Sakit tersebut benar-benar memiliki fasilitas lengkap, memiliki dokter yang profesional, serta dilakukan pemeriksaan fisik dan laboratorium seperti tes darah dan cek cairan selaput otak.
Pencegahan penyakit meningitis bisa dilakukan dengan cara menjaga lingkungan tetap bersih serta harus memastikan penggunaan peralatan keseharian yang steril 2.3 Teori Pendukung
Pada sub-bab ini dipaparkan teori-teori yang digunakan dalam analisis model matematika yakni persamaan diferensial, model SEIR, titik ekuilibrium, dan kestabilan titik equilibrium.
2.3.1 Persamaan Diferensial (Sugi, 2005) Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. Persamaan diferensial terus berkembang sehingga diklasifikasikan menjadi beberapa jenis diantaranya: persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, dan sistem persamaan diferensial.
Secara umum persamaan diferensial biasa orde 𝑛 dinyatakan dalam
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, y'′, … , 𝑦𝑛) = 0
Dengan 𝐹 merupakan fungsi dari variabel bebas 𝑥, dan 𝑦 adalah variabel bebas terhadap 𝑥, dengan 𝑦′ =𝑑𝑥 𝑑𝑦 , 𝑦" =𝑑𝑑𝑥2𝑦2 dan seterusnya.
Persamaan diferensial dibagi menjadi dua macam yaitu:
1. Persamaan diferensial biasa, yaitu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu variabel bebas. Secara umum ditulis:
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥)
Dengan 𝑥 variabel bebas dan 𝑦 variabel terikat.
2. Persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan diferensial yang mempunyaii variabel bebas lebih dari satu. Secara umum ditulis :
𝑑𝑢 𝑑𝑥,𝑑𝑢
𝑑𝑦,𝑑𝑢
𝑑𝑧,𝑑2𝑢
𝑑𝑥2, 𝑑2𝑢
𝑑𝑥𝑑𝑦, … = 𝐹(𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑢𝑧, 𝑢𝑥𝑥, 𝑢𝑥𝑦, …)
Dengan 𝑢 variabel terikat dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 variabell bebas. (Perko, 2001).
Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat 𝑛 buah persamaan diferensial, dengan 𝑛 buah fungsi yang tidak diketahui. Bentuk umum persamaan diferensial orde 𝑛 adalah :
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡 𝑓(𝑡, 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑛 ); 𝑖 = 𝑖, . . . 𝑛
Dengan 𝑑𝑥𝑑𝑡𝑖 merupakan derivatif fungsi 𝑥𝑖 terhadap 𝑡, 𝑥𝑖 adalah fungsi derivatif yang tidak diketahui dari 𝑓𝑖 adalah fungsi yang diberikan 𝑛 + 1 variabel (Olsder, 2004).
2.3.2 Kestabilan Titik Ekuilibrium (Anton,1987)
Penentuan kestabilan titik ekuilibrium didapat dengan melihat nilai-nilai eigen matriks jacobi J, yaitu misalkan 𝜆𝑖 nilai eigen dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 yang diperoleh dari |𝐽 − 𝜆𝐼| = 0.
Menurut Tu (1994), secara umum kestabilan titik kritis mempunyai 2 perilaku yaitu :
1. Stabil, jika:
a. Setiap nilai eigen bernilai negatif (𝜆𝑖 <
0 untuk setiap i)
b. Setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real negatif atau sama dengan nol, (Re(𝜆𝑖) ≤ 0 untuk setiap i)
2. Tidak stabil, jika :
a. Setiap nilai eigen bernilai positif atau sama dengan nol, (𝜆𝑖 ≥ 0 untuk setiap i)
b. Setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real positif, (Re(𝜆𝑖) > 0 untuk setiap i)
12 2.3.3 Titik Ekuilibrium (Sugi, 2005)
Titik ekuilibrium adalah titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu. Diberikan sistem persamaan diferensial berbentuk:
𝑑𝐱
𝑑𝑡 = 𝐱̇ = 𝐟(𝐱), 𝐱
∈ ℝ𝑛 . Titik 𝐱∗ disebut titik equiibrium dari persamaan diatas jika 𝐟(𝐱∗) = 𝟎(Tu,1994).
METODE
Kajian dalam penelitian ini adalah kajian analitik. Objek penelitian adalah model matematika SEIR. Prosedur pemodelan matematika dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Pola Kerja Pemodelan
Prosedur umum pelaksanaan metode matematika tahapan penelitian ini berdasarkan prosedur pada bagan di atas yaitu: identifikasi kasus, penetapan asumsi, membangun model matematika, analisis model, interpetasi model, validasi model, dan gunakan metode untuk mengkaji keadaan penyakit.
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pembentukan Model SEIR
Dalam model matematika untuk meningitis, populasi dibagi dalam 4 sub populasi yaitu populasi yang rentan terhadap penyakit (Susceptible), tertular namun belum menjadi penderita (Exposed), penderita meningitis yang sudah dapat menularkan penyakit (Infected) dan yang telah sembuh dari penyakit (Recovered). Dalam model SEIR, kelompok susceptible, exposed, infected dan recovered masing-masing secara berturut- turut dinotasikan dengan 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅.
4.1.1 Penetapan Asumsi-asumsi
Sebelum memformulasikan model matematika, diperlukan asumsi-asumsi yang digunakan dalam model. Asumsi yang digunakan dalam model ini adalah
1. Meningitis memiliki masa inkubasi panjang.
2. Kematian hanya diakibatkan oleh kematian alami.
3. Setiap individu yang lahir rentan terhadap penyakit.
4. Setelah melewati tahapan pengobatan, individu akan sembuh dari sakitnya dan tidak akan tertular penyakit ini lagi 5. Populasi diasumsikan konstan. Oleh
karena itu, dalam model ini, laju kelahiran dan laju kematian sama.
4.1.2 Konstruksi Model
Pada penyebaran penyakit ini akan dilakukan formulasi model matematika yaitu:
𝑑𝑆
𝑑𝑡 = 𝐴 −𝛼𝐼𝑆
𝑁 − 𝜇𝑆, (1.1) 𝑑𝐸
𝑑𝑡 =𝛼𝐼𝑆
𝑁 − 𝛽𝐸 − 𝜇𝐸, (1.2) 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛽𝐸 − 𝜇𝐼 − 𝛾𝐼, (1.3) 𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅, (1.4)
Table 1. Parameter, Deskripsi dan Unit/Satuan dan dari Parameter-parameter
Parameter Deskripsi Unit/Satuan 𝛼 Laju penularan
penyakit
hari−1
𝛽 Laju
perpindahan dari populasi yang tertu lar ke populasi penderita
hari−1
𝛾 Laju
kesembuhan
hari−1
𝜇 Laju kematian alamiah
hari−1
4.1.3 Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium diperoleh dengan membuat 𝜕𝑆
𝜕𝑡=𝜕𝐸𝜕𝑡 =𝜕𝐼𝜕𝑡=𝜕𝑅𝜕𝑡 = 0. Maka akan diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu titik
13 keseimbangan bebas penyakit (disease-free equilibrium) dan titik endemik (endemic equilibrium). Untuk titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸, 𝐼, 𝑅 = 0 maka:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= 𝐴 − 𝜇𝑆, dengan membuat 𝑑𝑆 𝑑𝑡⁄ = 0 maka diperoleh 𝐴 − 𝜇𝑆 = 0 sehingga diperoleh 𝑆∗= 𝐴 𝜇⁄ . Dengan demikian, titik ekuilibriumnya adalah:
(𝑆∗, 𝐸∗, 𝐼∗, 𝑅∗) = (𝐴
𝜇, 0, 0, 0)
Untuk mencari titik endemic equilibrium maka dengan membuat 𝜕𝑆
𝜕𝑡=𝜕𝐸
𝜕𝑡 =𝜕𝐼
𝜕𝑡=𝜕𝑅
𝜕𝑡= 0. maka diperoleh:
,
0,
,
S.
dS IS
A S
dt N
A IS S
N
A S I S
N A I
N
diperoleh: 𝑆∗= 𝐴
𝜇+𝛼𝐼∗
𝑁
(1.5)
Berdasarkan Persamaan (1.2) 𝑑𝐸𝑑𝑡 =𝛼𝐼𝑆
𝑁 − 𝛽𝐸 − 𝜇𝐸 = 0
𝛼𝐼𝑆
𝑁 = 𝛽𝐸 + 𝜇𝐸 = 0 𝛼𝐼𝑆
𝑁 = 𝐸(𝛽 − 𝜇) sehingga diperoleh: 𝐸∗= 𝛼𝐼∗𝑆∗
𝑁(𝛽+𝜇) (1.6) dengan membuat 𝑑𝐼
𝑑𝑡= 0 maka diperoleh:
𝐼∗= −𝜇𝑁(−𝛽𝛼+𝛽𝛾+𝛽𝜇+𝛾𝜇+𝜇2
𝛼(𝛽𝜇+𝛽𝛾+𝜇2+𝜇𝛾) (1.7)
Berdasarkan persamaan 𝐼∗dan 𝐸∗ akan di subsitusikan untuk mendapatkan persamaan 𝑆∗.Sehingga menjadi:
𝑠 = 𝐴
𝜇 +𝛼𝐼∗ 𝑁
= 𝐴𝑁
𝜇𝑁 + 𝛼𝐼∗ diperoleh:
𝑆∗=𝑁(𝛽𝜇+𝛽𝛾+𝜇𝛽𝛼 2+𝜇𝛾) (1.8)
Berdasarkan persamaan(1.7) dan (1.8) akan disubtitusikan untuk memperoleh persamaan
𝐸∗= 𝛼𝐼∗𝑆∗
𝑁(𝛽 + 𝜇) 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝐸 =
𝛼 (−𝜇𝑁(−𝛽𝛼 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2
𝛼(𝛽𝜇 + 𝛽𝛾 + 𝜇2+ 𝜇𝛾) )𝑁(𝛽𝜇 + 𝛽𝛾 + 𝜇2+ 𝜇𝛾) 𝛽𝛼 𝑁(𝛽 + 𝜇)
𝐸 = −𝜇𝑁(𝛽𝛼 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇2+ 𝜇2 𝛼𝛽(𝛽 + 𝜇)
Diperoleh:
𝐸∗== −𝜇𝑁(𝛽𝛼+𝛽𝛾+𝛽𝜇+𝛾𝜇2+𝜇2
𝛼𝛽(𝛽+𝜇) (1.9) Bersadarkan persamaan (1.7) maka:
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 = 0 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝜇𝑅 = 𝛾𝐼
𝑅 =𝛾𝐼∗
𝜇
𝑅∗=
𝛾 (−𝜇𝑁(−𝛽𝛼 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2 𝛼(𝛽𝜇 + 𝛽𝛾 + 𝜇2+ 𝜇𝛾) )
𝜇 Diperoleh:
𝑅∗= −𝑁(−𝛽𝛼 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2 𝛼(𝛽𝜇 + 𝛽𝛾 + 𝜇2+ 𝜇𝛾) Maka didapat titik endemiknya:
(𝑆∗, 𝐸∗, 𝐼∗, 𝑅∗)
𝑆∗=𝑁(𝛽𝜇 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) 𝛼𝛽
𝐸∗= −𝜇𝑁(−𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) 𝛽(𝛽 + 𝜇)𝛼
𝐼∗= −𝜇𝑁(−𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) 𝛼(𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) 𝑅∗= −𝛾𝑁(−𝛽𝛼 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2)
𝛼(𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2)
Titik endemik di atas realistik jika 𝑆 = 𝐸 = 𝐼 = 𝑅 > 0. Dari titik 𝐸∗ terlihat bahwa penyebut tidak akan sama dengan nol. Jika demikian maka pembilangnya harus besar sama dengan nol. Dengan demikian pembilangnya dapat ditulis menjadi:
2 2 3
2
0,
( ) 0,
( ( ) ( ) ,
( ) ( ) 0,
( )
.
N N N N N
N N
14 Oleh karena itu, titik endemik akan menjadi realistik jika nilai 𝛽 memenuhi kriteria di atas.
PENUTUP
Berdasarkan hasil dan pembahasan di atas maka:
1. Titik kesetimbangan bebas penyakit dari model SEIR adalah:
𝐸0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = (𝐴
𝜇, 0, 0, 0) 2. Titik kesetimbangan endemik
𝐸1=
[
𝑆∗=𝑁(𝛽𝜇 + 𝛽𝛾 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) 𝛼𝛽
𝐸∗= −𝜇𝑁(−𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) 𝛽(𝛽 + 𝜇)𝛼
𝐼∗= −𝜇𝑁(−𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) 𝛼(𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) 𝑅∗= −𝛾𝑁(𝛼𝛽 + 𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2)
𝛼(𝛽𝛾 + 𝛽𝜇 + 𝛾𝜇 + 𝜇2) ] Penelitian ini masih jauh dari kesempuranaan, berbagai saran dapat berguna bagi peneliti
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah memberi motivasi kepada penulis dan terkhusus LPPM IKTL yang telah menyediakan Jurnal sehingga penulis bisa berkontribusi dalam penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, R. (2015). Penularan Virus Meningitis. Jakarta: Erlangga.
Anton. (1987). Nilai Eigen Matriks.Jakarta:
Erlangga.
Direktorat Jendral PP & PL. (2012). Pedoman Pengendalian Virus Meningitis Kementrian Kesehatan RI.
Gunawan, N. (2015). Gejalah Penyakit Meningitis. Universitas Borneo.
Tarakan.
Griffiths, M., McGill, F., & Solomon, T. (2018).
Management of Acute Meningitis. Clin med. 18 (2), pp.164-160.
Mayoclinik, Jakarta. (2010). Prosentase anak yang terkena meningitis. Menkes RI Mayo Clinic (2018). Diseases and Conditions.
Meningitis.
Olsder, G. J. & Woude, J.W. van der. (2004).
Mathematical Systems Theory.
Netherland: V VSD
Perko, L. (2001). Differential Equations and Dynamical Systems. 3rd. New York:
Springer.
Sugi, Y. (2005). Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas, Universitas Nusa Cendana:
Kupang.
Tu, P.N.V. (1994). Dynamical System, An Introduction with Applications In Economics and Biology. Second Revision and enlarged edition. New York: Springer-Verlag.
