Distribusi Peluang
Dr. Akhmad Rizali
Peubah Acak
• Peubah acak adalah suatu kejadian yang dapat diucapkan dalam bentuk bilangan nyata
• Notasi yang sering digunakan adalah X, Y, Z
Jenis Peubah Acak
• Peubah acak diskrit, misalnya: jumlah orang dalam satu ruangan.
Dengan demikian ruang contoh diskrit adalah ruang
contoh yang mengandung jumlah titik tak terhingga, tetapi sama banyaknya dengan bilangan cacah.
Peubah acak diskrit digunakan untuk data yang berupa cacahan.
• Peubah acak kontinyu, misalnya: produksi padi/ha.
Ruang contoh kontinyu adalah ruang contoh yang mengandung titik tak terhingga yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis.
Peubah acak kontinyu digunakan untuk data yang diukur
Sebaran Peluang Diskret
• Sebaran peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu
peubah acak diskrit berikut peluangnya.
• Sebaran peluang Binom dan Poisson termasuk kelompok ini.
Sebaran Peluang Diskret
Aturan dasar
• Setiap peluang harus antara 0 and 1
0 ≤ P(x) ≤ 1
• Total dari keseluruhan peluang = 1
ΣP(x) = 1 Contoh:
x P(x) 0 0.15 1 0.25 2 0.35 3 0.45
Tidak benar karena ΣP(x) > 1
5‐SOAL BENAR/SALAH (x = jumlah yang benar)
x P(x) 0 0.03125 1 0.15625 2 0.3125 3 0.3125 4 0.15625 5 0.03125
Berapa peluang (dengan memilih secara acak) mahasiswa yang memperoleh 3 jawaban BENAR
P(x = 3) = 0.3125
Berapa peluang untuk mahasiswa yang mendapatkan minimal 4 jawaban BENAR
P(min 4) = P(x = 4) + P(x = 5)
= 0.15625 + 0.03125 = 0.1875
Aturan komplemen
Cari peluang mahasiswa mendapatkan jawaban BENAR kurang dari 4
P(< 4) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)
= 0.03125 + 0.15625 + 0.3125 + 0.3125
= 0.8125
Dapat juga dihitung dengan menggunakan aturan komplemen P(< 4) = 1 – (P(x = 4) + P(x = 5))
= 1 – (0.15625 + 0.03125)
= 1 – 0.1875
= 0.8125
Contoh lain
• Apabila sepasang dadu dilemparkan, maka peubah acak X adalah jumlah bilangan
• X adalah nilai bulat 2 sampai 12. Dua dadu dapat mendarat dalam (6) (6) cara masing‐masing dengan peluang 1/36. P(X=3) = 2/36, karena jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara.
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐
P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
• Untuk menggambarkan sebaran peluang dapat mengggunakan grafik dalam bentuk histogram peluang.
Histogram
Sebaran Peluang Binomial
Sebaran peluang binomial
• Berdasarkan percobaan Bernoulli hasilnya diklasifikasikan sebagai sukses S (berhasil) dan gagal (G).
P(S) = p = n dan P(G) = q = 1‐n p+q = 1
• Contoh :
kontrol kualitas barang diklasifikasikan sebagai cacat (G) dan baik (B)
efektifitas obat sembuh (S) dan tak sembuh (G)
kelahiran anak pria (S) dan wanita (G) atau wanita (S) dan pria (G
Fungsi sebaran binomial
• Misal X menyatakan banyaknya berhasil dalam n usaha tsb, dimana n = 3 dan X=1, maka
S ‐‐‐‐‐ S ‐‐‐‐‐ S untuk X (banyaknya berhasil) = 1
G SGG = pqq = pq²
G ‐‐‐‐‐ S GSG = qpq = pq²
G GGS = qqp = pq²
G ‐‐‐‐‐ S ‐‐‐‐‐ S
G P(x=1) = 3(pq²) = (3C1) . p1. q3‐1 G ‐‐‐‐‐ S karena n=3, x = sukses, (n‐x)
G gagal, maka kombinasi (nCx) = banyaknya susunan
• Jadif(x) = (nCx) . px. qn‐xdinamakanfungsi sebaran binomial
Kata Kunci
• Kata kunci: peluang “x dari n”
Misalnya peluang “2 dari 5” atau “antara 3 dan 6 dari 10”
atau “paling sedikit 1 dari 7”
• Maka pengerjaannya dengan peluang Binom
P(x) = nCx • px• (1 – p)
n–xContoh
Hasil studi menunjukkan bahwa 20% dari mahasiswa baru memilih masuk agroekoteknologi. Apabila dipilih secara acak 5 mahasiswa, tentukan kemungkinan bahwa 2 mahasiswa
memilih program agroekoteknologi
Dicari 2 dari 5 mahasiswa yang memilih Agroekoteknologi, 3 lainnya bukan
Dengan rumus kombinasi5C2= 10 Peluang mahasiswa memilih = 0.2 (20%) Peluang mahasiswa tidak memilih = 0.8
Untuk 1 kombinasi
(0.2)(0.2)(0.8)(0.8)(0.8) = (0.2)2(0.8)3= 0.02048
1 dan 2 (YYNNN): (0.2)(0.2)(0.8)(0.8)(0.8) = (0.2)2(0.8)3 1 dan 3 (YYNNN): (0.2)(0.2)(0.8)(0.8)(0.8) = (0.2)2(0.8)3 1 dan 4 (YYNNN): (0.2)(0.2)(0.8)(0.8)(0.8) = (0.2)2(0.8)3 dst
4 dan 5 (NNNYY): (0.8)(0.8)(0.8)(0.2)(0.2) = (0.2)2(0.8)3
Atau
10 • (0.2)2(0.8)3= 0.2048
Persamaan Binom
Jumlah mahasiswa yang dipilih: n = 5
Pemilihan (SUKSES): Seorang mahasiswa memilih Agroekoteknologi
Jumlah yang memilih: x = 2 Kemungkinan dipilih: p = 0.2
Tidak dipilih (GAGAL): Seorang mahasiswa memilih program lain Kemungkinan tidak dipilih: 1 – p = 0.8
P(x) = nCx • px• (1 – p)n–x P(2) = 5C2• (0.2)2• (0.8)3
= 0.2048
Contoh lain
• Produsen bibit jambu menjamin bahwa bibit jambu okulasi yang dihasilkan mempunyai peluang hidup 0,90. Untuk membuktikan pernyataan tersebut, seorang konsumen membeli dan menanam 10 bibit okulasi. Tentukan berapa peluang hidup terhadap 8 bibit jambu okulasi yang dibeli tersebut!
• Jawab : Dari soal tersebut diketahui bahwa n=10, x=8, p=0,90 sehingga q = 1‐0,90 = 0,1. Berdasarkan rumus peluang binomial, maka peluang hidup dari 8 bibit adalah :
P(x=8) = (10 8) (0,90)8(0,1)2
= 10!/8!.2! . (0,90)8(0,1)2= 0,194
• Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang binom yang telah tersedia.
• Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat
Interpretasi
• Nilai peluang ini harus diinterpretasikan, agar dapat dipahami maknanya
• Peluang hidup 8 bibit dari 10 bibit yang ditanam adalah 0,194
• Apabila bibit yang ditanam adalah b1, b2, …, b8, b9 dan b10, maka peluang hidup b1, b2, …, b8 adalah 0,194
• Tidak semua bibit dari 8 bibit tersebut dapat hidup setelah ditanam. Walaupun produsen menjamin semua bibit jambu okulasi yang dihasilkan mempunyai peluang hidup 0,90, namun peluang hidup 8 bibit dari 10 bibit yang diuji adalah 0,194
Penggunaan tabel binomial
• Contoh soal tersebut dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang binom yang telah tersedia.
• Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.
Penggunaan tabel binomial
• Untuk contoh soal tersebut, pilih n = 10 kemudian dicari jumlah berhasil x = 8.
• Karena peluang keberhasilan adalah 0,90, maka dari x = 8 ditarik ke kanan sampai pada p
= 0,90.
• Namun demikian, sebelum mencari nilai
peluang dari tabel, rumus peluang harus
dikerjakan terlebih dahulu.
Contoh tabel ‐ Binomial
Contoh lain
• Untuk n=15 dan p=0,4, hitung P(x ≥10) dan P(3 x 8).
Gunakan Tabel Binomial
• Jawab :
P(x ≥ 10) = 1 ‐ P(x 9) = 1 ‐ 0,966 = 0,034
lihat tabel
P(3 x 8) = P(x 8) ‐ P(x 2)
= 0,905 ‐ 0,0271 = 0,878
• P (x=4) = P(x 4) ‐ P(x 3)
= ??? Coba kerjakan
Dengan Excel
• Contoh1: Peluang 2 berhasil dari 5 yang dipilih, dengan peluang keberhasilan = 0.2
Karena hanya 2 maka bukan “cumulative option”
=BINOMDIST(2,5,0.2,FALSE) Hasilnya P(2) = 0.2048
• Contoh2: Seorang mahasiswa memiliki peluang 51% untuk dapat parkir di UB (peluang untuk sekali parkir = 0.51). Jika dia melakukan 12 kali parkir, berapa peluang untuk 8 kali parkir?
n = 12, p = 0.51, peluang 8 kali parkir (0‐8 kali) maka menggunakan “cumulative option”
=BINOMDIST(8,12,0.51,TRUE) P( < 8 ) = 0.9168
Latihan dan diskusi
1. Tentukan peluang mendapatkan tepat bilangan 2 apabila sebuah dadu dilemparkan!
2. Peluang bunga anggek akan mekar besuk pagi adalah 0,4. Bila 15 tanaman yang bunganya akan mekar sedang diuji, berapa peluang :
a) sekurang‐kurangnya 10 tanaman yang bunganya akan mekar b) ada 3 sampai 8 tanaman yang bunga akan mekar
c) tepat 5 tanaman yang bunganya akan mekar
3. A campus newspaper claims that 80% of the student support its view on a campus issue about hybrid rice production. A random sample of 20 agriculture faculty students is taken, 12 students agree with the newspaper. Find P(12 or less agree), if 80% support the view, and comment on the plausibility of the claim.
4. Suppose it is known that a new pesticide treatment is successful in killing a insect in 50% of the cases. If it is tried on 15 insects, find the probability that :
a) at most 6 will be killed,
b) the number killed will be now fewer than 6 and no more than 10
c) 12 or more will be killed
5. Using binomial table, find the probability of : a) 3 successes in 8 trials when p = 0,4 b) 7 failures in 16 trials when p = 0,6
c) 3 or fewer successes in 9 trials when p = 0,4 d) more than 12 successes in 16 trials when p = 0,7
e) the number of successes between 3 and 13 (both inclusive) in 16 trials when p = 0,6
