Rancangan Acak Lengkap. Created by : Ika Damayanti, S.Si, M.Si

Rancangan Acak Lengkap

Created by : Ika Damayanti, S.Si, M.Si

RAL (Rancangan Acak Lengkap)

„ Desain dimana perlakuan dikenakan sepenuhnya secara acak kepada unit- unit eksperimen.

„ Desain ini dapat digunakan bila unit eksperimen bersifat homogen.

Contoh RAL :

„

Pemberian obat

„ Seseorang ingin mengetahui perbedaan mengenai pengaruh dari 4 macam pupuk terhadap hasil

panen jagung. (jenis 1,2,3,4)

„ Pemberian vitamin pada ayam

Dosis 1 Dosis o

Dosis 2

jantan betina

Percobaan dengan satu faktor

„ Eksperimen dimana hanya mempunyai satu faktor yang nilainya berubah- ubah.

„ Contoh :

Seseorang insinyur tertarik meneliti kekuatan tarik dari sebuah serat sintetik baru yang akan digunakan untuk membuat baju laki – laki.

Insinyur tersebut mengetahui dari percobaan sebelumnya bahwa kekuatan dipengaruhi oleh persentase serat yang digunakan dalam campuran material serat.

Lebih jauh peneliti menduga bahwa adanya kandungan kapas akan meningkatkan kekuatan tarik. Insinyur tersebut memutuskan untuk menguji lima level dari % kandungan kapas: 15,20,25,30,35.

Insinyur tersebut juga memutuskan untuk menguji lima

spesimen/bahan pada masing² level dari kandungan kapas.

(Montgomery, D. C., 2001;page 60 atau Montgomerry, D.C., 1991, pg 39)

Percobaan dengan satu faktor

„ Level (a) yang berbeda dari suatu faktor disebut perlakuan (i).

„ Data dalam tabel 1 menunjukkan pengamatan ke – j dengan perlakuan i.

„ Maka percobaan diatas merupakan contoh dari percobaan dengan faktor tunggal, dengan level (a=5), replikasi (n=5). Sehingga terdapat 25 run dalam urutan acak.

Ilustrasi (1)

„ Untuk menunjukkan bagaimana urutan tersebut di randomisasi, maka misalkan kita buat nomor dari urutan sbb :

% kandungan kapas

Nomor percobaan

15 1 2 3 4 5

20 6 7 8 9 10

25 11 12 13 14 15 30 16 17 18 19 20 35 21 22 23 24 25

Ilustrasi (2)

„ Pilih nomor secara acak antara 1 sampai 25.

(misal nomer tersebut adalah 8)

„ Maka pengamatan no 8 dilakukan terlebih dulu.

„ Proses ini diulang sampai ke- 25 pengamatan terisi.

Urutan Percobaan

Nomor yang di -

run

% berat cotton

1. 8 20

2. 18 30

3. 10 20

4. 23 35

5. 17 30

6. 5 15

7. 14 25

8. 6 20

9. 15 25

10. 20 30

11. 9 20

12. 4 15

13. 12 25

14. 7 20

15. 1 15

16. 24 35

17. 21 35

18. 11 25

19. 2 15

20. 13 23

21. 22 35

22. 16 30

23. 25 35

24. 19 30

25. 3 15

Ilustrasi (3)

„Misalkan, didapat hasil urutan sebagai berikut:

Lanjutan …

„ Setelah dilakukan percobaan, maka didapatkan data sbb:

Observasi

% kandungan

kapas 1 2 3 4 5

15 7 7 15 11 9 49 9,8

20 12 17 12 18 18 77 15,4 25 14 18 18 19 19 88 17,6 30 19 25 22 19 23 108 21,6

35 7 10 11 15 11 54 10,8

376 15,04 Total Average

)

(y_{i. (yi.)}

Grafik (1)

„ Untuk melihat pola data, dilihat secara grafis:

35%

30%

25%

20%

15%

25

20

15

10

5

Data

Boxplot of 15%, 20%, 25%, 30%, 35%

(Output MINITAB Vs. 15)

Grafik (2)

35%

30%

25%

20%

15%

25

20

15

10

5

% kandungan kapas

Kekuatan Tarik (lb/inc2)

Individual Plot Kekuatan Tensile VS % berat cotton

(Output MINITAB Vs. 15)

Apa yang dapat disimpulkan dari gambar?

„ Kedua grafik menunjukkan bahwa kekuatan tarik naik sesuai kenaikan kandungan kapas, tapi jika

kandungan kapas lebih dari 30% terlihat terjadi penurunan dalam kekuatan tarik.

„ Dari gambar tersebut belum bisa disimpulkan bahwa terdapat perbedaan kekuatan tarik pada persentase kandungan kapas.

„ Berdasarkan grafik sederhana, dapat diduga:

„ Kandungan kapas mempengaruhi kekuatan tarik

„ Jika kandungan kapas dalam kain sebesar 30%

berada dalam kekuatan tarik maksimum.

„ Prosedur yang tepat untuk menguji kesamaan

beberapa means adalah analisis varians (ANOVA).

Analisis Variansi - Satu Arah (one way-ANOVA )

„

ANOVA adalah :

suatu analisis yang digunakan untuk menyelidiki hubungan antara variabel respon (dependen) dengan satu atau beberapa variabel prediktor (independen).

„

ANOVA tidak mempunyai koefisien (parameter)

model.

ANOVA untuk RAL

„ Misal terdapat a perlakuan yang akan dibandingkan. Respon percobaan dari masing-masing perlakuan a merupakan variabel acak.

„ Dalam bentuk tabulasi, data tersebut adalah : Observasi

Perlakuan

1 2 … … n

Total Rata-rata 1 y₁₁ y₁₂ … … y_1n y_1.

.

y1

2 y₂₁ y₂₂ … … y_2n y_2.

.

y2

M M M … … _{M M M}

M M M … … _{M M M}

a y_a1 y_a2 … … y_an y_a.

.

ya

y..

y..

Model percobaan

„ Persamaan untuk model RAL adalah :

„ Dengan keterangan :

) 1 ,..., (

2 , 1

,..., 2 , 1

⎩ ⎨

⎧

=

∈ = + +

= j n

a y

_ij

µ τ

_{i ij}

i

yij adalah variable yang akan dianalisis, dimisalkan berdistribusi normal

µ adalah rata-rata umum atau rata-rata sebenarnya

τi adalah efek perlakuan ke i

∈ij adalah kesalahan, berupa efek yang berasal

dari unit eksperimen ke j yang dikenai perlakuan ke i

Model Percobaan

„ Dalam model statistik, persamaan (1) dapat dijelaskan menjadi dua kondisi.

1. Model Efek Tetap

„ Peneliti telah menentukan terlebih dahulu level faktornya.

„ Model ini membawa ke hipotesis nol bahwa tidak terdapat perbedaan diantara efek2 a buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen.

„ Kesimpulan hanya berlaku untuk a buah perlakuan yang terdapat dalam eksperimen.

2. Model Efek acak

„ Peneliti memilih secara acak a level dari populasi level faktor, maka dikatakan bahwa faktornya acak/random.

„ hipotesis nol yang berbunyi tidak ada perbedaan di antara efek2 semua perlakuan didalam populasi di mana sebuah sampel telah diambil sebanyak a perlakuan.

„ Kesimpulan berlaku untuk populasi perlakuan

berdasarkan sebuah sampel terdiri a buah perlakuan yang diambil dari populasi itu.

Model Efek Tetap

„ Dalam model efek tetap, efek perlakuan biasanya didefinisikan sebagai deviasi dari rata- rata mean,

sehingga :

„ Hipotesisnya :

τ

i

0

1

∑ =

= a

i

τ

i

0 1

0 ...

1

2 1

0

≠

=

=

=

=

=

=

i a

tidak paling

H H

τ τ τ

τ

Lanjutan …

Jika :

∑

=

=

=

= ⁿ

j

i i

ij

i y y y n i a

y

1

. .

. , ; 1,2,...,

N y y

y y

a

i n

j

ij

.. /

..

1 1

..

=

=

∑∑

= =

dengan : N = an

[ ]

∑ ∑∑ ∑∑

∑∑

∑∑

= = = = =

= =

= =

−

− +

− +

−

=

− +

−

=

−

=

a

i

a

i n

j

a

i n

j

i ij

i i

ij i

a

i n

j

i ij

i a

i n

j

ij T

y y

y y

y y

y y

n

y y

y y

y y

SS

1 1 1 1 1

. .

2 . 2

.

2

1 1

. .

2

1 1

) ..)(

( 2

) (

..) (

) (

..) (

..) (

Lanjutan …

„ Oleh karena itu didapat :

catat bahwa :

0 ) / ( )

( _{. . .}

1

.

. = − = − =

∑

−

=

n y n y

y n y

y

y _{i i i}

n

j

i i

ij

∑ ∑∑

∑∑

= = = = =

− +

−

=

−

= ^a

i

a

i

n

j

i ij

i a

i

n

j

ij y n y y y y

y SST

1 1 1

2 . 2

. 2

1 1

) (

..) (

..) (

E Treatment

T

SS SS

SS = +

∑ ∑

∑∑

= = = = ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

=

−

= ^a

i

n

j

i ij

a

i

n

j

i ij

E y y y y

SS

1

2

1

. 2

1 1

.) ( )

(

Tabel ANOVA

Sumber Variasi

SS df MS F0

Treatment

∑=

−

= ^a

i i

Treatment n y y

SS

1

2

. ..)

( a-1 MS_Treatment = SS_Treatment /(a −1)

E Treatment

MS F = MS

Error (dalam

percobaan)

Treatment T

E SS SS

SS = − ^N-a MS_E = SS_E /(N − a)

Total ²

1 1

..)

∑∑

(

= =

−

= ^a

i n

j

ij

Total y y

SS

N-1

Tolak H0 jika F₀ > F_{α,a−1,N−a}

Asumsi residual dalam ANOVA

) ,

0 (

~ IIDN σ

²

∈

ij

Penyelesaian Contoh Kasus :

Model yang berlaku untuk data ini :

ij i

yij = µ +τ +∈

yij = kekuatan tarik kain ke – j pada kandungan kapas ke – i µ = adalah rata-rata umum kekuatan tarik

τi = adalah kandungan kapas ke i

∈ij = kesalahan yang merupakan efek kekuatan tarik kain ke j yang di beri kandungan kapas ke i

Hipotesis

0 =

H tidak terdapat perbedaan pengaruh % kandungan kapas terhadap kekuatan tarik kain

0 =

H paling tidak terdapat satu perbedaan pengaruh % kandungan kapas terhadap kekuatan tarik kain

Perhitungan

96 , 636

25 ) 376 ) (

11 ( ....

) 7 (

..) (

2 2

2

2 ..

5

1 5

1

2 5 2

1 5

1

=

− +

+

=

−

=

−

=

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

N y y

y y

SS

i j

ij

i j

ij Total

20 . 161

76 . 475 96

. 636

=

−

=

−

= _{T Treatment}

E SS SS

SS

76 . 475

25 ) 376 ( 5

) 54 ( ...

) 49 (

..) (

2 2

2 1

2 .

=

+ −

= +

−

=

∑

= a

i

i

Treatment n y y

SS

Tabel ANOVA

Sumber Variasi

SS df MS F₀

Treatment 475.76 4 118.94 14.76 Error (dalam

percobaan)

161.20 20 8.06

Total 636.96 24

20 , 4 , 05 . 0

0 F

F >

Tolak H₀ karena 14.76 > 2.87

Jadi terdapat perbedaan rata-rata pengaruh %tase kandungan kapas terhadap kekuatan tarik kain.

Perhitungan menggunakan Minitab 15

Output Minitab

One-way ANOVA: kekuatan tarik versus %kandungan kapas Source DF SS MS F P

%kandungan kapas 4 475.76 118.94 14.76 0.000 Error 20 161.20 8.06

Total 24 636.96

S = 2.839 R-Sq = 74.69% R-Sq(adj) = 69.63%

Pengujian asumsi residual

5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.0 99 90 50

10 1

Residual

Percent

20.0 17.5 15.0 12.5 10.0 5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.0

Fitted Value

Residual

6 4 2 0 -2 -4 -6 6.0 4.5 3.0 1.5

0.0

Residual

Frequency

Mean -9.23706E-16

StDev 2.592

N 25

24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 5.0 2.5 0.0 -2.5 -5.0

Observation Order

Residual

Normal Probability Plot Versus Fits

Histogram Versus Order

Residual Plots for kekuatan tarik

distribusi Normal

homogen

independen

Model Efek Random

„ Karena level dari faktor dipilih secara acak, maka kesimpulan yang dibuat dapat mewakili populasi dari level faktor.

„ Model dari efek acak :

Dengan dan merupakan variabel acak.

„ Hipotesis

) 2 ,..., (

2 , 1

,..., 2 , 1

⎩⎨

⎧

=

∈ = + +

= j n

a y_ij µ τ_{i ij} i

τ

i ∈ij

0 0

2 1

2 0

≠

=

=

=

τ τ

σ σ H

H

ANOVA

„ ANOVA dan perhitungan untuk model efek random sama dengan model efek tetap. Yang membedakan hanya kesimpulan yang berlaku untuk populasi.