commit to user
i
ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR)
MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM)
oleh
MIKA ASRINI
M0108094
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
commit to user
ii
SKRIPSI
ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE AUTOREGRESSIVE (MAR)
MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM)
yang disiapkan dan disusun oleh
MIKA ASRINI
M 0108094
dibimbing oleh
Pembimbing I,
Winita Sulandari, M.Si. NIP. 19780814 200501 2 002
Pembimbing II,
Drs. Santoso B. W., M.Si. NIP. 19620203 199103 1 001
telah dipertahankan di depan Dewan Penguji
pada hari Jumat, tanggal 27 September 2013
dan dinyatakan telah memenuhi syarat.
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Dr. Sri Subanti, M.Si. 1. ………
NIP. 19581031 198601 2 001
2. Dra. Mania Roswitha, M.Si. 2. ………
NIP. 19520628 198303 2 001
Surakarta, 4 Oktober 2013 Disahkan oleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan,
Prof. Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc., (Hons)., Ph.D. NIP. 19610223 198601 1 001
Ketua Jurusan Matematika,
commit to user
iii
ABSTRAK
Mika Asrini, 2013. ESTIMASI PARAMETER MODEL MIXTURE
AUTOREGRESSIVE (MAR) MENGGUNAKAN ALGORITMA
EKSPEKTASI MAKSIMISASI (EM). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Model mixture autoregressive (MAR) merupakan model gabungan beberapa
komponen Gaussian autoregressive (AR). Model MAR mampu memodelkan
data runtun waktu yang nonlinier dan cenderung bersifat multimodal. Multimodal merupakan pengamatan jika digambarkan memiliki lebih dari satu puncak dalam
histogram. Model MAR dapat dibentuk dengan mengestimasi nilai setiap
parameter. Model MAR adalah model gabungan yang mengakibatkan
parameternya tidak bisa diestimasi menggunakan maksimum likelihood secara
langsung. Parameter model MAR dapat diestimasi menggunakan algoritma
ekspektasi maksimisasi (EM) yang memiliki dua tahap yaitu tahap ekspektasi dan tahap maksimisasi.
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji kembali dan menurunkan ulang
berkaitan dengan estimasi parameter pada model MAR menggunakan algoritma
EM. Contoh kasus yang diterapkan pada penelitian ini adalah data produksi jagung nasional.
Hasil penelitian menunjukan bahwa proses estimasi parameter model MAR
diawali dengan identifikasi model dan inisiasi parameter. Identifikasi model merupakan tahap penentuan komponen dan orde menggunakan histogram dan plot autokorelasi parsial. Pada tahap inisiasi parameter, nilai awal parameter
ditentukan secara sembarang. Tahap inti dari estimasi parameter model MAR yaitu
tahap ekspektasi dan maksimisasi yang meliputi penghitungan ekspektasi data
hilang, penentuan fungsi log likelihood data lengkap, dan penentuan estimator
parameter dengan memaksimalkan fungsi tersebut. Identifikasi model pada contoh kasus produksi jagung nasional memberikan dua alternatif model yaitu model
MAR dengan dua komponen dan tiga komponen. Berdasarkan pada penghitungan
Bayes Information Criterion (BIC), model MAR dua komponen lebih sesuai dari tiga komponen.
commit to user
iv
ABSTRACT
Mika Asrini, 2013. PARAMETER ESTIMATION OF MIXTURE
AUTOREGRESSIVE (MAR) MODEL USING THE EXPECTATION MAXIMIZATION (EM) ALGORITHM. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University.
Mixture autoregressive (MAR) Model is a mixture of komponen Gaussian
autoregressive (AR). The mixture model is capable for modelling of nonlinear
time series with multimodality conditional. MAR model can be established by
estimating the value of each parameter. MAR model is a combined model that resulted in the parameters can not be estimated using maximum likelihood directly. MAR model parameters can be estimated using the expectation maximization (EM) algorithm which has two phases are expectation and maximization stage.
The objectives of this study is toexamine the lower back and re-estimate
parameters of MAR model using EM algorithm. The case in applied to this research is national maize production.
The aim of this study is to process of parameter estimation of MAR model starts with the model identification and parameter initiation. Model identification is the stage of determining component and order using histogram and partial autocorrelation plot. The parameter initiation stage, initial parameter values are determined arbitrarily. The parameter estimation main stages of the MAR model are expectation and maximization which includes calculation of missing data expectation, determination of complete data log likelihood function, and determination of parameter estimator by maximizing the function. The model identification of the case to national maize production data gives two alternative models those are MAR models with two components and three components. Based on the Bayes Information Criterion (BIC) calculation, MAR model with two components is more appropriate than three components.
Key words: : mixture autoregressive, EM algorithm, national maize production, BIC
commit to user
v
MOTO
Seseorang yang beruntung adalah seseorang yang tidak pernah berhenti untuk berdo’a dan berusaha.
Semangat adalah gunung berapi yang dipuncaknya rumput keragu-raguan tidak
dapat tumbuh.
commit to user
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan kepada:
Mama dan Ayah tersayang yang tak henti-hentinya memberiku doa,
kasih sayang, dan dukungan (baik moril maupun materiil) selama ini.
Mas Dony dan dek Rahman tercinta, terima kasih atas doa dan
commit to user
vii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan
rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Keberhasilan dalam penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan banyak
pihak. Penulis menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah
memberikan dukungan, bimbingan, petunjuk dan juga saran selama penyusunan
skripsi ini, antara lain kepada
1. Ibu Winita Sulandari, M.Si. yang telah memberikan saran, arahan,
dukungan semangat dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini.
2. Bapak Drs. Santoso B.W., M.Si. yang telah dengan sabar, memberikan
bimbingan dalam penulisan skripsi ini.
3. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Penulis menyadari sebagai manusia tidak luput dari kekurangan dan
kekhilafan sehingga saran-saran dan kritik yang membangun bagi kesempurnaan
skripsi ini. Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, September 2013
commit to user
viii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ……… i
HALAMAN PENGESAHAN ……….…. ii
ABSTRAK ……… iii
ABSTRACT………..…. iv
MOTO …………..….……….……….……. v
PERSEMBAHAN …..……….……. vi
KATA PENGANTAR ……….……. vii
DAFTAR ISI ……….……… viii
DAFTAR TABEL ……….……… x
DAFTAR GAMBAR ……… xi
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL ……….…… xii
BAB I PENDAHULUAN ……….…… 1
1.1. Latar Belakang Masalah ………..…… 1
1.2. Perumusan Masalah ………. 2
1.3. Tujuan Penelitian ………...…….. 2
1.4. Manfaat Penelitian ………...……… 3
BAB II LANDASAN TEORI ………..……. 4
2.1. Tinjauan Pustaka ……….……. 4
2.1.1 Autoregressive (AR) ……..……… 5
2.1.2 Fungsi Autokorelasi (ACF) ……….. 5
2.1.3 Fungsi Autokorelasi pasial (PACF)…..………. 6
2.1.4 Metode Maksimum Likelihood ………. 6
2.1.5 Algoritma Ekspektasi Maksimisasi (EM) ………. 7
2.1.6 Bayes Information Criterion(BIC) ………... 8
2.2. Kerangka Pemikiran ……….…… 9
BAB III METODE PENELITIAN ………...……. 11
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ………...…… 12
commit to user
ix
4.2. Estimasi Parameter Model MAR………...….…….. 14
4.3. Contoh Kasus ………..…….. 22
4.3.1 Model MAR(2:1,1) ………. 25
4.3.2 Model MAR(3:1,1,1) ……….. 27
4.3.3 Pemilihan Model Terbaik……….…… 30
BAB V PENUTUP ……….…….. 35
5.1. Kesimpulan ……….……. 35
5.2. Saran ………..…….. 35
DAFTAR PUSTAKA ………..……. 36
commit to user
x
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1. Data Produksi Jagung Nasional…….……….. 22
Tabel 4.2. Nilai Parameter dan Nilai BIC Model MAR (2;1,1) dan
commit to user
xi
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 4.1. Data Produksi Jagung Nasional………..……. 22
Gambar 4.2. Autokorelasi Untuk Produksi Jagung Nasional………...… 23
Gambar 4.3. Produksi Jagung Nasional Diferensiasi 1.………….….…. 23
Gambar 4.4. Histogram Data Produksi Jagung Nasional..……….….…. 24
commit to user
xii
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
| | : harga mutlak
∑ : sigma, operator penjumlahan
: koefisien AR, dengan
: backward shift operator
: mean atau rata-rata populasi
: eror random ke-t
: fungsi autokovarian pada lag-k
: fungsi autokorelasi pada lag-k
: fungsi autokorelasi parsial
: parameter rata-rata bergerak
: Ekspektasi data hilang komponen ke-k waktu ke-t
: proporsi masing-masing komponen gabungan ke
: deviasi standar masing-masing komponen ke
: koefisien model MAR masing – masing komponen orde ke 0,
1, ….,
: distribusi kumulatif normal standar
: orde AR komponen
: orde AR maksimal dari keseluruhan komponen
: data runtun waktu terobservasi waktu ke-t
: data hilang waktu ke-t
