1. Introduction. Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika. Mata Kuliah: Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.

(1)

Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan Matriks

Semester Pendek TA 2009/2010

S1 Teknik Informatika

Dosen Pengampu:

Heri Sismoro, M.Kom.

STMIK AMIKOM YOGYAKARTA

Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274 884201 Fax 0274‐884208 Website: www.amikom.ac.id

(2)

Sistem Persamaan Linear

z

Sistem Linear m kali n : suatu himpunan

m persamaan linear dalam n peubah

z

_{Solusi bagi sistem linear : susunan}

rangkap n peubah‐peubah tersebut yang

memenuhi setiap persamaan di dalam

sistem ini

(3)

Seorang produsen membuat 3 produk boneka, yaitu

beruang, kelinci dan ayam. Setiap boneka harus melalui 3

tahap pembuatan, yaitu menjahit, mengisi dan menghias.

Untuk beruang memerlukan waktu menjahit 24 menit,

mengisi 18 menit dan menghias 9 menit. Kelinci

memerlukan waktu menjahit 16 menit, mengisi 12 menit

dan menghias 8 menit. Sedangkan ayam memerlukan

waktu menjahit 18 menit, mengisi 9 menit dan menghias

4 menit.

Bagian menjahit menyediakan 50 jam orang per hari.

Bagian mengisi menyediakan 33 jam orang per hari.

Bagian menghias menyediakan 18 jam orang per hari.

Berapa banyak setiap boneka harus dihasilkan setiap hari

untuk memaksimumkan ketersediaan tenaga kerja

tersebut?

(4)

Untuk menganalisa keadaan ini, kita misalkan:

x = banyaknya boneka beruang yang dihasilkan

y = banyaknya boneka kelinci yang dihasilkan

z = banyaknya boneka ayam yang dihasilkan

Dengan demikian,

z

Pemanfaatan total bagian menjahit = 24x + 16y + 18z menit,

tanaga tersedia 50 jam atau 3000 menit, sehingga: 24x +

16y + 18z = 3000

z

Pemanfaatan total bagian mengisi = 18x + 12y + 9z menit,

tanaga tersedia 33 jam atau 1980 menit, sehingga: 18x +

12y + 9z = 1980

z

Pemanfaatan total bagian menghias = 9x + 8y + 4z menit,

tanaga tersedia 18 jam atau 1080 menit, sehingga: 9x + 8y +

4z = 1080

(5)

Jadi, unsur-unsur x,y, dan z yang tidak

diketahui harus memenuhi semua

persamaan berikut:

24x + 16y + 18z = 3000

18x + 12y + 9z = 1980

9x + 8y + 4z = 1080

(6)

STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274 884201 Fax 0274‐884208 Website: www.amikom.ac.id

BENTUK UMUM

z

Sebuah persamaan dapat dikatakan berbentuk

linear apabila jika memiliki bentuk:

a

₁

x

₁

+ a

₂

x

₂

+ a

₃

x

₃

+ …….. + a

_n

x

_n

= b

(a

_k

koefisien dari x

_k

)

z

Persamaan ax + by = c merupakan sebuah garis

lurus pada bidang –xy

(solusi bagi persamaan ax + by = c adalah

koordinat titik‐titik yang terletak pada garis

tersebut)

(7)

Himpunan solusi dari persamaan 3x – 4y = 12 adalah:

3x – 4y = 12 setara dengan

Untuk sembarang bilangan nyata bagi x, katakanlah x = c,

maka:

Himpunan solusi bagi persamaan tersebut adalah:

4

3

3 x

y

=

−

+

atau

nyata

bilangan

c

|

_

4

3

3 ,

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₊

nyata

bilangan

c

x

|

_

4

3

3 ,

(8)

Latihan 1

Tentukan persamaan linear yang melalui

titik A(2,2) dan B(3,4)

Untuk menentukan pers. Kurva linear yang

melalui A(X

₁

,Y

₁

) dan B(X

₂

,Y

₂

), maka digunakan

rumus:

2

1

2

1

1 x

x

y

−

=

−

(9)

Latihan 2

Gambarkan grafik (garis) dari pers. linear

berikut:

1. x + y = 4

2x – 2y = 8

2. x + y = 4

x – y = 8

2x + 3y = 6

(10)

Latihan 3

Selesaikan persamaan:

2x + 3 y = 6

x + y = 2,

dengan metode:

1. Metode Substitusi

2. Metode Eleminasi

(11)

Latihan 4

Tentukan himpunan solusi bagi persamaan:

1. 3x – 5y = 15

2. 4x

₁

+ 3x

₂

= 9

3. 3x + 5y – 7z = 10

(12)

Latihan 5

Selesaikan persamaan:

24x + 16y + 18z = 3000

18x + 12y + 9z = 1980

9x + 8y + 4z = 1080

(13)

Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan Matriks

Semester Pendek TA. 2009/2010

S1 Teknik Informatika

Dosen Pengampu:

Heri Sismoro, M.Kom.

(14)

Matrix

• Matrix : kumpulan bilangan yang

disajikan secara teratur dalam baris dan

kolom yang membentuk suatu persegi

panjang, serta termuat diantara

sepasang tanda kurung.

(15)

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

mn

m

n

a

A

L

M

L

2

1

2

22

21

1

12

11 Atau

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

mn

m

n

a

A

L

M

L

2

1

2

22

21

1

12

11

(16)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

mn

m

n

a

A

L

M

L

2

1

2

22

21

1

12

11 Baris

Kolom

Unsur Matrix

Matrix berukuran m x n

atau berorde m x n

Jika ( m = n ) dinamakan

_{matrix bujursangkar (square}

(17)

Vektor

y Vektor : bentuk matrix khusus yang hanya

mempunyai satu baris atau satu kolom. Æ

vektor baris (berbaris tunggal) dan vektor

kolom (berkolom tunggal)

y Contoh :

[

]

[

]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

9

7

5

2

6

3 kolom

Vektor

7

3

6

5

4

2 baris

vektor

d

c

b

a

(18)

Kesamaan matrix dan vektor

• Dua matrix dikatakan sama apabila keduanya berorde sama dan semua

unsur yang terkandung di dalamnya sama (a

_ij

= b

_ij

, untuk setiap

_i

dan

_j

)

contoh :

• Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya sejenis, sedimensi dan

semua unsur yang terkandung di dalamnya sama

.

Contoh :

C

B

C,

A

B,

A

maka

4

2

8

5

3

2

4

2

8

5

3

2

4

2

8

5

3

2 ≠

≠

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

B

C

A

[

]

[

2

3

5 ]

5

3

2

8

4

2

5

3

2 −

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

−

=

b

v

u

a

Maka a = b,

u ≠ v, a ≠ u ≠ v

dan b ≠ u ≠ v

(19)

• Matrix dapat dikatakan sebagai kumpulan vektor Æ

A

_mxn

adalah matrix A yang merupakan kumpulan dari

m buah vektor baris dan n buah vektor kolom

.

[

]

[

8

2

4 ]

4

5 ,

2

3 ,

8

2 dan

5

3 -2

vektor

dari

kumpulan

merupakan

yang

matrix

adalah

4

2

8

5

3

2 ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

A

(20)

Pengoperasian Matrix dan Vektor

• _{Penjumlahan dan Pengurangan}

Dua buah matrix hanya dapat

dijumlahkan dan dikurangkan apabila

keduanya berorde sama.

A + B = C dimana c

_ij

= a

_ij

+ b

_ij

• _{Berlaku kaidah Komutatif : A + B = B + A}

• _{Kaidah Asosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C =}

A + B + C

(21)

Perkalian Matrix dengan Skalar

• λA = B dimana

b

_ij

= λa

_ij

• Contoh :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

18

15

12

6

6 .

3

5 .

3

4 .

3

2 .

3

3 maka

3

6

5

4

2 B

A

λ

Kaidah Komutatif : λA = A λ

(22)

Perkalian Antar Matrix

• Dua buah matrix hanya dapat dikalikan

apabila jumlah kolom dari matrix yang

dikalikan sama dengan jumlah baris dari

matix pengalinya.

• A

_mxn

x B

_nxp

= C

_mxp

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

53

39

23

17

8 .

4

7 .

3

6 .

4

5 .

3

8 .

2

7 .

1

6 .

2

5 .

1

8

6

7

5

4

3

2

1 Kaidah Asosiatif

: A(BC) = (AB) C = ABC

Kaidah Distributif

: A(B+C) = AB + AC

(23)

Perkalian Matrix dengan Vektor

• Sebuah matrix yang bukan berbentuk vektor hanya

dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom, dengan

catatan jumlah kolom matrix sama dengan dimensi

vektor kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah

berupa sebuah vektor kolom baru

.

• _A

_mxn

_x B

_nx1

_= C

_mx1

_n > 1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

53

23

8 .

4

7 .

3

8 .

2

7 .

1

8

7

4

3

2

1

(24)

Bentuk‐bentuk Khas Matrix

• Matrix Satuan / Identitas : Matrix

bujursangkar yang semua unsur pada

diagonal utamanya adalah angka 1

sedangkan unsur lainnya nol.

• Contoh

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

1

0

1

0

1 I

1

0

1 I

₂

₃

(25)

Matrix Diagonal

• Matrix diagonal adalah matrix

bujursangkar yang semua unsurnya nol

kecuali pada diagonal utama.

• _Contoh :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1

0

1

4

0

3

0

3

5

0

3 Matrix Identitas

(26)

Matrix Nol

• Matrix nol : Matrix yang semua unsurnya

NOL. Æ 0

• Contoh :

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

0

0 _{2 x}

₂

_2x3

(27)

Matrix Ubahan (transpose)

• Matrix ubahan ialah matrix yang

merupakan hasil pengubahan matrix lain

yang sudah ada sebelumnya, dimana

unsur‐unsur barisnya menjadi unsur‐unsur

kolom dan sebaliknya.

• _A

_mxn

_=[a

_ij

_{] matrix ubahannya ÆA′}

_nxm

_=[a

_ji

_]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

4

3

1

2 '

4

1

3

2 A

A

(A′) ′ = A

(28)

Matrix Simetrik

• Matrix simetrix adalah matrix

bujursangkar yang sama dengan

ubahannya.

• _A = A′

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

7

3

1 '

7

3

1 A

A

AA′ = AA = A

2

(29)

Matrix simetrik miring (skew symmetric)

• Matrik ini merupakan matrix bujursangkar

yang sama dengan negatif ubahannya.

• A = ‐A′ atau A′ = ‐A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

0

2

4

2

0

5

4

5

0

2

4

2

0

5

4

5

0

2

4

2

0

5

4

5

0 -A'

A'

A

(30)

Matrix Balikan (inverse matrix)

Matrix balikan : matrix yang apabila

dikalikan dengan suatu matrix bujursangkar

menghasilkan sebuah matrik identitas.

A Æ balikannya adalah A

‐1

AA

‐1

= I

A

‐1

_{= adj.A ÷ |A|}

(31)

Bentuk khas yang lain

• Matrix skalar : matrix diagonal yang unsurnya

sama atau seragam (λ). Jika λ = 1 Æ matrix

identitas

• Matrix ortogonal : matrix yang apabila

dikalikan dengan matrix ubahannya

menghasilkan matrix identitas (AA′=I)

• Matrix singular : matrix bujursangkar yang

determinannya sama dengan nol. Matrik

semacam ini tidak memiliki inverse

• Matrix non‐singular : matrix bujusangkar yang

determinannya tidak nol, memiliki balikan

(inverse)

(32)

Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan Matriks

Semester Pendek TA 2009/2010

S1 Teknik Informatika

Dosen Pengampu:

Heri Sismoro, M.Kom.

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

21

32

13

31

23

12

33

22

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11 a

a

A

=

+

32

23

11

33

12

21

13

22

31 a

a

−

)

(

)

(

)

(

a

₁₁

a

₂₂

a

₃₃

a

₁₁

a

₂₃

a

₃₂

a

₁₂

a

₂₃

a

₃₁

a

₂₁

a

₁₂

a

₃₃

a

₁₃

a

₃₂

a

₂₁

a

₃₁

a

₂₂

a

₁₃

A

=

−

+

−

+

−

)

(

)

(

)

(

₂₂

₃₃

₂₃

₃₂

₁₂

₂₃

₃₁

₂₁

₃₃

₁₃

₂₁

₃₂

₃₁

₂₂

11 a

a

−

+

−

+

−

=

)

(

)

(

)

(

₂₂

₃₃

₃₂

₂₃

₁₂

₂₁

₃₃

₃₁

₂₃

₁₃

₂₁

₃₂

₃₁

₂₂

11 a

a

−

+

−

=

32

31

22

21

13

33

31

23

21

12

33

32

23

22

11 a

a

−

+

=

11 M

M

₁₂

M

₁₃

∑

=

+

−

=

ij

n

j

i

M

a

M

a

M

a

M

a

1 .

13

12

11

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)