463
Konstruksi Super Matriks Simetris
Persegi Latin
Hendra Kartika
Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Singaperbangsa Karawang, Jln. H.S. Ronggowaluyo Telukjambe Timur, Karawang-Jawa Barat 41361
hendra.kartika.hk@gmail.com
Abstrak
—
Beberapa literatur menjelaskan bahwa ada beberapa cara untuk mengkontruksi matriks persegi latin, tetapi implementasi tentang super matriks simetris persegi latin masih sedikit. Selain itu, telah dilakukan penelitian mengenai algoritma untuk mengkonstruksi super matriks simetris persegi latin dengan orde 2n. Namun, dalam penelitian ini, diusulkan kembali suatu algoritma yang berbeda untuk mengkonstruksi super matriks simetris persegi latin. Tujuannya adalah untuk mengembangkan kajian-kajian baru serta terapan tentang matriks persegi latin dalam bidang kombinatorik, teori design, statistika dan ilmu komputer. Dalam penelitian ini, metode yang digunakan untuk merancang algoritma adalah model alur proses. Sedangkan software yang digunakan dalam penelitian ini adalah Matlab.Dari plot grafik yang terbentuk, diperoleh gambaran grafik yang berbeda dengan pola yang sangat unik khususnya untuk orde n ≥ 6.Kata kunci: persegi latin, super matriks simetris.
I. PENDAHULUAN
Beberapa literatur menjelaskan bahwa ada beberapa cara untuk mengkonstruksi matriks persegi latin, tetapi implementasi tentang super matriks simetris persegi latin masih sedikit [3]. Selain itu, telah dilakukan kajian mengenai algoritma untuk mengkonstruksi super matriks simetris persegi latin dengan orde 2n. Namun, dari kajian algoritma yang dilakukan peneliti, terdapat perbedaan langkah-langkah pengerjaan dalam mengkonstruksi super matriks simetris persegi latin. Dari output yang dihasilkan, diperoleh gambaran grafik yang berbeda dengan pola yang sangat unik khususnya untuk orde n ≥ 6.
Dalam penelitian ini, diusulkan kembali tentang bagaimana cara untuk mengkonstruksi super matriks simetris persegi latin menggunakan algoritma yang diusulkan. Dari penelitian ini, diharapkan adanya kajian-kajian baru serta terapan tentang matriks persegi latin dalam bidang kombinatorik, teori design, statistika dan ilmu komputer.
II. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah model alur proses yang digambarkan dengan diagram alur berikut:
Mengkaji teori tentang super matriks simetris
persegi latin
Membuat Pertanyaan Penelitian
464
Ya Tidak
GAMBAR 1. DIAGRAM ALUR PROSES PENELITIAN
Software yang digunakan dalam penelitian ini adalah Matlab versi 7.12.0 (R2011a). Software ini
digunakan untuk memudahkan dalam proses perhitungan serta kehandalannya dalam mengolah fungsi matriks, khususnya untuk orde yang sangat besar.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1: Matriks persegi latin
Matriks persegi latin adalah matriks berukuran n × n yang memuat n simbol yang berbeda sedemikian sehingga setiap simbol tepat muncul satu kali pada baris dan tepat muncul satu kali pada kolom [1]. Simbol yang dimaksud dalam definisi tersebut dapat berupa angka, huruf dan gambar.
Definisi 2: Super Matriks Simetris
Matriks persegi latin disebut super matriks simetris, jika permutasi dari semua elemen bersesuaian dengan sifat matriks persegi latin. Selain itu, jika dua garis ditarik dan saling berpotongan secara diagonal, membentuk 4 segitiga yang simetri [3]. Berikut ini merupakan beberapa contoh dari super matriks simetris persegi latin.
Contoh 1: Super matriks simetris orde 2,
0
1
1
0
Contoh 2: Super matriks simetris orde 4,
1
0
3
2
0
1
2
3
3
2
1
0
2
3
0
1
Contoh 3: Super matriks simetris orde 6,
2
0
1
5
4
3
1
2
0
4
3
5
0
1
2
3
5
4
5
4
3
2
0
1
4
3
5
1
2
0
3
5
4
0
1
2
Sesuai dengan teori? Cek HasilImplementasi Hasil Perbaikan
Terjemahkan ke Bahasa Matlab
465
Super matriks simetris disebut juga sebagai matriks blok yang memuat sub-sub matriks persegi latin dengan ai,j = aj,i untuk i, j=1, 2,..., n. Pada penelitian ini, super matriks simetris yang akan dikonstruksi menggunakan 4 blok matriks persegi latin. Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
2 , 2 1 , 2 2 , 1 1 , 1a
a
a
a
A
a) Langkah-Langkah Algoritma yang Diusulkan
1) Membangkitkan dua buah blok matriks persegi latin. Unsur-unsur pada blok matriks yang pertama merupakan permutasi dari nilai 0, 1, ..., n-1. Unsur pada diagonal kanan, mempunyai nilai yang sama, sedemikian hingga d1,1=d2,2=...=dn,n. Sedangkan unsur-unsur pada blok matriks yang
kedua merupakan permutasi dari nilai n, n+1, ..., 2n-1, unsur pada diagonal kiri, mempunyai nilai yang sama, sedemikian hingga d1,n=d2,n-1=...=dn,1. Misal,
2
0
1
1
2
0
0
1
2
1
Matriks
Blok
,
5
4
3
4
3
5
3
5
4
2
Matriks
Blok
.2) Selanjutnya, Blok Matriks 1=a1,1 sedangkan Blok Matriks 2=a1,2. Sedemikian hingga,
2 , 2 1 , 25
4
3
2
0
1
4
3
5
1
2
0
3
5
4
0
1
2
a
a
A
3) Kemudian, blok matriks a2,1 dan blok matriks a2,2 didapat dari dua blok matriks secara
menyilang,
2 , 2 1 , 25
4
3
2
0
1
4
3
5
1
2
0
3
5
4
0
1
2
a
a
A
2
0
1
5
4
3
1
2
0
4
3
5
0
1
2
3
5
4
5
4
3
2
0
1
4
3
5
1
2
0
3
5
4
0
1
2
A
b) Pseudocode dari Implementasi Algoritma
Input dari algoritma ini adalah orde blok, sedangkan outputnya adalah super matriks simetris persegi latin A=[ai,j]n×n. Pseudocode dari algoritma yang diusulkan merupakan pengembangan dari pseudocode algoritma persegi latin [2]. Berikut ini merupakan pseudocode dari implementasi
466
GAMBAR 2. PSEUDOCODE DARI IMPLEMENTASI ALGORITMA YANG DIUSULKAN
GAMBAR 3. PSEUDOCODE ALGORITMA DALAM BENTUK FUNGSI MATLAB
c) Output
Berikut ini merupakan output yang dihasilkan setelah pseudocode dari algoritma diterjemahkan ke dalam bahasa Matlab.
SUPER_SIMETRIS_LATIN(orde_blok, A)
1
_
orde
blok
h
for i to orde_blok do for j to orde_blokdo M[i,j] i+j*h-1 mod orde_blok
return M
for i to orde_blok
do for j to orde_blok
do N[i,j] (i+j-1 mod orde_blok) + orde_blok
return N
M
Matriks
Blok
_
1
N
Matriks
Blok
_
2
1
_
2
_
2
_
1
_
Matriks
Blok
Matriks
Blok
Matriks
Blok
Matriks
Blok
A
function Large=latin(orde_blok) clc; h=orde_blok-1; for i=1:orde_blok for j=1:orde_blok M(i,j)=mod((i+j*h-1),orde_blok); end; end; for i=1:orde_blok for j=1:orde_blok N(i,j)=mod((i+j-1),orde_blok)+orde_blok; end; end; BlokMatriks1=M BlokMatriks2=N Large=[M N;N M]; plot(Large)467
GAMBAR 4. GENERATE SUPER MATRIKS GAMBAR 5. PLOT GRAFIK SUPER MATRIKS SIMETRIS ORDE 4 SIMETRIS ORDE 4
GAMBAR 6. GENERATE SUPER MATRIKS GAMBAR 7. PLOT GRAFIK SUPER
468
IV. SIMPULAN DAN SARAN
Hasil dari implementasi algoritma yang diusulkan setelah dilihat dari output Matlab yang dihasilkan sudah mendukung teori tentang super matriks simetris persegi latin. Dari plot grafik yang terbentuk, diperoleh gambaran grafik dengan pola yang sangat unik khususnya untuk orde n ≥ 6.
Untuk penelitian selanjutnya, diperlukan adanya kajian-kajian baru serta terapan tentang matriks persegi latin dalam bidang kombinatorik, teori design, statistika dan ilmu komputer.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Evans, A.B., “A class of Orthogonal Latin Square Graphs,” Australian Journal of Combinatorics, vol. 57, pp. 189-216, 2013.
[2] Ivanyi, A., Nemeth, Z., “List coloring of Latin and Sudoku graphs,” 8th Joint Conf. on Math. and Comp. Sci. Slovakia: Comarno, 2010, pp. 1-11.
[3] M.A.P. Chamikara, S.R. Kodituwaku, A.A.C.A. Jayathilake, A.A.I. Perera, “An Algorithm to Construct Super-Symmetric Latin Squares of Order 2n,” IJRIT International Journal of Research in Information Technology, Vol.1, Issue 4, pp. 38-50, April 2013.
