MODUL 3 SINYAL WAKTU DISKRIT DALAM KAWASAN FREKUENSI

(1)

MODUL 3

SINYAL WAKTU DISKRIT DALAM KAWASAN

FREKUENSI

I. Tugas Pendahuluan

Perintah atau fungsi pada MATLAB dapat dilihat dan dipelajari dengan online help pada Command window. Contoh ketiklah : help plot. Maka arti dari perintah plot akan ditampilkan di layar. Atau dapat dicari dari Help Menu kemudian pilih Function

Browser dan ketik perintah yang ingin dicari.

Baca kembali perintah pada modul 1 dan 2.

Carilah arti perintah MATLAB berikut ini sebelum mulai percobaan, dengan memahami arti tiap perintah maka percobaan dapat dimengerti dengan mudah:

1. Sinyal Processing Toolbox

a. freqz artinya ……… b. impz artinya ……… c. residuez artinya ……… d. tfz artinya ……… e. zp2sos artinya ……… f. zp2tf artinya ……… g. zplane artinya ………

(2)

II. Teori Penunjang

Pada modul ketiga ini akan dipelajari penggunaan MATLAB untuk sinyal dan sistem dalam kawasan frekuensi dengan menggunakan transformasi Fourier dan transformasi Z.

Transformasi Fourier

Transformasi Fourier 𝑋(𝑒𝑗𝜔_{) dari deretan 𝑥[𝑛] didefinisikan}

𝑋(𝑒𝑗𝜔) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=−∞

Secara umum 𝑋(𝑒𝑗𝜔_{) adalah fungsi kompleks dari variabel riil 𝜔 dan dapat ditulis sbb}

𝑋(𝑒𝑗𝜔) = 𝑋𝑟𝑒(𝑒𝑗𝜔) + 𝑗𝑋𝑖𝑚(𝑒𝑗𝜔)

Dengan 𝑋_𝑟𝑒(𝑒𝑗𝜔_{) adalah bagian riil dari 𝑋(𝑒}𝑗𝜔_{), dan 𝑋}

𝑖𝑚(𝑒𝑗𝜔) adalah bagian imajiner

dari 𝑋(𝑒𝑗𝜔_).

𝑋(𝑒𝑗𝜔) dapat diekspresikan dalam bentuk

𝑋(𝑒𝑗𝜔_{) = |𝑋(𝑒}𝑗𝜔_)|𝑒𝑗𝜃(𝜔)

Dengan |𝑋(𝑒𝑗𝜔)| adalah magnituda dan 𝜃(𝜔) adalah sudut phase.

Transformasi Fourier 𝑋(𝑒𝑗𝜔) adalah fungsi kontinu periodik dalam 𝜔 dengan perioda 2𝜋 Bagian bagian riil 𝑋_𝑟𝑒(𝑒𝑗𝜔_{) dan magnituda |𝑋(𝑒}𝑗𝜔_{)| berupa fungsi genap dari 𝜔. Bagian}

imajiner 𝑋_𝑖𝑚(𝑒𝑗𝜔_{) dan sudut phase 𝜃(𝜔) adalah fungsi ganjil dari 𝜔.}

Fungsi rasional 𝑋(𝑒𝑗𝜔) = 𝑝0+ 𝑝1𝑒 −𝑗𝜔_{+ ⋯ + 𝑝} 𝑀𝑒−𝑗𝜔𝑀 𝑑₀+ 𝑑₁𝑒−𝑗𝜔_{+ ⋯ + 𝑑} 𝑀𝑒−𝑗𝜔𝑀 Transformasi Z

Perhatian akan ditujukan pada transformasi Z 𝐺(𝑧) dari suatu deretan 𝑔[𝑛] yang berupa variabel kompleks 𝑧−1 dan diekspresikan dalam bentuk pembagian polinomial seperti persamaan berikut: 𝐺(𝑧) = 𝐴(𝑧) 𝐵(𝑧)= 𝑎₀+ 𝑎₁𝑧−1_{+ … + 𝑎} 𝑀−1𝑧−(𝑀−1)+ 𝑎𝑀𝑧−𝑀 𝑏0+ 𝑏1𝑧−1+ … + 𝑏𝑁−1𝑧−(𝑁−1)+ 𝑏𝑁𝑧−𝑁

Atau dalam bentuk

𝐺(𝑧) =𝑎0 𝑏₀

∏𝑀𝑟=1(1 − 𝐶𝑟𝑧−1)

∏𝑁 (1 − 𝐷_𝑆𝑧−1₎ 𝑆=1

Nilai zeros dari 𝐺(𝑧) diberikan oleh 𝑧 = 𝐶𝑟 sedangkan poles diberikan oleh 𝑧 = 𝐷𝑆.

Beberapa langkah yang perlu diperhatikan adalah:

1. Evaluasi transformasi Z 𝐺(𝑧) pada lingkaran satuan, yaitu 𝐺(𝑒𝑗𝜔) 2. Hasilkan plot pole dan zero dari 𝐺(𝑧)

3. Hasilkan bentuk faktorisasi dari 𝐺(𝑧)

4. Tentukan inversi transformasi Z 𝑔[𝑛] dari 𝐺(𝑧).

III. Percobaan dan Pertanyaan

Transformasi Fourier 𝑋(𝑒𝑗𝜔_{) dari suatu deretan 𝑥[𝑛] . Pada MATLAB, freqz}

menghitung L titik respon frekuensi dari {𝑝₀ 𝑝₁… 𝑝_𝑀} dan {𝑑₀ 𝑑₁… 𝑑_𝑀}. Percobaan 3.1 digunakan untuk menghitung dan menampilkan transformasi Fourier suatu fungsi.

% Percobaan 3-1

% Memperoleh respon frekuensi riil imajiner magnituda % phase

clf;

w = -4*pi : 8*pi/511 : 4*pi; num = [2 1]; den = [1 -0.6]; h = freqz(num, den, w); subplot(2,1,1) plot(w/pi, real(h)); grid

(3)

title('Bagian riil dari H(e^{j\omega})') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Amplituda'); subplot(2,1,2) plot(w/pi, imag(h)); grid

title('Bagian imajiner dari H(e^{j\omega})') xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Amplituda'); pause subplot(2,1,1) plot(w/pi, abs(h)); grid

title('Spektrum magnituda dari |H(e^{j\omega})|') xlabel('\omega /\pi');

ylabel('Amplituda'); subplot(2,1,2)

plot(w/pi, angle(h)); grid

title('Spektrum Phase dari arg[H(e^{j\omega})]') xlabel('\omega /\pi');

ylabel('Phase, radians'); Pertanyaan

1. Apa fungsi perintah pause pada MATLAB?

2. Setelah menjalankan program percobaan 3.1 dan hitung bagian riil, imajiner, magnituda, dan phase. Apakah fungsi transformasi Fourier periodik terhadap 𝜔? Berapa periodiknya? Bagaimana kesimetrian empat plot di atas?

3. Modifikasi percobaan 3.1 untuk melihat respon pada daerah 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 transformasi Fourier berikut:

𝑈(𝑒𝑗𝜔_{) =} 0.7 − 0.5𝑒

−𝑗𝜔_{+ 0.3𝑒}−𝑗2𝜔_{+ 𝑒}−𝑗3𝜔

1 + 0.3𝑒−𝑗𝜔_{− 0.5𝑒}−𝑗2𝜔_{+ 0.7𝑒}−𝑗3𝜔

Dan ulangi pertanyaan no 2. Berikan analisanya.

4. Modifikasi percobaan 3.1 untuk melihat respon pada daerah 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜋 transformasi Fourier berikut:

𝑈(𝑒𝑗𝜔) =1 + 3𝑒

−𝑗𝜔_{+ 5𝑒}−𝑗2𝜔_{+ 7𝑒}−𝑗3𝜔_{+ 9𝑒}−𝑗4𝜔_{+ 11𝑒}−𝑗5𝜔_{+ 13𝑒}−𝑗6𝜔_{+ 15𝑒}−𝑗7𝜔_{+ 17𝑒}−𝑗8𝜔

1 + 0.3𝑒−𝑗𝜔_{− 0.5𝑒}−𝑗2𝜔_{+ 0.7𝑒}−𝑗3𝜔

Dan ulangi pertanyaan no 2. Berikan analisanya.

Sifat-sifat transformasi Fourier:

a. Dapat digeser menurut waktu b. Dapat digeser menurut frekuensi c. Dapat dikonvolusi

d. Dapat dimodulasi

e. Dapat dicerminkan menurut waktu % Percobaan 3-2

% Sifat dapat digeser menurut waktu clf;

w = -pi : 2*pi/255 : pi; wo = 0.4*pi; D = 10; num = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]; h1 = freqz(num, 1, w); h2 = freqz([zeros(1,D) num], 1, w); subplot(2,2,1) plot(w/pi, abs(h1)); grid

title('Magnituda deret asli') subplot(2,2,2)

plot(w/pi, abs(h2)); grid

title('Magnituda deretan digeser pada kawasan waktu') subplot(2,2,3)

(4)

grid

title('Phase dari deretan asli') subplot(2,2,4)

plot(w/pi, angle(h2)); grid

title('Phase deretan digeser pada kawasan waktu') Pertanyaan

5. Ulangi percobaan 3-2 dengan waktu geser yang berbeda-beda dan amati perbedaannya.

% Percobaan 3-3

% Sifat dapat digeser menurut frekuensi clf;

w = -pi : 2*pi/255 : pi; wo = 0.4*pi; num1 = [1 3 5 7 9 11 13 15 17]; L = length(num1); h1 = freqz(num1, 1, w); n = 0:L-1; num2 = exp(wo*i*n).*num1; h2 = freqz(num2, 1, w); subplot(2,2,1) plot(w/pi, abs(h1)); grid

title('Magnituda deret asli') subplot(2,2,2)

title('Magnituda deretan digeser pada kawasan frekuensi') subplot(2,2,3)

title('Phase dari deretan asli') subplot(2,2,4)

title('Phase deretan digeser pada kawasan frekuensi') Pertanyaan

6. Ulangi percobaan 3-3 dengan frekuensi geser yang berbeda-beda dan amati perbedaannya.

% Percobaan 3-4

% Sifat dapat dikonvolusi clf;

w = -pi : 2*pi/255 : pi;

x1 = [1 3 5 7 9 11 13 15 17]; x2 = [1 -2 3 -2 1]; y = conv(x1, x2); h1 = freqz(x1, 1, w); h2 = freqz(x2, 1, w); hp = h1.*h2; h3 = freqz(y,1,w); subplot(2,2,1) plot(w/pi, abs(hp)); grid title('Perkalian magnituda') subplot(2,2,2) plot(w/pi, abs(h3)); grid

title('Magnituda deretan yang dikonvolusi') subplot(2,2,3)

plot(w/pi, angle(hp)); grid

title('Jumlah dari Phase') subplot(2,2,4)

(5)

title('Phase deretan hasil konvolusi') Pertanyaan

7. Ulangi percobaan 3-4 untuk dua deretan yang berbeda dan amati perbedaannya. % Percobaan 3-5

% Sifat dapat dimodulasi clf;

w = -pi : 2*pi/255 : pi;

x1 = [1 3 5 7 9 11 13 15 17]; x2 = [1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1]; y = x1.*x2; h1 = freqz(x1, 1, w); h2 = freqz(x2, 1, w); h3 = freqz(y,1,w); subplot(3,1,1) plot(w/pi, abs(h1)); grid

title('Magnitudan deretan pertama') subplot(3,1,2)

title('Magnituda deretan kedua') subplot(3,1,3)

title('Magnituda deretan hasil perkalian') Pertanyaan

8. Ulangi percobaan 3-5 untuk dua deretan yang berbeda dan amati perbedaannya. % Percobaan 3-6

% Sifat dapat dicerminkan clf;

w = -pi : 2*pi/255 : pi; num = [1 2 3 4]; L = length(num)-1; h1 = freqz(num, 1, w); h2 = freqz(fliplr(num), 1, w); h3 = exp(w*L*i).*h2; subplot(2,2,1) plot(w/pi, abs(h1)); grid

title('Magnitudan deretan asli') subplot(2,2,2)

title('Magnituda deretan yg dicerminkan') subplot(2,2,3)

title('Phase deretan asli') subplot(2,2,4)

title('Phase deretan yg dicerminkan') Pertanyaan

(6)

JAWAB PERTANYAAN