IV DAERAH KESTABILAN SISTEM

IV DAERAH KESTABILAN SISTEM

4.1 Fungsi Alih Sistem Kontinu

Diberikan sistem persamaan linear masukan dan keluaran sebagai berikut: ) ( ) ( ) (t Axt Bu t x& = + _(4.1) ) ( ) ( ) (t Cxt Dut y = + . (4.2)

Persamaan–persamaan (4.1) dan (4.2) dapat ditulis dalam simbol

∑

=(A,B,C,D) dengan A∈Rnxn, B∈Rnxm, C∈Rrxn, dan D∈Rrxm. Adapun

x

∈

R

nadalah

state dari sistem,

u

∈

R

m adalah masukan (input), dan y∈Rr adalah keluaran (output). Selanjutnya akan ditunjukkan hubungan antara sistem

∑

=(A,B,C,D) dengan fungsi alih hasil transformasi dengan menggunakan transformasi Laplace. Dengan menggunakan sifat (1) dan sifat (3) dari transformasi Laplace, maka persamaan (4.1) dapat ditransformasi menjadi

) ( ) ( ) 0 ( ) (s x AX s BU s sX − = + .

Diasumsikan bahwa syarat awal fungsi masukan, yaitu x(0) = 0, maka ) ( ) ( ) (s AX s BU s sX = + .

Kemudian kita kelompokkan X(s), sehingga diperoleh ) ( ) ( ) (s AX s BU s sX − = .

Agar peubah kompleks s dengan matriks A dapat dioperasikan, maka s harus dikalikan terlebih dahulu dengan matriks identitas, kemudian hasilnya dapat dikurangkan dengan matriks A, sehingga

) ( ) ( ) (sI−A X s =BU s _.

Selanjutnya untuk memperoleh X(s), maka invers dari sI – A dikalikan dari kiri

dengan _{BU(s) sehingga diperoleh}

) ( ) ( ) (_{s sI A} 1_{BU s} X _{= −} − (4.3) Adapun persamaan (4.2) dengan menggunakan sifat (1) dari transformasi Laplace dapat ditransformasi menjadi

) ( ) ( ) (s CX s DU s Y = + (4.4)

) ( ) ( ) ( ) (s C sI A 1BU s DU s Y = − − + .

Kemudian U(s) dikelompokkan, maka

) ( ] ) ( [ ) (s C sI A 1B D U s Y = − − + sehingga diperoleh D B A sI C s U s Y _{= − −1 +} ) ( ) ( ) ( Misalkan ) ( ) ( ) ( s U s Y s

H = , dengan U(s) menyatakan fungsi masukan (input) dan Y(s)

menyatakan fungsi keluaran (output). Maka sistem

∑

=(A,B,C,D) _dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi alih berikut

D B A sI C s H( )= ( − )−1 + (4.5)

Sebagai ilustrasi untuk memperoleh fungsi alih dari suatu sistem ruang kontinu, misalkan suatu sistem translasi mekanik memenuhi persamaan diferensial berikut: ) ( ) ( ) ( ) (t f y t kyt x t y m&& + & + = _(4.6) dengan m = massa benda, f = koefisien gesekan viskos, k = konstanta pegas.

Andaikan gaya x(t) sebagai masukan dan perpindahan y(t) dari massa sebagai

keluaran, serta ditentukan bahwa syarat awal sama dengan nol, sedemikian rupa sehinggay(0)= y_&(0)=0, maka dengan menggunakan sifat (1) dan sifat (3) dari transformasi Laplace persamaan diferensial (4.6) dapat diubah menjadi persamaan aljabar berikut ) ( ) ( )] 0 ( ) ( [ )] 0 ( ) 0 ( ) ( [s2Y s sy y f sY s y kY s X s m − − _& + − + = .

Kemudian dengan mensubstitusikan syarat awal, yaitu y(0)= y_&(0)=0, maka ) ( ) ( ) ( ) ( 2_{Y s fsY s kY s X s} ms + + = . ) ( ) ( ) (_ms2_{+ fs+k Y s =X s} sehingga diperoleh fungsi alih berikut

k fs ms s X s Y + + = ₂ 1 ) ( ) ( . _(4.7)

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa persamaan (4.6) dapat diubah menjadi persamaan (4.7) dengan menggunakan sistem

∑

=(A,B,C,D).

Pertama kita misalkan y₁=y dan y₂= y_&, maka 2 1 y y_& = dan x m y m f y m k y y&₂ = &&=− ₁− ₂+ 1 . Kemudian diubah ke dalam bentuk matriks, maka

x y y y y m m f mk ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 2 1 2 1 0 1 0 & & _.

Persamaan ini dapat ditulis y&=Ay+Bx

dengan _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = m f m k A 0 1 dan _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = m B 0₁ .

Selanjutnya kita misalkan bahwa fungsi keluarannya adalah: (1) jika u = y = y1, maka

(

)

x y y u 1 0 (0) 2 1 ₊ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ,

sehingga u = Cy + Dx dengan C = (1 0) dan D = (0).

Jika A, B, C, dan D disubstitusi ke persamaan (4.5), maka fungsi alih dari

fungsi masukan X(s) dan fungsi keluaran U(s) adalah

(

1 0

)

1 0 (0) ) ( ) ( 1 1 + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − m m f mk s s s X s U

(

)

1 0 (0) ) 1 ( ) ( 1 0 1 _1⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + = m mk m f mk m f _s s s s

(

1 0

)

1 1 0₁ (0) 2 ⎟⎟_⎠+ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + = m mk m f mk m f _s s s s

(

1 0

)

₂ 1 0_1⎟⎟+(0) ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + = m mk m f s s k fs ms m

(

1 0

)

0₁ (0) 2 2 2 2 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + + − + + + + + m k fs ms ms k fs ms k k fs ms m k fs ms f ms ) 0 ( 0 1 2 2 ⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + = m k fs ms m k fs ms f ms k fs ms s X s U + + = ₂ 1 ) ( ) ( .

Karena dimisalkan u= y, maka U(s) = Y(s) sehingga diperoleh fungsi alih

k fs ms s X s Y + + = ₂ 1 ) ( ) ( . (2) jika u= &y= y₂, maka

(

)

x y y u 0 1 (0) 2 1 ₊ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ,

sehingga u = Cy + Dx dengan C = (0 1) dan D = (0).

Jika A, B, C, dan D disubstitusi ke persamaan (4.5), maka fungsi alih dari

fungsi masukan X(s) dan fungsi keluaran U(s) adalah

(

0 1

)

1 0 (0) ) ( ) ( 1 1 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = − m m f mk s s s X s U

(

)

1 0 (0) ) 1 ( ) ( 1 1 0 _1⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + = m mk m f mk m f _s s s s

(

0 1

)

1 1 0₁ (0) 2 ⎟⎟_⎠+ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + = m mk m f mk m f _s s s s

(

0 1

)

₂ 1 0_1⎟⎟+(0) ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + = m mk m f s s k fs ms m

(

0 1

)

0₁ (0) 2 2 2 2 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + + − + + + + + m k fs ms ms k fs ms k k fs ms m k fs ms f ms ) 0 ( 0 1 2 2 ⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + − = m k fs ms ms k fs ms k

. ) ( ) ( 2 _{fs k} ms s s X s U + + =

Karena dimisalkan u=y&, maka U(s) = sY(s), maka

k fs ms s s X s sY + + = ₂ ) ( ) ( sehingga diperoleh fungsi alih

k fs ms s X s Y + + = ₂ 1 ) ( ) ( . (3) jika x m y m f y m k y u= &&=− ₁− ₂+ 1 , maka x m y y m f m k u ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} = 1 2 1 Sehingga u = Cy + Dx dengan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} = m f m k C , dan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = m D 1

Jika A, B, C, dan D disubstitusi ke persamaan (4.5), maka fungsi alih dari

fungsi masukan X(s) dan fungsi keluaran U(s) adalah ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} = − m s s m f m k s X s U m m f mk 1 0 1 ) ( ) ( 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + − − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} = m s s s s m f m k m mk m f mk m f 1 0 1 ) 1 ( ) ( 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} = m s s s s m f m k m mk m f mk m f 1 0 1 1 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} = m s s k fs ms m m f m k m mk m f 1 0 1 1 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_{− −} = + + + + −+ + + + + m m f m k m k fs ms ms k fs ms k k fs ms m k fs ms f ms 1 0 1 2 2 2 2

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = + + − + + − + + + + + − m m k fs ms m fms k fs ms m km k fs ms m kf k fs ms m f ms k 0 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + + + − = m k fs ms m fs k fs ms m k 1 ) ( ) ( 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − = ) ( ) ( 2 2 2 _{m ms fs k} k fs ms k fs ms m k fs ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + = ) ( 2 2 k fs ms m ms k fs ms s s X s U + + = ₂ 2 ) ( ) ( .

Karena dimisalkan u=y&&, maka U(s) = s2Y(s), maka

k fs ms s s X s Y s + + = ₂ 2 2 ) ( ) ( sehingga diperoleh fungsi alih

k fs ms s X s Y + + = ₂ 1 ) ( ) ( .

Dari hasil di atas, maka dapat ditunjukkan bahwa dengan menggunakan sistem

∑

=(A,B,C,D) persamaan diferensial ) ( ) ( ) ( ) (t f y t ky t xt y m && + & + = dapat diubah menjadi fungsi alih

k fs ms s X s Y + + = ₂ 1 ) ( ) ( .

Dari ilustrasi di atas dapat dilihat bahwa untuk memperoleh fungsi alih yang merupakan bentuk khusus dari persamaan aljabar dapat menggunakan sistem

∑

=(A,B,C,D) _{atau dapat juga dengan menggunakan transformasi Laplace.}

4.2 Kestabilan Sistem Kontinu

Daerah kestabilan sistem ruang kontinu, akan lebih mudah dicari dengan menentukan letak poles fungsi alih yang diperoleh dari hasil transformasi Laplace

Teorema 1 Diberikan sistem H(s) yang memiliki poles p1, p2, …, pn, maka

pernyataan-pernyataan berikut berlaku:

(1) sistem H(s) stabil, jika dan hanya jika Re(pi) ≤ 0 untuk semua i = 1, 2, …, n;

(2) sistem H(s) stabil asimtotik, jika dan hanya jika Re(pi) < 0 untuk semua

i = 1,2,…, n;

(3) sistem H(s) takstabil, jika dan hanya jika Re(pi) > 0 untuk semua

i = 1, 2, …, n.

Berikut ini adalah daerah kestabilan sistem pada ruang kontinu. Pada Gambar 7, dapat dilihat bahwa daerah yang diarsir merupakan daerah kestabilan sistem ruang kontinu. Daerah tersebut terletak di sebelah kiri sumbu khayal pada bidang s.

Gambar 7 Daerah kestabilan sistem kontinu.

4.3 Fungsi Alih Sistem Diskret Diberikan suatu persamaan beda

L , 2 , 1 , 0 , 0 0 = =

∑

∑

= + = + B u n y A P k n k Q k k n k k . (4.8)

P dan Q adalah bilangan-bilangan bulat tak negatif; A0, …, AP dan B0, …, BQ

adalah bilangan-bilangan real atau kompleks. Barisan bilangan {uk} dan {yk}

berturut-turut disebut fungsi masukan (input) dan fungsi keluaran (output) sistem.

Dengan menggunakan sifat (1) dan sifat (2) dari transformasi–Z, maka persamaan (4.8) dapat diubah menjadi

L , 2 , 1 , 0 , ) ( ) ( 0 0 = =

∑

∑

= + = + n u Z B y Z A P k n k Q k k n k k jω σ Bidang s

sehingga diperoleh

∑

∑

∑

∑

= − = − = − = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − P k Q k k k k Q k k P k k k k kz Y z y z B z U z u z A 0 1 0 0 1 0 ) ( ) ( .

Diasumsikan bahwa syarat awal y0, …, yP–1 = 0, input u0, …, uQ–1 = 0, dan P ≥ Q,

maka

∑

∑

= = = P k k Q k k k kz Y z B z U z A 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 _{U z} z Y k P k k k Q k k z A z B ∑ ∑ = = = . Misalkan k P k k k Q k k z A z B d z H ∑ ∑ = = = 0 0 )

( , maka bentuk eksplisit transformasi–Z dari persamaan

(4.8) adalah Y(z) = Hd (z)U(z), sehingga

) ( ) ( ) ( z U z Y z H_d = . (4.9)

Sebagai ilustrasi untuk memperoleh fungsi alih dari suatu sistem ruang diskret, disajikan dua contoh berikut:

(1) Jika diberikan persamaan beda linear

0 , , 2 , 1 , 0 , 2 ₁= = ₀ = + y ₊ u n y y_{n n n L} , (4.10)

dengan un fungsi masukan (input) dan yn fungsi keluaran (output), maka

transformasi–Z persamaan di atas adalah

Y(z) +2(zY(z) – zy0) = U(z).

Karena y0 = 0, maka diperoleh

(1 + 2z)Y(z) = U(z)

sehingga diperoleh fungsi alih sistem ruang diskret sebagai berikut:

z z U z Y 2 1 1 ) ( ) ( + = . (4.11)

Dari persamaan (4.11) dapat kita lihat bahwa sistem hanya memiliki satu

(2) Diberikan persamaan beda berikut:

x(k+2) + 3x(k+1) + 2x(k) = 0; x(0) = 0, x(1) = 1, (4.12) maka dengan metode transformasi–Z persamaan tersebut dapat diubah menjadi:

(

z2X(z)−z2x(0)−zx(1)

)

+3

(

zX(z)−zx(0)

)

+2X(z)=0. Karena x(0) = 0 dan x(1) = 1, maka diperoleh

z z X z z +3 +2) ( )= ( 2

sehingga diperoleh fungsi alih sebagai berikut:

) 1 )( 2 ( ) ( + + = z z z z X . (4.13)

Dari persamaan (4.13) dapat dilihat bahwa sistem sistem memiliki satu zero,

yaitu z = 0 dan dua pole, yaitu p1 = –1 dan p2 = –2.

4.4 Kestabilan Sistem Diskret

Untuk menentukan daerah kestabilan pada sistem ruang diskret akan digunakan poles fungsi alih yang diperoleh dari hasil transformasi–Z.

Teorema 2 Suatu persamaan beda linear pada persamaan (4.8) dengan fungsi alih sistem Hd yang diberikan pada persamaan (4.9) adalah stabil jika dan hanya jika

semua pole-nya terletak di dalam cakram terbuka {z : |z| < 1} (Fisher 1990).

Berikut ini adalah daerah kestabilan sistem pada ruang diskret. Pada Gambar 8, dapat dilihat, bahwa daerah yang diarsir merupakan daerah kestabilan sistem ruang diskret terletak di dalam lingkaran satuan terbuka dengan pusat titik asal pada bidang z.

Gambar 8 Daerah kestabilan sistem diskret.

Im

1 Re Bidang z

4.5 Transformasi Daerah Kestabilan Sistem

Sudah ditunjukkan bahwa daerah kestabilan pada sistem ruang kontinu terletak pada daerah di sebelah kiri sumbu khayal bidang s. Demikian pula daerah

kestabilan sistem ruang diskret sudah ditunjukkan terletak di dalam lingkaran satuan pada bidang z. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa transformasi Tustin

dapat membawa daerah kestabilan pada sistem ruang kontinu kepada daerah kestabilan sistem ruang diskret.

Untuk menunjukkan bahwa transformasi Tustin dapat membawa daerah kestabilan pada sistem ruang kontinu kepada daerah kestabilan sistem ruang diskret, lihat Gambar 9.

Gambar 9 Daerah pada bidang s dengan Re(s) < 0.

Andaikan s adalah sembarang titik di daerah Re(s) < 0, maka σ <0, sehingga σ

σ 2

2 <− . Dengan menambahkan σ2+ω2+1 _{pada kedua sisi, maka diperoleh}

2 2 2 2 _{( 1)} ) 1 (σ+ +ω < σ− +ω . (4.14)

Persamaan (4.14) merupakan representasi jarak dari ω σ ω σ +1)+ j <( −1)+ j ( . (4.15) atau (σ+ jω)+1< (σ+ jω)−1 _(4.16) Dengan mensubstitusi 1 1 + − = + = z z j

s

σ

ω

ke dalam persamaan (4.16), maka

1 1 1 1 1 1 ₋ + − < + + − z z z z , sehingga diperoleh z <1. _(4.17) σ jω Bidang s s ● 0

Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa transformasi Tustin dapat membawa daerah kestabilan pada sistem ruang kontinu kepada daerah kestabilan sistem ruang diskret, seperti yang terlihat pada gambar 10.

Gambar 10 Transformasi daerah kestabilan dari kontinu ke diskret. σ 1 1 + − = z z s jω Bidang s Im Bidang z 1 Re