MATEMATIKA EKONOMI BAB III FUNGSI DAN KURVA LINIER

MATEMATIKA

EKONOMI

BAB III

FUNGSI DAN KURVA

LINIER

FUNGSI

FUNGSI vs RELASI

Relasi adalah hubungan antara

elemen-elemen dari daerah yang dinamakan

domain dan elemen-elemen dari

daerah yang dinamakan range.

Fungsi adalah bagian dari relasi. Semua

fungsi adalah relasi akan tetapi tidak

semua relasi adalah fungsi.

DEFINISI FUNGSI

Fungsi adalah relasi yang menyatakan bahwa setiap anggota dari x berpasangan tepat dengan

satu

anggota dari y.

Persamaan Fungsi adalah persamaan yang jika nilai x dimasukkan maka maka akan menghasilkan tepat satu nilai y dari persamaan tersebut.

Asusmsi bahwa x adalah domain (daerah asal) dan y adalah range (daerah hasil)

(http://tutorial.math.lamar.edu) Coba evaluasi persamaan berikut: y=2x+1 y2_=4x+1

y=3x2_{+2 y}2_+x2 ₌₄

FUNGSI INVERSE

Ex: y=f(x)= 2x-1

x=f(y)=1/2(y+1)

Maka f(x) adalah fungsi inverse dari f(y)

atau f(x)=f

-1

(y) atau f(y)=f

-1

(x)

x→ f

→y

x← f

-1

_←y

FUNGSI LINIER

Fungsi linier adalah fungsi yang dibentuk dari

persamaan garis linier yang mempunyai bentuk umum:

Ax+By=C

Dimana A, B, C adalah konstanta dengan A dan B tidak boleh keduanya 0 (nol) atau A dan B

hanya boleh 0 salah satunya. Ex:

2x+3y=5 (i) 3x=2 (ii) y=2 (iii)

Contoh: 6x+3y=9

Jika y=f(x) maka persamaan di atas dapat

dijadikan persamaan dalam bentuk

fungsi:

6x+3f(x)=9

3f(x)=-6x+9

f(x)=-2x+3

Dengan demikian bentuk umum fungsi:

Intersep Fungsi Linier

Intersep?

Suatu titik di mana suatu garis memotong pada

sumbu koordinat.

Jika y=f(x)=-2x+3

Intersep y=f(x) diperoleh pada saat x=0

y=f(0)=-2(0)+3=3

Atau fungsi tersebut mempunyai intersep 3

atau poin intersepnya (0,3)

Menggambar Suatu Fungsi Linier

y=f(x)=-2x+3

I. Cari poin intersep y dan intersep x

Poin intersep y adalah saat x=0 yaitu (0,3) sedangkan intersep x adalah saat y=0 yaitu:

0=-2x+3 2x=3 x=3/2

Jadi intersep x adalah (3/2,0)

Secara sederhana fungsi tersebut memotong sumbu x di titik (3/2,0) dan sumbu y di titik (0,3).

III. Carilah sembarang titik sebagai titik ketiga untuk mengecek akurasi garis yang dibuat.

Untuk memudahkan maka pilihlah antara x=0 dengan intersep x.

Antara x=0 dengan intersep x atau x=2/3 sebagai contoh adalah x=1/2.

Maka y=f(x)=-2x+3 dengan x=1/2 didapatkan

y=-2(1/2)+3=-1+3=2, sehingga poin yang ketiga adalah (1/2,2).

Jika titik ketiga tersebut tepat berada pada garis yang digambar maka berarti garis tersebut

Menggambar Suatu Fungsi Linier

3/2 3

1/2 2

Slope Fungsi Linier

Slope secara sederhana adalah kemiringan

garis yang dinotasikan m (gradien).

)

1

2

(

)

1

2

(

x

x

y

y

run

rise

m









(3,5) (5,7) (x2-x1) (y2-y1)

•Penerapan Fungsi Linier

dalam Ekonomi dan

Supply dan Demand dari suatu Barang

Secara matematis persamaan S and D dapat ditulis: Qs=2P-2

Qd=-P+3

Artinya bahwa p yang mempengaruhi Q, namun untuk menggambarnya maka biasanya P ditulis sebelah kiri persamaan sehingga persamaan tersebut diubah menjadi:

P=1/2Qs+1 P=-Qd+3

Supply dari Komoditas

P=1/2Qs+1

Jika Qs=0 maka P=1

Jika P=0 maka Qs=-2 sehingga dapat dengan mudah digambar Y -A x is X-Axis (0,1) (-2,0) P Q

Demand dari Komoditas

P=-Qd+3 Jika Qd=0 maka P=3 Jika P=0 maka Qd=3 Y -A x is X-Axis P Q (0,3) (3,0)

Keseimbangan Pasar

Jika kedua gambar disatukan maka akan diperoleh keseimbangan pasar antara keduanya Y -A x is X-Axis (0,1) (-2,0) (0,3) (3,0) ?

Keseimbangan pasar terjadi ketika: 1. harga (P) adalah sama bagi kedua

fungsi baik demand maupun supply 2. kuantitas yang diminta mapun yang

ditawarkan adalah sama (Qd=Qs). Sehingga: P=-Qd+3 (i) P=1/2Qs+1 (ii) Pi=Pii -Q+3=1/2Q+1 3-1=3/2Q 2=3/2Q Q=4/3 Jika Q=4/3 maka P=5/3

Dengan demikian maka dapat ditemukan

keseimbangan pasar

Y -A x is X-Axis (0,1) P (0,3) (4/3,5/3)

Pengaruh Pajak pada Keseimbangan Pasar

Bagaimana jika diberlakukan pajak sebesar 1 satuan yang harus dibayar oleh produsen?

Kita kembali lagi Qs=2P-2

Qd=-P+3 Jika Qs(P)=Qd(P)

Maka 2P-2=-P+3

Tapi harus diingat bahwa P yang sebelah kiri yaitu yang dimiliki oleh produsen bukan lagi P seperti semula melainkan berubah menjadi P-T dimana T=1. Sehingga Qs(P)=Qd(P) Qs(P-T)=Qd(P) Qs(P-1)=Qd(P), Sehingga: 2(P-1)-2=-P+3 2P-2-2=-P+3 2P-4=-P+3 3P=7 P=7/3, jika P=7/3 maka Q=-7/3+3=2/3

Secara geometri maka pengaruh pajak

dapat merubah gambar menjadi seperti

berikut:

Y -A x is (0,1) P (0,3) (4/3,5/3) (2/3,7/3) Supply tanpa pajak Supply dengan pajak

• Lantas bagaimana untuk menggambar

kurva S ketika setelah pajak? Qs=2P-2

Dengan pajak maka Qs=2(P-T)-2

(P-T)=1/2Qs+1, jika Qs=0 maka: P-T=1

P=1+T

Dapat dilihat bahwa semakin tinggi pajaknya maka intersepnya semakin besar

meningkat sebesar pajak yang diberlakukan.

Dengan demikian gambar akan bergeser secara vertikal sebesar T-nya.

Y -A x is X-Axis (0,1) P Q (0,1+T)

Pengaruh Subsidi pada Keseimbangan Pasar

Bagaimana jika diberikan subsidi sebesar 1 satuan yang harus diberikan kepada produsen?

Kita kembali lagi Qs=2P-2

Qd=-P+3 Jika Qs(P)=Qd(P)

Maka 2P-2=-P+3

Tapi harus diingat bahwa P yang sebelah kiri yaitu yang dimiliki oleh produsen bukan lagi P seperti semula melainkan berubah menjadi P+S dimana S=1. Sehingga Qs(P)=Qd(P) Qs(P+S)=Qd(P) Qs(P+1)=Qd(P), Sehingga: 2(P+1)-2=-P+3 2P+2-2=-P+3 2P=-P+3 3P=3 P=1, jika P=1 maka Q=-1+3=2

Secara geometri maka pengaruh subsidi

dapat merubah gambar menjadi seperti

berikut:

Y -A x is (0,1) P (0,3) (4/3,5/3) (2,1)

• Lantas bagaimana untuk menggambar

kurva S setelah disubsidi? Qs=2P-2

Dengan subsidi maka Qs=2(P+S)-2

(P+S)=1/2Qs+1, jika Qs=0 maka: P+S=1

P=1-S

Dapat dilihat bahwa semakin tinggi

subsidinya maka intersepnya semakin kecil menurun sebesar subsidi yang diberikan.

Dengan demikian gambar akan bergeser secara vertikal sebesar -S.

Y -A x is X-Axis (0,1) P Q Supply tanpa subsidi Supply dengan

KESEIMBANGAN PASAR

DENGAN 2 KOMODITAS

Qd₁= 10-2P₁+3P₂ (i) Qs₁ =-5+P₁+P₂ (ii) Qd₂= 10+P₁-2P₂ (iii) Qs₂ =-15+4P₁+P₂ (iv)

Carilah keseimbangan pasar untuk kedua barang tersebut!

Jawab:

Keseimbangan Pasar terjadi ketika

KESEIMBANGAN PASAR DENGAN 2 KOMODITAS Qd₁₌ Qs₁ (i)=(ii) 10-2P₁+3P₂=-5+P₁+P₂ 15=3P₁-2P₂ (v) Qd₂= Qs₂ (iii)=(iv) 10+P₁-2P₂ =-15+4P₁+P₂ 25=3P₁+3P₂ (vi)

Sehingga kita dapatkan persamaan (v) dan (vi). Maka untuk mendapatkan P₁ dan P₂

kita bisa melakukan eliminasi dan subtitusi dari persamaan tersebut.

KESEIMBANGAN PASAR DENGAN 2 KOMODITAS

15=3P

₁

-2P

₂

(v)

25=3P

₁

+3P

₂

(vi)

-10=-5P

₂

P

₂

=2

Masukkan P

₂

=2 ke dalam (v) atau (vi)

15=3P

₁

-2P

₂

→15=3P

₁

-4

19=3P

₁

Fungsi Biaya dan Penerimaan serta Analisis Pulang Pokok (Break Even Point)

Biaya adalah sejumlah nominal tertentu yang

dikeluarkan untuk memproduksi sejumlah

barang tertentu.

Penerimaan adalah sejumlah nominal tertentu

yang diterima setelah menjual sejumlah

Total Cost dan Total Revenue yang Linier

Biaya dalam hal ini disebut TC, dimana TC=FC+VC

Jika VC suatu barang proporsional terhadap jumlahnya maka TC dari suatu komoditas bisa berbentuk linier. TC=C+aQ

Sedangkan TR diperoleh dari perkalian harga dengan jumlah barang yang dijual.

TR TC π TR, TC,π Q Π=TR(Q)-TC(Q)

Fungsi Konsumsi dan Saving

Konsumsi (C), dalam jangka pendek,

terdiri atas otonom konsumsi dan

konsumsi yang bergantung pada

pendapatan.

C=a+bY

Saving adalah besarnya pendapatan yang

disimpan setelah melakukan

pengeluaran.

GRAFIK FUNGSI C & S

Y=C C S C,S Y

Pendapatan Nasional

Pendapatan nasional (Y) adalah identitas

dari penjumlahan berbagai permintaan

secara makro berupa Consumption (C),

Investment (I), Government Expenditure

(G), dan Net Export (NX).

C=Y C C+I+G+NX Y C+I C+I+G C+I+G+NX

10/24/2011 37

IS-LM

IS: kurva yang menghubungkan titik-titik

kombinasi dari tingkat pendapatan (Y) dan

tingkat suku bunga (R) pada saat makroekonomi mencapai tingkat keseimbangan antara Saving

(S) dan Investment (I) atau keseimbangan di

pasar barang.

LM: kurva yang menghubungkan titik-titik kombinasi dari tingkat pendapatan (Y) dan

tingkat suku bunga (i) pada saat makroekonomi mencapai tingkat keseimbangan antara

penawaran (money supply) dan permintaan uang (liquidity preference) atau keseimbangan di

IS Y=C+I+G+NX Y=C0+cY+I0-iR+G0+X-(M0-mY) Y=C0+cY+I0-iR+G0+X-M0+mY Y-cY-mY=C0+I0-iR+G0+X-M0 Y(1-c-m)=C0+I0-iR+G0+X-M0 Y=C0+I0+G0+X-M0 - i R (1-c-m) (1-c-m)

Y=A0-BR

LM

Penawaran Uang=Permintaan Uang Ms=Md Ms=L0+Ltr+Lsp Ms=L0+Ltr0+lyY+Lsp0-lrR Ms=L0+Ltr0+Lsp0+lyY-lrR Ms/P=L0+Ltr0+Lsp0+lyY-lrR -lyY=L0+Ltr0+Lsp0+lyY-Ms/P-lrR Y=Ms/P-(L0+Ltr0+Lsp0) + lr R ly ly

Y=P0+QR

Keseimbangan IS & LM

Y -A x is R LM IS

Y=P0+QR (LM)

Y=A0-BR (IS)