Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

ANALISIS REAL

(BARISAN DAN DERET)

Kus Prihantoso Krisnawan

August 30, 2012

Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan.

Contoh:Misalkan diberikan sebuah barisan(u_n)yang

didefinisikan sbb:u₀₌u₁₌u_{2=1 dan}

det

u_n+3 U_n+2 u_n+1 u_n

=n_!, n_≥0.

Jawab:Bentuk relasi rekursif dari barisan(u_n)adalah

u_n+3= un+2un+1 un

Jawab:Bentuk relasi rekursif dari barisan(u_n)adalah

u_n+3= un+2un+1 un

+ n! un

Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh

u_{3 =} 1·1

1 +

Jawab:Bentuk relasi rekursif dari barisan(u_n)adalah

u_n+3= un+2un+1 un

+ n! un

Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh

u_{3 =} 1·1

1 +

1 1 =2

u_{4 =} 2·1

1 +

Jawab:Bentuk relasi rekursif dari barisan(u_n)adalah

u_n+3= un+2un+1 un

+ n! un

Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh

Jawab:Bentuk relasi rekursif dari barisan(u_n)adalah

u_n+3= un+2un+1 un

+ n! un

Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh

Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah

Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah

un= (n−1)(n−3)(n−5)· · ·

Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah

un= (n−1)(n−3)(n−5)· · ·

Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.

Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah

un= (n−1)(n−3)(n−5)· · ·

Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.

Untukn_{=3 maka}u_3=3−1=2

Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah

un= (n−1)(n−3)(n−5)· · ·

Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.

Untukn_{=3 maka}u_3=3−1=2

Asumsikan rumus tersebut benar untukun+2,un+1, danunsehingga

u_{n+3 =} un+2un+1+n! un

Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah

un= (n−1)(n−3)(n−5)· · ·

Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.

Untukn_{=3 maka}u_3=3−1=2

Asumsikan rumus tersebut benar untukun+2,un+1, danunsehingga

u_{n+3 =} un+2un+1+n! un

= (n+1)(n−1)· · ·n(n−2)· · ·+n! (n₋₁₎₍n₋₃₎₍n_{−5)· · ·}

= (n+1)n! +n!

(n₋₁₎₍n₋₃₎₍n_{−5)· · ·} =

Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah

un= (n−1)(n−3)(n−5)· · ·

Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.

Untukn_{=3 maka}u_3=3−1=2

Asumsikan rumus tersebut benar untukun+2,un+1, danunsehingga

u_{n+3 =} un+2un+1+n!

Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah

un= (n−1)(n−3)(n−5)· · ·

Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.

Untukn_{=3 maka}u_3=3−1=2

Asumsikan rumus tersebut benar untukun+2,un+1, danunsehingga

u_{n+3 =} un+2un+1+n! un

= (n+1)(n−1)· · ·n(n−2)· · ·+n! (n₋₁₎₍n₋₃₎₍n_{−5)· · ·}

= (n+1)n! +n!

(n₋₁₎₍n₋₃₎₍n_{−5)· · ·} =

Definisi:

i. Sebuah barisan(x_{n)dikatakan konvergen menuju}L_<∞

jika dan hanya jika untuk setiapǫ >0 terdapatnǫ

Definisi:

i. Sebuah barisan(x_{n)dikatakan konvergen menuju}L_<∞

jika dan hanya jika untuk setiapǫ >0 terdapatnǫ

sedemikian hingga_|x_n−L_{|< ǫuntuk setiap}n_>nǫ.

ii. Sebuah barisan(xn)dikatakan menuju takhingga jika

untuk setiapǫ >0 terdapatnǫsedemikian hinggaxn > ǫ

Definisi:

i. Sebuah barisan(x_{n)dikatakan konvergen menuju}L_<∞

jika dan hanya jika untuk setiapǫ >0 terdapatnǫ

sedemikian hingga_|x_n−L_{|< ǫuntuk setiap}n_>nǫ.

ii. Sebuah barisan(xn)dikatakan menuju takhingga jika

untuk setiapǫ >0 terdapatnǫsedemikian hinggaxn > ǫ

untukn_>nǫ.

Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the squeezing principle (teorema apit).

The squeezing principle

i. Jikaa_n≤b_{n ≤}c_{nuntuk setiap}n_{dan jika(}a_n)dan(c_n)

Definisi:

i. Sebuah barisan(x_{n)dikatakan konvergen menuju}L_<∞

jika dan hanya jika untuk setiapǫ >0 terdapatnǫ

sedemikian hingga_|x_n−L_{|< ǫuntuk setiap}n_>nǫ.

ii. Sebuah barisan(xn)dikatakan menuju takhingga jika

untuk setiapǫ >0 terdapatnǫsedemikian hinggaxn > ǫ

untukn_>nǫ.

Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the squeezing principle (teorema apit).

The squeezing principle

Contoh:Misalkan(x_{n)adalah barisan bilangan real}

sedemikian sehinga

lim n→∞(2

x_n+1−x_{n) =}L_.

Jawab:Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap

ǫ >0 terdapatnǫ sedemikian sehingga jikan≥nǫ, berlaku

Jawab:Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap

ǫ >0 terdapatnǫ sedemikian sehingga jikan≥nǫ, berlaku

L_{−ǫ <2}x_n+1−x_n<L_+ǫ

Sehingga

L_{−ǫ < 2}x_n+1−x_n<L_+ǫ

2(L_{−ǫ) < 4}x_n+2−2x_n+1<2(L_+ǫ) · · ·

2k−₁

(L_{−ǫ) < 2}kx_{n+k −2}k−₁

diperoleh

diperoleh

(1+2+· · ·+2k−1₎₍L_{−ǫ) < 2}kx_n+k−xn<(1+2+· · ·+2k−1₎₍L_+ǫ)

(1₋ 1

2k)(L−ǫ) < xn+k − 1

2kxn<(1− 1

diperoleh

(1+2+· · ·+2k−1₎₍L_{−ǫ) < 2}kx_n+k−xn<(1+2+· · ·+2k−1₎₍L_+ǫ)

(1₋ 1

2k)(L−ǫ) < xn+k − 1

2kxn<(1− 1

2k)(L+ǫ)

pilihk _{sdm shg|}1

2kxn|< ǫdan|₂1k(L±ǫ)|< ǫ. maka untukm≥n+k

Contoh:Tunjukkan bahwa limn→∞

n

Contoh:Tunjukkan bahwa limn→∞

n

√_n =1

Solusi:Nilaix_n=√n_n

Contoh:Tunjukkan bahwa limn→∞

Contoh:Tunjukkan bahwa limn→∞

dengan demikian

xn<

r

2

n₋₁,

dengan demikian

xn<

r

2

n₋₁,

untukn_≥2.

selanjutnya, karena 0≤xn <

q 2

dengan demikian

xn<

r

2

n₋₁,

untukn_≥2.

selanjutnya, karena 0≤xn <

q 2

n−₁

dan karena barisanqn−21 konvegen ke 0 maka(xn)konvergen

Contoh:Misalkan(an)adalah barisan bilangan real dengan

sifat untuk setiapn_{≥2 terdapat bilangan bulat}k _dengan

n

2 ≤k <nsedemikian sehinggaan=

a_k

2. Tunjukkan bahwa

lim n→∞

Contoh:Misalkan(an)adalah barisan bilangan real dengan

sifat untuk setiapn_{≥2 terdapat bilangan bulat}k _dengan

n

2 ≤k <nsedemikian sehinggaan=

a_k

2. Tunjukkan bahwa

lim n→∞

a_n=0.

Bukti: Definisikan barisan(bn)sbb:

bn=max{|ak|,2 n−1

Contoh:Misalkan(an)adalah barisan bilangan real dengan

sifat untuk setiapn_{≥2 terdapat bilangan bulat}k _dengan

n

2 ≤k <nsedemikian sehinggaan=

a_k

2. Tunjukkan bahwa

lim n→∞

a_n=0.

Bukti: Definisikan barisan(bn)sbb:

bn=max{|ak|,2 n−1

≤k _<2n_}.

Jika kita jabarkan deret ini maka didapatkan

b_{1 = max{|}a_1|}

Selanjutnya karenaa_n= ak

2 untuk

n

2 ≤k <n, maka

0_≤bn≤

b_n −1

Definisi:Barisan(xn)dikatakanmonoton naikjikaxn≤xn+1

Definisi:Barisan(xn)dikatakanmonoton naikjikaxn≤xn+1

untuk setiapn_{, danmonoton turunjika}x_n≥x_{n+1untuk setiap} n_.

Definisi:Barisan(x_{n)dikatakanterbatasjika terdapat}M _>0

Definisi:Barisan(xn)dikatakanmonoton naikjikaxn≤xn+1

untuk setiapn_{, danmonoton turunjika}x_n≥x_{n+1untuk setiap} n_.

Definisi:Barisan(x_{n)dikatakanterbatasjika terdapat}M _>0

sedemikian sehingga_|x_{n| ≤}M _{untuk setiap}n_.

Contoh:Buktikan bahwa barisan(a_{n), yang didefinisikan,}

a_n= s

1+

r

2+

q

3+_{· · ·}+√n_,n_≥1

Contoh:Buktikan bahwa barisan(a_{n), yang didefinisikan,}

a_n= s

1+

r

2+

q

3+_{· · ·}+√n_,n_≥1

adalah barisan konvergen.

Bukti: Barisana_{nadalah barisan monoton naik karena} an≤an+1.

Misalkanb_n= r

1+

q

1+p1+_{· · ·}+√1 maka

Misalkanb_n= r

1+

q

1+p1+_{· · ·}+√1 maka

b_n+1=√₁₊bn

Misalkanb_n= r

1+

q

1+p1+_{· · ·}+√1 maka

b_n+1=√₁₊bn

Kita tahu bahwab_{1=1<2, sehingga jika}b_{n<2 maka} b_n+1=√₁₊bn <√1+2<2.

Misalkanb_n= r

1+

q

1+p1+_{· · ·}+√1 maka

b_n+1=√₁₊bn

Kita tahu bahwab_{1=1<2, sehingga jika}b_{n<2 maka} b_n+1=√₁₊bn <√1+2<2.

Sehingga terbukti secara induktif bahwab_{n<2 untuk setiap}n_.

dengan demikianan<bn

√

Misalkanb_n= r

1+

q

1+p1+_{· · ·}+√1 maka

b_n+1=√₁₊bn

Kita tahu bahwab_{1=1<2, sehingga jika}b_{n<2 maka} b_n+1=√₁₊bn <√1+2<2.

Sehingga terbukti secara induktif bahwab_{n<2 untuk setiap}n_.

dengan demikianan<bn

√

Contoh

Tentkan hasil dari

1

√

1+√2+

1

√

2+√3+

1

√

3+√4+· · ·+

1

√_n

Contoh

Tentkan hasil dari

1

Jawab:Perhatikan bahwa

Contoh

Tentkan hasil dari

1

Jawab:Perhatikan bahwa

1

Sehingga jumlahan di atas sama dengan

Misalkana_0=1,a_{1=3, dan}a_n+1= a2n+1

2 , dengann≥1.

Tunjukkan bahwa

1

a₀₊₁ +

1

a₁₊₁ +

1

a₂₊₁ +· · ·+

1

a_n+1+

1

a_n+1−1 =1

Misalkana_0=1,a_{1=3, dan}a_n+1= a2n+1

Jawab:Perhatikan bahwa

a_k+1−1= a 2

Misalkana_0=1,a_{1=3, dan}a_n+1= a2n+1

Jawab:Perhatikan bahwa

Misalkana_0=1,a_{1=3, dan}a_n+1= a2n+1

Jawab:Perhatikan bahwa

Misalkana_0=1,a_{1=3, dan}a_n+1= a2n+1

Jawab:Perhatikan bahwa

Persamaan (1) sama dengan

1

a_{k +1} =

1

a_k−1−

1

a_k+1−1

Persamaan (1) sama dengan

1

a_{k +1} =

1

a_k−1−

1

a_k+1−1

untukk _{≥1. Sehingga}

1

a₁₊₁+· · ·+

1

Persamaan (1) sama dengan

untukk _{≥1. Sehingga}

Persamaan (1) sama dengan

untukk _{≥1. Sehingga}

Persamaan (1) sama dengan

untukk _{≥1. Sehingga}

Dengan demikian

1

a₀₊₁ +· · ·+ 1 a_n+1+

1

a_n+1−1 = 1 a₀₊₁ +

1 2 −

1 a_n+1−1 +

Tentukan

49 X

n=1

1

p

Tentukan

Tentukan

Tentukan

Tentukan

Tentukan limx→∞ q

x₊px₊√x₋√x

1. Find the gcd of 1704 and 224!

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

88 = 1_·48+40

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

88 = 1_·48+40

48 = 1_·40+8

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

88 = 1_·48+40

48 = 1_·40+8

40 = 5·8

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

88 = 1_·48+40

48 = 1_·40+8

40 = 5·8

Thus, gcd(1704,224) =8.

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

88 = 1_·48+40

48 = 1_·40+8

40 = 5·8

Thus, gcd(1704,224) =8.

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

88 = 1_·48+40

48 = 1_·40+8

40 = 5·8

Thus, gcd(1704,224) =8.

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

88 = 1_·48+40

48 = 1_·40+8

40 = 5·8

Thus, gcd(1704,224) =8.

1. Find the gcd of 1704 and 224!

Answer:

1704 = 7·224+136

224 = 1_·136+88

136 = 1_·88+48

88 = 1_·48+40

48 = 1_·40+8

40 = 5·8

Thus, gcd(1704,224) =8.