Peluang
Tim Matematika PLPG 2016
Kaidah Pencacahan
Prinsip Penjumlahan
Jika himpunan pertama memilikiaanggota, himpunan kedua
memilikib anggota, dan kedua himpunan itu tidak beririsan, maka
banyak anggota kedua himpuan itu adalaha+b.
Contoh:
Jika pada sebuah dealer sepeda motor tersedia 5 jenis Honda, 3 jenis Yamaha, dan 2 jenis Suzuki, maka seseorang yang ingin membeli sebuah sepeda motor memiliki pilihan sebanyak 5 + 3 + 2 = 10 jenis sepeda motor.
Kaidah Pencacahan
Aturan Perkalian
Bila tempat pertama dapat diisi dengann1 cara, tempat keduan2
cara, dan seterusnya hingga tempat ke-k dengannk cara, maka
banyaknya cara mengisik tempat yang tersedia adalah n1×n2× · · · ×nk.
Contoh:
Pelemparan satu mata uang dan satu dadu:
Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, berapa banyak bilangan 4 angka yang dapat disusun bila
a) angka tidak boleh berulang? b) angka boleh berulang?
Penyelesaian:
Bila angka tidak boleh berulang, banyak pilihan untuk mengisi posisi ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan adalah:
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6 6 5 4
Menurut aturan perkalian, banyak bilangan yang dapat disusun adalah
Bila angka boleh berulang, banyak pilihan untuk mengisi posisi ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan adalah:
Ribuan Ratusan Puluhan Satuan
6 7 7 7
Menurut aturan perkalian, banyak bilangan yang dapat disusun adalah
6×7×7×7 = 2058.
Permutasi
DefinisiPermutasiadalah susunan objek dalam urutan berhingga.
Untuk semua bilangan bulat positifn danr, denganr ≤n,
banyaknya permutasi darin objek yang diambilr objek satu per
satu dengan memperhatikan urutan adalah
nPr = n!
(n−r)!.
Permutasi
DefinisiPermutasiadalah susunan objek dalam urutan berhingga.
Untuk semua bilangan bulat positifn danr, denganr ≤n,
banyaknya permutasi darin objek yang diambilr objek satu per
satu dengan memperhatikan urutan adalah
nPr = n!
(n−r)!.
Di sinin! =n·(n−1)·(n−2)· · · · ·2·1 dan 0! := 1.
Contoh: Banyaknya cara mengambil 5 kartu dari 52 kartu bila urutan pengambilan diperhatikan adalah
52P5= 52!
(52−5)! = 52·51·50·49·48 = 311.875.200.
Permutasi dengan Pengulangan
Banyak permutasi berbeda darin objek yang terdiri darin1 objek
jenis 1,n2 objek jenis 2, dan seterusnya, hingga nk objek jenis k
adalah
n!
Permutasi dengan Pengulangan
Banyak permutasi berbeda darin objek yang terdiri darin1 objek
jenis 1,n2 objek jenis 2, dan seterusnya, hingga nk objek jenis k
adalah
n!
n1!·n2!· · · · ·nk!.
Contoh: Banyaknya permutasi berbeda dari kata MISSISSIPPI adalah
11!
4!·4!·2! = 34.650.
Kombinasi
DefinisiKombinasiadalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.
Untuk semua bilangan bulat positifn danr, denganr ≤n,
banyaknya kombinasin objek yang diambilr objek sekaligus adalah
nCr =
n!
Kombinasi
DefinisiKombinasiadalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.
Untuk semua bilangan bulat positifn danr, denganr ≤n,
banyaknya kombinasin objek yang diambilr objek sekaligus adalah
nCr =
n!
r!·(n−r)!.
Contoh: Banyak cara memilih 6 siswa perempuan dari kelas yang memiliki 25 siswa perempuan adalah
25C6 =
25!
6!·(25−6)! = 177.100.
Kombinasi dengan Pengulangan
Darin objek, banyak cara memilih r objek dengan setiap objek
dapat dilipih lebih dari satu kali adalah
n+r−1Cr =
Kombinasi dengan Pengulangan
Darin objek, banyak cara memilih r objek dengan setiap objek
dapat dilipih lebih dari satu kali adalah
n+r−1Cr =
(n+r−1)! r!·(n−1)!.
Contoh: Banyak kombinasi dari hurufa,b,c, dan d yang diambil
3 huruf dengan pengulangan adalah
6C3=
6!
3!·(6−3)! = 20,
yaitu: aaa,aab,aac,aad,abb,abc,abd,acc,acd,add,bbb,bbc, bbd,bcc,bcd,bdd,ccc,ccd,cdd, dan ddd.
Ruang Sampel
Percobaanadalah kegiatan melakukan sesuatu untuk diamati.
Percobaan acak adalah percobaan yang semua hasilnya diketahui, tetapi hasil mana yang terjadi tidak bisa ditentukan sebelum percobaan dilakukan.
Ruang Sampel adalah semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan acak; notasi yang biasa digunakan adalahS atau Ω.
Contoh:
Ruang sampel percobaan melempar sebuah mata uang adalah
S ={A,G}.
Ruang sampel percobaan melempar dua mata uang adalah
S ={AA,AG,GA,GG}.
Ruang sampel percobaan melempar satu dadu adalah
Kejadian
Kejadianadalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh:
Percobaan : Melempar dua mata uang.
Ruang sampel : S ={AA,AG,GA,GG}.
Kejadian : A={AA,GG} (muka yang sama)
B ={AG,GA}(muncul muka yang bebeda) C ={AG,GA,GG} (paling sedikit satu gambar)
Jenis Kejadian
KejadianAdanB disebut:
saling lepas apabila A∩B =∅.
Contoh: Munculnya mata dadu ganjil dan munculnya mata dadu genap pada pelemparan satu dadu.
saling meniadakan apabila kejadian Amembuat B tidak
mungkin terjadi atau sebaliknya.
Peluang Kejadian
DefinisiPeluang kejadianA adalah rasio banyak anggotaAdan banyak
anggota ruang sampelS dan ditulis sebagai
P(A) = n(A) n(S).
Disinin(H) melambangkan banyak anggota himpunan H.
Peluang Kejadian
DefinisiPeluang kejadianA adalah rasio banyak anggotaAdan banyak
anggota ruang sampelS dan ditulis sebagai
P(A) = n(A) n(S).
Disinin(H) melambangkan banyak anggota himpunan H.
Contoh: Percobaan melempar sebuah dadu mempunyai ruang sampelS ={1,2,3,4,5,6}. Kejadian muncul mata dadu genap
adalahA={2,4,6}. Jadi
P(A) = 3
Sifat-sifat Peluang
Untuk semuaA,B⊂S:
0≤P(A)≤1.
JikaA danB kejadian saling lepas,P(A∪B) =P(A) +P(B). P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).
Jika A′ melambangkan bukan kejadian A,P(A′) = 1−P(A).
Peluang Bersyarat
Definisi
PeluangAsetelah B terjadi adalah
P(A|B) = P(A∩B) P(B) .
Perhatikan bahwaP(A∩B) =P(A|B)P(B). KejadianA danB
disebutsaling bebasapabila P(A|B) =P(A) sehingga jikaAdan B saling bebas,
Contoh:
Pada pelemparan satu dadu: S ={1,2,3,4,5,6}.
Misalkan: A={1,3,5},B={2,4,6}, danC ={2,3,5}.
Maka:
AdanB saling lepas.
A∩C: muncul mata dadu prima ganjil: P(A∩C) = 2
6.
P(A|C) = 2/6
3/6 = 2 3.
