trigonometri.docx 43KB Apr 25 2011 02:14:08 AM

14  14  Download (0)

Teks penuh

(1)

TRIGONOMETRI

1

. Perbandingan Trigonometri dan Teorema Pythagoras

a. Teorema Pythagoras

Apabila diketahui panjang dua sisi suatu segitiga siku-siku, maka panjang sisi yang ketiga dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras.

Panjang hipotenusa sama dengan jumlah pada kedua sisi siku-siku segitiga.

AB2 = AC2 + BC2

Perhatikan gambar disamping:

ABC siku-siku di C, lika besar

sudut ABC = α (alfa), maka:

sin α : sisidepan sudut

sisi miring = b

c cosec α :

sisi miring sisidepan sudut

= cb

cos α : sisi samping sudut

sisimiring = a

c sec α :

sisimiring

sisi samping sudut = a c

tan α : sisi samping sudutsisidepan sudut = ba cotan α :

sisidepan sudut sisi miring =

b c

B

b c

c

A

(2)

contoh:

1. Di titik R (8, 15) membentuk sudut α, tentukan sec α

Jawab:

sec α : sisimiring

sisi samping sudut = r x

r2 = x2 + y2

= 82 + 152

= 64 + 225

=

289

r = 17

jadi, sec α : sisimiring

sisi samping sudut = r x =

17 8

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa

sudut sin cos tan

o◦ 0 1 0

30◦ 1

2

23

3 3 45◦

2

2

2 2

1

60◦

3 2

1

2

3

90◦ 1 0 ᷈᷈

r Y = 15

(3)

Contoh:

Buktikan sin245 + cos245 = 1

jawab:

sin245 + cos245 = 1

2 )2 + (½

2 )2 = 1

¼ 2 + ¼ 2 = 1

2/4 + 2/4 = 1

4/4=1

Terbukti, sin245 + cos245 = 1

3. Perbandingan Trigonometri dalam Kuadran

Kuadran I

α

α α

α

y = +

y =

-Y = +

Y =

-R = +

R = +

R = +

R = + X=-

X=+

Kuadran II Kuadran I

(4)
(5)
(6)

Perbandingan

Trigonometri I II Kuadran III IV

Sin α + + -

-Cosα + - - +

tan α + - +

-Cosec α + + -

-sec α + - - +

cotan α + - +

-Contoh:

Cos α = -4/5 dan tan α positif, berapa nilai sin...

y2 = r2 - x2

= 52 - (-42)

= 25 – 16

=

9

y = -3

sin α = sisidepan sudut

sisi miring = y r

= −3 5

4. Identitas Trigonometri

Perhatikan gambar berikut

y r

x y=?

r =5 X= -4

(7)

sin α : sisidepan sudut

sisi miring = y

r cosec α :

sisi miring

sisidepan sudut = r y

cos α : sisi samping sudutsisimiring = xr sec α :

sisimiring

sisi samping sudut = r x

tan α : sisi samping sudutsisidepan sudut = yx cotan α :

sisidepan sudut sisi miring =

x y

a. Hubungan antarpembanding

1) cosec α = 1 sinα

bukti :

cosec α = sin1α

cosec α = 1

y/r = r y

2) sec α = cos1α

Bukti:

sec α = cos1α

sec α = 1

x/r = r x

3) cotan α = tan1α

(8)

cotan α = 1 tanα

cotanα= y1 /x =

x y

b. Identitas dari Hubungan Teorema Pythagoras (x2 + y2 = r2 )

x2 + y2 = r2 (sama-sama dibagi r2)

x2 / r2 + y2 / r2 = r2 / r2

x2 / r2 + y2 / r2 = 1

cos2 α + sin2 α = 1

x 2 + y 2 = r2 (sama- sama di bagi y2)

x2 / y2 + y2 / y2 = y2 / y2

x2 / y2 + y2 / y2 = 1

(9)

contoh :

1) Buktikan:

a) sinα

cosα = tan α

jawab:

sinα

cosα = y r :

x r =

y

x = tan α

b) cosα

sinα = cotan α

jawab:

cosα

sinα = x r :

y r =

y

x = cotan α

2) jika 2 sin2 x + 3 cos x = 0 dan 0° < x < 180° maka nilai x adalah...

Jawab :

2 sin2 x + 3 cos x = 0

2(1- cos2 x) + 3 cos x = 0

2cos2 x - - 3 cos x - 2 = 0

(2 cos x + 1 ) ( cos x – 2 ) = 0

Cos x = - 12 cos x = 2 (tidak memenuhi)

= 120°

Maka nilai x = 120°

3) Dari pertidaksamaan berikut sinx . sin2 x + cos2x < ½ berapakah nilai

dari x

(10)

sinx . sin2 x + cos2x < ½

sin x .(sin2 x + cos2x) < ½

sin x . 1 < ½

sin x < ½

x< 30°

5. Fungsi Trigonometri

Perbandigan trigonometri dari suatu sudut tertentu terdapat tepat satu nilai dari Sinus, Cosius dan tangens dari sudut tersebut. Sehingga perbandingan trigonometri merupakan suatu pemetaan atau fungsi.

Perbandingan trigonometri sinx merupakan relasi yang memetakkan setiap

x dengan tepat satu nilai sinx yang dinyatakan dengan notasi F: x →

sinx dengan rumus fungsi f( x ) = sinx dan persamaan fungsinya Y =

sinx , demikian pula untuk Cosinus dan Tangens CONTOH :

1) Diketahui fungsi f( x )= sinx0 dengan domain (1200,1350,1500,1800

)

, tentukan Rangenya ! JAWAB :

f( x )= sinx0

f( 1200 )= sin 1200 = 180

sin(¿¿0−600)

¿

= sin 600 =

1 2

3

f( 1350 )= sin 1350 = 180

sin(¿¿0−450)

¿

= sin 450 =

1 2

2

f( 1500 )= sin 1500 = 180

sin(¿¿0−300) ¿

= sin 300 = 1

2

f( 1800 )= sin 1800 = 180

sin(¿¿0−00)

¿

(11)

Jadi Rangenya adalah : {1 2

3 ,

1 2

2 ,

1 2,0} .

6. Nilai Maksimum Dan Minimum Fungsi

Perubahan nilai fungsi trigonometri dapat kita amati dengan menggunakan pertolongan lingkaran satuan, yaitu suatu lingkaran trigonometriyang berjari – jari samadengan satu satuan.

Gambar 1.1

Dari Gambar 1.1, kita mendapatkan

sina0=y

1=y ; nilai sina0 ditentukan oleh ordinat y .

cosa0

=x

1=x ; nilai cosa0 ditentukan oleh absis x .

tana0

=y

x ; nilai tana0 ditentukan oleh absi � ordinat y .

Misalkan titik P berputar (diawali dari titik A) berlawanan arah jarum jam pada

lingkaran satuan, sehingga sudut a0 = ¿ XOP bertambah secara kontinyu

dari 00 sampai dengan 3600 .

Dengan bertambahnya sudut a0 tadi maka nilai fungsi trigonometri sina0 ,

cosa0 ,dan tana0 akan mengalami perubahan seperti berikut :

1) (sina0

) maksimum = 1, dicapai untuk a=90+n x360

(sina0) minimum = -1, dicapai untuk a=270+n x360

P (x,y) y

(12)

Jadi, -1 sina1 untuk tiap aR

.

2) (cos¿¿0)a ¿

maksimum = 1, dicapai untuk a=n x360

(cos¿¿0)a ¿

minimum =-1, dicapai untuk a=180+n x360

Jadi, -1 cosa

1 untuk tiap a∈R .

(13)

7. Kumpulan Soal-Soal

1) cos x . cosec x = cotan x

2) sin x . cos x . cosec x . sec x = 1

3) jika x memenuhi 2 (sin x)2 + 3 sin x – 2 = 0 dan – ½ < x< ½ maka cos x

adalah

4) sederhanakanlah tan (90 + α )° . sin (α – 180)° . sec (270 + α)°

5) jika diketahui tan A = p , hitunglah nilai 2 sin A coa A

6) diketahuhi segitiga ABC diketahui panjang sisi AC = 3, AB = 2 dan sudut A = 60°. Maka nilai cos C adalah...

7) jika tan x = p , maka nilai 2sin x cos x adalah..

(14)

REFERENSI

Noormadi & Sucipto, Endar. 2004. Matematika SMA. Erlangga. Jakarta

Primagama. 2008. Solusi Smart. Prima Visi Grafika.Yogyakarta

Abidin.1999.Ilmu Ukur Segitiga. Menara Pengetahuan. Yogyakarta

Figur

Gambar 1.1Dari Gambar 1.1, kita mendapatkan

Gambar 1.1Dari

Gambar 1.1, kita mendapatkan p.11

Referensi

Memperbarui...