1Jurusan Matematika FMIPA UNTAD Kampus BumiTadulakoTondo Palu
Abstrak
Model dinamik interkasi unsur – unsure utama iklim, yaitu suhu dan tekanan udara, memunculkan parameter laju perubahan kalor di dalamnya. Pengamatan terhadap kestabilan system yang merepresentasikannya selama ini dilakukan dengan mengamat inilai eigen matriks linearisasi yang mewakilinya. Penelitian ini menunjukkan bahwa pengamatan kestabilan system di sekitar titik kritis dapat dilakukan dengan mengamati nilai parameter tersebut. Bila parameter laju perubahan kalor bernilai positif maka system aka tidak stabil di sekitar titik kritisnya.Upaya pengendalian system dapat dilakukan dengan menjaga nilai parameter laju perubahan kalor bernilai negative. Hal ini menginterpretasikan bahwa energy pelepasan kalor dalam system haruslah direduksi untuk menghindari kestabilan system.
Kata kunci :Matriks Linearisasi, Model Dinamik, Nilai Eigen, Parameter
I. Pendahuluan
Fenomena pemanasan permukaan bumi akibat gas CO2 yang berdampak pada perubahan
iklim memerlukan kajian lebih lanjut terhadap peran laju perubahan panas pada model interaksi
unsur– unsure utama iklim. Model tersebut telah dibangun dalam Sarvina (2009) dengan melakukan
kajian termodinamika terhadap suhu dan tekanan udara permukaan sebagai unsur–unsure utama
iklim. Dalam udara kering, keadaan termodinamika di suatu titik ditentukan oleh nilai tekanan, suhu
dan densitasnya (Kato dkk, 1998). Interaksi dinamis antara suhu dan tekanan udara inilah yang
menjadi kajian utama dalam model dengan meninjau perilaku gas CO2 di atmosfer sebagai efek
rumah kaca.
Model dinamik suhu dan tekanan udara dibangunoleh system persamaan diferensial yang
almost linear. Analisis kestabilan pada titik–titik kritis model tersebut, yang dilakukan dengan
menggunakan metode linearisasi, menujukkan bahwa perilaku system adalah tidaks tabil. Hal ini
menujukkan bahwa pola perubahan kondisi iklim akan terjadi secara signifikan. Menarik untuk dikaji bahwa posisi titik–titik kritis system dipengaruhi oleh nilai parameter laju perubahan panas.
Peran parameter laju perubahan panas tersebut dapat dikaji lebih jauh dengan melakukan
identifikasi perilaku pelepasan panas seiring dengan perubahan waktu. Identifikasi dilakukan dengan
mengamati perilaku kestabilan system melalui nilai eigen system yang mewakilinya. Kriteria
kestabilan berdasarkan nilai eigen inilah yang memungkinkan kita untuk menurunkan solusi
persamaan diferensial biasa yang dibangun oleh interaksi parameter laju perubahan panas dan
Peran Penting Laju Perubahan Kalor Pada Model Dinamik Unsur–Unsur Utama Iklim
II. MetodaPenelitian
Peran laju perubahan panas pada model dinamik unsur– unsure utama iklim dikaji secara
kualitatif dengan prosedur penelitian sebagai berikut :
1. Menurunkan model dinamik unsur–unsure utama iklim berdasarkan hukum termodenamika
2. Menentukan titik kritis model yang diperoleh pada langkah 1.
3. Melakukan linearisasi model di sekitar titik–titik kritis.
4. Menentukan nilai eigen dari matriks linearisasi
5. Menentukan persamaan diferensial yang dibangun oleh criteria kestabilan system di sekitar titik
kritis.
6. Menentukan solusi persamaan diferensial yang diperoleh pada langkah 5.
7. Mengakaji peran laju perubahan panas pada model melalui solusi persamaan diferensial yang
diperoleh pada langkah 6.
III. Pembahasan
III.1 Model Dinamik Unsur– Unsur Utama Iklim
Hubungan unsur–unsur utama iklim dinyatakan dalam persamaan gas ideal berikut :
dimanaT adalah suhu (dalam K), p adalah tekanan (dalam atm), adalah densitas (dalam kg/L) dan
adalah volume spesifik gas (dalam L). Persamaan keadaan ini sering digunakan untuk
menurunkan persamaan lain yang menggambarkan dinamika unsur–unsur utama iklim.
Selain kedua persamaan gas ideal, dikenal pula persamaan energy termodinamika yang
pada umumnya dikenal sebagai panas berikut:
Dimana Cv adalah kapasitas panas pada volume tetap persatuan volume. Adapun turunan
total dari persamaan (2) dapat diperoleh sebagai berikut :
Dengan asumsi Cp = Cv + R, melalui persamaan (4) dan persamaan (3) kita bias
mendapatkan persamaan berikut :
Dimana Cp adalah kapasitas panas pada tekanan tetap. Operasi matematika sederhana pada
persamaaan (5) memberikan kita persamaan–persamaan berikut:
tekanan udara permukaan, secara matematis dapat dibangun hubungan antara suhu dan tekanan
udara sebagai berikut :
Dengan x sebagai konsentrasi gas CO2. Melaui persamaan (8), kita dapat melakukan operasi
matematika sederhana pada persamaan (5) sehingga diperoleh persamaan berikut :
Dimana merupakan perubahan konsentrasi gas CO2 terhadap perubahan waktut.
Manipulasi pada persamaan (9) akan memberikan :
Persamaan (6) dapat pula dinyatakan sebagai persamaan berikut :
Persamaan (10 dan persamaan (11) dapat dinyatakan sebagai system persamaan yang
dapat ditentukan penyelesaiannya dengan aturan cramer sehinga diperoleh model pembangun
berikut :
Persamaan (12) dan (3) inilah yang merupakan persamaan pembangun dari model dinamik
unsur–unsur utama iklim.
III.2 Titik–Titik Kritis Model Dinamik Unsur – Unsur Utama Iklim
Analisis kualitatif terhadap model dinamik yang direpresentasikan oleh pesamaan (12) dan
(13) untuk kondisi zero growth perubahan nilai unsur–unsur utama pembentuk iklim sehingga
diperoleh :
Dari persamaan (14) dapat diketahui bahwa jikaT = 0, maka dan jika p = 0 maka
. Adapun substitusi persamaan (15) ke persamaan (14) memberikan . Dengan
demikian titik – titik kritis model dinamik unsur – unsur utama iklim adalah dan
.
III.3 Linearisasi Model DinamikUnsur – UnsurUtamaIkliqm
Analisa kestabilan system dilakukan disekitar titik – titik kritis sehingga interaksi unsur utama
iklim T dan P dapat diamati. Misalkan system yang direpresentasikan oleh persamaan (12) dan (13)
Peran Penting Laju Perubahan Kalor Pada Model Dinamik Unsur–Unsur Utama Iklim
Mengingat system yang direpresentasikan oleh persamaan (16) adalah almost linier maka
system linear yang dapat mengaproksimasinya di sekitar titik kritis diberikan oleh :
Dimana dan . Melalui transformasi ini kestabilan system dapat diamati
dalam koordinat variable transformasi yang baru.
Persamaan (17) dapat ditentukan dengan menentukan turunan–turunan parsial yang
bersesuaian pada persamaan (12) dan (13) sehingga diperoleh :
Persamaan (18) dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks dan vektor dengan
dan .
Matriks A disebut sebagai matriks linearisasi system di sekitar titik kritis.
III.4 Nilai Eigen Matriks Linearisasi
Untuk mengetahui stabilitas system yang direpresentasikan oleh persamaan (18) akan
ditentukan nilai eigen dari matriks linearisasi system di sekitar titik kritis dengan menentukan nilai
determinan dari matriks (A - I) yang sama dengan nol. Nilai – nilai yang memenuhi persamaan
yang dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi berikut :
Perhatikan bahwa dapat nilai eigen yang diperoleh sebagai akar – akar dari persamaan (19) dapat dipandang sebagai persamaan diferensial biasa orde dua dalam variabel pelepasan kalor q
berikut:
III.5 Kriteria Kestabilan Sistem
Pengamatan terhadap kestabilan sistem di sekitar titik kritis diamati melalui nilai eigen λ dari matriks Jacobi J(x) sebagai berikut :
1. Nilai eigen real :
a. Kedua nilai eigen positif, dan , menghasilkan trayektori simpul tak stabill (unstable
node)
b. Nilai eigen satu positif dan yang lainnya negatif, , menghasilkan trayektori titik pelana
(saddle point)
c. Kedua nilai eigen negatif, dan , menghasilkan trayektori simpul stabill (stable
a. Bagian real positif, dan , menghasilkan trayektori spiral tak stabill
(unstable spiral point)
b. Bagian real nol, semua nilai eigen imajiner, , menghasilkan trayektori
pusat netral atau stabil netral (neutral center atau neutral stable )
c. Bagian real negatif, dan , menghasilkan trayektori spiral stabil (stable
spiral point)
dimana , dan r secara berturut-turut adalah trace, determinan dan bagian real nilai eigen
matriks Jacobi J(x). dari sistem .
III.6 PeranPentingLajuPerubahanKalor
Peran penting laju perubahan kalor pengamatan terhadap dapat ditunjukkan melalui
pengamatan terhadap solusi persamaan (20). Solusi umum persamaan tersebut dapat dinyatakan
sebagai :
Persamaan (21) menunjukkan peran penting laju perubahan kalor sebagai penentu
kestabilan system. Hal ini dilakukan dengan meninjau :
Mengingat fungsi eksponensial selalu bernilai positif, maka persamaan (21) memperlihatkan
bahwa nilai eigen system, yang merupakan indicator penentu kestabilan system, sangat ditentukan
oleh nilai laju perubahan kalor . Bila energy pelepasan kalor terus meningkat yang berarti laju
perubahan kalor bernilai positif maka system akan tidak stabil di sekitar titik kritisnya. Dengan
demikian bila system ingin dijaga kestabilannya di sekitar titik kritis maka laju perubahan kalor harus
diupayakan agar tetap bernilai negative.
IV. Kesimpulan
Model interaksi unsur – unsur utama iklim, yang dibangun berdasarkan kaidah termodinamik
dan direpresentasikan sebagai system persamaan diferensial, menunjukkaan bahwa perilaku system
di sekitar titik kritis adalah tidak stabil. Untuk system yang diobservasi dalam penelitian, diperoleh
cara baru dalam pengamatan kestabilan system, yaitu dengan mengamati laju perubahan kalor.
Pengamatan kestabilan system yang selama ini secara teknis diukur melalui nilai eigen matriks
linearisasi yang mewakilinya, dapat dikaitkan dengan pengamatan terhadap nilai laju perubahan
kalorter sebut.
V. DaftarPustaka
1. Boyce, W. E., and Richard, C. D, 1996, Elementary Differential Equations and Boundary
Value Problems, Sixth Edition, Wiley, Singapore.
2. Gabriel, J. F., 2001, Fisika Lingkungan, Penerbit Hipokrates, Jakarta.
3. Haneda, 2004, Hubungan Efek Rumah Kaca, Pemanasan Global dan Perubahan Iklim,
http://climatechange.menlh.go.id., diakses 11 Nopember 2008.
Peran Penting Laju Perubahan Kalor Pada Model Dinamik Unsur–Unsur Utama Iklim
5. Leon, S.J., 2001, Aljabar Linier dan Aplikasinya, Edisi5, (Terjemahan), Penerbit Erlangga,
Jakarta.
6. Mudiyarso, D., Konvensi Perubahan Iklim, Penerbit Buku Kompas, Jakarta.
7. Sarvina, Iin, 2009, Model Dinamik Suhudan Tekanan Udara Permukaan dengan Meninjau
Perilaku Gas CO2ndi Atmosfer sebagai Efek Gas RumahKaca, UniversitasTadulako, Palu.
8. Tjasyono, B., 2004, Klimatologi, Penerbit ITB, Bandung.
