Logika Proposisi 3: Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi Masalah Dalam Inferensi Logika Proposisi

(1)

Logika Proposisi 3: Translasi Bahasa Alami ke Formula

Logika Proposisi – Masalah Dalam Inferensi Logika

Proposisi

Kuliah Logika Matematika Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas Informatika Telkom University

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 _{Discrete Mathematics and Its Applications} _{(Bab 1), Edisi 7, 2012,}_oleh_{K. H.}

Rosen (acuan utama).

2 Discrete Mathematics with Applications (Bab 2), Edisi 4, 2010,olehS. S. Epp.

3 Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems (Bab 1), Edisi 2, 2004,oleh M. Huth dan M. Ryan.

4 _{Mathematical Logic for Computer Science} _{(Bab 2, 3, 4), Edisi 2, 2000,}_oleh M. Ben-Ari.

5 Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja. 6 _Slide _{kuliah Logika Matematika di Telkom University oleh A. Rakhmatsyah,}

B. Purnama.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalamslide ini, silakan kirim email ke<pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

(3)

Bahasan

1 Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

2 Contoh Kasus: Konsistensi Spesi…kasi Sistem

3 Contoh Penerapan Konsistensi Koleksi Formula

4 Aturan Inferensi Dasar pada Logika Proposisi

5 Latihan Inferensi Logika Proposisi

(4)

Bahasan

(5)

Bahasan

(6)

Bahasan

(7)

Bahasan

(8)

Bahasan

(9)

Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

Bahasan

(10)

Bahasa Alami dan Ambiguitas

Bahasa alami (natural language) adalah bahasa yang diucapkan, ditulis, atau diisyaratkan (secara visual atau yang lain) oleh manusia untuk komunikasi secara umum. Bahasa alami merupakan bahasa yang dikembangkan oleh manusia secara alami melalui interaksi yang telah atau mungkin terjadi.

Contoh-contoh bahasa alami: bahasa Indonesia, bahasa Sunda, bahasa Jawa, bahasa Inggris, bahasa Perancis, bahasa Arab, dan bahasa-bahasa sehari-hari yang lain.

Semantik (makna) kalimat dalam bahasa alami dapat dipengaruhi oleh penggunanya.

Contoh

Menurut Anda, apa makna dari kalimat-kalimat berikut: 1 Ayah membaca buku sejarah agama baru.

2 Kakak mahasiswa baru yang pintar itu tidak berkuliah di sini. 3 Kucing makan tikus mati.

(11)

Bahasa Alami dan Ambiguitas

Contoh

(12)

Bahasa Alami dan Ambiguitas

Contoh

Menurut Anda, apa makna dari kalimat-kalimat berikut:

1 Ayah membaca buku sejarah agama baru.

(13)

Bahasa Alami dan Ambiguitas

Contoh

Menurut Anda, apa makna dari kalimat-kalimat berikut:

(14)

Bahasa Alami dan Ambiguitas

Contoh

2 _{Kakak mahasiswa baru yang pintar itu tidak berkuliah di sini.}

(15)

Bahasa Alami dan Ambiguitas

Contoh

(16)

Bahasa Formal

Ketiga kalimat dalam bahasa Indonesia pada contoh sebelumnya adalah kalimat yang ambigu. Kalimat dalam bahasa alami tidak selamanya dapat digunakan dalam pembuatan spesi…kasisoftware, karena bahasa alami rentan dengan ambiguitas, yang bisa saja menimbulkan kontradiksi.

Bahasa formal adalah bahasa yang disusun dengan aturan-aturan penyusunan kalimat tertentu (yang disebut sintaks/syntax) dan memiliki makna (semantik) yang dide…nisikan secara jelas. Bahasa formal dibuat untuk mereduksi ambiguitas yang dapat muncul pada bahasa alami.

Logika proposisi dan bahasa pemrograman (seperti pascal, C, C++, python, java) merupakan contoh bahasa formal. Bahasa formal cocok untuk digunakan dalam pembuatan spesi…kasisoftware karena sifatnya yang tidak ambigu.

(17)

Bahasa Formal

(18)

Bahasa Formal

(19)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

Misalkanpdanqadalah dua proposisi berikut

p: “Alex pandai” q: “Alex tampan” Tuliskan kalimat-kalimat majemuk berikut dalam logika proposisi

1 “Alex pandai dan tampan”

2 “Alex pandai namun tidak tampan”

3 “Alex pandai atau tampan, tetapi tidak kedua-duanya” 4 “Tidak benar bahwa Alex pandai ataupun tampan”

p_^q, (2)p_{^ :}q, (3)p qatau dapat juga(p_{_}q)_{^ :}(p_^q)atau dapat juga(p_{^ :}q)_{_}(_:p_^q), (4)_:(p_{_}q)atau dapat juga_:p_{^ :}q, (5) p_{! :}q.

(20)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

3 “Alex pandai atau tampan, tetapi tidak kedua-duanya” 4 “Tidak benar bahwa Alex pandai ataupun tampan” 5 _{“Jika Alex pandai, maka Alex tidak tampan”} Solusi: (1)p_^q, (2)

p_{^ :}q, (3)p qatau dapat juga(p_{_}q)_{^ :}(p_^q)atau dapat juga(p_{^ :}q)_{_}(_:p_^q), (4)_:(p_{_}q)atau dapat juga_:p_{^ :}q, (5) p_{! :}q.

(21)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

p qatau dapat juga(p_{_}q)_{^ :}(p_^q)atau dapat juga(p_{^ :}q)_{_}(_:p_^q), (4)_:(p_{_}q)atau dapat juga_:p_{^ :}q, (5) p_{! :}q.

(22)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

3 “Alex pandai atau tampan, tetapi tidak kedua-duanya” 4 “Tidak benar bahwa Alex pandai ataupun tampan” 5 _{“Jika Alex pandai, maka Alex tidak tampan”} Solusi: (1)p_^q, (2) p_{^ :}q, (3)p qatau dapat juga

(p_{_}q)_{^ :}(p_^q)atau dapat juga(p_{^ :}q)_{_}(_:p_^q), (4)_:(p_{_}q)atau dapat juga_:p_{^ :}q, (5) p_{! :}q.

(23)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

(p_{^ :}q)_{_}(_:p_^q), (4)_:(p_{_}q)atau dapat juga_:p_{^ :}q, (5) p_{! :}q.

(24)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

3 “Alex pandai atau tampan, tetapi tidak kedua-duanya” 4 “Tidak benar bahwa Alex pandai ataupun tampan” 5 _{“Jika Alex pandai, maka Alex tidak tampan”}

Solusi: (1)p_^q, (2) p_{^ :}q, (3)p qatau dapat juga(p_{_}q)_{^ :}(p_^q)atau dapat juga(p_{^ :}q)_{_}(_:p_^q), (4)

:(p_{_}q)atau dapat juga_:p_{^ :}q, (5) p_{! :}q.

(25)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

:p_{^ :}q, (5) p_{! :}q.

(26)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

3 “Alex pandai atau tampan, tetapi tidak kedua-duanya” 4 “Tidak benar bahwa Alex pandai ataupun tampan” 5 _{“Jika Alex pandai, maka Alex tidak tampan”}

Solusi: (1)p_^q, (2) p_{^ :}q, (3)p qatau dapat juga(p_{_}q)_{^ :}(p_^q)atau dapat juga(p_{^ :}q)_{_}(_:p_^q), (4)_:(p_{_}q)atau dapat juga_:p_{^ :}q, (5)

(27)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(1)

Latihan

(28)

Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

(2)

Latihan

Jika memungkinkan, nyatakan kalimat-kalimat berikut dalam formula logika proposisi

1 “Anda dapat memilih dalam pemilu jika Anda tidak berusia di bawah₁₇ tahun, kecuali Anda telah menikah”

2 _{“Anda tidak dapat memiliki SIM A jika tinggi Anda kurang dari}_{140 cm}_, kecuali Anda memakai mobil khusus”

3 “Jika mahasiswa tidak memakai sepatu ataupun jas almamater, maka mahasiswa tersebut tidak boleh mengikuti ujian”.

(29)

Solusi:

Untuk kalimat pertama, misalkanp:“Anda dapat memilih dalam pemilu”,q:

“Anda berusia di bawah17tahun”, danr:“Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi:

“Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka Anda tidak berusia di bawah

17tahun atau Anda telah menikah”. Akibatnya diperoleh formula logika p_!(_:q_{_}r).

Atau dapat pula: “Jika Anda berusia di bawah17tahun dan Andabelum menikah, maka Andatidakdapat memilih dalam pemilu”. Akibatnya diperoleh formula logika(q_{^ :}r)_{! :}p.

(30)

Solusi:

“Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka

Anda tidak berusia di bawah

(31)

Solusi:

17tahun atau Anda telah menikah”. Akibatnya diperoleh formula logika

p_!(_:q_{_}r).

(32)

Solusi:

(33)

Solusi:

Atau dapat pula:

“Jika Anda berusia di bawah17tahun dan Andabelum menikah, maka Andatidakdapat memilih dalam pemilu”. Akibatnya diperoleh formula logika(q_{^ :}r)_{! :}p.

(34)

Solusi:

Atau dapat pula: “Jika Anda berusia di bawah17tahun dan Andabelum menikah, maka Andatidakdapat memilih dalam pemilu”. Akibatnya diperoleh formula logika

(q_{^ :}r)_{! :}p. p_!(_:q_{_}r)setara dengan(q_{^ :}r)_{! :}p

(35)

Solusi:

(36)

Solusi:

(37)

Untuk kalimat kedua, misalkanp:“Anda dapat memiliki SIM A”,q:“tinggi Anda kurang dari140 cm”, danr:“Anda memakai mobil khusus”.

Kalimat kedua dapat ditulis ulang menjadi:

“Jika Anda memiliki SIM A, maka tinggi Anda tidak kurang dari140 cmatau Anda memakai mobil khusus”. Akibatnya diperoleh formula logika

p_!(_:q_{_}r).

Atau dapat pula: “Jika tinggi Anda kurang dari140 cmdan Andatidak memakai mobil khusus, maka Andatidakdapat memiliki SIM A”. Akibatnya diperoleh formula logika(q_{^ :}r)_{! :}p.

(38)

Kalimat kedua dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda memiliki SIM A, maka

tinggi Anda tidak kurang dari140 cmatau Anda memakai mobil khusus”. Akibatnya diperoleh formula logika

p_!(_:q_{_}r).

(39)

“Jika Anda memiliki SIM A, maka tinggi Anda tidak kurang dari140 cmatau Anda memakai mobil khusus”.

Akibatnya diperoleh formula logika p_!(_:q_{_}r).

(40)

p_!(_:q_{_}r).

(41)

p_!(_:q_{_}r). Atau dapat pula:

“Jika tinggi Anda kurang dari140 cmdan Andatidak memakai mobil khusus, maka Andatidakdapat memiliki SIM A”. Akibatnya diperoleh formula logika(q_{^ :}r)_{! :}p.

(42)

p_!(_:q_{_}r).

Atau dapat pula: “Jika tinggi Anda kurang dari140 cmdan Andatidak memakai mobil khusus, maka Andatidakdapat memiliki SIM A”. Akibatnya diperoleh formula logika

(q_{^ :}r)_{! :}p. p_!(_:q_{_}r)setara dengan(q_{^ :}r)_{! :}p.

(43)

p_!(_:q_{_}r).

(44)

p_!(_:q_{_}r).

(45)

Untuk kalimat ketiga, misalkanp:“Mahasiswa memakai sepatu”,q:“Mahasiswa memakai jas almamater”, danr: “Mahasiswa boleh mengikuti ujian”.

Kalimat ketiga dapat ditulis ulang menjadi:

“Jika mahasiswatidakmemakai sepatu atau mahasiswatidakmemakai jas almamater, maka mahasiswatidakboleh mengikuti ujian”. Akibatnya diperoleh formula logika(_:p_{_ :}q)_{! :}r.

Atau dapat pula: “Jika mahasiswa boleh mengikuti ujian, maka mahasiswa memakai sepatu dan jas almamater”. Akibatnya diperoleh formula logika r_!(p_^q).

(46)

“Jika mahasiswatidakmemakai sepatu atau mahasiswatidakmemakai jas almamater,

maka mahasiswatidakboleh mengikuti ujian”. Akibatnya diperoleh formula logika(_:p_{_ :}q)_{! :}r.

(47)

“Jika mahasiswatidakmemakai sepatu atau mahasiswatidakmemakai jas almamater, maka mahasiswatidakboleh mengikuti ujian”. Akibatnya diperoleh formula logika

(_:p_{_ :}q)_{! :}r.

(48)

(49)

Atau dapat pula:

“Jika mahasiswa boleh mengikuti ujian, maka mahasiswa memakai sepatu dan jas almamater”. Akibatnya diperoleh formula logika r_!(p_^q).

(50)

(51)

(52)

Contoh Kasus: Konsistensi Spesi…kasi Sistem

Bahasan

(53)

Koleksi Formula yang Konsisten

Ingat kembali bahwa suatu koleksi/ kumpulan formula_fA1; A2; : : : ; Angdikatakan

konsisten (consistent) bila terdapat suatu interpretasi_I yang mengakibatkan

I(A1) =I(A2) = I(An) = T.

Tinjau kembali permasalahan berikut.

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem

Seorangsoftware engineer diminta oleh manajernya untuk membuat suatu sistem informasi dengan spesi…kasi berikut:

1 Ketikasystem software di-upgrade,user tidak dapat mengakses…le system; 2 _Jika_user _{dapat mengakses}_{…le system, maka}_user _{dapat menyimpan}_…le _baru; 3 Jikauser tidak dapat menyimpan …le baru, makasystem software tidak

sedang di-upgrade.

(54)

Koleksi Formula yang Konsisten

Ingat kembali bahwa suatu koleksi/ kumpulan formula_fA1; A2; : : : ; Angdikatakan

konsisten (consistent) bila terdapat suatu interpretasi_I yang mengakibatkan

I(A1) =I(A2) = I(An) = T.

Tinjau kembali permasalahan berikut.

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem

Seorangsoftware engineer diminta oleh manajernya untuk membuat suatu sistem informasi dengan spesi…kasi berikut:

1 Ketikasystem software di-upgrade,user tidak dapat mengakses…le system; 2 _Jika_user _{dapat mengakses}_{…le system, maka}_user _{dapat menyimpan}_…le _baru; 3 Jikauser tidak dapat menyimpan …le baru, makasystem software tidak

sedang di-upgrade.

(55)

Konsistensi Spesi…kasi Sistem (1)

Untuk memeriksa konsistensi spesi…kasi sistem, pertama kita perlu menerjemahkan setiap kalimat spesifkasi menjadi formula logika proposisi. Agar sistem konsisten, formula-formula spesi…kasi sistem tidak boleh kontradiktif. Hal ini berartikonjungsi dari formula-formula pada tersebut harus bernilaibenaruntuk suatu interpretasi.

Akibatnya, jika sistem memilikinbuah formula spesi…kasiA1; A2; : : : ; An, maka haruslah terdapat interpretasi_I yang memberikan

(56)

Untuk menjawab permasalahan konsistensi sistem yang dideskripsikan sebelumnya, kita perlu menterjemahkan spesi…kasi sistem ke dalam formula logika proposisi. Misalkanp: “system software sedang di-upgrade”,q:“user dapat mengakses…le system”, dan r:“user dapat menyimpan …le baru”.

Akibatnya ketiga kalimat spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1:=

p_{! :}q A2:=q!r

A3:=:r! :p

Selanjutnya akan diperiksa apakah terdapat interpretasi_I sehingga

I(A1) =I(A2) =I(A3) = T. Tinjau bahwa dengan memilihI(p) = F, I(q) = F, dan_I(r) = Tdiperoleh

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(57)

Akibatnya ketiga kalimat spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1:=p! :q

A2:=

q_!r A3:=:r! :p

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(58)

A2:=q!r

A3:=

:r_{! :}p

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(59)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(60)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

I(A1) =I(A2) =I(A3) =

T. Tinjau bahwa dengan memilih_I(p) = F,

I(q) = F, dan_I(r) = Tdiperoleh

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(61)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

I(A1) =I(A2) =I(A3) = T. Tinjau bahwa dengan memilihI(p) =

F,

I(q) = F, dan_I(r) = Tdiperoleh

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(62)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

I(A1) =I(A2) =I(A3) = T. Tinjau bahwa dengan memilihI(p) = F, I(q) =

F, dan_I(r) = Tdiperoleh

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(63)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

I(A1) =I(A2) =I(A3) = T. Tinjau bahwa dengan memilihI(p) = F, I(q) = F, dan_I(r) =

Tdiperoleh

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(64)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

I(A1) = I(p! :q) =

F_!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(65)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

F_!T = T

I(A3) = I(:r! :p) = F!T = T

(66)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

I(A1) = I(p! :q) = F!T = T

I(A2) = I(q!r) = F!T = T

I(A3) = I(:r! :p) =

F_!T = T

(67)

A2:=q!r

A3:=:r! :p

(68)

Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2)

Latihan

Periksa apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten.

“Sistem berada dalamstate multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem beroperasi secara normal, makakernel sistem sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalaminterrupt mode. Sistem tidak berada dalaminterrupt mode.”

Solusi:

Pertama kita lakukan translasi ke formula logika dengan mende…nisikan proposisi-proposisi atom berikut: p:“sistem berada dalamstate multiuser”,q:

“sistem beroperasi secara normal”,r: “kernel sedang berfungsi”, dans: “sistem dalaminterrupt mode”.

Akibatnya spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi

(69)

Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2)

Latihan

Solusi:

Pertama kita lakukan translasi ke formula logika dengan mende…nisikan proposisi-proposisi atom berikut:

p:“sistem berada dalamstate multiuser”,q:

(70)

Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2)

Latihan

Solusi:

Akibatnya spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1:=

(71)

Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2)

Latihan

Solusi:

(72)

Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2)

Latihan

Solusi:

Akibatnya spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1:=p$q,A2:=q!r, A3:=

(73)

Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2)

Latihan

Solusi:

(74)

Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2)

Latihan

Solusi:

(75)

Selanjutnya akan ditentukan interpretasi_I sehingga

I(A1) =I(A2) =I(A3) =I(A4) = T I(p_$q) =_I(q_!r) =_I(_:r_{_}s) =_I(_:s) = T Dengan memilih_I(s) = F,_I(r) = F,_I(q) = F, dan_I(p) = F, didapatkan I(A1) = I(p$q) = T I(A2) = I(q!r) = T I(A3) = I(:r_s) = T I(A4) = I(:s) = T

(76)

(77)

(78)

I(A1) =I(A2) =I(A3) =I(A4) = T

I(p_$q) =_I(q_!r) =_I(_:r_{_}s) =_I(_:s) = T

Dengan memilih_I(s) = F,_I(r) = F,_I(q) = F, dan_I(p) =

F, didapatkan

I(A1) = I(p$q) = T

I(A2) = I(q!r) = T

I(A3) = I(:r_s) = T I(A4) = I(:s) = T

(79)

I(A1) =I(A2) =I(A3) =I(A4) = T

I(p_$q) =_I(q_!r) =_I(_:r_{_}s) =_I(_:s) = T

Dengan memilih_I(s) = F,_I(r) = F,_I(q) = F, dan_I(p) = F, didapatkan

I(A1) = I(p$q) =

T

I(A2) = I(q!r) = T

I(A3) = I(:r_s) = T I(A4) = I(:s) = T

(80)

I(A1) =I(A2) =I(A3) =I(A4) = T

I(p_$q) =_I(q_!r) =_I(_:r_{_}s) =_I(_:s) = T

I(A1) = I(p$q) = T

I(A2) = I(q!r) =

T

I(A3) = I(:r_s) = T I(A4) = I(:s) = T

(81)

I(A1) =I(A2) =I(A3) =I(A4) = T

I(p_$q) =_I(q_!r) =_I(_:r_{_}s) =_I(_:s) = T

I(A1) = I(p$q) = T

I(A2) = I(q!r) = T

I(A3) = I(:r_s) =

T

I(A4) = I(:s) = T

(82)

I(A1) =I(A2) =I(A3) =I(A4) = T

I(p_$q) =_I(q_!r) =_I(_:r_{_}s) =_I(_:s) = T

I(A1) = I(p$q) = T

I(A2) = I(q!r) = T

I(A3) = I(:r_s) = T I(A4) = I(:s) =

T

(83)

I(A1) =I(A2) =I(A3) =I(A4) = T

I(p_$q) =_I(q_!r) =_I(_:r_{_}s) =_I(_:s) = T

I(A1) = I(p$q) = T

I(A2) = I(q!r) = T

I(A3) = I(:r_s) = T I(A4) = I(:s) = T

(84)

Contoh Penerapan Konsistensi Koleksi Formula

Bahasan

(85)

Teka-teki Logika (Logic Puzzles)

Pemeriksaan konsistensi koleksi formula dapat dipakai untuk menjawab masalah berikut.

Latihan (

Knights and Knaves

)

Penduduk di sebuah pulau terpencil dapat dikelompokkan menjadi dua golongan, yaitukelompok alim (knight)dankelompok pendusta (knave). Setiap orang di kelompok alim selalu berkata jujur,sedangkan setiap orang dikelompok pendusta selalu berbohong.

Suatu ketika Anda terdampar di pulau terpencil tersebut. Anda mengetahui bahwa penduduk di pulau itu terdiri atas kelompok alim dan kelompok pendusta. Anda bertemu dengan dua orang, yaitu Pluck dan Qluck. Pluck berkata,“Setidaknya salah satu di antara kami adalah pendusta”. Qluck tidak mengatakan apa-apa.

(86)

Latihan (

The Bank Robbery

)

Lima orang residivis: Abby, Heather, Kevin, Randy, dan Vijay, dicurigai terlibat dalam suatu perampokan bank. Polisi tidak mengetahui dengan pasti siapa saja di antara lima orang tersebut yang terlibat dalam perampokan bank, namun

berdasarkan informasi seorang detektif, polisi mengetahui bahwa fakta-fakta berikut:

1 _{Kevin atau Heather, atau keduanya, terlibat perampokan.}

2 Salah satu dari Randy atau Vijay, tetapi tidak keduanya, terlibat perampokan. 3 Jika Abby ikut merampok bank, maka Randy juga ikut dalam perampokan. 4 Vijay dan Kevin keduanya ikut dalam perampokan, atau tidak sama sekali. 5 Jika Heather ikut merampok, maka Abby dan Kevin juga ikut dalam

perampokan.

(87)

Aturan Inferensi Dasar pada Logika Proposisi

Bahasan

(88)

Argumen Logika

Argumen (logika) adalah sebuah barisan (berhingga) proposisi.

Seluruh proposisi, kecuali yang terakhir, disebutpremis (asumsi/ hipotesis), sedangkan proposisi yang terakhir disebutkesimpulan (konklusi).

Sebuah argumen dikatakanabsah/ kukuh/ berlaku (valid/ sound)apabila kebenaran seluruh premisnya mengimplikasikan kebenaran kesimpulannya.

Dari de…nisi di atas, suatu argumen dengan premisp1; p2; : : : ; pn dan kesimpulan qabsah ketika(p1_^p2_^ _^pn)₎q , atau dengan perkataan lain

(89)

Argumen Logika

Argumen (logika) adalah sebuah barisan (berhingga) proposisi.

Seluruh proposisi, kecuali yang terakhir, disebutpremis (asumsi/ hipotesis), sedangkan proposisi yang terakhir disebutkesimpulan (konklusi).

Sebuah argumen dikatakanabsah/ kukuh/ berlaku (valid/ sound)apabila kebenaran seluruh premisnya mengimplikasikan kebenaran kesimpulannya. Dari de…nisi di atas, suatu argumen dengan premisp1; p2; : : : ; pn dan kesimpulan qabsah ketika(p1_^p2_^ _^pn)₎q , atau dengan perkataan lain

(90)

Aturan Inferensi Dasar pada Logika Proposisi

Aturan inferensi dasar (aturan penarikan kesimpulan dasar) pada logika proposisi terdiri atas

1 modus ponens 2 modus tollens

3 introduksi negasi ganda 4 _{eliminasi negasi ganda} 5 silogisme hipotetik 6 _{silogisme disjungtif}

7 penambahan (adisi/addition)

8 penyederhanaan (simpli…kasi/simpli…cation) 9 konjungsi

(91)

Modus Ponens

Misalkanpdanqadalah proposisi,

p_!q p

)q

Perhatikan bahwa((p_!q)_^p)_!qadalah suatu tautologi, sehingga berlaku ((p_!q)_^p)₎q.

Contoh

Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Andre kuliah di Tel-U.

(92)

Modus Ponens

p_!q p

)q

Contoh

(93)

Modus Ponens

p_!q p

)q

Contoh

Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia.

(94)

Modus Ponens

p_!q p

)q

Contoh

(95)

Modus Tollens

Misalkanpdanqadalah proposisi.

p_!q :q

):p

Perhatikan bahwa((p_!q)_{^ :}q)_{! :}padalah suatu tautologi, sehingga berlaku ((p_!q)_{^ :}q)_{) :}p.

Contoh

Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Andre tidak tinggal di Indonesia.

(96)

Modus Tollens

p_!q :q

):p

Contoh

(97)

Modus Tollens

p_!q :q

):p

Contoh

(98)

Modus Tollens

p_!q :q

):p

Contoh

(99)

Introduksi Negasi Ganda

Misalkanpadalah proposisi.

p

)::p

Perhatikan bahwap_{! ::}padalah suatu tautologi, sehingga berlakup_{) ::}p.

Contoh

Andre kuliah di Tel-U.

(100)

Introduksi Negasi Ganda

p

)::p

Contoh

(101)

Introduksi Negasi Ganda

p

)::p

Contoh

(102)

Introduksi Negasi Ganda

p

)::p

Contoh

(103)

Eliminari Negasi Ganda

Eliminasi Negasi Ganda

::p

)p

Perhatikan bahwa_::p_!padalah suatu tautologi, sehingga berlaku_::p₎p.

Contoh

Tidak benar bahwa Andre tidak kuliah di Tel-U.

(104)

Eliminari Negasi Ganda

Eliminasi Negasi Ganda

::p

)p

Contoh

(105)

Eliminari Negasi Ganda

Eliminasi Negasi Ganda

::p

)p

Contoh

(106)

Eliminari Negasi Ganda

Eliminasi Negasi Ganda

::p

)p

Contoh

(107)

Silogisme Hipotetik (Hypothetical Syllogism)

Silogisme Hipotetik (

Hypothetical Syllogism

)

Misalkanp; q; radalah proposisi.

p_!q q_!r

)p_!r

Perhatikan bahwa((p_!q)_^(q_!r))_!(p_!r)adalah suatu tautologi, sehingga berlaku((p_!q)_^(q_!r))₎(p_!r).

Contoh

Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Jika Andre tinggal di Indonesia, maka Andre tinggal di Bumi.

(108)

Silogisme Hipotetik (Hypothetical Syllogism)

Silogisme Hipotetik (

Hypothetical Syllogism

)

p_!q q_!r

)p_!r

Contoh

Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Jika Andre tinggal di Indonesia, maka Andre tinggal di Bumi.