Penaksiran Titik Penaksiran Selang Selang Kepercayaan untuk RATAAN Selang Kepercayaan untuk VARIANSI

PENAKSIRAN

PENAKSIRAN

P e n a ks ira n Titik P e n a ks ira n S e la n g

S e la n g Ke p e rca ya a n u n tu k RATAAN S e la n g Ke p e rca ya a n u n tu k RATAAN S e la n g Ke p e rca ya a n u n tu k VARIAN S I

MA2081 STATISTIKA DASAR

Met ode Penaksiran

2

Met ode Penaksiran

Pen aksiran

1

Pen aksiran

2

Titik Selangg

Nilai tunggal dari suatu parameter

l l i d k d

Nilai sesungguhnya dari suatu b d di l

melalui pendekatan metode tertentu. parameter berada di selang tertentu.

Contoh 1. Seorang mahasiswa mengulang kuliah Statdas, ketika di

Contoh 2. Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut awal perkuliahan, memiliki target

nilai lulus matkul Statdas adalah B.

mengubah target nilai lulus matkul Statdas adalah minimal AB

Ilust rasi

3

P r m t r P pul si Parameter Populasi

σ2

µ

Populasi

Sampel

σ2

µ

menaksir

? ?

titik?? selan g??

Parameter Sampel

? ?

Param eter sam pel m en aksir param eter populasi

Penaksiran Tit ik

Statistik yan g digun akan un tuk m en dapatkan

k k d b k i f i

4

taksiran titik disebut p e n a ks ir atau fu n gs i ke p u tu s a n.





X

2

2





s

X



Apakah dan

s

2

_{merupakan penaksir yang baik}

Penaksir Takbias dan Paling Ef isien

Definisi

5

•

_Statistik

_{dikatakan penaksir takbias parameter}



bila,



ˆ





_ˆ



E

[



ˆ

]





Dari semua penaksir takbias



yang mungkin

dibuat, penaksir yang memberikan variansi

terkecil disebut

penaksir



yang paling efisien

terkecil disebut

penaksir



yang paling efisien

2 ˆ 2

ˆ _









2

1 

Penaksir Tak Bias unt uk



dan



2

Bukti

: dengan menunjukkan bahwa,

Penaksiran Selang

7



Taksiran selang suatu parameter populasi



:

2

taraf/koefisien keberartian

den gan 0 <



< 1.

taraf/koefisien keberartian

2

1

ˆ

ˆ













Selan g kepercayaan : perhitun gan selan g

Skema Penaksiran

POPU LAS I

2

µ σ2

1 POPULASI 2 POPULASI

BERPASANGAN 2 POPULASI 1 POPULASI

2 POPULASI

BERPASANGAN 2 POPULASI

b l 2

2 2 _{id k}

D Tabel D

2 1



n

 _Tabel

1 2,

v v F

σ2

diketahui

σ2 _tidak

diketahui σ12 , σ22

diketahui

σ12 = σ22

tidak diketahui

σ12 ≠ σ22

tidak diketahui

Tabel z Tabel t

b l b l b l

8

Tabel z Tabel t

K

N

l B k (Z N(0 1))

9

Kurva Normal Baku (Z~N(0, 1))

menghit ung t abel z

1 - 

/2 /2 P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)

 = 0

1 

z_1-/2

-z_1-/2

(1-/2)

 = 5% maka z_1-/2 = z_0,975 =1,96  P(Z ≤ z_0,975) = 1 – 0,025 = 0,975

Kurva

t -

_{St udent (}

_T~

_t

₎

10

Kurva

t -

_{St udent (}

_T~

_t

v

)

menghit ung t abel t

/2

/2

1 - 

/2 /2 P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)

 = 0

1 

t_/2

-t_/2

 = 5% dan n =10 maka t_/2;n-1 = t_0,025;9 = 2,262  P(T ≤ t_0,025) = 0,025

d t t 2 262

13

Cont oh 1

•

_{Survey tentang waktu maksimum pemakaian}

_y

_g

_p

komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah

Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi

l d

b k

d

normal dengan simpangan baku 10 jam dan

rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam.

Dengan menggunakan taraf keberartian 2%

14

Cont oh 2

• _{Survey tentang waktu maksimum pemakaian}

komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet p (j ) gg di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal.

Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengan

dengan simpangan baku 10 jam. Dengan

menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

Analisis Cont oh

Analisis Cont oh

₁₅

Contoh 1

Contoh 2

Diketahui : n = 50 , , X  55 σ = 10 n _{= 50 , ,} X  ₅₅ S _{= 10}

Ditanya : SK 98% untuk  ( = 0,02) SK 98% untuk  ( = 0,02)

Jenis kasus : kasus menaksir  dengan 2

diketahui,

kasus menaksir  dengan 2

tidak diketahui,

Jawab : z_{1 /2} = z_{0 99} = 2,33 t_{/2;n 1} = t_{0 01;49} = 2,326 Jawab : z_1-/2 z_0,99 2,33 t_/2;n-1 t_0,01;49 2,326

n z

X n

z

X _   _ 

1

1    



n S t

X n

S t

X

2 2



    



n

n ₂

Solusi Cont oh 1 dan 2

16

Selang Kepercayaan unt uk



1 Jika

2

diketah i

2 Jika

2

tidak diketah i

10 10

55  2,33   55  2,33

1. Jika



2

diketahui.

2. Jika



2

tidak diketahui.

10 10

55 2,326 55 2,326

50  50

   

50  50 50 50

Selang Kepercayaan (1-



) unt uk



-



Selang Kepercayaan (1-



) unt uk



₁

-



₂

Kasus 2 populasi 17

X₁ ~ N(µ₁ , σ₁2) _X

2 ~ N(µ2 , σ22)

_

_

1. SK (1-) un tuk (₁-  ₂) jika ₁2 dan ₂2 diketahui

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 2

1 2 1 2

(X X ) Z (X X ) Z

n n n n

 

  _{ }  

 

        

1 2 1 2

Selang Kepercayaan (1-



) unt uk



₁

-



₂

Selang Kepercayaan (1



) unt uk



₁



₂

Kasus 2 populasi 18

2. SK (1-) untuk (_1- ₂) jika ₁2 _, 

22 tidak diketahui dan 12 ≠ 22

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 ; / 2 1 2 1 2 ; / 2

1 2 1 2

(X  X )t_{ } s  s     (X  X ) t_{ } s  s

n n n n

2 2 2 1 2

s s

 



 

1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

dimana

( / ) ( / )

1 1

n n

s n s n

n n





 

 





1 1 2 1

Selang Kepercayaan (1-



) unt uk



₁

-



₂

3 SK (1-) untuk (₁ ₂) jika ₁2 

22 tidak diketahui dan 12 = 22

g

p

y

(

)



₁



₂

Kasus 2 populasi 19

3. SK (1-) untuk (_1- ₂) jika ₁ , ₂ tidak diketahui dan ₁ ₂

dimana

20

Pengamat an Berpasangan

g

p

g

Ciri-ciri:

• Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang pengamatan

• Data berasal dari satu populasi yang sama

Contoh

• _{Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan}

2000

• _{Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm)}

S l

g K

(1

)

t k

21

Selang Kepercayaan (1-



) unt uk



_d

SK un tuk selisih pen gam atan berpasan gan

d

SK un tuk selisih pen gam atan berpasan gan

den gan rataan dan sim pan gan baku

S

_d

:

s

s

d

1; 1;

2 2

d d

n D n

s

s

d

t

d

t

n

n







 





 

2 1







_d  

dimana “

“

dengan

n

: banyaknya pasangan.

Kurva khi kuadrat (x

_~

)

22

2



Kurva khi kuadrat (x

)

menghit ung t abel

Selang Kepercayaan (1-



) untuk

σ

2

Selang Kepercayaan (1



) untuk

σ

•

Kasus 1 populasi

Selang Kepercayaan (1-



) untuk



₁2

/



₂2

Selang Kepercayaan (1



) untuk



₁

/



₂

•

Kasus 2 populasi

25

26

Ref erensi

• Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

P ib U S 2007 C t t K li h Bi t ti tik

• Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

• Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John

Wiley&Sons,Inc., 2000.

• Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwany , Edisi 4, Bandung: g Penerbit ITB, 1995.

• Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice , g , N J y