PEMODELAN OPTIMAL KONSTRUKSI JADWAL PERKULIAHAN DAN IMPLEMENTASINYA KHAIRUNNISA

PEMODELAN OPTIMAL KONSTRUKSI JADWAL

PERKULIAHAN DAN IMPLEMENTASINYA

KHAIRUNNISA

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pemodelan Optimal Konstruksi Jadwal Perkuliahan dan Implementasinya adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Maret 2008

Khairunnisa NIM G551050101

ABSTRACT

KHAIRUNNISA. An Optimal Modeling for Constructing University Timetabling and Its Implementation. Under direction of AMRIL AMAN and I GUSTI PUTU PURNABA.

The construction of timetable that satisfies all operational rules and needs in an academic institution, while at the same time fulfills as many of the wishes and requirements of the teaching staff and the students is an important but extremely difficult task. Formally, timetable problem is defined as the process of assigning courses to specific time periods and to specific classrooms suitable for the number of the student and the needs of the each course. This paper presents an Integer Programming formulation of the timetable problem. A prototype of this model is implemented using LINGO software and produced timetable that satisfies all constraints.

RINGKASAN

KHAIRUNNISA. Pemodelan Optimal Konstruksi Jadwal Perkuliahan dan Implementasinya. Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan I GUSTI PUTU PURNABA.

Penjadwalan kuliah merupakan kegiatan yang mengawali pergantian semester di setiap perguruan tinggi. Proses ini harus memperhitungkan banyaknya mata kuliah, ketersediaan ruang, dan rentang waktu yang digunakan. Inti dari penjadwalan kuliah adalah menjadwalkan beberapa komponen yang terdiri dari mata kuliah, ruang, dan waktu dengan memperhatikan sejumlah batasan dan syarat tertentu

Permasalahan yang dihadapi penjadwal terletak pada lebih banyaknya mata kuliah yang harus dijadwalkan daripada ruang yang tersedia, kesesuaian kebutuhan perkuliahan dengan fasilitas ruangnya, kapasitas ruang yang harus sesuai dengan jumlah mahasiswa, serta keinginan pengajar untuk mengajar pada suatu hari atau jam tertentu. Sejumlah algoritma dikembangkan untuk menyelesaikan masalah ini agar sesuai dengan kebutuhan instansi yang memerlukannya.

Masalah penjadwalan kuliah menjadi topik yang dibahas dalam penelitian ini. Penyelesaian yang dicari berupa suatu model matematika yang merepresentasikan masalah penjadwalan kuliah yang sesuai dengan keadaan di Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan (FITK) Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta. Model tersebut kemudian diimplementasikan pada suatu kondisi.

Untuk membuat penjadwalan kuliah perlu diketahui semua mata kuliah yang ditawarkan, dosen yang mengajar, peserta perkuliahan, bobot sks dan spesifikasi ruang yang diperlukan. Kemudian ditentukanlah hari dan jam perkuliahan. Pengalokasian hari dapat dirancang sesuai keinginan pengajarnya. Misalkan pengajar dapat meminta hari tertentu untuk mengajar mata kuliah atau untuk tidak mengajar mata kuliah. Setiap mata kuliah memerlukan jam untuk perkuliahan. Jam dibagi menjadi lima, yaitu: jam pertama (07.30–09.10), kedua (09.20–11.00), ketiga (11.10–12.50), keempat (13.30–15.10) dan kelima (15.30– 17.10). Sebagaimana hari, pengalokasian jam juga dapat dirancang sesuai keinginan pengajarnya. Perkuliahan memerlukan ruang yang fasilitasnya dapat menunjang pelaksanaan kuliah tersebut. Misal mata kuliah Pemprograman Komputer memerlukan ruang yang difasilitasi komputer agar perkuliahan efektif.

Pada mata kuliah yang ditawarkan perlu diketahui pengajarnya, pesertanya, banyak sks serta spesifikasi ruang yang diperlukan. Jika pengajarnya telah ketahui maka dapat ditentukan hari dan waktu kesukaan pengajar tersebut atau penentuannya diserahkan pada penjadwal. Bila pengajar akan mengajarkan mata kuliah yang sama pada peserta yang berbeda biasanya pengajar meminta hari yang sama untuk mengajar mata kuliah tersebut dalam jam yang berurutan. Karena terbatasnya sumber daya pengajar maka ada beberapa mata kuliah yang berbeda diajarkan oleh pengajar yang sama. Sehingga diharapkan tidak ada kejadian berupa mata kuliah yang berbeda dengan pengajar yang sama dialokasikan pada hari dan jam yang sama.

Mata kuliah juga harus dibedakan dari pesertanya. Peserta perkuliahan terdiri dari jurusan, semester dan kelas yang berbeda. Penjadwalan dirancang agar tidak ada kuliah-kuliah wajib yang harus diikuti suatu peserta terjadwal pada hari dan jam yang sama. Jadi tiap peserta hanya mengambil tepat satu mata kuliah pada suatu hari dan jam tertentu.

Masalah penjadwalan kuliah tersebut disajikan dalam model Integer Programming. Model tersebut mempunyai fungsi obyektif memenuhi semua batasan utama serta memaksimalkan nilai kepuasan penggunaan waktu yang disukai untuk perkuliahan. Model Integer Programming untuk masalah penjadwalan kuliah diselesaikan dengan menggunakan metode branch and bound yang tersedia pada software LINGO 8.0.

Nilai kepuasan penggunaan waktu dilambangkan dengan koefisien nilai yang diberikan pada variabel hari dan jam. Waktu yang disukai untuk perkuliahan diberikan koefisien nilai yang tinggi sedangkan pada waktu yang kurang disukai diberikan koefisien nilai yang lebih rendah. Hal ini menyebabkan penjadwalan dengan menggunakan waktu yang disukai untuk perkuliahan memiliki fungsi obyektif yang lebih besar daripada penjadwalan dengan menggunakan waktu yang kurang disukai untuk perkuliahan.

Model diimplementasikan pada beberapa skenario. Contoh suatu skenario mempunyai koefisien nilai nol pada jam tertentu di tiap harinya sedangkan skenario lain memiliki koefisien nilai nol pada jam tertentu di tiap harinya dan pada satu hari tertentu. Berdasarkan skenario tersebut dihasilkan dua jadwal yang nilai fungsi obyektifnya berbeda, yaitu skenario pertama lebih besar daripada skenario kedua. Kemudian melalui jadwal yang dihasilkan dapat dipastikan bahwa batasan utama tidak terlanggar walaupun ada perkuliahan yang terjadwal di waktu perkuliahan yang koefisiennya bernilai nol.

Berdasarkan hal tersebut dapat disimpulkan bahwa model menghasilkan jadwal bernilai optimal dengan tetap mengakomodasi batasan-batasan serta mata kuliah yang terjadwal pada waktu yang kurang disukai terjadi agar tetap terpenuhi batasan yang ada.

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008

Hak cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor

PEMODELAN OPTIMAL KONSTRUKSI JADWAL

PERKULIAHAN DAN IMPLEMENTASINYA

KHAIRUNNISA

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

Judul Tesis : Pemodelan Optimal Konstruksi Jadwal Perkuliahan dan Implementasinya Nama : Khairunnisa NIM : G551050101 Disetujui, Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc. Ketua

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA Anggota

Diketahui,

Ketua Program Studi Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Endar H.Nugrahani, MS. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodipuro, MS Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc.

Untuk

Ibundaku

serta saudara-saudaraku

T’ Nida, K’ Ihan, T’ Fifi,

T’ Huri, K’ Ruham, Anam,

T’ Fakhroh, Mas Heri, Mas Hendro, T Septi,

dan keponakan-keponakanku Fadli, Hilma,

Muthia, Raidha, Haidar, Aisha, Rahiel, dan Syafiq

Terima kasih atas dukungan dan kasih sayangnya

Semoga Allah memberi berkah dan ridhaNya

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam kepada Nabi Muhammad SAW. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak Februari 2007 ini adalah Pemodelan Optimal Konstruksi Jadwal Perkuliahan dan Implementasinya

Terima kasih penulis sampaikan kepada Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc. dan Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA atas bimbingannya serta Ir. N.K. Kutha Ardhana, M.Sc. selaku penguji atas saran-sarannya. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada seluruh staf pengajar dan staf lainnya di Departemen Matematika IPB.

Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada: Yth. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta beserta seluruh staf, khususnya rekan-rekan di Jurusan Pendidikan Matematika. Teman-teman penulis di Departemen Matematika IPB, khususnya di SPs IPB, Eva Musyrifah, Yoanita Historiani, Cecep AHFS, Syamsuri dan Jaenudin. Teman serumah di Puri Hapsara (Mbak Diffah UNS, Bu Syahriani dan Bu Sri Purwanti UNHAS, Bu Insun Sangadji UNPATI, Mbak Elly dan Mbak Meisji UNSRI, Mbak Rahmi Univ. Jambi dan Ifa), serta semua pihak yang tak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT senantiasa memudahkan semua urusan kita.

Ytc. Ibunda dan Ayahandaku, Dra. Hj. Rohmah Sarmala dan H. Moch. Chairuddin, BS (Alm) atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya kepada penulis. Kepada kakak-kakakku, adikku, beserta seluruh keponakanku, terima kasih atas segala perhatian, pengertian dan bantuannya sehingga studi S2 ini dapat diselesaikan.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Maret 2008 Khairunnisa

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 4 April 1981 dari ayah H. Moch. Chairuddin, BS dan ibu Dra. Hj. Rohmah Sarmala. Penulis merupakan putri keenam dari tujuh bersaudara.

Tahun 1999 penulis lulus dari SMUN 47 Jakarta. Pendidikan sarjana ditempuh di Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta dan menamatkannya pada tahun 2003. Kesempatan untuk melanjutkan ke program Magister pada Program Studi Matematika IPB diperoleh pada tahun 2005.

Penulis adalah staf pengajar di Jurusan Pendidikan Matematika FITK UIN Syarif Hidayatullah sejak Agustus 2005. Mata kuliah yang diajarkan adalah Matematika Dasar.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... xii

DAFTAR LAMPIRAN ... xiii

PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang... 1

Tujuan ... 3

Manfaat ... 3

TINJAUAN PUSTAKA ... 4

Penjadwalan Perkuliahan di Beberapa Universitas ... 4

Landasan Teori ... 10

Linear Programmning ... 10

Integer Programmning ... 11

Branch and Bound... 12

ALUR PENELITIAN ... 18 PEMODELAN ... 20 Deskripsi Masalah ... 20 Formulasi Masalah ... 22 Model ... 23 PEMBAHASAN ... 25 Implementasi Model ... 25 Beberapa Skenario ... 30

SIMPULAN DAN SARAN ... 35

DAFTAR PUSTAKA ... 36

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 1 Daftar Mata Kuliah yang Ditawarkan... 25

Tabel 2 Indeks Mata Kuliah... 26

Tabel 3 Koefisien Nilai ... 26

Tabel 4 Hasil Simulasi ... 29

Tabel 5 Beberapa Skenario ... 30

Tabel 6 Skenario I ... 31

Tabel 7 Skenario II... 32

Tabel 8 Skenario III ... 33

Tabel 9 Skenario IV ... 34

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 Penulisan Program dan Outputnya ... 38

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Penulisan Program dan Outputnya ... 38 Lampiran 2 Output Beberapa Skenario... 42

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Penjadwalan kuliah merupakan kegiatan yang mengawali pergantian semester di setiap perguruan tinggi. Hal ini dilaksanakan oleh bagian administrasi perguruan tinggi. Petugas administrasi yang membuat jadwal memulainya dengan pengumpulan informasi yang diperlukan seperti: mata kuliah yang ditawarkan, peserta perkuliahan, ruang yang dapat digunakan, nama dosen yang mengajar dan rentang waktu yang diperlukan. Jadwal ini merupakan rancangan aktivitas mahasiswa dan dosen selama satu semester.

Penjadwalan kuliah merupakan proses penempatan suatu mata kuliah pada ruang yang sesuai, periode waktu tertentu, dan dosen yang sesuai. Proses ini harus memperhitungkan banyaknya mata kuliah, ketersediaan ruang, dan rentang waktu yang digunakan. Permasalahan yang dihadapi penjadwal terletak pada lebih banyaknya mata kuliah yang harus dijadwalkan daripada ruang yang tersedia, kesesuaian kebutuhan perkuliahan dengan fasilitas ruangnya, kapasitas ruang yang harus sesuai dengan jumlah mahasiswa, serta keinginan pengajar untuk mengajar pada suatu hari atau jam tertentu. Masalah lainnya tergantung pada kebutuhan perguruan tinggi tersebut.

Sebagian petugas membuat jadwal kuliah secara manual dan sebagian lain secara otomatis. Petugas yang membuat secara manual menggunakan lembar draft penjadwalan untuk diisi dengan alat tulis dan kemudian menggunakan komputer untuk kerapihan hasilnya saja. Sedangkan petugas yang membuat jadwal secara otomatis menggunakan komputer untuk membantu menghasilkan jadwal selain untuk kerapihan hasilnya.

Pembuatan jadwal kuliah secara manual menghasilkan jadwal kuliah yang sesuai dengan keinginan banyak pihak seperti jurusan, fakultas, mahasiswa dan dosen, karena penyusunan jadwal mempertimbangkan keinginan mereka. Namun cara tersebut memerlukan waktu yang lama. Penjadwal membutuhkan waktu kurang dari satu minggu bahkan lebih untuk membuat jadwal, kemudian merevisinya kembali agar sesuai dengan keinginan banyak pihak. Lembar

2

penjadwalan pun banyak mengalami perubahan, sehingga harus dibuat berulangkali agar mengakomodasi semua perubahan.

Pembuatan jadwal kuliah secara otomatis dapat juga menghasilkan jadwal sebaik buatan manual. Hal ini tergantung pada batasan yang diterapkan dalam software komputer tersebut. Batasan yang digunakan bisa bermacam-macam bentuk sesuai dengan kebutuhannya. Misal, ada batasan yang mengasumsikan jadwal yang memuat semua mata kuliah teralokasikan pada suatu ruang, dan waktu tertentu saja tanpa mempertimbangkan kesediaan waktu dosen. Ada juga batasan yang memperhitungkan kesesuaian fasilitas ruang dengan keperluan kuliah. Penjadwalan dengan banyak batasan membutuhkan waktu pembuatan yang lebih lama dibandingkan dengan yang memuat sedikit batasan.

Penjadwalan kuliah secara manual masih dilakukan di Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan (FITK) Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta. Fakultas ini terdiri dari delapan jurusan dan sepuluh program studi. Jurusan memiliki staf administrasi yang membuat jadwal secara manual tiap semester. Setelah itu Fakultas mengadakan rapat untuk menyosialisasikan jadwal. Melalui rapat tersebut akan diketahui beban satuan kredit semester (sks) dosen dan ruang-ruang yang digunakan. Setiap dosen hanya mengajar sesuai banyaknya sks yang diberikan. Selanjutnya apabila terdapat suatu ruang digunakan untuk dua kuliah pada waktu yang sama maka jadwal diperbaiki. Jadwal perbaikan ini akan dirapatkan kembali pada minggu berikutnya dan seterusnya sampai tidak ada lagi perbaikan jadwal. Pembuatan jadwal di FITK memerlukan waktu berminggu-minggu.

Penyusunan jadwal secara manual di FITK memboroskan waktu, tenaga dan biaya. Penyebabnya memerlukan waktu yang lama, dilaksanakan oleh delapan orang yang berbeda dan juga harus dirapatkan berulang kali. Penjadwalan kuliah secara otomatis perlu dikembangkan di FITK.

Masalah penjadwalan kuliah menjadi topik yang dibahas dalam penelitian ini. Pemecahan yang dicari berupa suatu model matematika yang merepresentasikan masalah penjadwalan kuliah agar sesuai dengan keadaan di FITK. Melalui model matematika tersebut masalah penjadwalan dapat diselesaikan secara matematis dengan bantuan perhitungan komputer.

3

Tujuan

1. Membangun model optimasi untuk masalah penjadwalan kuliah di Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan.

2. Mengimplementasikan model untuk beberapa kondisi. Manfaat

Kegunaan model matematika dari masalah penjadwalan kuliah dapat membantu penjadwal untuk menghasilkan jadwal secara otomatis namun tetap sebaik buatan manual. Penerapan model matematika dalam masalah penjadwalan kuliah yang penyelesaiannya didapat dari perhitungan komputer dapat menghemat waktu dan biaya yang dikeluarkan untuk membuat jadwal secara manual.

TINJAUAN PUSTAKA

Penjadwalan Kuliah di Beberapa Universitas

Masalah penjadwalan kuliah merupakan masalah yang sangat kompleks yang intinya adalah bagaimana menjadwalkan beberapa komponen yang terdiri dari mahasiswa, dosen, ruang, dan waktu dengan memperhatikan sejumlah batasan dan syarat (constraint) tertentu (Anbulagan & Winata 2001).

Sejumlah algoritma dikembangkan untuk menyelesaikan masalah ini sesuai dengan kebutuhan instansi yang memerlukannya. Keanekaragaman ini tidak terlepas dari kenyataan bahwa setiap perguruan tinggi memiliki sejumlah komponen dan kendalanya sendiri dalam menyusun jadwal kuliah (Anbulagan & Setiadi 2001). Beberapa survey menyajikan tipe-tipe yang berbeda dari masalah penjadwalan dan strategi utama untuk menyelesaikan masalah tersebut. Pada kasus-kasus yang jadwalnya harus memenuhi banyak persyaratan mendapatkan kesulitan terbesar dalam menghasilkan penyelesaian yang feasible pada proses optimasi (Papoutsis et al 2003).

Terdapat banyak perbedaan bentuk dalam masalah penjadwalan. Beberapa tulisan menunjukkan cara memformulasikan masalah penjadwalan ke dalam bentuk mathematical programming problem sementara lainnya mengusulkan pendekatan heuristik untuk mendapatkan pemecahan yang sesuai (Fizzano & Swanson 2000).

Carter dan Tovey (1992) memformulasikan masalah penjadwalan sebagai bentuk Binary Integer Programming (BIP) bernilai nol dan satu (0-1) dengan tujuan feasibility, satisfice dan optimize. Dari tiga tujuan tersebut, satisfice merupakan yang paling dekat dengan penerapan masalah penjadwalan. Penjadwal manual lebih memikirkan untuk menghasilkan jadwal perkuliahan yang acceptable.

Masalah penjadwalan kuliah ini juga menjadi bahan kajian oleh Glassey dan Mizrach (1986) pada University of California (UC) di Berkeley. Masalah tersebut dimodelkan menjadi BIP 0-1. Variabel yang digunakan dikaitkan dengan keputusan jika suatu mata kuliah dialokasikan ke suatu ruang maka bernilai satu, selain itu bernilai nol.

5

Permasalahan yang dihadapi berupa mengalokasikan semua mata kuliah yang ditawarkan dengan memenuhi batasan yang ada. Batasan tersebut berupa setiap mata kuliah teralokasi pada satu ruang saja dan ruang yang digunakan untuk suatu mata kuliah tidaklah dapat dipergunakan lagi untuk mata kuliah lain.

Fungsi obyektif dari pemodelan ini memiliki koefisien yang berkorelasi dengan jarak, fasilitas ruang dan kapasitas ruang. Semua mata kuliah memiliki nilai koefisien tertentu jika dialokasikan ke suatu ruang. Misal mata kuliah yang dialokasikan pada ruang yang gedungnya berbeda dari gedung asal mata kuliah akan memiliki nilai koefisien atau biaya yang besar. Maka dari itu fungsi obyektif dari pemodelan ini berupa meminimumkan biaya pengalokasian mata kuliah ke suatu ruang. Pemodelan BIP ini diselesaikan dengan suatu algoritma heuristik yang dijalankan pada program Fortran.

Masalah yang dikemukakan pada UC belum mengakomodasi keinginan pengajar untuk mengajar di waktu yang mereka harapkan. Ng dan Martin (2002) memodelkan penjadwalan kuliah yang diasumsikan dapat memenuhi keinginan pengajar tersebut. Kajian ini dilakukan di Universitas Minnesota-Morris (UMM).

Permasalahan yang dihadapi di UMM secara umum berupa jadwal yang dibuat dapat memenuhi permintaan kebanyakan penggunanya. Seperti waktu perkuliahan sesuai dengan waktu kesediaan pengajarnya. Perkuliahan yang menggunakan komputer haruslah di ruang yang difasilitasi komputer. Beberapa mata kuliah perlu dijadwalkan lebih dari satu periode tiap minggu. Ada ruang berkapasitas terbatas, jika peserta perkuliahan melebihi kapasitas ruang maka mata kuliah itu tidak dapat dialokasikan pada ruang tersebut. Setiap mata kuliah harus dialokasikan ke tepat suatu ruang pada periode waktu tertentu. Paling banyak satu mata kuliah dialokasikan ke suatu ruang pada setiap waktu. Ada mata kuliah yang tidak dapat diselenggarakan pada periode waktu tertentu karena peserta perkuliahannya diprioritaskan mengikuti mata kuliah lain. Beberapa mata kuliah tidak dapat dijadwalkan berurutan. Beberapa mata kuliah tingkat awal harus dijadwalkan pada waktu tertentu.

Pemecahan yang dicari berupa semua mata kuliah yang ditawarkan terjadwal di suatu ruang pada periode waktu tertentu dengan memenuhi beberapa batasan. Agar masalah tersebut didapat pemecahannya maka penjadwalan kuliah

6

dibagi dalam dua tahap. Tahap pertama semua mata kuliah dialokasikan ke suatu ruang pada waktu tertentu. Tahap kedua menyesuaikan waktu perkuliahan dengan waktu kesediaan pengajar.

Misalkan:

K = Himpunan semua mata kuliah yang ditawarkan W = Himpunan semua periode waktu perkuliahan

R = Himpunan semua ruang perkuliahan yang digunakan P = Himpunan semua pengajar mata kuliah

Berikut ini cara menyelesaikan masalah penjadwalan kuliah di UMM: Tahap pertama

Misalkan αw,k,r, dengan w ∈ W, w = 1, ...,a; k ∈ K, k = 1, ...,b; r ∈ R, r = 1, ..., c merupakan variabel keputusan bernilai biner sebagai berikut:

{

1 ,jikamatakuliah dialokasikan pada waktu di ruang selainnya , 0 , , r w k r k w

=

α

Fungsi obyektif penjadwalan kuliah di UMM dapat dimodelkan sebagai berikut: Maksimumkan

∑∑∑

∈ ∈ ∈ = W w k Kr R r k w z α _{, ,} (1)

Model ini berbeda dengan yang digunakan pada UC. Fungsi obyektif di UC berupa meminimumkan biaya pengalokasian mata kuliah k ke ruang r. Sedangkan pada UMM berupa memaksimumkan pengalokasian mata kuliah k pada waktu w di ruang r, yang nilainya sama dengan jumlah mata kuliah yang akan dijadwalkan. Misalkan nilai k sama dengan 1 s.d. 20 maka nilai fungsi obyektifnya 20. Selain itu terdapat juga perbedaan dari variabel keputusannya. Pada UC variabel keputusannya hanya menyertakan mata kuliah dan ruang. Sedangkan pada UMM variabel keputusannya juga menyertakan waktu.

Batasan yang digunakan di UMM sebagai berikut:

1. Perkuliahan yang menggunakan komputer haruslah dijadwalkan di ruang yang difasilitasi dengan komputer. Misal ruang yang difasilitasi dengan komputer diberi indeks 1 dan mata kuliah yang menggunakan komputer berindeks 1 – 7, maka modelnya sebagai berikut:

7 ,..., 1 untuk , 1 1 , , = =

∑

∈ k W w wk α (2)

7

2. Perkuliahan yang berangkai harus dialokasikan pada waktu yang berbeda. Misal mata kuliah yang berangkai berindeks 8 – 11, maka modelnya sebagai berikut: R r W w k r k w ≤ ∈ ∈

∑

= ; untuk , 1 11 8 , , α (3)

3. Setiap mata kuliah dialokasikan tepat ke satu ruang pada waktu tertentu. Sehingga tidak ada mata kuliah yang dijadwalkan pada dua ruang yang berbeda. Hal ini bertujuan mencegah pengalokasian ganda atau lebih suatu mata kuliah pada suatu ruang dan waktu yang berbeda. Modelnya sebagai berikut: K k W w r R wkr ∈ =

∑∑

∈ ∈ untuk , 1 , , α (4)

4. Paling banyak satu mata kuliah yang dialokasikan pada satu ruang di setiap waktu. Hal ini bertujuan mencegah penggunaan ganda atau lebih dari suatu ruang pada waktu yang sama dengan mata kuliah berbeda (overlapping ruang).

∑

∈ ∈ ∈ ≤ K k r k w, , 1,untuk w W; r R α (5)

5. Beberapa mata kuliah tidak dapat dijadwalkan pada waktu tertentu. Batasan ini tidak ada pada UC. Misal mata kuliah berindeks 9 – 13 tidak dapat dijadwalkan pada waktu berindeks 3 – 10.

∑

∈ = = = R r r k w, , 0,untuk w 3 ,...,10; k 9 ,...,13 α (6)

6. Ada mata kuliah yang tidak boleh dijadwalkan dengan waktu berurutan. Batasan ini tidak ada pada UC. Misal mata kuliah berindeks 11 dan 15 tidak boleh dijadwalkan berurutan. Modelnya sebagai berikut:

∑

∈ + − = ≤ + R r w r w r a w 1 ,...,( 1) untuk , 1 ) (α _,11, α _1,12, (7)

7. Beberapa mata kuliah tingkat awal tidak dapat dijadwalkan pada waktu tertentu. Batasan ini juga tidak ada di UC. Misalkan mata kuliah tingkat awal berindeks 6 – 9 tidak boleh dijadwalkan pada waktu yang berindeks 8 – 12. Berikut ini modelnya:

9 ..., , 6 untuk , 1 12 8 , , = =

∑∑

= ∈ k w k K r k w α (8)

8

Kemudian model tersebut dicari penyelesaiannya yang memenuhi semua batasan yang ada (feasible). Adanya batasan seperti setiap mata kuliah dialokasikan ke tepat satu ruang pada tiap periode waktu mengakibatkan nilai optimalnya sebesar b. Semakin banyak batasan semakin besar kemungkinan model tersebut tidak memiliki penyelesaian yang feasible. Namun masalah penjadwalan pada UMM mendapatkan solusi feasible.

Tahap kedua

Tahap ini memodelkan cara mengalokasikan pengajar ke suatu mata kuliah pada waktu tertentu di suatu ruang. Para pengajar ini lebih mengutamakan kesediaan mereka mengajar suatu mata kuliah terpenuhi dibandingkan dengan memenuhi kesediaan waktu mengajar. Model yang dibuat mengakomodasi hal tersebut.

Model tahap pertama menghasilkan himpunan solusi feasible. Himpunan tersebut didefinisikan sebagai berikut:

A = {{w,k,r}:αw,k,r = 1}, dari model waktu – mata kuliah – ruang (9) Misalkan a = {w,k,r} dengan waktu w, mata kuliah k, dan ruang r ke pengajar p memiliki koefisien berikut:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = , 0 , 1 , 5 , 10 ,a p χ

jika mata kuliah k dan waktu w sesuai permintaan p

jika mata kuliah k sesuai namun waktu w tidak sesuai permintaan p jika mata kuliah k tidak sesuai tapi waktu w sesuai permintaan p jika mata kuliah k maupun waktu w tidak sesuai permintaan p

dengan β merupakan variabel keputusan bernilai biner,

⎩ ⎨ ⎧ = , 0 , 1 ,a p β Selainnya

Jika p mengajar mata kuliah k pada waktu t

Fungsi obyektif pengalokasian pengajar di UMM dimodelkan sebagai berikut: Maksimumkan

∑∑

∈A ∈ a p P a p a p, β , χ (10)

Untuk setiap pengajar p = 1, …,d dan tiap a Є A memiliki batasan sebagai berikut:

9

1. Setiap pengajar dapat mengajar paling banyak satu mata kuliah pada tiap periode waktu. P p r w k a A a a p ≤ ∈

∑

= ∈ untuk , 1 } , , { : , β (11)

2. Setiap pengajar ditugaskan paling sedikit dua dan paling banyak tiga mata kuliah. P p r w k a A a a p ≤ ∈

∑

= ∈ untuk , 3 } , , { : , β (12) P p r w k a A a pa ∈ ≥

∑

= ∈ untuk , 2 } , , { : , β (13)

3. Setiap mata kuliah diajar oleh satu dan hanya satu pengajar. A a P p a p = ∈

∑

∈ untuk , 1 , β (14)

4. Ada pengajar tertentu yang tidak boleh mengajar suatu mata kuliah. Misal pengajar berindeks 3 tidak boleh mengajar mata kuliah berindeks 8.

} , 8 , { dan untuk , 0 , 3a = a∈A a= w r β (15)

5. Salah satu dari tiga pengajar mata kuliah yang sama harus mengajar mata kuliah tertentu. Misalkan tiga pengajar tersebut secara berurutan berindeks 4, 6, 7 dan mata kuliah yang dimaksud berindeks 14.

} , 14 , { dan untuk , 1 , 7 , 6 , 4a +β a +β a = a∈A a= w r β (16)

Model tahap satu dan dua diselesaikan dengan menggunakan metode branch-and-bound.

Tujuan dari tahap pertama berupa memaksimalkan fungsi obyektif yang memenuhi batasan yang ada. Karena variabel keputusannya bernilai biner 0-1, maka nilai maksimalnya adalah jumlah mata kuliah yang dijadwalkan. Sedangkan pada tahap kedua fungsi obyektifnya mengandung koefisien yang merefleksikan kesukaan waktu mengajar. Jika mata kuliah pada suatu ruang dialokasikan pada waktu yang sama dengan kesediaan waktu pengajarnya, maka nilai koefisien paling tinggi. Kemudian nilai koefisien terendah apabila baik mata kuliah dan waktu tidak sesuai dengan keinginan pengajarnya. Permasalahan ini dimodelkan dalam Integer Programming dan diselesaikan dengan software CPLEX (simplex algorithm written in the C language).

Model penjadwalan kuliah di UMM memperoleh solusi optimal dan feasible yang memuaskan orang-orang yang terlibat. Memang tidak semua pengajar

10

mendapatkan waktu kesediaan mengajar yang sesuai dengan keinginan. Hal ini karena mata kuliah terlebih dahulu dialokasikan ke suatu ruang dan waktu tertentu. Sehingga waktu perkuliahan telah ditentukan baru kemudian memecahkan masalah pengalokasian pengajar ke mata kuliah yang sesuai dengan permintaan.

Integer programming juga digunakan pada studi kasus yang dilakukan Daskalaki dan Birbas (2004). Pemodelan yang dibuat menggunakan enam parameter, yaitu: hari; periode waktu; kelompok peserta; pengajar; mata kuliah dan ruang kelas. Berdasarkan enam parameter tersebut dibentuk dua himpunan variabel biner yang berbeda. Pertama himpunan variabel dasar. Variabel ini bernilai satu apabila mata kuliah disampaikan pengajar kepada kelompok peserta dijadwalkan pada periode waktu pada hari tertentu di suatu ruang, maka selain itu bernilai nol. Kedua himpunan variabel tambahan. Variabel ini bernilai satu apabila mata kuliah yang membutuhkan sesi tertentu dengan periode yang berurutan disampaikan pengajar kepada kelompok peserta dijadwalkan pada periode waktu pada hari tertentu di suatu ruang, maka selain itu bernilai nol.

Pada fungsi obyektif terdapat koefisien yang nilainya paling besar pada periode waktu yang kurang disukai dan paling kecil pada periode waktu yang paling digemari (prime time). Tujuan pemodelan berupa meminimumkan fungsi obyektif. Penyelesaian model ini menggunakan The Mixed Integer Programming (MIP) solver dengan software CPLEX 5.1.

Landasan Teori

Untuk membuat model dari masalah penjadwalan diperlukan beberapa pemahaman teori seperti linear programming (LP), integer linear programming, dan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah integer programming (IP). Berikut ini ulasan teori tersebut:

Linear Programming

Model LP menyajikan bentuk matematika dari fungsi obyektif, dan pembatasnya berupa fungsi linier. Pada tulisan ini, suatu LP memiliki bentuk standar berikut (Wagner 1985):

11 Maksimumkan

∑

(17) = = n j j j x c z 1 terhadap n _i j ij j b x a ≤

∑

=1 m i=1,2,..., (18) 0 ≥ j x j =1,2,...,n (19) atau Minimumkan

∑

(20) = = n j j j x c z 1 terhadap n _i j ij j b x a =

∑

=1 m i=1,2,..., (b_i ≥0) (21) 0 ≥ j x j =1,2,...,n (22)

dengan cj, aij dan bi merupakan konstanta yang nilainya diketahui.

Model penjadwalan kuliah dapat diekspresikan sebagai sebuah LP. Dengan memisalkan xij sebagai variabel yang mewakili mata kuliah i dialokasikan ke ruang j. Kemudian cij diasumsikan sebagai biaya yang harus dikeluarkan jika mata kuliah i dialokasikan ke ruang j. Setiap mata kuliah yang dijadwalkan pada suatu ruang paling banyak satu kali. Maka modelnya sebagai berikut:

Minimumkan

∑∑

(23) = = = p i q j ij ij x c z 1 1 terhadap 1 1 ≤

∑

= q j ij x i =1,2,...,p (24)

Suatu mata kuliah yang akan dijadwalkan ke suatu ruang hanya memiliki dua keputusan, yaitu dijadwalkan atau tidak dijadwalkan. Sehingga merupakan variabel keputusan bernilai biner nol dan satu. Jika suatu mata kuliah i dijadwalkan pada suatu ruang j maka bernilai satu, selain itu bernilai nol.

ij

x

ij

x

Integer Programming

Secara sederhana model LP dengan pembatas tambahan berupa variabelnya bernilai integer disebut sebagai model Integer Programming (IP). Pada tulisan ini, suatu IP memiliki bentuk standar berikut:

Optimumkan

∑

(25) = = n j j j x c z 1 terhadap n _i j ij j b x a ≤

∑

=1 m i=1,2,..., (26) 0 ≥ j x j =1,2,...,n (27) xj bernilai integer j =1,2,...,p ( n≤ ) (28)

12

dengan cj, aij dan bi merupakan konstanta yang nilainya diketahui (Taha 1975). Pada penjadwalan akan diputuskan suatu mata kuliah akan dijadwalkan atau tidak pada suatu ruang. Sehingga pada persamaan 23 tidaklah bernilai pecahan. Variabel keputusan harus bernilai diskret sehinga dapat dikelaskan sebagai IP. Suatu masalah IP yang variabelnya hanya memiliki dua nilai saja, misalnya nol dan satu disebut BIP (Wolsey 1998).

ij

x

Algoritma Branch and Bound

Masalah integer programming dapat dipecahkan dengan metode branch and bound. Konsep dasar branch and bound berupa teknik untuk membagi daerah feasible menjadi cabang-cabang subproblem dan mengukurnya (Hillier 1990). Setiap subproblem diukur dengan tiga cara berikut:

T (1) Bound dari subproblem ≤ solusi optimum yang didapat saat ini (z*) T (2) LP-relaksasi tidak memiliki solusi feasible.

T (3) Solusi optimal dari LP-relaksasi berupa integer. Jika solusi ini lebih baik dari solusi optimum yang didapat sebelumnya maka solusi ini menjadi solusi optimum yang baru dan cara pertama digunakan kembali untuk semua subproblem dengan nilai z* baru yang lebih besar.

Langkah-langkah metode branch and bound dalam menyelesaikan masalah BIP sebagai berikut:

Langkah 0

Atur nilai optimum ( z*) = - ∞, karena nilai optimumnya belum diketahui. Langkah 1

Membagi dan membatasi

1. Membagi masalah BIP menjadi dua subproblem dengan nilai salah satu variabelnya nol dan yang lainnya satu

2. Membuat LP-relaksasi dari BIP dengan cara menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya

3. Menggunakan metode simpleks untuk mendapatkan solusi optimal

4. Solusi optimal (z) yang didapat dibulatkan ke bawah dan menjadi batas (bound) untuk semua subproblem

13

Langkah 2

Mengukur subproblem yang ada.

1. Jika subproblem terukur maka percabangan pada subproblem ini dihentikan. Kemudian jika mempunyai nilai z maka nilai z-nya menjadi kandidat solusi optimum (z*)

2. Jika subproblem terukur menghasilkan nilai z ≤ z* maka percabangan pada subproblem ini dihentikan.

3. Jika subproblem tidak terukur (subproblem yang tersisa) maka dibuat lagi percabangan pada subproblem ini, seperti pada langkah 1

4. Jika tidak ada subproblem yang tersisa maka percabangan dihentikan Langkah 3

Tes keoptimalan

1. Tidak ada subproblem yang tersisa

2. Menjadikan kandidat solusi optimum dengan nilai z terbesar sebagai solusi optimum atau masalah BIP tersebut tidak memiliki solusi feasible.

Berikut ini contoh untuk memudahkan pemahaman tentang metode branch and bound:

Contoh 1:

Misalkan diberikan BIP sebagai berikut:

Maksimumkan z=9x₁+5x₂+6x₃+4x₄, (29) terhadap 106x₁+3x₂+5x₃+2x₄ ≤ (30) 1 4 3+ x ≤ x (31) 0 3 1+ ≤ −x x (32) 0 4 2+ ≤ −x x (33) 1 ≤ j x (34) (35) 0 ≥ j x merupakan integer 4 j x untuk j=1,2,3, (36)

Masalah BIP dibagi menjadi dua subproblem sebagai berikut: Subproblem 1:

(

x1 =0

)

, 4 6 5x₂ x₃ x₄ z = + + (38) terhadap 103x₂+5x₃+2x₄ ≤ (39) 1 4 3+ x ≤ x (40) 0 3 ≤ x (41)

14 0 4 2+ ≤ −x x (42) 1 ≤ j x (43) (44) 0 ≥ j x merupakan integer 4 j x untuk j=2,3, (45) Subproblem 2:

(

x1 =1

)

, 4 6 5 9 x₂ x₃ x₄ z= + + + (46) terhadap 43x₂+5x₃+2x₄ ≤ (47) 1 4 3+ x ≤ x (48) 1 3 ≤ x (49) 0 4 2+ ≤ −x x (50) 1 ≤ j x (51) (52) 0 ≥ j x merupakan integer j x untuk j=2,3,4 (53)

Batasan baru x1 =0 dan x1 =1tidak dapat dipenuhi secara bersamaan.

Kedua subproblem harus ditangani sebagai dua BIP yang berbeda. Kemudian setiap subproblem diberikan batas (bound) yang merupakan solusi feasible terbaik. Batas ini didapat dengan menghilangkan (relaxing) satu himpunan pembatas (constraint) yang menyebabkan masalah sulit diselesaikan, misalkan menghilangkan baris terakhir dari subproblem 2 (persamaan 53).

Selanjutnya untuk menyelesaikan LP-relaksasi ini secara cepat digunakan metode simpleks sehingga didapat solusi optimal, ,1,0,1 )

6 5 ( ) , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ = 2 1 16 dengan z= . Maka 2 1 16 ≤

z untuk semua solusi feasible dari masalah BIP

awal. Kemudian bound 2 1

16 dibulatkan menjadi 16. Karena semua koefisien dari fungsi obyektif berupa integer maka semua solusinya memiliki z bernilai integer.

Kemudian kedua subproblem diberikan bound dengan cara yang sama. LP-relaksasi subproblem 1: (x₁,x₂,x₃,x₄)=(0,1,0,1 )dengan z=9

LP-relaksasi subproblem 2: 5 1 16 dengan ) 1 , 0 , 5 4 , 1 ( ) , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ = z=

Bound untuk subproblem 1: z≤9 Bound untuk subproblem 2: z≤16

15

Subproblem 1 menghasikan solusi integer dengan z≤9, maka terukur (T(3)) dengan 9 merupakan kandidat solusi optimal. Sedangkan subproblem 2 tersisa sehingga perlu dilakukan percabangan kembali sebagai berikut:

Iterasi kedua Subproblem 3:

(

x1 = x1, 2 =0

)

, 4 6 9 x₃ x₄ z= + + (54) terhadap 5x3+ x2 4 ≤4 ₍₅₅₎ 1 4 3+ x ≤ x ₍₅₆₎ 1 3 ≤ x ₍₅₇₎ 0 4 ≤ x ₍₅₈₎ 1 ≤ j x (59) (60) 0 ≥ j x merupakan integer j x untuk j=3,4 (61) Subproblem 4:

(

x1 = x1, 2 =1

)

, 4 6 14 x₃ x₄ z= + + ₍₆₂₎ terhadap 5x3+ x2 4 ≤1 ₍₆₃₎ 1 4 3+ x ≤ x ₍₆₄₎ 1 3 ≤ x ₍₆₅₎ 1 4 ≤ x ₍₆₆₎ 1 ≤ j x (67) (68) 0 ≥ j x merupakan integer j x 4 , 3 untuk j= (69)

LP-relaksasi dari kedua subproblem didapat dengan menghilangkan baris terakhir dari pembatas.

LP-relaksasi subproblem 3: 5 4 13 dengan ) 0 , 5 4 , 0 , 1 ( ) , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ = z=

LP-relaksasi subproblem 4: )dengan 16 2 1 , 0 , 1 , 1 ( ) , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ = z=

Bound untuk subproblem 3: z≤13 Bound untuk subproblem 4: z≤16

16

Subproblem yang tersisa berdasarkan hasil pengukuran adalah subproblem 3 dan 4. Karena bound dari subproblem 4 lebih besar daripada subproblem 3, maka percabangan dibuat di subproblem 4. Namun subproblem 3 dikategorikan subproblem yang tersisa.

Iterasi ketiga Subproblem 5:

(

x₁ =1,x₂ =1,x₃ =0

)

, 4 14 x4 z= + ₍₇₀₎ terhadap 2x4 ≤1 (71) 1 4 ≤ x ₍₇₂₎ 0 4 ≤ x ₍₇₃₎ 1 ≤ j x (74) (75) 0 ≥ j x merupakan integer 4 j x untuk j= (76) Subproblem 6:

(

x₁ =1,x₂ =1,x₃ =1

)

, 4 20 x4 z= + (77) terhadap 2x4 ≤−4 (78) 0 4 ≤ x ₍₇₉₎ 1 4 ≤ x ₍₈₀₎ 1 ≤ j x (81) (82) 0 ≥ j x merupakan integer j x untuk j=4 (83)

LP-relaksasi dari kedua subproblem didapat juga dengan menghilangkan baris terakhir dari pembatas.

LP-relaksasi subproblem 5: )dengan 16 2 1 , 0 , 1 , 1 ( ) , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ = z=

LP-relaksasi subproblem 6: Tidak ada solusi feasible Bound untuk subprolem 5: z≤16

Berdasarkan hasil pengukuran subproblem yang tersisa adalah subproblem 5 dan variabel percabangannya hanya . x4

17 Iterasi keempat 14 dengan ) 0 , 0 , 1 , 1 ( ) , , , ( : 0 _{1 2 3 4} 4 = x x x x = z= x feasible x x x x

x₄ =1:( ₁, ₂, ₃, ₄)=(1,1,0,1),tidak adasolusi

Kedua solusi tersebut terukur. Kandidat solusi optimal yang didapat sekarang lebih besar daripada kandidat sebelumnya (14 > 9), sehingga kandidatnya solusi optimal yang sekarang adalah

. ) 0 , 0 , 1 , 1 ( ) , , , (x₁ x₂ x₃ x₄ = 14 dengan z=

Subproblem 3 masih tersisa. Perlu diukur kembali dengan solusi terbaik yang baru. Bound subproblem 3 = 13 ≤14. Maka subproblem 3 terukur.

Jadi solusi optimal untuk BIP (3) adalah (x₁,x₂,x₃,x₄)=(1,1,0,0 )

Gambar 1 Metode branch and bound untuk menentukan solusi IP.

Pada Gambar 1, percabangan dengan memilih x1 = 1, x2 = 1, x3 = 0, x1 = 0 menghasilkan solusi optimum integer terbaik yaitu z = 14.

ALUR PENELITIAN

Penelitian ini dibagi menjadi empat tahap, yaitu: i) pendeskripsian dan formulasi masalah, ii) pemodelan, iii) solusi model, dan iv) implementasi model.

Pendeskripsian dan Formulasi Masalah

Tahap pertama dalam pemodelan berupa menentukan tujuan penjadwalan perkuliahan. Secara umum masalah penjadwalan perkuliahan berupa mengalokasikan suatu mata kuliah dengan seorang pengajar yang mengajar mahasiswa pada ruang yang sesuai dengan kebutuhan perkuliahan ke suatu periode waktu tertentu di salah satu hari dalam seminggu. Karena belum dapat diketahui maka masalah inilah menjadi variabel keputusan yang hendak ditentukan nilainya.

Dalam penjadwalan perkuliahan variabel tersebut akan dibatasi oleh beberapa hal. Batasan tersebut terbagi dua, yaitu batasan yang tidak boleh dilanggar (hard constraint) dan batasan untuk memberi nilai lebih dari suatu jadwal (soft constraint).

Pemodelan

Setelah tahap memformulasikan masalah, selanjutnya adalah merepresentasikan masalah tersebut ke dalam model matematika. Melalui model ini masalah dideskripsikan sebagai suatu sistem persamaan atau pertidaksamaan dan ekspresi matematika lain. Masalah penjadwalan dapat dimodelkan sebagai model Linear Programming (LP) atau Integer Programming (IP).

Solusi model

Model matematika yang sangat sederhana dapat diselesaikan dengan secarik kertas dan pena. Namun model matematika untuk menyelesaikan masalah nyata membutuhkan kinerja komputer. Untuk mendapatkan solusi model penjadwalan digunakan software LINGO 8.0 dengan pendekatan branch and bound. Kemudian solusi yang diperoleh merupakan solusi yang paling banyak mengakomodasi semua batasan dan memaksimumkan fungsi tujuan.

19

Implementasi Model

Implementasi model dilakukan dengan cara menyimulasikan model dengan data mata kuliah semester I Jurusan Pendidikan Matematika FITK . Kemudian mengubah nilai pada koefisien fungsi obyektifnya dengan nilai yang berbeda untuk melihat konsistensi model dalam mengakomodasi semua batasan dan fungsi obyektifnya tetap bernilai optimal.

PEMODELAN

Deskripsi Masalah

Sebelum membuat penjadwalan perkuliahan perlu diketahui semua mata kuliah yang ditawarkan, dosen yang mengajar, peserta perkuliahan, bobot sks dan spesifikasi ruang yang diperlukan. Kemudian ditentukanlah hari dan jam perkuliahan. Sehingga untuk membuat jadwal harus memperhatikan aspek sebagai berikut: hari, jam, ruang dan mata kuliah.

Setiap mata kuliah dialokasikan pada suatu hari. Pengalokasian hari dapat dirancang sesuai keinginan pengajarnya. Misalkan pengajar dapat meminta hari tertentu untuk mengajar mata kuliah atau untuk tidak mengajar mata kuliah. Ada hari tertentu yang disukai banyak pengajar untuk melaksanakan perkuliahan seperti Selasa, Rabu dan Kamis. Ada pula hari yang dihindari sebagian pengajar seperti Senin dan Jumat. Pada hari Sabtu kegiatan administrasi ditiadakan, tapi universitas mempersilahkan kegiatan perkuliahan dan perpustakaan. Perkuliahan yang dialokasikan pada hari Sabtu biasanya karena permintaan pengajarnya atau karena ketidaktersediaan ruang dari hari Senin sampai Jumat.

Setiap mata kuliah memerlukan jam tertentu untuk melaksanakan kegiatan perkuliahan. Jam perkuliahan dibagi menjadi lima, yaitu jam pertama (07.30– 09.10), kedua (09.20–11.00), ketiga (11.10–12.50), keempat (13.30–15.10) dan kelima (15.30–17.10). Sebagaimana hari, pengalokasian jam juga dapat dirancang sesuai keinginan pengajarnya. Ada jam tertentu yang diinginkan untuk mengajar ada pula jam tertentu yang dihindari pengajar. Jam yang banyak disukai untuk mengajar mata kuliah seperti jam kedua dan ketiga.

Perkuliahan memerlukan ruang yang fasilitasnya sesuai dengan kebutuhan kuliah tersebut. Misal mata kuliah Pemprograman Komputer memerlukan ruang berfasilitas komputer agar perkuliahan terlaksana, atau mata kuliah Listening memerlukan Laboratorium Bahasa agar perkuliahan lebih efektif. Perkuliahan yang tidak memerlukan fasilitas khusus dapat dilaksanakan di ruang regular yang pada umumnya berkapasitas 50 peserta.

Pada mata kuliah yang ditawarkan perlu diketahui pengajarnya, pesertanya, banyak sks serta spesifikasi ruang yang diperlukan. Jika pengajarnya telah ketahui maka dapat ditentukan hari dan waktu kesukaan pengajar tersebut atau

21

penentuannya diserahkan pada penjadwal. Bila pengajar akan mengajarkan mata kuliah yang sama pada peserta yang berbeda biasanya pengajar meminta hari yang sama untuk mengajar mata kuliah tersebut dalam jam yang berurutan. Karena terbatasnya sumber daya pengajar maka ada beberapa mata kuliah yang berbeda diajarkan oleh pengajar yang sama. Sehingga diharapkan tidak ada kejadian berupa mata kuliah yang berbeda dengan pengajar yang sama dialokasikan pada hari dan jam yang sama.

Mata kuliah juga harus dibedakan dari pesertanya. Peserta perkuliahan terdiri dari jurusan, semester dan kelas yang berbeda. Penjadwalan dirancang sedemikian rupa agar tidak ada kuliah-kuliah wajib yang harus diikuti suatu peserta terjadwal pada hari dan jam yang sama. Jadi tiap peserta hanya mengambil tepat satu mata kuliah pada suatu hari dan jam tertentu.

Berdasarkan sks-nya mata kuliah dapat dibedakan menjadi 2 sks dan 3 sks. Satu sks berdurasi 50 menit tatap muka, dua sks berdurasi 100 menit dan 3 sks berdurasi 150 menit. Sedangkan jam perkuliahan pada satu hari dibagi 5, yang setiap jamnya berdurasi 100 menit atau 2 sks. Jika pada jam pertama suatu ruang digunakan untuk perkuliahan 3 sks maka pada jam kedua pun ruang tersebut masih digunakan untuk kuliah yang sama. Sehingga pada jam kedua ruang tersebut tidak dapat dialokasikan mata kuliah lain. Perkuliahan selanjutnya harus dialokasikan setelah kuliah 3 sks tersebut selesai, yaitu jam ketiga. Demikian pula peserta perkuliahan. Jika peserta dijadwalkan untuk mengikuti kuliah 3 sks pada jam ketiga, maka mata kuliah selanjutnya diikuti pada jam kelima. Sedangkan kegiatan pendukung perkuliahan yang bobotnya 0 sks berdurasi 100 menit.

Mata kuliah yang ditawarkan dapat dikelompokkan menjadi beberapa kompetensi, yaitu: Lintas Program Studi (Prodi)/Dasar, Prodi/Utama, dan Pendukung. Mata kuliah Utama memiliki muatan materi yang menjadi kompetensi wajib setiap peserta. Sehingga penjadwalan mengupayakan pada satu hari hanya ada satu mata kuliah utama atau paling banyak dua mata kuliah utama untuk satu peserta perkuliahan.

22

Formulasi Masalah

Tujuan utama penjadwalan adalah memenuhi semua batasan dan memaksimalkan nilai kepuasan penggunaan waktu yang disukai untuk perkuliahan. Nilai kepuasan ini dilambangkan dengan koefisien nilai pada variabel hari dan jam.

Batasan-batasan yang dihadapi terdiri dari batasan utama (hard constraints) dan batasan tambahan (soft constraints).

Batasan utama

1. Semua mata kuliah yang ditawarkan harus terjadwalkan.

2. Pada setiap ruang pada suatu waktu paling banyak hanya ada satu perkuliahan.

3. Semua mata kuliah memerlukan ruang dengan kualifikasi tertentu.

4. Beberapa mata kuliah tidak dapat dilaksanakan bersamaan karena pesertanya sama.

5. Beberapa mata kuliah tidak dapat dijadwalkan bersamaan karena pengajarnya sama.

6. Pada ruang atau peserta yang sama setelah mata kuliah 3 sks tidak dapat dijadwalkan mata kuliah lain selama satu jam perkuliahan.

Batasan tambahan

7. Beberapa mata kuliah yang sama dengan pengajarnya yang sama pula maka mata kuliah tersebut dijadwalkan berturut-turut.

8. Pengajar hanya mengajar pada hari yang diinginkan.

9. Beberapa mata kuliah tidak dapat dijadwalkan pada waktu tertentu.

Untuk menyederhanakan masalah yang memudahkan pemodelan digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:

1. Semua mata kuliah yang ditawarkan dapat diidentifikasi pesertanya, ruang yang diperlukan, pengajarnya, kesediaan waktu mengajar, serta sksnya. 2. Perkuliahan 3 sks dilaksanakan dengan menggunakan dua jam perkuliahan

23

Model

Langkah selanjutnya akan dibuat model dari formulasi masalah tersebut. Misalkan:

A = Himpunan hari perkuliahan yang anggotanya terdiri dari Senin, Selasa,Rabu, Kamis, dan Jumat. Indeks a = 1, 2, 3, 4, 5.

B = Himpunan jam perkuliahan yang anggotanya terdiri dari I (07.30 – 09.10), II (09.20 – 11.00), III (11.10 – 12.50), IV (13.30 – 15.10) dan V (15.30 – 17.10). Indeks b = 1, 2, 3, 4, 5.

C = Himpunan semua ruang perkuliahan yang digunakan. D = Himpunan semua mata kuliah yang ditawarkan

Daa = Himpunan bagian mata kuliah yang diselenggarakan pada hari ke-a. Dbb = Himpunan bagian mata kuliah yang diselenggarakan pada jam ke-b. Dcc = Himpunan bagian mata kuliah yang diselenggarakan di ruang c. Dmm = Himpunan bagian mata kuliah yang diikuti oleh peserta perkuliahan

ke-m.

Dpp = Himpunan bagian mata kuliah yang diajar oleh pengajar p. Dss = Himpunan bagian mata kuliah yang sksnya s.

Nab = Nilai kepuasan pelaksanaan suatu mata kuliah pada hari dan jam tertentu.

Misalkan xa,b,c,d, dengan a ∈ A, A = 1, ...,p; b ∈ B, b = 1, ...,q; c ∈ C, k = 1, ..., r; d ∈ D, d = 1, ..., s merupakan variabel keputusan bernilai biner sebagai berikut:

{

1,jikamatakuliah dialokasikan padahari waktu di ruang selainnya , 0 , , , c b a d d c b a

x

=

Maksimumkan

∑∑∑∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∗ = A a b BcCd D b a d c b a N x z _{,,, ,} (1)

Batasan utama yang dipergunakan sebagai berikut:

1. Semua mata kuliah terjadwal di satu ruang pada suatu hari dan suatu jam. untuk , 1 , , , d D x A a b Bc C d c b a = ∈

∑∑∑

∈ ∈ ∈ (2)

24

2. Semua mata kuliah terjadwal di suatu ruang yang sesuai dengan kualifikasinya pada suatu hari dan suatu jam.

D dc D dc x c c A a b BcC dc c b a _c = ∈ =

∑∑∑

∈ ∈ ∈

U

dan untuk , 1 , , , (3)

3. Paling banyak satu mata kuliah yang dialokasikan pada satu ruang di setiap hari dan setiap jam.

∑

∈ ∈ ∈ ∈ ≤ D d d c b a a A b B c C x ,,, 1,untuk ; ; (4)

4. Perkuliahan yang pesertanya sama harus dialokasikan pada waktu yang berbeda. D dm C c B b A a x _m dm dm c b a m m ≤ ∈ ∈ ∈ ∈

∑

_,,, 1 ,untuk ; ; ; (5)

5. Beberapa mata kuliah tidak dapat dijadwalkan bersamaan karena pengajarnya sama. D dp C c B b a x _p dp dp c b a p p ≤ ∈ ∈ ∈ ∈

∑

_{, ,,} 1,untuk A; ; ; (6)

Pada batasan tambahan ini akan dimodelkan pengalokasian dua mata kuliah yang berurutan, tiga mata kuliah yang berurutan serta waktu tertentu yang tidak dapat dijadwalkan perkuliahan.

Model sebagai berikut:

6. Beberapa mata kuliah yang pengajarnya sama dijadwalkan berurutan.

(7) DxD j i q b A a x x C c j c b a i c b a − = ∈ = − ∈

∑

∈ + ) , ( ; ) 1 ( ,..., 1 ; untuk , 0 ) ( _{, ,, , 1,,}

7. Ada mata kuliah yang dialokasikan pada hari tertentu, misalkan Senin. D da x B b c C da c b = ∈

∑∑

∈ ∈ 1, ,, 1 untuk ; 1 1 (8)

8. Ada mata kuliah yang pengajarnya tidak dapat dijadwalkan pada jam tertentu, misal jam pertama dan kedua.

D da C c b xa,b,c,da_a =0,untuk a∈A; =1,2; ∈ ; a∈ (9)

9. Ada hari dan waktu tertentu tidak ada perkuliahan di ruang manapun, misal hari Jumat jam ketiga.

0 , , 3 , 5 =

∑∑

∈C ∈ c d D d c x (10)

PEMBAHASAN

Implementasi Model

Implementasi model yang telah diperoleh dilakukan dengan cara simulasi model. Simulasi tersebut menggunakan data mata kuliah yang ditawarkan pada semester I jurusan Pendidikan Matematika yang terdiri dari dua kelas sebagai berikut:

Tabel 1 Daftar Mata Kuliah yang Ditawarkan

No Mata Kuliah SKS Pengajar Ruang

1. Bahasa Arab I 2 Siti Maryam R_1 atau R_2 2. Bahasa Inggris I 2 Hapsari R_1 atau R_2 3. Filsafat Umum 2 Moh. Dahlan R_1 atau R_2 4. Fiqh 2 Rusydi Jamil R_1 atau R_2 5. Ilmu Sosial Dasar 2 Ulfa Fajarini R_1 atau R_2 6. Pendidikan Kewargaan 2 Wahdi Sayuti R_1 atau R_2 7. Penguatan Komputer 2 Anwar Syaddad Lab. Komputer 8. Biologi Umum 3 Zulfiani R_1 atau R_2 9. Fisika Dasar 3 Erina Hertanti R_1 atau R_2 10. Matematika Dasar 3 Anwar Syaddad R_1 atau R_2 Jadwal yang diharapkan berupa:

1. Semua mata kuliah terjadwal di suatu ruang pada suatu hari dan suatu jam. 2. Semua mata kuliah terjadwal di ruang yang sesuai dengan kualifikasinya. 3. Tidak terjadi penggunaan ruang, hari dan jam yang sama untuk lebih dari

satu mata kuliah yang berbeda.

4. Tidak terjadi satu peserta mengikuti lebih dari satu mata kuliah yang berbeda pada hari dan jam yang sama.

5. Tidak terjadi satu pengajar mengajar lebih dari satu mata kuliah yang berbeda pada hari dan jam yang sama.

6. Mata kuliah Bahasa Arab dialokasikan pada hari Senin.

7. Mata kuliah Bahasa Inggris tidak dapat dialokasikan pada jam pertama sampai dengan jam ketiga.

8. Selain pengajar Biologi Umum dan Bahasa Inggris, semua pengajar menginginkan hari yang sama untuk mata kuliah yang sama dengan jam yang berurutan.

26

Langkah berikutnya penentuan indeks hari, jam, ruang dan mata kuliah. Hari berindeks 1, 2, 3, 4 dan 5 untuk hari Senin sampai dengan Jumat. Jam berindeks 1, 2, 3, 4 dan 5 untuk jam pertama sampai dengan jam kelima. Ruang R_1(regular satu) berindeks 1, R_2 berindeks 2 dan Laboratorium Komputer berindeks 3.

Sedangkan untuk indeks mata kuliah sebagai berikut:

Tabel 2 Indeks mata kuliah

Indeks Mata Kuliah SKS Pengajar Peserta Ruang

1 Bahasa Arab I 2 Siti Maryam (SM) I/A R_1 atau R_2

2 Bahasa Inggris I 2 Hapsari (H) I/A R_1 atau R_2

3 Filsafat Umum 2 Moh. Dahlan (MD) I/A R_1 atau R_2

4 Fiqh 2 Rusydi Jamil (RJ) I/A R_1 atau R_2

5 Ilmu Sosial Dasar 2 Ulfah Fajarini (UF) I/A R_1 atau R_2

6 Pendidikan Kewargaan 2 Wahdi Sayuti (WS) I/A R_1 atau R_2

7 Penguatan Komputer 2 Anwar Syaddad (AS) I/A Lab Komputer

8 Biologi Umum 2 Zulfiani (Z) I/A R_1 atau R_2

9 Biologi Umum 2 Zulfiani (Z) I/A R_1 atau R_2

10 Fisika Dasar 2 Erina Hertanti (EH) I/A R_1 atau R_2

11 Matematika Dasar 2 Anwar Syaddad (AS) I/A R_1 atau R_2

12 Fisika Dasar 2 Erina Hertanti (EH) I/AB R_1 atau R_2

13 Matematika Dasar 2 Anwar Syaddad (AS) I/AB R_1 atau R_2

14 Bahasa Arab I 2 Siti Maryam (SM) I/B R_1 atau R_2

15 Bahasa Inggris I 2 Hapsari (H) I/B R_1 atau R_2

16 Filsafat Umum 2 Moh. Dahlan (MD) I/B R_1 atau R_2

17 Fiqh 2 Rusydi Jamil (RJ) I/B R_1 atau R_2

18 Ilmu Sosial Dasar 2 Ulfah Fajarini (UF) I/B R_1 atau R_2

19 Pendidikan Kewargaan 2 Wahdi Sayuti (WS) I/B R_1 atau R_2

20 Penguatan Komputer 2 Anwar Syaddad (AS) I/B Lab Komputer

21 Biologi Umum 2 Zulfiani (Z) I/B R_1 atau R_2

22 Biologi Umum 2 Zulfiani (Z) I/B R_1 atau R_2

23 Fisika Dasar 2 Erina Hertanti (EH) I/B R_1 atau R_2

24 Matematika Dasar 2 Anwar Syaddad (AS) I/B R_1 atau R_2

Nilai kepuasan pelaksanaan suatu mata kuliah pada hari dan jam tertentu (Nab) ditunjukkan dengan suatu konstanta yang dapat bernilai berapa saja. Pada model akan diberikan nilai yang besar pada hari dan jam utama agar mata kuliah terpengaruhi untuk terjadwal pada hari dan jam tersebut. Kemudian ada hari dan

27

jam tertentu seperti Jumat jam ketiga saat tidak ada satu perkuliahan pun yang dijadwalkan. Nilai kepuasan sebagai berikut:

Tabel 3 Koefisien nilai

Jam ke- Hari 1 2 3 4 5 Senin 200 300 300 300 100 Selasa 300 300 300 300 100 Rabu 300 300 300 300 100 Kamis 300 300 300 300 100 Jumat 100 100 100 100 100 Pemodelan dari permasalahan yang diberikan sebagai berikut:

Batasan utama

1. Semua mata kuliah terjadwal di satu ruang pada suatu hari dan suatu jam. untuk , 1 , , , d D x A a b BcC d c b a = ∈

∑∑∑

∈ ∈ ∈ (1)

2. Semua mata kuliah terjadwal di ruang yang sesuai. D dc x _c A a b B c dc c b a c = ∈

∑∑∑

∈ ∈ = untuk , 1 2 1 , , , (2) D dc x A a b B dc b a = ∈

∑∑

∈ ∈ ,,3, 3 untuk , 1 3 (3)

3. Tidak terjadi penggunaan ruang, hari dan jam yang sama untuk lebih dari satu mata kuliah yang berbeda.

∑

∈ ∈ ∈ ∈ ≤ D d d c b a a A b B c C x ,,, 1,untuk ; ; (4)

4. Tidak terjadi satu peserta mengikuti lebih dari satu mata kuliah yang berbeda. 13 ..., , 1 C; c B; A; untuk , 1 , , , ≤ ∈ ∈ ∈ =

∑

A dm dm c b a a b dm x A A (5) 24 ..., , 12 C; c B; A; untuk , 1 , , , ≤ ∈ ∈ ∈ =

∑

B dm dm c b a a b dm x B B (6)

5. Tidak terjadi satu pengajar mengajar dua mata kuliah yang berbeda pada hari dan jam yang sama.

24 , 20 , 13 , 11 , 7 C; c B; A; untuk , 1 1 , , , 1 1 ≤ ∈ ∈ ∈ =

∑

x a b dp dp dp c b a (7) Batasan tambahan

28 14 , 1 untuk ; 1 1 , , , 1 ₁ = =

∑∑

∈ ∈ da x B b c C da c b (8)

7. Mata kuliah Bahasa Inggris tidak dapat dialokasikan pada jam pertama sampai dengan jam ketiga.

15 , 2 ; 3 , 2 , 1 ; 2 , 1 A; a untuk , 0 , , ,bcda = ∈ = = a = a b c da x a (9)

8. Selain pengajar Biologi Umum dan Bahasa Inggris, semua pengajar menginginkan hari yang sama untuk mata kuliah yang sama dengan jam yang berurutan.

(

)

) 20 , 7 ( ), 19 , 6 ( ), 18 , 5 ( ), 17 , 4 ( ), 16 , 3 ( ), 14 , 1 ( ) , ( ; ) 1 ( ,..., 1 ; untuk , 0 , , 1 , , , , − = ∈ = − =

∑

∈ + j i q b A a x x C c j c b a i c b a (10)

Untuk mata kuliah Biologi Umum:

(

)

∑

∈ + − = ∈ = − C c c b a c b a x a Ab q x _{, ,,8 , 1, ,9} 0,untuk ; 1,...,( 1) (11)

(

)

∑

∈ + − = ∈ = − C c c b a c b a x a A b q x ,,,21 , 1,,22 0,untuk ; 1,...,( 1) (12) Untuk mata kuliah Fisika Dasar dan Matematika Dasar:

(

)

∑

∈ + + − = ∈ = − + C c c b a c b a c b a x x a Ab q x , ,,10 , 1,,12 2* , 1,,23 0,untuk ; 1,...,( 2) (13)

(

)

∑

∈ + + − = ∈ = − + C c c b a c b a c b a x x a A b q x _{,,,11 , 1, ,13} 2* _{, 1,,24} 0,untuk ; 1,...,( 2) (14) 11 , 10 ; 5 , 4 ; 2 , 1 A; a untuk , 0 , , ,bcda = ∈ = = b = a b c da x b (15)

9. Ada mata kuliah yang tidak dapat dijadwalkan pada hari dan waktu tertentu, seperti:

Tidak ada perkuliahan pada hari Jumat jam ketiga: 0 , , 3 , 5 =

∑ ∑

∈C ∈ c d D d c x (16)

Beberapa mata kuliah tidak dapat dijadwalkan pada tiap jam kelima: A a x C c db db c b a = ∈

∑∑

∈ untuk ; 0 5 5 , , , (17)

Fungsi Obyektif dari pembatasan ini berupa:

Maksimumkan

∑∑∑∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∗ = A a b BcCd D b a d c b a N x z _{,,, ,} (18)

Kemudian model dituliskan programnya. Setelah itu program disimulasikan dengan menggunakan software LINGO 8.0 metode branch and bound. Penulisan program dan outputnya dapat dilihat pada lampiran 1. Hasil simulasi dapat dilihat pada Tabel 4.

29

Tabel 4 Hasil simulasi

Semester I Kelas A Semester I Kelas B Hari Jam

Ruang Mata kuliah Pengajar Ruang Mata kuliah Pengajar

07.30 - 09.10 Lab Kom Penguatan

Komputer AS

09.20 - 11.00 R_2 Bahasa Arab SM Lab

Kom

Penguatan

Komputer AS

11.00 - 12.50 R_1 Biologi Umum Z R_2 Bahasa Arab SM

Senin

13.30-15.10 R_1 Biologi Umum Z R_2 Bahasa

Inggris H 07.30 - 09.10 R_2 Biologi Umum Z 09.20 - 11.00 R_1 Pendidikan Kewargaan WS R_2 Biologi Umum Z 11.00 - 12.50 R_1 Filsafat Umum MD R_2 Pendidikan Kewargaan WS Selasa 13.30 - 15.10 R_1 Filsafat Umum MD 07.30 - 09.10 R_1 Fisika Dasar EH 09.20 - 11.00 R_1 Fisika Dasar EH

11.00 - 12.50 R_2 Fiqh RJ R_1 Fisika Dasar EH

Rabu 13.30 - 15.10 R_1 Bahasa Inggris H R_2 Fiqh RJ 07.30 - 09.10 R_1 Matematika Dasar AS 09.20 - 11.00 R_1 Matematika Dasar AS 11.00 - 12.50 R_1 Matematika Dasar AS Kamis 13.30 - 15.10 R_2 Ilmu Sosial Dasar UF R_2 Ilmu Sosial Dasar UF

Berdasarkan tabel di atas dapat diperiksa bahwa pembatas tidak dilanggar. Pembatas pertama terpenuhi sebab semua mata kuliah yang ada pada Tabel 2 ada di Tabel 4. Kemudian mata kuliah dialokasikan ke ruang yang sesuai. Contoh Penguatan Komputer dialokasikan ke Laboratorium Komputer. Kemudian setiap ruang pada suatu hari dan suatu jam hanya terdapat satu mata kuliah saja. Peserta hanya mengikuti satu perkuliahan pada suatu waktu di satu ruang. Pengajar juga hanya mengajar satu mata kuliah saja pada suatu waktu di satu ruang. Pada hari Senin terdapat mata kuliah Bahasa Arab. Kemudian mata kuliah Bahasa Inggris dialokasikan pada jam ke-4. Semua mata kuliah, selain Biologi Umum dan Bahasa Inggris dijadwalkan berurutan.

30

Beberapa Skenario

Misalkan nilai kepuasan penggunaan waktu perkuliahan memiliki beberapa skenario sebagai berikut:

Tabel 5 Beberapa Skenario

Jam ke- Hari 1 2 3 4 5 Senin 1000 1000 1000 1000 1000 Selasa 1000 1000 1000 1000 1000 Rabu 1000 1000 1000 1000 1000 Kamis 1000 1000 1000 1000 1000 Skenario I Jumat 1000 1000 1000 1000 1000 Jam ke- Hari 1 2 3 4 5 Senin 1000 0 1000 1000 1000 Selasa 1000 0 1000 1000 1000 Rabu 1000 0 1000 1000 1000 Kamis 1000 0 1000 1000 1000 Skenario II Jumat 1000 0 1000 1000 1000 Jam ke- Hari 1 2 3 4 5 Senin 1000 1000 0 1000 1000 Selasa 1000 1000 0 1000 1000 Rabu 0 0 0 0 0 Kamis 1000 1000 0 1000 1000 Skenario III Jumat 1000 1000 0 1000 1000 Jam ke- Hari 1 2 3 4 5 Senin 0 1000 1000 1000 0 Selasa 1000 0 1000 0 1000 Rabu 1000 1000 0 1000 1000 Kamis 1000 0 1000 0 1000 Skenario IV Jumat 0 1000 1000 1000 0

Pada skenario I semua waktu perkuliahan bernilai sama yaitu 1000. Skenario II menyatakan bahwa jam kedua di tiap hari kurang disukai untuk perkuliahan. Sedangkan pada skenario III jam ketiga dan hari Rabu kurang disukai untuk perkuliahan. Skenario IV menyatakan beberapa jam perkuliahan di beberapa hari kurang disukai untuk perkuliahan.

Penyebaran mata kuliah pada skenario I dapat dilihat pada Tabel 6. Berdasarkan Tabel 6 tersebut dapat diketahui bahwa batasan utama dan batasan tambahan tidak terlanggar dengan nilai koefisien sama di setiap hari dan jam.

31

Tabel 6 Skenario I

Smt Semester I Kelas A Semester I Kelas B

Hari

Jam Ruang Mata kuliah Pengajar Ruang Mata kuliah Pengajar 07.30 - 09.10 R_1 Biologi Umum Z

09.20 - 11.00 R_1 Biologi Umum Z 11.00 - 12.50

13.30-15.10 R_2 Bahasa Arab SM R_1 Bahasa Inggris H Senin 15.40 - 17.20 R_1 Bahasa Arab SM 07.30 - 09.10 R_1 Fiqh RJ 09.20 - 11.00 R_2 Fiqh RJ 11.00 - 12.50 R_2 Fisika Dasar EH 13.30 - 15.10 R_2 Fisika Dasar EH Selasa 15.40 - 17.20 R_2 Fisika Dasar EH 07.30 - 09.10 R_1 Ilmu Sosial Dasar UF 09.20 - 11.00 R_2 Ilmu Sosial Dasar UF 11.00 - 12.50 13.30 - 15.10 R_2 Pendidikan Kewargaan WS Rabu 15.40 - 17.20 R_2 Pendidikan Kewargaan WS 07.30 - 09.10 Lab Kom Penguatan Komputer AS

09.20 - 11.00 Lab Kom Penguatan

Komputer AS 11.00 - 12.50 R_2 Matematika Dasar AS 13.30 - 15.10 R_2 Matematika Dasar AS Kamis 15.40 - 17.20 R_2 Matematika Dasar AS 07.30 - 09.10 R_1 Filsafat Umum MD 09.20 - 11.00 R_1 Filsafat Umum MD 11.00 - 12.50

13.30 - 15.10 R_1 Bahasa Inggris H R_2 Biologi Umum Z Jumat

15.40 - 17.20 R_2 Biologi Umum Z

Skenario II menyatakan bahwa jam kedua merupakan waktu yang kurang disukai untuk mengajar. Pada jadwal yang dihasilkan (Tabel 7) masih terdapat mata kuliah yang terjadwal di jam kedua tersebut. Walaupun demikian jadwal tersebut tidaklah melanggar batasan utama dan batasan tambahan.