KALKULUS MATERI UAS TPB IPB BAB I INTEGRAL

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 1

KALKULUS MATERI UAS TPB IPB

Pokok Bahasan:

BAB I INTEGRAL

BAB II FUNGSI TRANSENDEN

BAB III TEKNIK PENGINTEGRALAN

BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

BAB I INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu

Aturan

1. 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶, dengan a adalah konstanta 2.

𝑥

𝑟

𝑑𝑥 =

𝑥 𝑟+1 𝑟+1

+ 𝐶,

dengan 𝑟 ≠ −1 3. [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ] 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 4. sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 5. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 6. sec2𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 7. csc2𝑥 𝑑𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶 Contoh 1.1: 3𝑥5₋1 2𝑥 4_{+ 7𝑥}2_{+ 𝑥 − 3 𝑑𝑥 = 3} 𝑥6 6 − 1 2 𝑥5 5 + 7 𝑥3 3 + 𝑥2 2 − 3𝑥 + 𝐶 =𝑥 6 2 − 𝑥5 10+ 7 3𝑥 3₊𝑥2 2 − 3𝑥 + 𝐶 Latihan 1.1 1. 𝑥3 − 5𝑥2 𝑑𝑥

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 2 2. 4𝑦 + 5𝑦 − 2 𝑑𝑦 3. 2 𝑡+3𝑡 2 𝑡

𝑑𝑡

4. 𝑢2− sec2_{𝑢 𝑑𝑢} Latihan 1.2

Gunakan metode substitusi untuk menyelesaikan soal-soal berikut. 1. sin 𝑥

𝑥

𝑑𝑥

, misalkan u= 𝑥

2. 𝑧 sec2(3𝑧2− 1) 𝑑𝑥 , misalkan u=3𝑧2− 1 3. 𝑟3 2_{− 2𝑟 + 1𝑑𝑟} 4. cos 3𝜃 sin2_3𝜃

𝑑𝜃

5. sin(1_{𝛾) cos(}1_𝛾) 𝛾2 𝑑𝛾 B. Integral Tentu Aturan

1. Jika f kontinu pada [a,b], maka f terintegralkan pada [a,b] 2. 𝑓(𝑥)_𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 0

3. 𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 = − 𝑓(𝑥)_𝑏𝑎 𝑑𝑥

4. 𝑘𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥, dengan k adalah konstanta 5. [𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ]_𝑎𝑏 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥

6. 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑐 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)_𝑐𝑏 𝑑𝑥, dengan a < c < b 7. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 0 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 ≥ 0

8. Jika 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 ≥ 𝑔 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥

9. Jika 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 _𝑎𝑏 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 10. 𝑓(𝑥)_−𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 2 𝑓(𝑥)₀𝑎 𝑑𝑥, untuk f fungsi genap [𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)]

11. 𝑓(𝑥)_−𝑎𝑎 𝑑𝑥 = 0, untuk f fungsi ganjil [𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)] 12. _{𝑎 +𝑝}𝑏+𝑝𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥, jika f periodik dengan periode p

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 3 Latihan 1.3 1. (3𝑥 + 1)3 3 0 𝑑𝑥 2. 𝑥 + 2 (𝑥2_{+ 4𝑥 + 1)}2 1 0 𝑑𝑥 3. sin 𝜃 cos3_𝜃 𝜋/6 0 𝑑𝜃 4. 1 +1 𝑦 2 ₁ 𝑦2 2 1 𝑑𝑦 5. sin 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃 𝜋 −𝜋 6. 𝑥 3 (1 + 𝑥2₎4𝑑𝑥 1 −1

7. Hitung tiap integral berikut. a) 𝑥 − 1 ₀4 𝑑𝑥

b) 𝑥 ₀4 𝑑𝑥 c) (𝑥 − 𝑥 )₀4 𝑑𝑥

Petunjuk: pertama sketsa grafiknya

8. Andaikan 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥), 𝑓(𝑥) ≤ 0, 𝑔 −𝑥 = −𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)₀2 𝑑𝑥 = −4 dan 𝑔(𝑥)₀2 𝑑𝑥 = 5. Hitung tiap integral berikut.

a) 𝑓(𝑥)₋₂2 𝑑𝑥 b) 𝑓(𝑥) ₋₂2 𝑑𝑥 c) 𝑔(𝑥)₋₂2 𝑑𝑥 d) [𝑓 𝑥 − 𝑓 −𝑥 ]₋₂2 𝑑𝑥 e) [2𝑔 𝑥 + 3𝑓 𝑥 ]₀2 𝑑𝑥 f) 𝑔(𝑥)₋₂0 𝑑𝑥

9. Jika f kontinu dan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥₀4 = 10, carilah 𝑓 2𝑥 𝑑𝑥₀2 . 10. Jika f kontinu dan 𝑓 𝑥 𝑑𝑥₀9 = 4, carilah 𝑥𝑓 𝑥3 2 _𝑑𝑥

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 4 Aturan (Lanjutan)

13. (Pendiferensialan suatu Integral Tentu / TDK 1). Andaikan f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan andaikan x sebuah (peubah) titik dalam [a,b], maka

𝐷𝑥 𝑓(𝑡) 𝑥 𝑎

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)

Latihan 1.4

Untuk soal no.1 s/d 4, carilah G’(x) 1. 𝐺 𝑥 = (2𝑡 + 1)₋₆𝑥 𝑑𝑡 2. 𝐺 𝑥 = _𝑥𝜋/4𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢, −𝜋/2 < 𝑥 < 𝜋/2 3. 𝐺 𝑥 = 𝑥 2 + sin 𝑣 2₊₁ 1 𝑑𝑣 4. 𝐺 𝑥 = 1 + 𝑡𝑥3 4 𝑥 𝑑𝑡 5. Carilah 𝑑 2 𝑑 𝑥2 1 + 𝑧 4_𝑑𝑧 sin 𝑦 1 𝑑𝑦 𝑥 0

C. Penggunaan Integral (Luas Daerah Bidang Rata dan Nilai Rata-rata fungsi )

1. Luas Daerah Bidang Rata (i) Daerah di atas sumbu x

𝐴 = 𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 𝑑𝑥 , missal u=

(ii) Daerah di kanan sumbu y

Jika 𝑔(𝑦) berada di kanan sumbu y untuk selang [a,b], maka luas antara 𝑔(𝑦) dan sumbu y

𝐴 = 𝑔(𝑦)

𝑏 𝑎

𝑑𝑦 (iii) Daerah antara dua kurva

𝐴 = [𝑓(𝑥)_𝑎𝑏 − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 y = f(x) y = f(x) y = g(x) y x b a a b x y

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 5 𝐴 = [𝑓(𝑦)_𝑐𝑑 − 𝑔(𝑦)]𝑑𝑦

Latihan 1.5

1. Carilah luas daerah yang di batasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥3_{, 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2}

2. Dengan menggunakan integral, tentukan luas segitiga yang titik-titik sudutya adalah (-1, 4), (2, -2), dan (5, 1)

3. Carilah bilangan a sedemikian sehingga garis 𝑦 = 𝑎 membagi daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2 _{dan 𝑦 = 4 menjadi 2 daerah dengan luas sama.}

2. Nilai Rata-rata fungsi

(i) Nilai rata-rata f pada interval [a,b] diberika oleh, 𝑓_{𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎} = 1

𝑏 − 𝑎 𝑓(𝑥)

𝑏 𝑎

𝑑𝑥

(ii) Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral.

Jika f kontinu pada, maka terdapat suatu bilangan c antara a dan b sedemikian sehingga 𝑓 𝑡 𝑏 𝑎 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑐 (𝑏 − 𝑎) Latihan 1.6

1. Tentukan nilai rata-rata fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2_{, pada selang [0,2]}

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 6

D. Jumlah Riemann (definisi integral tentu)

Pandang sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. untuk menghitung integralnya, dapat dihampiri dengan memilah luasan di bawah kurva menjadi poligon-poligon. Terdapat tiga cara untuk menghitung luasan tersebut.

(i) Menggunakan titik ujung kanan pada tiap poligon

𝐴 = lim 𝑛 →∞ 𝑓(𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 ∆𝑥, dengan ∆𝑥 =𝑏 − 𝑎 𝑛 dan 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 (ii) Menggunakan titik ujung kiri pada tiap poligon

𝐴 = lim

𝑛 →∞ 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝑛

𝑖=1

∆𝑥

(iii) Menggunakan titik tengah pada tiap poligon

𝐴 = lim 𝑛 →∞ 𝑓(𝑥𝑖 ∗₎ 𝑛 𝑖=1 ∆𝑥, dengan 𝑥_𝑖∗ =𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖 2

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 7 Beberapa jumlah khusus:

𝑐 𝑛 𝑖=1 = 𝑛𝑐 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑛(𝑛 + 1) 2 𝑖2 𝑛 𝑖=1 =𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) 6 𝑖3 𝑛 𝑖=1 = 𝑛(𝑛 + 1) 2 2 𝑖4 𝑛 𝑖=1 =𝑛 𝑛 + 1 (6𝑛 3_{+ 9𝑛}2_{+ 𝑛 − 1)} 30 Latihan 1.7

1. Gunakan definisi integral tentu untuk menghitung nilai integral berikut. 𝑎) (𝑥2_{− 𝑥)} 2 0 𝑑𝑥 𝑏) (2𝑥2+ 1) 2 −1 𝑑𝑥

2. Hitung tiap limit berikut dengan mengenalinya sebagai integral tentu. 𝑎) lim 𝑛 →∞ 4𝑖 𝑛 𝑛 𝑖=1 ∙4 𝑛 𝑏) lim 𝑛 →∞ 1 + 2𝑖 𝑛 2 𝑛 𝑖=1 2 𝑛

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 8

BAB II FUNGSI TRANSENDEN

A. Logaritma Natural danEksponen

Aturan 1) ln 𝑥 = 1 𝑡 𝑥 1 𝑑𝑡, 𝑥 > 0 2) 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑥 = 1 𝑥 , atau 𝑑 𝑑𝑥 ln 𝑓(𝑥) = 𝑓′_(𝑥) 𝑓(𝑥) 3) sifat logaritma: a) ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦 b) ln𝑥 𝑦= ln 𝑥 − ln 𝑦 c) ln 𝑥𝑟 = 𝑟 ln 𝑥

4) ln e = 1, dengan e adalah bilangan riil positif 5) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0 6) 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 _{= 𝑒}𝑥 _{, atau} 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑓(𝑥) _{= 𝑒}𝑓(𝑥)_{∙ 𝑓}′_(𝑥)

7) fungsi eksponen umum 𝑎) 𝑎𝑥 _{= 𝑒}𝑥 ln 𝑎 𝑏) 𝑑 𝑑𝑥 𝑎 𝑥 _{= 𝑎}𝑥_{ln 𝑎} 𝑐) 𝑎𝑥_{𝑑𝑥 =} 𝑎 𝑥 ln 𝑥+ 𝐶 Latihan 2.1 1. Hitunglah: a) 𝐷_𝑥 ln(𝑥3_{− 2𝑥)} b) 𝐷_𝑥 ln sin 𝑥 c) 𝐷𝑥𝑦 untuk 𝑦 = 𝑥𝑥 2 ,dan 𝑒𝑥𝑦 + 𝑦 = 2 2. Hitunglah : 𝑎) 1 3𝑥𝑑𝑥 𝑏) 1 7𝑥 − 2𝑑𝑥

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 9 𝑐) 𝑡 3 𝑡4_{− 1}𝑑𝑡 𝑑) 1 𝑦(1 − 𝑦)𝑑𝑦 B. Invers Trigonometri Aturan 1. 𝐷_𝑥 sin−1_{𝑥 =} 1 1 − 𝑥2, atau 1 1 − 𝑥2𝑑𝑥 = sin −1_{𝑥 + 𝐶} 2. 𝐷_𝑥 cos−1_{𝑥 = −} 1 1 − 𝑥2, atau 1 1 − 𝑥2𝑑𝑥 = − cos −1_{𝑥 + 𝐶} 3. 𝐷𝑥 tan−1𝑥 = 1 1 + 𝑥2, atau 1 1 + 𝑥2𝑑𝑥 = tan−1𝑥 + 𝐶 Latihan 2.2

1. Carilah dy/dx untuk soal-soal berikut. a) 𝑦 = sin−1_(𝑥2₎

b) 𝑦 =1

2tan

−1_(𝑒𝑥₎

2. Hitung integral berikut.

𝑎) sin 𝑥 1 + cos2_𝑥 𝜋 /2 0 𝑑𝑥 𝑏) 1 1 + 4𝑥2𝑑𝑥 𝑐) 𝑒 𝑥 1 + 𝑒2𝑥𝑑𝑥

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 10

BAB III TEKNIK PENGINTEGRALAN A. Integral Parsial

Aturan

𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢, pengintegralan parsial integral taktentu 𝑢 𝑏 𝑎 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 _𝑎𝑏 _{− 𝑣} 𝑏 𝑎

𝑑𝑢, pengintegralan parsial integral tentu Contoh 3.1:

Tentukan 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥.

Penyelesaian Missal 𝑢 = 𝑥 dan 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥. Jadi 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 dan 𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥, sehingga 𝑥 𝑢 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑢 sin 𝑥 𝑣 − sin 𝑥 𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶 Latihan 3.1 1. 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 2. 𝑥 𝑒2𝑥𝑑𝑥 3. sin−1𝑥 𝑑𝑥 B. Substitusi Trigonometri

Bentuk Substitusi Kesamaan

𝑎2_{− 𝑥}2 _{𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 , −} 𝜋 2≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2 1 − sin2𝜃 = cos2𝜃 𝑎2_{+ 𝑥}2 _{𝑥 = 𝑎 tan 𝜃 , −} 𝜋 2< 𝜃 < 𝜋 2 1 + tan2𝜃 = sec2𝜃 𝑥2_{− 𝑎}2 _{𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 , 0 ≤ 𝜃 ≤}𝜋 2 atau 𝜋 ≤ 𝜃 ≤3𝜋 2 sec2_{𝜃 − 1 = tan}2_𝜃 Latihan 3.2

Dengan menggunakan substitusi trigonometri, selesaikan integral berikut.

1. 1

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 11 2. 𝑥3 _{9 − 𝑥}2_𝑑𝑥

3. 𝑥

3

𝑥2_{+ 9}𝑑𝑥

C. Pengintegralan Fungsi Rasional

(i) Jika 𝑓 𝑥 = 𝑝(𝑥)/𝑞(𝑥) dan derajat 𝑝(𝑥) ≥ derajat 𝑞(𝑥), maka bagilah terlebih dahulu 𝑝(𝑥) dengan 𝑞(𝑥), sehingga

𝑓 𝑥 =𝑝(𝑥)

𝑞(𝑥)= 𝑠 𝑥 + 𝑟(𝑥) 𝑞(𝑥) dengan p, q, s dan r adalah polinom.

Contoh 3.2: 𝑥3_{+ 𝑥} 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 𝑥 2_{+ 𝑥 + 2 +} 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 =𝑥 3 3 + 𝑥2 2 + 2𝑥 + 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶

(ii) Jika 𝑞(𝑥) hasil kali faktor linier yang berdeda tanpa ada faktor yang berulang 𝑞 𝑥 = 𝑎₁𝑥 + 𝑏₁ 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂ ⋯ (𝑎_𝑘𝑥 + 𝑏_𝑘) maka 𝑟(𝑥) 𝑞(𝑥) = 𝐴₁ 𝑎₁𝑥 + 𝑏₁+ 𝐴₂ 𝑎₂𝑥 + 𝑏₂+ ⋯ + 𝐴_𝑘 𝑎_𝑘𝑥 + 𝑏_𝑘 Contoh 3.3: Carilah 5𝑥 + 3 𝑥3_{− 2𝑥}2_{− 3𝑥}𝑑𝑥

Penyelesaian Uraikan penyebut 𝑥 𝑥 + 1 (𝑥 − 3), sehingga 5𝑥 + 3 𝑥3_{− 2𝑥}2_{− 3𝑥}= 𝐴 𝑥+ 𝐵 𝑥 + 1+ 𝐶 𝑥 − 3 Kita berusaha menemukan A, B, C. kita hilangkan pecahan

5𝑥 + 3 = 𝐴 𝑥 + 1 𝑥 − 3 + 𝐵 𝑥 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑥 (𝑥 + 1) Substitusi nilai x = 0, x = -1, x = 3, kita peroleh

3 = 𝐴 −3 , − 2 = 𝐵 4 , 18 = 𝐶(12) atau A = -1, B = -1/2, C = 3/2, sehingga

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 12 5𝑥 + 3 𝑥3_{− 2𝑥}2_{− 3𝑥}𝑑𝑥 = − 1 𝑥𝑑𝑥 − 1 2 1 𝑥 + 1𝑑𝑥 + 3 2 1 𝑥 − 3𝑑𝑥 = − ln 𝑥 −1 2ln 𝑥 + 1 + 3 2ln 𝑥 − 3 + 𝐶

(iii) Penyebut 𝑞(𝑥) adalah hasil kali faktor linier, beberapa diantaranya berulang Untuk tiap faktor 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑘 dalam penyebut, penjabarannya adalah

𝐴₁ 𝑎𝑥 + 𝑏+ 𝐴₂ 𝑎𝑥 + 𝑏 2+ 𝐴₃ 𝑎𝑥 + 𝑏 3+ ⋯ + 𝐴_𝑘 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑘 Contoh 3.4 : Hitunglah 𝑥 𝑥 − 3 2𝑑𝑥

Penyelesaian Penjabaran pecahan parsialnya 𝑥 𝑥 − 3 2 = 𝐴 𝑥 − 3+ 𝐵 𝑥 − 3 2

Setelah penyebut-penyebut dihilangkan

𝑥 = 𝐴 𝑥 − 3 + 𝐵

Jika kitta substitusi dengan nilai x = 3 dan nilai x lain sebarangg, misal x = 0, kita peroleh B = 3 dan A = 1 sehingga

𝑥 𝑥 − 3 2𝑑𝑥 = 1 𝑥 − 3𝑑𝑥 + 3 1 𝑥 − 3 2𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 3 − 3 𝑥+3+ 𝐶 Contoh 3.5:

Hitunglah integral berikut.

3𝑥2_{− 8𝑥 + 13}

𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2𝑑𝑥

Penyelesaian Kita jabarkan 3𝑥2_{− 8𝑥 + 13} 𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2 = 𝐴 𝑥 + 3+ 𝐵 𝑥 − 1+ 𝐶 𝑥 − 1 2

Setelah pecahan-pecahan dihilangkan

3𝑥2_{− 8𝑥 + 13 = 𝐴 𝑥 − 1} 2_{+ 𝐵 𝑥 + 3 𝑥 − 1 + 𝐶(𝑥 + 3)}

Dengan substitusi x = 1, x = 3, dan x = 0 kita peroleh C = 2, A = 4 dan B = -1, sehingga 3𝑥2_{− 8𝑥 + 13} 𝑥 + 3 (𝑥 − 1)2𝑑𝑥 = 4 𝑑𝑥 𝑥 + 3− 𝑑𝑥 𝑥 − 1+ 2 𝑑𝑥 𝑥 − 1 2

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 13 = 4 ln 𝑥 + 3 − ln 𝑥 − 1 − 2

𝑥−1+ 𝐾

(iv) Jika 𝑞(𝑥) mengandung faktor kuadratik yang tak dapat diuraikan, tak ada yang berulang

Misalkan salah satu fakto 𝑞(𝑥) adalah 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑏2− 4𝑎𝑐 < 0, maka akan terdapat suku

𝐴𝑥 + 𝐵 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐} Contoh 3.6: Hitunglah 2𝑥 2_{− 𝑥 + 4} 𝑥3_{+ 4𝑥} 𝑑𝑥

Penyelesaian Karena 𝑥3_{+ 4𝑥 = 𝑥(𝑥}2_{+ 4) tidak dapat difaktorkan lebih jauh,}

kita tuliskan, 2𝑥2_{− 𝑥 + 4} 𝑥3_{+ 4𝑥} = 𝐴 𝑥+ 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑥2_{+ 4}

Setelah pecahan-pecahan dihilangkan

2𝑥2_{− 𝑥 + 4 = 𝐴 𝑥}2_{+ 4 + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥}

= (𝐴 + 𝐵)𝑥2+ 𝐶𝑥 dengan menyamakan koefisien

A + B = 2, C = -1, 4A = 4 atau A = 1, B = 1, dan C = -1 Sehingga 2𝑥2− 𝑥 + 4 𝑥3_{+ 4𝑥} 𝑑𝑥 = 1 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥 − 1 𝑥2_{+ 4}𝑑𝑥 = ln 𝑥 +1 2ln(𝑥 2_{+ 4) −}1 2tan −1₍𝑥 2) + 𝐾 Latihan 3.3 1. 𝑥 2 𝑥 + 1𝑑𝑥 2. 𝑦 𝑦 + 1𝑑𝑦 3. 𝑥 2_{+ 1} 𝑥2_{− 1}𝑑𝑥 4. 𝑥 2_{− 2𝑥 − 1} (𝑥 − 1)2_(𝑥2_{+ 1)}𝑑𝑥

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 14

SOAL LATIHAN

(BAB I, BAB II, DAN BAB III)

1. Gunakan definisi integral tentu untuk menghitung integral berikut. a) 2𝑥 + 3 ₀4 𝑑𝑥 b) 𝑥₋₁2 2− 1 𝑑𝑥 c) 𝑥₋₁2 2+ 𝑥 + 1 𝑑𝑥 2. Hitunglah 𝑎) lim 𝑛 →∞ 1 𝑛 1 𝑛 9 + 2 𝑛 9 + 3 𝑛 9 + ⋯ + 𝑛 𝑛 9 𝑏) lim 𝑛 →∞ 𝜋 𝑛 sin 𝜋𝑖 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑐) lim 𝑛→∞ 1 + 2𝑖 𝑛 + 2𝑖 𝑛 2 2 𝑛 𝑛 𝑖=1

3. Hitunglah integral berikut jika ada. 𝑎) 𝑦2₊ 1 𝑦3 𝑑𝑥 −2 −4 𝑏) 𝑥 𝑥2_{− 1} 2𝑑𝑥 2 0 𝑐) 𝑦2_{+ 1} 10_{(2𝑦)𝑑𝑦} 1 0 𝑑) cos(1/𝑥) 𝑥2 𝑑𝑥 𝑒) sin 𝑥 cos(cos 𝑥) 𝑑𝑥 𝑓) cos(1/𝑥) 𝑥2 𝑑𝑥 𝑔) 𝑥 𝑥2_{+ 𝑎}2 𝑎 −𝑎 𝑑𝑥 𝑕) 𝑥5_{+ sin 𝑥} 𝜋 −𝜋 𝑑𝑥 𝑖) 𝑥2− 6𝑥 + 8 8 0 𝑑𝑥

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 15 𝑗) 𝑥

2 0

𝑑𝑥

4. Jika f kontinu pada [0, 1], buktikan 𝑓(𝑥) 1 0 𝑑𝑥 = 𝑓(1 − 𝑥) 1 0 𝑑𝑥

5. Jika f terdiferensialkan sedemikian sehingga 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 = 𝑥 sin 𝑥 + 𝑓(𝑡) 1 + 𝑡2𝑑𝑡 𝑥 0

untuk semua x, carilah rumus eksplisit untuk f(x)

6. Jika 𝑓 𝑥 = ₀𝑔(𝑥) _1+𝑡1 ₂𝑑𝑡 dengan 𝑔 𝑥 = cos 𝑥 1 + sin 𝑡2 _𝑑𝑡

0 , carilah 𝑓′(𝜋/2).

7. Jika 𝑓 𝑦 = 𝑦₀𝑦 2sin 𝑡2 𝑑𝑡, carilah 𝑑𝑓(𝑦)/𝑑𝑦. 8. Jika 𝑦 = _𝑥𝑥 cos 𝜃_𝜃 𝑑𝜃, carilah dy/dθ.

9. Sebuah daerah R dibatasi oleh garis 𝑦 = 3𝑥 dan parabola 𝑦 = 𝑥2. Tentukan luas daerah R dengan cara:

a) Memakai x sebagai peubah pengintegralan b) Memakai y sebagai peubah pengintegralan

10. Jika f kontinu dan 𝑓(𝑥)₁3 𝑑𝑥 = 8, perlihatkan bahwa f akan bernilai 4 paling sedikit satu kali pada interval [1, 3] tersebut.

11. Tentukan bilangan b sedemikian sehingga nilai rata-rata 𝑓 𝑥 = 2 + 6𝑥 − 3𝑥2 _pada

interval [0, b] sama dengan 3.

12. Di kota tertentu suhu (dalam oF), t dalam setelah pukul 9.00 dihampiri oleh fungsi 𝑇 𝑡 = 50 + 14 sin𝜋𝑡

12

Tentukan suhu rata-rata selama periode mulai dari pukul 9.00 sampai 21.00.

13. Suhu batang logam sepanjang 5 m pada jarak x m dari salah satu sisi batang adalah 4x (oC). Berapa rata-rata suhu batang tersebut.

14. Kerapatan linier batang sepanjang 8 m adalah 12/ 𝑥 + 1 kg/m, dengan x diukur dalam meter dari salah satu ujung batang. Tentukan rata-rata kerapatan batang tersebut.

15. Jika 𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑏 adalah nilai rata-rata f pada selang [a, b] dan a < c < b, tunjukkan

bahwa

𝑓_{𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎} 𝑎, 𝑏 = 𝑐 − 𝑎

𝑏 − 𝑎𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑎, 𝑐 + 𝑏 − 𝑐

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 16 16. Jika sebuah benda jatuh bebas mulai bergerak dari keadaan diam, maka simpangannya

dapat dinyatakan sbagai 𝑠 =1

2𝑔𝑡

2_{. Misalkan kecepatan setelah waktu T adalah v} T.

Tunjukkan bahwa jika menghitung rata-rata kecepatan terhadap t akan kita peroleh 𝑣_{𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎} = 1

2𝑣𝑇, akan tetapi jika menghitung rata-rata kecepatan terhadap s maka akan

diperoleh 𝑣𝑟𝑎𝑡𝑎 −𝑟𝑎𝑡𝑎 = 2 3𝑣𝑇.

17. Carilah dy/dx dari fungsi berikut. 𝑎) 𝑦 = 𝑒 3𝑥 1 + 𝑒𝑥 𝑏) 𝑦 = cos(𝑒𝜋𝑥₎ 𝑐) 𝑦 = cos(ln 𝑥) 𝑑) 𝑦 = log₃(𝑥2_{− 4)} 𝑒) 𝑦 = 10tan 𝑥 𝑓) 𝑦 = 23𝑥2 𝑔) 𝑥𝑦 _{= 𝑦}𝑥 𝑕) 𝑦 = arccos 𝑏 + 𝑎 cos 𝑥 𝑎 + 𝑏 cos 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 𝑎 > 𝑏 > 0 𝑖) 𝑦 = 𝑥 2_{− 4} 2𝑥 + 5

18. Hitung integral berikut. 𝑎) 𝑥5_{+ 5}𝑥 ₊log10𝑥 𝑥 + 𝑥2 𝑥2 _𝑑𝑥 𝑏) 𝑑𝑥 𝑥[4 + ln 𝑥 2_] 𝑐) tan 𝑥 ln(cos 𝑥) 𝑑𝑥 𝑑) 𝑒 𝑥 𝑒𝑥_{+ 1 ln(𝑒}𝑥 _{+ 1)}𝑑𝑥 𝑒) 𝑥5𝑥𝑑𝑥 𝑓) cos 𝑥 ln(sin 𝑥) 𝑑𝑥 𝑔) 𝑥 tan−1_{𝑥 𝑑𝑥} 𝑕) sin 𝑥 𝑑𝑥

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 17 𝑖) 𝑥5_𝑒𝑥2_𝑑𝑥

19. Hitung integral berikut dengan substitusi trigonometri.

𝑎) 𝑑𝑢 𝑢 5 − 𝑢2 𝑏) 𝑦 2_𝑑𝑦 (𝑎2_{− 𝑦}2₎3 𝑐) 𝑑𝑢 9𝑢2_{+ 6𝑢 − 8} 𝑑) 𝑢 2_𝑑𝑢 4𝑢 − 𝑢2

20. Hitung integral berikut dengan metode fraksi parsial. 𝑎) 𝑥 3_{− 4𝑥 − 10} 𝑥2_{− 𝑥 − 6} 𝑑𝑥 1 0 𝑏) 1 𝑥 + 5 2_{(𝑥 − 1)}𝑑𝑥 𝑐) 𝑥 2_{+ 3} 𝑥3_{+ 2𝑥}𝑑𝑥 2 1 𝑑) 𝑥 2_{− 2𝑥 − 1} 𝑥 − 1 2_(𝑥2_{+ 1)}𝑑𝑥 𝑒) 2𝑥 3_{+ 5𝑥} 𝑥4_{+ 5𝑥}2_{+ 4}𝑑𝑥 𝑓) 𝑥 − 3 𝑥2_{+ 2𝑥 + 4} 2𝑑𝑥 𝑔) 1 𝑥 𝑥 + 1𝑑𝑥 𝑕) 𝑒 2𝑥 𝑒2𝑥 _{+ 3𝑒}𝑥_{+ 2}𝑑𝑥

21. Buktikan integral berikut. 𝑎) 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 𝑏 0 = 𝑓 𝑏 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑏 0 𝑏) sin 𝑛_𝑦 sin𝑛_{𝑦 + cos}𝑛_𝑦 𝜋 /2 0 𝑑𝑦 =𝜋

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 18

BAB IV PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Pada bab ini hanya akan dibahas persamaan diferensial terpisahkan orde satu. Orde suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi dalam persamaan.

A. Persamaan Diferensial Terpisahkan

Bentuk umum 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑓 𝑦 atau 1

𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 atau 𝑕 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Contoh 4.1:

Carilah penyelesaian dari PD berikut. 𝑎) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥 2_{− 6𝑥 + 5} 𝑏) 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 1 + 𝑦3 𝑥𝑦2_{(1 + 𝑥}2₎= 0 𝑐) 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑑) 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2 _{1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0} Penyelesaian 𝑎) 𝑑𝑦 = 3𝑥2_{− 6𝑥 + 5 𝑑𝑥 → sudah terpisahkan} 𝑑𝑦 = (3𝑥2_{− 6𝑥 + 5) 𝑑𝑥} 𝑦 = 𝑥3_{− 3𝑥}2_{+ 5 + 𝐶} 𝑏) 𝑑𝑦 𝑑𝑥= − 1 + 𝑦3 𝑥𝑦2_{(1 + 𝑥}2₎ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 + 𝑦3 𝑦2 1 𝑥(1 + 𝑥2₎ 𝑦2 1 + 𝑦3𝑑𝑦 = − 1 𝑥(1 + 𝑥2₎𝑑𝑥 → sudah terpisahkan 𝑦2 1 + 𝑦3𝑑𝑦 = − 1 𝑥(1 + 𝑥2₎𝑑𝑥 1 3 1 1 + 𝑦3𝑑(1 + 𝑦3) = − 1 𝑥+ 𝑥 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 1 3ln 1 + 𝑦 3 _{= − ln 𝑥 +}1 2ln(1 + 𝑥 2_{) + 𝑐} 2 ln 1 + 𝑦3 _{+ 6 ln 𝑥 − 3 ln(1 + 𝑥}2_{) = 6𝑐}

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 19 ln 1 + 𝑦 3 2_𝑥6 (1 + 𝑥2₎3 = 6𝑐 1 + 𝑦3 2_𝑥6 (1 + 𝑥2₎3 = 𝑒6𝑐 1 + 𝑦3 2_𝑥6 (1 + 𝑥2₎3 = 𝐶 𝑐) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥(𝑦 + 1) 𝑑𝑦 𝑦 + 1= 𝑥𝑑𝑥 → sudah terpisahkan 𝑑𝑦 𝑦 + 1= 𝑥𝑑𝑥 ln 𝑦 + 1 =1 2𝑥 2_{+ 𝐶} 𝑑) 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2 _{1 − 𝑦 𝑑𝑦 = 0} 𝑦 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 _{1 − 𝑦 𝑑𝑦} 1 − 𝑥 −𝑥2 𝑑𝑥 = 1 − 𝑦 𝑦 𝑑𝑦 − 1 𝑥2+ 1 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑦− 1 𝑑𝑦 1 𝑥+ ln 𝑥 + 𝑐 = ln 𝑦 − 𝑦 1 𝑥+ 𝑦 + 𝑐 = ln 𝑦 − ln 𝑥 1 𝑥+ 𝑦 + 𝑐 = ln 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 = 𝐶𝑒 1 𝑥_𝑦𝑦 Latihan 4.1

1. Carilah solusi umum dari persamaan diferensial berikut. 𝑎) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 + 𝑦 2 + 𝑥 𝑏) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦2_{+ 𝑥𝑦}2 𝑥2_{𝑦 − 𝑥}2

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 20 𝑐) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − sin 𝑥 cos 𝑦 tan 𝑦 cos 𝑥 𝑑) 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 2 + 2𝑢 + 𝑡 + 𝑡𝑢 𝑒) 𝑑𝑧 𝑑𝑡+ 𝑒 𝑡+𝑧 _{= 0}

2. Carilah solusi khusus dari persamaan diferensial berikut. 𝑎) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 2_{+ 1, 𝑦 1 = 0} 𝑏) 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝑃𝑡, 𝑃 1 = 2 𝑐) 𝑦′_{tan 𝑥 = 𝑎 + 𝑦, 𝑦 𝜋/3 = 𝑎, 0 < 𝑥 < 𝜋/2}

B. Penerapan Persamaan Diferensial

Pada bab ini akan dibahas tiga permasalahan yang menggunakan pemecahan persamaan diferensial, yaitu: Hukum Pendinginan Newton, peluruhan radioaktif, dan dinamika populasi.

1. Hukum Pendinginan Newton

Dari pengamatan eksperimen diketahui laju perubahan suhu permukaan suatu objek sebanding dengan suhu relatifnya (perbedaan antara suhu objek dan suhu lingkungan sekitarnya). Hal ini dikenal sebagai hukum Pendinginan Newton. Jika 𝜃(𝑡) adalah suhu objek pada waktu t, maka kita mempunyai

𝑑𝜃

𝑑𝑡 = −𝑘(𝜃 − 𝑆)

dimana S adalah suhu lingkungan sekitar. Persamaan di atas adalah persamaan diferensial orde satu. Jika pada kondisi awal 𝜃 0 = 𝜃₀, maka solusi diberikan oleh

𝜃 𝑡 = 𝑆 + (𝜃0− 𝑆)𝑒−𝑘𝑡

Oleh karena itu, kita dapat mencari k jika diketahui dua keadaan. Misalkan pada saat t1 suhu benda θ(t1) dan pada saat t2 suhu benda θ(t2), sehingga

𝜃 𝑡₁ − 𝑆

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 21 yang berarti

𝑘 𝑡1− 𝑡2 = − ln

𝜃 𝑡₁ − 𝑆

𝜃 𝑡₂ − 𝑆 , dengan 𝜃(𝑡) > 𝑆

Persamaan ini memungkinkan untuk menemukan k jika interval waktu 𝑡1− 𝑡2

diketahui.

Contoh 4.2:

Waktu Kematian Misalkan mayat ditemukan di sebuah kamar motel di tengah

malam dan suhunya adalah 800𝐹. Suhu ruangan dijaga konstan pada 600𝐹. Dua jam kemudian suhu mayat itu turun ke 750𝐹. Carilah waktu kematiannya.

Penyelesaian :

Pertama kita menggunakan suhu pengamatan mayat itu untuk menemukan konstanta k. kita punya

𝑘 = −1 2ln

75 − 60

80 − 60 = 0,1438

Untuk menemukan waktu kematian kita perlu ingat bahwa suhu mayat pada saat tepat sebelum meninggal adalah 98,60_{𝐹 (dengan asumsi bahwa orang yang meninggal itu}

tidak sakit! [98,60F = 370C]). Lalu kita punya

𝑡_𝑑 = −1 𝑘ln

98,6 − 60

80 − 60 = −4,57 Jam

yang berarti bahwa kematian terjadi sekitar pukul 07:26 malam [asumsikan tengah malam pukul 00:00 (untuk mempermudah perhitungan, gunakan 24:00)]

2. Peluruhan Radioaktif

Banyak bahan radioaktif meluruh sebanding dengan jumlah radioaktif. Sebagai contoh, jika X adalah bahan radioaktif dan N(t) adalah jumlah yang tersisa pada waktu t, maka laju perubahan N(t) terhadap waktu t diberikan oleh

𝑑𝑁

𝑑𝑡 = −𝜆𝑁

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 22 Jika 𝑁 0 = 𝑁0 adalah kuantitas awal bahan X, maka kita mempunyai

𝑁 𝑡 = 𝑁₀𝑒−𝜆𝑡

Jelas, untuk menentukan N(t), kita perlu menemukan konstanta λ. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan apa yang disebut waktu paruh 𝑇1

2 dari bahan X. Waktu paruh adalah rentang waktu yang diperlukan untuk meluruhkan setengah dari materi. Jadi, kita mempunyai 𝑁 𝑇1

2 = 1

2𝑁0 dan dari perhitungan diperoleh 𝜆𝑇1₂ = ln 2. Oleh karena itu, jika kita tahu 𝑇1

2, kita bisa mendapatkan λ dan sebaliknya. Banyak pada buku kimia yang menjelaskan waktu paruh dari beberapa bahan radioaktif. Sebagai contoh, waktu paruh Karbon-14 adalah 5568 ± 30 tahun. Oleh karena itu, konstanta λ yang terkait dengan Karbon-14 adalah 1,244 𝑥 10−4_{. Sebagai}

catatan, Carbon-14 adalah alat penting dalam penelitian arkeologi yang dikenal sebagai radiokarbon.

Contoh 4.3:

Sebuah isotop radioaktif memiliki waktu paruh 16 hari. Anda ingin memiliki 30 g setelah 30 hari. Berapa banyak radioisotop mula-mula?

Penyelesaian:

Ketika waktu paruh diberikan dalam satuan hari, kita akan mengukur waktu dalam hari. Misal N(t) adalah jumlah radioaktif pada waktu t dan jumlah radioaktif mula-mula adalah 𝑁₀. Maka kita punya

𝑁 𝑡 = 𝑁₀𝑒−𝜆𝑡

dimana λ adalah konstanta. Kita menggunakan waktu paruh 𝑇1

2 untuk menentukan λ. Kita memiliki 𝜆 = 1 𝑇1 2 ln 2 = 1 16ln 2 Oleh karena itu,

𝑁 30 = 30 = 𝑁₀𝑒−𝜆(30)

Kita peroleh

𝑁₀ = 30𝑒𝜆(30) _{= 30𝑒}30₁₆ln 2

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 23

3. Dinamika Populasi

Berikut adalah beberapa pertanyaan alam yang terkait dengan masalah populasi: • Bagaimana populasi penduduk suatu negara tertentu dalam sepuluh tahun?

• Bagaimana kita melindungi sumber daya dari kepunahan?

Untuk menggambarkan penggunaan persamaan diferensial sehubungan dengan masalah ini kita mempertimbangkan model matematika termudah yang ditawarkan untuk mengatur dinamika populasi dari suatu spesies tertentu. Hal ini biasa disebut model eksponensial, yaitu tingkat perubahan penduduk sebanding dengan populasi yang ada. Dengan kata lain, jika P(t) adalah tingkat populasi, kita tuliskan

𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝑘𝑃

dimana k adalah konstanta. Hal ini cukup mudah untuk melihat bahwa jika k > 0, maka terdapat pertumbuhan, dan sebaliknya jika k < 0. Ini adalah persamaan linier yang mempunyai pemecahan

𝑃 𝑡 = 𝑃₀𝑒−𝑘𝑡

dimana 𝑃₀ adalah populasi awal, misalkan 𝑃 0 = 𝑃₀. Oleh karena itu, kita simpulkan sebagai berikut:

• jika k > 0, maka populasi bertambah dan terus berkembang hingga tak terbatas, yaitu lim

𝑡→∞𝑃(𝑡) = +∞

• jika k < 0, maka penduduk akan menyusut dan cenderung 0. Dengan kata lain kita sedang menghadapi kepunahan.

Jelas, kasus pertama, k > 0, tidak memadai. Alasan utama untuk ini ada hubungannya dengan keterbatasan lingkungan. Pertumbuhan penduduk dibatasi oleh beberapa faktor. Ketika suatu populasi jauh dari batas, pertumbuhan itu dapat tumbuh dengan pesat. Namun, ketika mendekati batas-batasnya, ukuran populasi dapat berfluktuasi, bahkan berantakan. Model lain adalah diusulkan untuk memperbaiki cacat dalam model eksponensial. Hal ini disebut model logistik (disebut juga model Verhulst-Pearl). Persamaan diferensial untuk model ini adalah

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝑘𝑃 1 − 𝑃 𝑀

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 24 di mana M adalah ukuran pembatas populasi (juga disebut daya dukung). Jelas, bila P lebih kecil dibandingkan dengan M. Solusi konstan diperoleh jika P = 0 dan P = M. Solusi dapat diperoleh dengan memisahkan variabel

𝑑𝑃 𝑃 1 −_𝑀 𝑃 = 𝑘𝑑𝑡 dan integralkan 𝑑𝑃 𝑃 1 −_𝑀 𝑃 = 𝑘𝑑𝑡

teknik fraksi parsial memberikan 𝑑𝑃 𝑃 1 −_𝑀 𝑃 = 1 𝑃+ 1/𝑀 1 − 𝑃 𝑀 𝑑𝑃 yang memberikan ln |𝑃| − ln 1 − 𝑃 𝑀 = 𝑘𝑡 + 𝐶 dengan manipulasi aljabar diperoleh

𝑃

1 − 𝑃 𝑀 = 𝐶𝑒

𝑘𝑡_{, karena 𝑃 > 0 dan 𝑃/𝑀 < 1}

di mana C adalah konstanta. Penyelesaian untuk P, kita dapatkan

𝑃 = 𝑀𝐶𝑒

𝑘𝑡

𝑀 + 𝐶𝑒𝑘𝑡

Jika kita mempertimbangkan kondisi awal 𝑃 0 = 𝑃₀ (dengan asumsi bahwa 𝑃₀ tidak sama dengan baik 0 atau M), kita dapatkan

𝐶 = 𝑃0𝑀 𝑀 − 𝑃₀

yang, setelah diganti ke ekspresi untuk P(t) dan disederhanakan, kita peroleh

𝑃(𝑡) = 𝑀𝑃0

𝑃₀+ (𝑀 − 𝑃₀)𝑒−𝑘𝑡

Sangat mudah untuk melihat bahwa lim

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 25 Namun, hal ini masih belum memuaskan karena model ini tidak memberitahu kita ketika suatu populasi menghadapi kepunahan. Bahkan dimulai dengan populasi kecil akan selalu cenderung daya dukung M.

Latihan 4.2

1. Suatu populasi dimodelkan dengan persamaan diferensial 𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 1,2𝑃 1 − 𝑃 4200 a) Untuk nilai P berapakah populasi bertambah? b) Untuk nilai P berapakah populasi berkurang? c) Bagaimana solusi kesetimbangannya?

2. Suatu larutan glukosa disalurkan ke dalam aliran darah dengan laju konstan r. pada saat glukosa ditambahkan, glukosa tersebut diubah menjadi zat lain dan dibuang dari aliran darah dengan laju sebanding dengan konsentrasinya pada saat itu. Jadi, model untuk konsentrasi larutan glukosa C = C(t) dalam aliran darah adalah

𝑑𝐶

𝑑𝑡 = 𝑟 − 𝑘𝐶

dengan k konstanta positif. Misalkan konsentrasi pada saat t = 0 adalah C0.

Tentukan konsentrasi pada waktu t dengan menyelesaikan persamaan diferensial di atas.

3. Hukum Pendinginan Newton menyatakan bahwa laju pendinginan suatu benda sebanding dengan selisih suhu benda dan suhu sekitarnya. Misalkan seekor ayam panggang dikeluarkan dari oven ketika suhunya telah mencapai 185 oF dan ditempatkan di atas meja dalam ruang bersuhu 75 oF. Jika u(t) adalah suhu ayam setelah t menit, maka Hukum Pendinginan Newton mengimplikasikan

𝑑𝑢

𝑑𝑡 = 𝑘(𝑢 − 75)

a) Carilah penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut.

b) Jika suhu ayam adalah 150 oF setelah setengah jam, berapakah suhunya setelah 45 menit?

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 26 4. Percobaan kimia menunjukaan bahwa jika reaksi kimia

N₂O₅ → 2NO₂+1 2O2

berlangsung pada 45 oC, laju reaksi dinitrogen pentoksida sebanding dengan konsentrasinya sebagai berikut:

−𝑑[N2O5]

𝑑𝑡 = 0,0005[N2O5]

a) Tentukan rumus untuk konsentrasi [N₂O₅] setelah t detik jika konsentrasi awalnya adalah C.

b) Berapa lama reaksi akan berlangsung untuk mereduksi konsentrasi N₂O₅ hingga menjadi 90% dari nilai awalnya?

5. Laju perubahan tekanan atmosfer P terhadap ketinggian h sebanding dengan P, selama suhunya konstan. Pada suhu 15 oC tekanannya adalah 101,3 kPa pada permukaan laut dan 87,14 kPa pada h = 1000 m.

a) Berapa tekanan pada ketinggian 3000 m?

b) Berapa tekanan di puncak gunung McKinley, pada ketinggian 6187 m?

6. Setelah 3 hari suatu sampel radon-222 meluruh hingga 58% dari massa awalnya. a) Berapa waktu-paruh radon-222 ?

b) Berapa lama diperlukan oleh sampel tersebut untuk meluruh hingga 10% dan massa awalnya?

7. Ilmuan dapat menentukan umur benda kuno dengan metode yang disebut penentu waktu radiokarbon. Penghantaman atmosfer bagian atas oleh sinar kosmik mengubah nitrogen menjadi isotop radioaktif karbon, 14C, dengan waktu-paruh sekitar 5730 tahun. Sayuran menyerap karbon dioksida melalui atmosfer dan hewan mengasimilasi 14C melalui rantai makanan. Ketika tanaman atau hewan mati, ia berhenti mengganti karbonnya dan banyaknya 14C mulai menurun melalui peluruhan radioaktif. Jadi, tingkat keradioaktifan pun akan meluruh secara eksponensial. Suatu tragmen naskah kuno ditemukan mempunyai sekitar 74% dari keradioaktifan 14C yang dimiliki tanaman di bumi saat ini. Perkirakan umur naskah tersebut.

Disusun oleh Ainul Yaqin/G74080001 27 8. Tinjau populasi P = P(t) dengan laju kelahiran dan kematian relatif berturut-turut

α dan β, dan laju emigrasi konstan sebesar m, dengan α, β, dan m konstanta positif. Asumsikan bahwa α > β. Maka laju perubahan populasi pada saat t dimodelkan oleh persamaan diferensial

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 𝑘𝑃 − 𝑚 di mana 𝑘 = 𝛼 − 𝛽

a) Tentukan solusi dari persamaan ini yang memenuhi syarat awal P(0) = P0.

b) Apa syarat untuk m yang akan menyebabkan: (i) populasi konstan? (ii) penurunan populasi?

c) Pada tahun 1847, populasi Irlandia adalah sekitar 8 juta dan selisih antara laju kelahiran dan kematian relatif adalah 1,6% dari populasi. Karena kelaparan kentang pada tahun 1840-an dan 1850-an, sekitar 210.000 penduduk per tahun beremigrasi dari Irlandia. Apakah populasi bertambah atau berkurang pada saat itu?