• Tidak ada hasil yang ditemukan

Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1"

Copied!
14
0
0

Teks penuh

(1)

IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.

1. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0).

2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola yang berpusat di (h, k).

3. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) di luar hiperbola. 4. Dapat menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang bergradien m.

Garis singgung hiperbola merupakan suatu garis yang menyinggung hiperbola. Ada tiga jenis persamaan garis singgung hiperbola, yaitu persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola, persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) di luar hiperbola, dan persamaan garis singgung hiperbola yang bergradien m.

A. Persamaan Garis Singgung di Titik (x

1

, y

1

) pada Hiperbola yang Berpusat

di (0, 0)

Untuk menentukan persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0), perhatikan gambar berikut!

matematika

K-13

XI

K

e

l

a

s

(2)

2

o

y

x

(x1, y1)

R

S

(x1 + P, y1 + q)

Diketahui bahwa persamaan hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) adalah:

x a y b 2 2 2 2 = 1 −

Jika R(x1, y1) merupakan sembarang titik yang terletak pada hiperbola, maka berlaku:

x a y b 12 2 12 2 = 1 −

Jika S(x1 + p, y1 + q) juga merupakan sembarang titik yang terletak pada hiperbola, maka berlaku: x p a y q b x x p p a y y q q b x 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2 12 1 2 2 1 + + = 1 + 2 + + 2 + = 1

(

) (

)

(

) (

)

− ⇔ − ⇔ 222 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 +2 + 2 + = 1 1+2 + 2 + = 1 2 a y b x p p a y q q b x p p a y q q b − − ⇔ − ⇔ xx p p a y q q b p x p a q y q b q p b a x p y 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 + =2 + 2 + = 2 + = 2 + 2 + ⇔ ⇔

(

)

(

)

qq      

(3)

3

m y q y x p x m q p m b a x p y q = + + = = 2 + 2 + 1 1 1 1 2 2 1 1 − − ⇔ ⇔      

Gradien garis singgung dapat diperoleh jika p mendekati 0 (p → 0) dan q mendekati nol (q → 0). m b a x p y q b x a y garis singgung p q = lim 2 + 2 + = 0 0 2 2 1 1 2 1 2 1 → →      

Dengan demikian, persamaan garis singgung di (x1, y1) adalah sebagai berikut.

y y m x x y y b a y x x a y y a y garis singgung − − ⇔ − − ⇔ − 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 12 = = x

(

)

(

)

== = = 2 1 2 12 2 1 2 1 2 12 2 12 2 1 2 2 2 1 2 2 b x x b x b x x a y y b x a y b x x a b a y y a b − ⇔ − − ⇔ − bb x a b a y a b x x a y y b x a y b 2 12 2 2 2 12 2 2 1 2 1 2 12 2 12 2 = − ⇔ − −

Oleh karena nilai x

a y b 12 2 12 2 = 1

− , maka persamaan garis singgungnya menjadi:

x x a y y b x a y b x x a y y b 1 2 1 2 12 2 12 2 1 2 1 2 = = 1 − − ⇔ −

Jadi, persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) adalah sebagai berikut.

x x a y y b 1 2 − 12 = 1

(4)

4

Dengan cara yang sama, diperoleh persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola vertikal yang berpusat di (0, 0) sebagai berikut.

y y a x x b 1 2 1 2 = 1 −

Contoh Soal 1

Persamaan garis singgung hiperbola x2 y2

6 −10= 1 di titik 3, 5

( )

adalah ....

Pembahasan:

Tentukan dahulu posisi titik terhadap hiperbola. Dengan mensubstitusikan titik 3, 5

( )

ke persamaan hiperbola, diperoleh:

3 6 5 10 = 3 2 1 2= 1= 1 2 2 −

( )

Oleh karena 1 = 1, maka titik 3, 5

( )

terletak pada hiperbola.

Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgung di (x1,y1) = 3, 5

( )

dengan rumus berikut.

x x a y y b x y x y x y 1 2 12 = 1 3 6 5 10 = 1 1 2 5 10 = 1 5 5 = 10 − ⇔ − ⇔ − ⇔ −

Jadi, persamaan garis singgung hiperbola x2 y2

6 −10= 1 di titik 3, 5

( )

adalah x x a y y b x y x y x y 1 2 12 = 1 3 6 5 10 = 1 1 2 5 10 = 1 5 5 = 10 − ⇔ − ⇔ − ⇔ − .

Contoh Soal 2

Persamaan garis singgung hiperbola y2 – 5x2 = 20 di titik (1, 5) adalah ....

Pembahasan:

Tentukan dahulu posisi titik terhadap hiperbola. Dengan substitusi titik (1, 5) ke persamaan hiperbola, diperoleh:

(5)

5

Oleh karena 20 = 20, maka titik (1, 5) terletak pada hiperbola.

Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgung di (x1, y1) = (1, 5) dengan formula bagi adil berikut.

y1y – 5x1x = 20

⇔ 5y – 5x = 20 ⇔ y – x = 4 ⇔ x – y = –4

Jadi, persamaan garis singgung hiperbola y2 – 5x2 = 20 di titik (1, 5) adalah x – y = –4.

B. Persamaan Garis Singgung di Titik (x

1

, y

1

) pada Hiperbola yang Berpusat

di (h, k)

Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola yang berpusat di (h, k) didapat dari konsep pergeseran grafi k. Untuk hiperbola horizontal yang berbentuk

x h a y k b − − −

(

) (

2

)

2 2

2 = 1, persamaan garis singgungnya di titik (x1, y1) adalah sebagai berikut.

x h x h a y k y k b 1 2 1 2 ( ) = 1 − − − − −

(

)

(

)(

)

Sementara itu, untuk hiperbola vertikal yang berbentuk y k

a x h b − − −

(

) (

2

)

2 2 2 = 1,

persamaan garis singgungnya di titik (x1, y1) adalah sebagai berikut.

y k y k a x h x h b 1 2 1 2 ( ) = 1 − − − − −

(

)

(

)(

)

Contoh Soal 3

Persamaan garis singgung hiperbola 16x2 –4y2 + 32x – 8y – 36 = 0 di titik (1, 1) adalah ....

Pembahasan:

Tentukan dahulu posisi titik terhadap hiperbola. Dengan substitusi titik (1, 1) ke persamaan hiperbola, diperoleh:

16(1)2 – 4(1)2 + 32(1) – 8(1) – 36 = 0 = 0

Oleh karena 0 = 0, maka titik (1, 1) terletak pada hiperbola.

(6)

6

16 4 + 32 8 36 = 0 16 + 32 4 8 = 36 16 + 2 4 + 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x x y y x x y y − − − ⇔ − − ⇔

(

) (

)

== 36 16 +1 1 4 +1 1 = 36 16 +1 16 4 +1 + 4 = 36 2 2 2 2 ⇔ − − − ⇔ − − ⇔ x y x y

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

116 +1 4 +1 = 48 16 +1 48 4 +1 48 = 48 48 +1 3 +1 2 2 2 2 2 x y x y x y

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

− ⇔ − ⇔ −

((

)

2 12 = 1

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya di (x1, y1) = (1, 1) adalah sebagai berikut.

⇔ − ⇔ − ⇔ x x x y y y 1+1 +1 1 3 +1 +1 12 = 1 +1 +1 3 1+1 +1 12 = 1 2 1

(

)(

) (

)(

)

( )(

) ( )(

)

xx x x x y y y y +1 3 2 +1 12 = 1 4 +1 +1 = 6 4 + 4 1= 6 4 3 = 0

(

) (

)

(

) (

)

− ⇔ − ⇔ − − ⇔ − −

Selain cara tersebut, ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola dari persamaan umumnya. Caranya adalah menggunakan rumus bagi adil. Rumus bagi adil diperoleh dengan mengubah bentuk variabel pada persamaan umum hiperbola dengan ketentuan berikut.

1. x2 ⇒ x 1x 2. y2 ⇒ y 1y 3. xx1+x 2 4. yy1+y 2

(7)

7

titik, persamaan garis singgung hiperbola 16x2 –4y2 + 32x – 8y – 36 = 0 dapat dinyatakan dengan rumus bagi adil berikut.

16 4 + 32 + 2 8 + 2 36 = 0 16 1 4 1 +16 1 1 1 1 x x y y x x y y x y − − − ⇔ −        

( )

( )

11 + 4 1 + 36 = 0 16 4 +16 +16 4 4 36 = 0 32 8 24 = 0

( )

(

x

)

(

( )

y

)

x y x y x y − − ⇔ − − − − ⇔ − − ⇔ ⇔ 4x y− −3 = 0

Jadi, persamaan garis singgung hiperbola 16x2 –4y2 + 32x – 8y – 36 = 0 di titik (1, 1) adalah 4x – y – 3 = 0.

C. Persamaan Garis Singgung yang Melalui Titik (x

1

, y

1

) di Luar Hiperbola

Persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) di luar hiperbola tidak memiliki formula khusus. Untuk menentukan persamaan garis singgungnya, perhatikan dahulu gambar berikut.

o

y

x

R

(x, y) gar is singgung 2 gar is singgung 1

Titik R merupakan titik di luar hiperbola. Dari titik R, dapat ditarik dua buah garis singgung hiperbola. Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik R adalah sebagai berikut.

1. Subtitusikan titik (x1, y1) ke persamaan garis y = mx + n, kemudian nyatakan n dalam m. 2. Subtitusikan persamaan garis tersebut pada hiperbola yang diketahui, kemudian

bentuk menjadi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

3. Gunakan syarat garis menyinggung kurva, yaitu D = 0 atau b2 – 4ac = 0 untuk mencari nilai m.

(8)

8

Contoh Soal 4

Persamaan garis singgung kurva x2 – 6y2 = 3 di titik (0, 1) adalah ....

Pembahasan:

Tentukan dahulu posisi titik terhadap hiperbola. Dengan mensubstitusikan titik (0, 1) ke persamaan hiperbola, diperoleh:

02 – 6(1)2 = –6 ≠ 3

Oleh karena –6 ≠ 3 maka titik (0, 1) terletak di luar hiperbola.

Selanjutnya, tentukan persamaan garis singgungnya dengan langkah-langkah berikut. Misalkan persamaan garis singgungnya adalah y = mx + n.

Subtitusikan titik (0, 1) ke persamaan garis singgung tersebut sehingga diperoleh:

y = mx + n

⇔ 1 = m(0) + n ⇔ n = 1

Dengan demikian, persamaan garis singgungnya menjadi y = mx + 1.

Subtitusikan persamaan y = mx + 1 ke persamaan hiperbola x2 – 6y2 = 3 sehingga diperoleh:

x mx x m x mx x m x mx m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 +1 = 3 6 + 2 +1 = 3 6 2 6 = 3 1 6 1 − ⇔ − ⇔ − − − ⇔ −

(

)

(

)

(

)

xx2−12mx−9 = 0

Persamaan kuadrat tersebut memiliki nilai a = 1 – 6m2, b = –12m, dan c = –9. Dengan menggunakan syarat garis menyinggung kurva, diperoleh:

D b ac m m m m m = 0 4 = 0 12 4 1 6 9 = 0 144 + 36 216 = 0 72 = 2 2 2 2 2 2 ⇔ − ⇔ − − − − ⇔ − ⇔

(

)

(

)

( )

336 =36 72 = 1 2 2 2 ⇔ ⇔ ± m m D b ac m m m m m = 0 4 = 0 12 4 1 6 9 = 0 144 + 36 216 = 0 72 = 2 2 2 2 2 2 ⇔ − ⇔ − − − − ⇔ − ⇔

(

)

(

)

( )

336 =36 72 = 1 2 2 2 ⇔ ⇔ ± m m

(9)

9

Untuk m = 1 2 2 : y= 1 x 2 2 +1 Untuk m = −1 2 2 : y= 1 x 2 2 +1 −

Jadi, persamaan garis singgung kurva x2 – 6y2 = 3 di titik (0, 1) adalah y=1 x

2 2 +1 dan

y= 1 x

2 2 +1

− .

D. Persamaan Garis Singgung Hiperbola yang Bergradien m

Pada hiperbola horizontal yang berpusat di (0, 0) atau x

a y b 2 2 2 2 = 1

− , dapat dibuat garis singgung bergradien m, misal y = mx + n. Untuk mendapatkan nilai n, subtitusikan garis

y = mx + n ke persamaan hiperbola, sehingga diperoleh: x a y b x a mx n b b x a m x mnx n a b b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 − = ⇔ −

(

+

)

= ⇔ −

(

+ +

)

= ⇔ xx a m x a mnx a n a b b a m x a mnx a n a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − = ⇔

(

)

− −

(

+

)

== 0

Persamaan kuadrat tersebut memiliki nilai a = b2 – a2m2, b = –2a2mn, dan c = –(a2n2 + a2b2). Dengan menggunakan syarat garis menyinggung kurva, diperoleh:

D b ac a mn b a m a n a b a mn = 0 4 = 0 2 4 + 2 = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ − ⇔ − − − − ⇔ −

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 4 + = 0 4 + 4 + − − − ⇔ − − b a m a n a b a m n a b n a b a m n

(

)

(

(

)

)

aa m b a m n a b n a b a m n a m b a b n 4 4 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 0 4 + 4 + 4 4 4 = 0 4

(

)

⇔ − − ⇔ 22 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 + 4 4 = 0 4 + = 0 a b a m b a b n b a m − ⇔

(

)

D b ac a mn b a m a n a b a mn = 0 4 = 0 2 4 + 2 = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ − ⇔ − − − − ⇔ −

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 4 + = 0 4 + 4 + − − − ⇔ − − b a m a n a b a m n a b n a b a m n

(

)

(

(

)

)

aa m b a m n a b n a b a m n a m b a b n 4 4 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 0 4 + 4 + 4 4 4 = 0 4

(

)

⇔ − − ⇔ 22 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 + 4 4 = 0 4 + = 0 a b a m b a b n b a m − ⇔

(

)

(10)

10

Super "Solusi Quipper"

Faktor penghasil nol yang mungkin adalah sebagai berikut.

n n n b a m a m b a m b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 + − = ⇔ = − ⇔ = ± −

Dengan demikian, persamaan garis singgung hiperbola horizontal x

a y b 2 2 2 2 = 1 − yang

bergradien m dapat dinyatakan sebagai berikut.

y mx= ± a m2 2b2

Dengan cara yang sama, diperoleh persamaan garis singgung hiperbola vertikal

y a x b 2 2 2 2 = 1

yang bergradien m sebagai berikut.

y mx= ± a2b m2 2

Persamaan garis singgung hiperbola yang bergradien m adalah y = mx + n. Untuk x a y b 2 2 2 2 = 1 − , berlaku n = x y m a b 2 2 2 2 2 = 1 − − Untuk y a x b 2 2 2 2 = 1 − , berlaku n = y x a b m 2 2 2 2 2 = 1 − −

Selalu tempatkan m2 di bawah x2.

Contoh Soal 5

Persamaan garis singgung hiperbola 16x2 – 5y2 = 80 yang memiliki gradien 4 adalah ....

Pembahasan:

Mula-mula, ubah dahulu persamaan umum hiperbola tersebut ke dalam bentuk rumus umumnya.

(11)

11

16 5 = 80 16 80 5 80 = 80 80 5 16 = 1 2 2 2 2 2 2 x y x y x y − ⇔ − ⇔ −

Dari bentuk tersebut, diketahui nilai a2 = 5 dan b2 = 16. Dengan demikian, persamaan garis singgung x2 y2

5 −16 = 1 dengan gradien m = 4 adalah sebagai berikut. y mx a m b y x y x y x = = 4 5.4 16 = 4 64 = 4 8 2 2 2 2 ± − ⇔ ± − ⇔ ± ⇔ ±

Jadi, persamaan garis singgung hiperbola 16x2 – 5y2 = 80 yang memiliki gradien 4 adalah

y = 4x ± 8.

Contoh Soal 6

Persamaan garis singgung hiperbola y2 x2

36 80− = 1 yang sejajar dengan garis x – 2y = 10 adalah ....

Pembahasan:

Dari persamaan hiperbola y2 x2

36 80− = 1, diketahui nilai a

2 = 36 dan b2 = 80. Garis x – 2y = 10 atau y= 1x

2 − memiliki gradien 15 2.

Oleh karena garis singgung hiperbola sejajar dengan garis tersebut, maka gradien garis singgungnya adalah m = 1

2.

Dengan demikian, persamaan garis singgung y2 x2

36 80− = 1 dengan gradien m = 1 2 adalah sebagai berikut. y mx a b m y x y x y x = =1 2 36 80 1 4 =1 2 16 =1 2 4 2 2 2 ± − ⇔ ± − ⇔ ± ⇔ ±    

(12)

12

Persamaan garis singgung pertama:

y= 1x x y

2 + 4 atau −2 + 8 = 0 Persamaan garis singgung kedua:

y= 1x x y

2 −4 atau −2 −8 = 0

Jadi, persamaan garis singgung hiperbola y2 x2

36 80− = 1 yang sejajar dengan garis

x – 2y = 10 adalah x – 2y + 8 = 0 dan x – 2y – 8 = 0.

Kamu telah memahami persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di (0, 0) dengan gradien m. Sekarang mari kita belajar persamaan garis singgung hiperbola yang berpusat di (h, k) dengan gradien m. Persamaan garis singgung hiperbola horizontal

x h a y k b − − −

(

) (

2

)

2 2

2 = 1 yang bergradien m dapat dinyatakan sebagai berikut. y k m x h− =

(

− ±

)

a m2 2 −b2

Sementara itu, persamaan garis singgung hiperbola vertikal y k

a x h b − − −

(

) (

2

)

2 2 2 = 1

yang bergradien m adalah sebagai berikut.

y k m x h− =

(

− ±

)

a2−b m2 2

Contoh Soal 7

Persamaan garis singgung hiperbola x2 – 3y2 – 2x – 6y – 8 = 0 yang membentuk sudut 60o terhadap sumbu-X positif adalah ....

Pembahasan:

Mula-mula, tentukan gradiennya. Gradien garis singgung hiperbola yang membentuk sudut 60o terhadap sumbu-X positif adalah sebagai berikut.

m = tan α

⇔ m = tan 60o ⇔ m = 3

(13)

13

x y x y x x y y x x y y x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 6 8 = 0 2 3 6 = 8 2 3 2 = 8 1 1 + − − − − ⇔ − − − ⇔ − − ⇔ − − −

(

)

(

)

33 +1 + 3 = 8 1 3 +1 = 6 1 6 +1 2 = 1 2 2 2 2 2 y x y x y

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

⇔ − − ⇔ − −

Dari bentuk tersebut, diketahui nilai a2= 6, b2 = 2, dan (h, k) = (1, –1). Dengan demikian, persamaan garis singgung x−1 − y

6

+1

2 = 1

2 2

(

) (

)

dengan gradien

m = 3 adalah sebagai berikut. y k m x h a m b y x y x − − ± − ⇔ − ± × − ⇔ − ± = +1= 3 1 6 3 2 +1= 3 3 4 2 2 2 2

(

)

(

)

( )

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y= 3x− 3 + 3 dan = 3y x− 3 5 − .

Contoh Soal 8

Persamaan garis singgung hiperbola y2 – 10x2 + 4y + 20x – 46 = 0 yang tegak lurus dengan garis x + 3y = 10 adalah ....

Pembahasan:

Mula-mula, ubah dahulu persamaan umum hiperbola tersebut ke dalam bentuk rumus umumnya. y x y x y y x x y y x x y 2 2 2 2 2 2 10 + 4 + 20 46 = 0 + 4 10 + 20 = 46 + 4 10 2 = 46 − − ⇔ − ⇔ − − ⇔

(

)

++ 2 4 10 1 1 = 46 + 2 10 1 = 40 + 2 40 10 1 2 2 2 2 2

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

− − − − ⇔ − − ⇔ − − x y x y

((

x

)

(

) (

)

2 2 2 40 = 40 40 + 2 40 1 4 = 1 ⇔ yx

(14)

14

Dari bentuk tersebut, diketahui nilai (h, k) = (1, –2), a2 = 40, dan b2 = 4. Garis x + 3y = 10 atau y= 1x 3 + 10 3 − memiliki gradien −1 3.

Oleh karena garis singgung hiperbola tegak lurus dengan garis tersebut, maka gradien garis singgungnya adalah m =

− 1 1 3 = 3.    

Dengan demikian, persamaan garis singgung y+ 2 x 40

1

4 = 1

2 2

(

) (

)

dengan gradien 3 adalah sebagai berikut.

y k m x a b m y x y x y x − − ± − ⇔ − ± − ⇔ − ± ⇔ − ± = h + 2 = 3 1 40 4 3 + 2 = 3 3 4 = 3 5 2 2 2 2 2

(

)

(

)

Referensi

Dokumen terkait