PEWARNAAN GRAF PADA PETA MENGGUNAKAN ALGORITMA GREEDY (Studi Kasus : Peta Provinsi DKI Jakarta) Khairul Irsal

(1)

PEWARNAAN GRAF PADA PETA MENGGUNAKAN

ALGORITMA GREEDY

(Studi Kasus : Peta Provinsi DKI Jakarta)

Khairul Irsal

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2017 M / 1438 H

(2)

PEWARNAAN GRAF PADA PETA MENGGUNAKAN

ALGORITMA GREEDY

(Studi Kasus : Peta Provinsi DKI Jakarta)

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta

Oleh:

Khairul Irsal

1112094000004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2017 M / 1438 H

(3)

i

LEMBAR PENGESAHAN

Skripsi berjudul “Pewarnaan Graf pada Peta Menggunakan Algoritma Greedy (Studi Kasus : Peta Provinsi DKI Jakarta)” yang ditulis oleh Khairul Irsal, NIM 1112094000004 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam sidang munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari senin, 16 Januari 2017. Skripsi ini telah diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana Strata Satu (S1) Program Studi Matematika.

Menyetujui, Pembimbing I

Dr. Nur Inayah, M.Si NIP. 19740125 200312 2 001

Pembimbing II

Yanne Irene, M.Si NIP. 19741231 200501 2 018

Penguji I

Irma Fauziah, M.Sc NIP. 19800703 201101 2 005

Penguji II

Budi Harianto, M.Si

Mengetahui, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

Dr. Agus Salim, M.Si NIP. 19720816 199903 1 003

Ketua Program Studi Matematika

Dr. Nina Fitriyati, M.Kom NIP. 19760414 200604 2 001

(4)

ii

PERNYATAAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.

Jakarta, Januari 2017

Khairul Irsal NIM.1112094000004

(5)

iii

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk mereka

yang senantiasa memberikan kasih sayang tiada

henti dan semua hal yang tidak akan dapat dibalas

(6)

iv

MOTTO

“ Tidak ada suatu rezeki yang Allah SWT berikan pada seseorang hamba yang lebih luas baginya

dari pada Sabar” (HR.Al-Hakim)

“ Berikan Satu Kebaikan

Kepada Setiap Sesama Ciptaannya, Terus Sampai Terjadi Deretan Kebaikan di Antara Kalian Tanpa Ada Kata Penyesalan”

(7)

v

ABSTRAK

Skripsi ini membahas masalah pewarnaan graf pada peta Provinsi DKI Jakarta menggunakan algoritma greedy. Algoritma merupakan prosedur yang tepat untuk memecahkan masalah menggunakan bantuan computer serta bahasa program tertentu. Algoritma greedy merupakan salah satu bentuk algoritma yang berkembang pada saat ini dalam persoalan optimasi dengan membentuk solusi langkah perlangkah. Pewarnaan graf merupakan masalah yang dapat diselesaikan menggunakan algoritma greedy. Solusi terbaik dalam pewarnaan graf adalah dengan menentukan bilangan kromatik 𝜒(𝐺) menggunakan algortima greedy, maka dengan algoritma greedy dapat dilakukan pewarnaan graf pada peta dengan hanya menggunakan jenis warna seminimal mungkin tanpa adanya wilayah yang saling berbatasan menggunakan warna yang sama. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh jumlah warna minimum pada pewarnaan peta Provinsi DKI Jakarta adalah 4 jenis warna.

Kata Kunci: graf, pewarnaan graf, pewarnaan peta, bilangan kromatik, algoritma

(8)

vi

ABSTRACT

In this research discusses about the coloring graph on a map of Jakarta using a greedy algorithm . The algorithm is the proper procedure to solve the problem using computer assistance and language specific program. Greedy algorithm is one of the developed algorithms at this time in the optimization problem by forming a solution. Graph coloring is the thing that can be solved using a greedy algorithm. The best solution in the coloring of a graph is to determine the chromatic number using a greedy algorithm, then the greedy algorithm to do coloring of a graph on a map using only the types of colors to a minimum in the absence of adjacent areas using the same color. Based on result obtained minimum amount color in coloring the map of Jakarta are 4 kinds of colors.

Keywords: graph, graph coloring, coloring maps, chromatic number, greedy

(9)

vii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala curahan rahmat dan hidayah-Nya. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, para sahabat, keluarga, serta muslimin dan muslimat. Semoga kita mendapat syafa’at oleh Nabi Muhammad di akhirat kelak. Aamiin.

Penyusunan skripsi ini dapat terselesaikan atas kerjasama dan bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom, selaku Ketua Program Studi Matematika. 3. Ibu Irma Fauziah, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Matematika serta

Pembimbing Akademik.

4. Ibu Dr. Nur Inayah, M.Si, selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Yanne Irene, M.Si, selaku Dosen Pembingbing II yang senantiasa memberikan waktu, pengarahan dan saran-saran dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Seluruh Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu-ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat.

6. Kedua orang tua penulis, Bapak Ibrohim dan Ibu Rusmiyati S.Ag yang senantiasa tak henti-henti memotivasi dan memberikan suport do’a, moril dan materil kepada penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

7. Nisa Amalia adik penulis yang senantiasa memberikan do’a dan suport moril kepada punulis.

8. Alvina Rahmawati, Atikah, Aisyah Nurahmah, Novi Nur Prasetyaningrum, Delima Nabila Cahyani, dan Irvan Maulana sebagai anggota geng graf yang selalu “siap” dan saling menyemangati.

9. Pria-Pria Sabeb Math’12 Ilham Taufik, Ahmad Maulana, M.Hafizh Furqon, Gustiawan Arum, Reihan Farizky, Zaenudin, Aufar Aulia Al-G,

(10)

viii

Ikhwal Yupinto, M. Lutfi Khadafi, Fadil, Fadhly, Bryan, Atho dan Arya, yang selalu siap menerima curahan hati, memotivasi, dan membantu selama masa perkuliahan.

10. Para Perempuan Math’12 Nurahmah Fadhilah Rahayu, Ghina Rosalia Firdausi, Khoerunnisa, Betpa Adani, Nurul Fahma Laila, Siti Lina Fusha, Novia Sari, Eka Putri Machfudhoh, Dwi Hartini, Rizki Dirgantari, Fitri Yani, Nadhira, dan Ayu atas kekeluargaan dan kerjasamanya selama perkuliahan walaupun sering tidak akur sama poin nomor 10.

11. Keluarga besar Futsal UIN Jakarta atas cerita yang telah tercipta dan sukses memperlambat masa studi penulis.

12. Keluarga besar HIMATIKA UIN Jakarta atas kerjasamanya selama masa berorganisasi terkhusus Math’11, Math’13, dan Math’14.

13. Kak Edo Abdullah Faqih atas segala bantuannya baik didalam maupun diluar ELC, serta Haris Hamzah, Jefri Afriyanto, Muharman, Afo Rakaiwa, Irvan Septiar, Tyo Prasetyo dan Ardi yang selalu bersedia ditanyakan hal tentang kelulusan (tergolong pria-pria sabeb Futsal Tua). 14. Kak Tarsidi yang telah membantu banyak dalam pengerjaan skripsi ini. 15. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam mengerjakan skripsi ini

yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.

Penulis memohon maaf atas segala kesalahan yang kurang berkenan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun untuk perbaikan di masa yang akan datang dan dapat disampaikan langsung melalui email [email protected]. Terakhir, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Aamiin.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Jakarta, Januari 2017 Penulis

Khairul Irsal 1112094000004

(11)

ix

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN ...i

PERNYATAAN ... ii

PERSEMBAHAN ... iii

MOTTO ... iv

ABSTRAK ... v

ABSTRACT ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... ix DAFTAR GAMBAR ... xi BAB I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Perumusan Masalah ... 3 1.3 Pembatasan Masalah ... 3 1.4 Tujuan Penelitian ... 3 1.5 Manfaat Penelitian ... 3

BAB II LANDASAN TEORI ... 4

2.1 Definisi Graf ... 4

2.2 Jenis-jenis Graf ... 4

2.3 Terminologi Graf ... 5

2.4 Graf Planar ... 7

2.5 Graf Dual ... 8

2.6 Representasi Graf pada Matriks ... 10

2.7 Pewarnaan Graf ... 11

2.8 Pewarnaan Peta ... 12

2.9 Algoritma Greedy ... 13

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 16

3.1 Mempelajari Teori Dasar ... 16

3.2 Mempelajari Artikel Terkait ... 16

3.3 Metode Pengumpulan Data ... 16

3.4 Analisis Pewarnaan Graf Menggunakan Algoritma Greedy ... 16

(12)

x

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 19

4.1 Wilayah Provinsi DKI Jakarta ... 19

4.2 Representasi Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta ke Dalam Bentuk Graf ... 21

4.3 Graf Dual dari Peta Provinsi DKI Jakarta ... 23

4.4 Membentuk Matriks Ketetanggaan Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta ... 25

4.5 Menentukan Derajat Setiap Titik pada Graf Dual Peta DKI Jakarta ... 25

4.6 Pewarnaan Peta pada Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta Menggunakan Algoritma Greedy ... 26

4.6.1 Pewarnaan Peta Kasus 1 ... 26

4.6.1 Pewarnaan Peta Kasus 2 ... 58

4.7 Menentukan Jumlah Warna Minimum Peta Provinsi DKI Jakarta ... 91

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 96

5.1 Kesimpulan ... 96

5.2 Saran... 96

REFRENSI ... 97 LAMPIRAN

(13)

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf 𝐺 ... 4

Gambar 2.2 (a) Graf Sederhana dan (b) Graf tak Sederhana ... 5

Gambar 2.3 (a) Graf Berarah dan (b) Graf tak Berarah ... 5

Gambar 2.4 Graf 𝐺 ... 6

Gambar 2.5 (a) Graf Terhubung dan (b) Graf tak Terhubung ... 7

Gambar 2.6 (a) Graf Planar dan (b) Graf Bidang... 8

Gambar 2.7 (a) Graf Bidang dan (b) Graf dual 𝐺∗ ... 9

Gambar 2.8 Graf Dual dari Peta... 9

Gambar 2.9 Pewarnaan Titik pada Graf 𝐺 ... 11

Gambar 2.10 Pewarnaan Sisi pada Graf 𝐺 ... 12

Gambar 2.11 Pewarnaan Wilayah pada Graf 𝐺 ... 12

Gambar 3.1 Flowchart Pewarnaan Graf Menggunakan Algoritma Greedy ... 17

Gambar 3.2 Flowchart Alur Penulisan ... 18

Gambar 4.1 Peta Wilayah Kecamatan di Kota Madya DKI Jakarta ... 20

Gambar 4.2 Representasi Peta Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta ... 22

Gambar 4.3 Graf Dual Peta Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta .. 23

Gambar 4.4 Pewarnaan pada 𝑣11 Menggunakan Warna Merah ... 28

Gambar 4.6 Pewarnaan pada 𝑣15 Menggunakan Warna Kuning ... 30

Gambar 4.11 Pewarnaan pada 𝑣10 Menggunakan Warna Hijau ... 33

Gambar 4.13 Pewarnaan pada 𝑣18 MenggunakanWarna Kuning ... 35

(14)

xii

Gambar 4.18 Pewarnaan pada 𝑣6 Menggunakan Warna Biru ... 38

(15)

xiii

Gambar 4.55 Pewarnaan pada 𝑣20 MenggunakanWarna Kuning ... 67

(16)

xiv

Gambar 4.88 Pewarnaan pada Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta ... 92

(17)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Seiring dengan perkembangan zaman dan teknologi, dewasa ini membutuhkan peranan matematika sebagai dasar dari perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan demikian, hampir dapat dipastikan bahwa setiap bagian dari ilmu pengetahuan dan teknologi, baik ilmu murni maupun ilmu terapan akan memerlukan peran matematika sebagai ilmu bantunya. Salah satu bagian dari matematika dalam aplikasi kehidupan sehari-hari adalah teori graf.

Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonard Euler pada tahun 1736 ketika dihadapkan pada kasus empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan yang harus dilewati. Euler mengemukakan bahwa orang tidak mungkin melewati ketujuh jembatan tersebut masing-masing satu kali dan kembali lagi ke tempat semula jika derajat tiap titik tidak seluruhnya genap. Apabila sebuah graf dapat dilalui setiap sisinya masing-masing satu kali dan kembali lagi ke tempat semula, maka graf tersebut dikatakan memiliki sirkuit Euler.

Ilmu teori graf dapat diterapkan dalam berbagai bidang ilmu seperti masalah pemetaan, transportasi, jaringan komunikasi, riset operasi, dan lain sebagainya. Teori-teori mengenai graf ini telah banyak dikembangkan dengan berbagai algoritma yang memiliki kelebihan dan kelemahan masing-masing dalam meyelesaikan kasusnya. Permasalahan pewarnaan graf (graph coloring problem) merupkan salah satu persoalan yang terkenal dalam Teori Graf.

Banyak permasalahan yang mempunyai karakteristik seperti pewarnaan graf, sehingga menjadikan pewarnaan graf ini menarik untuk dipelajari lebih dalam. Masalah pewarnaan didalam graf memiliki banyak variasi dengan tipe yang berbeda. Pewarnaan graf dibagi dalam tiga bagian, yaitu pewarnaan titik pewarnaan sisi dan pewarnaan wilayah [6]. Masalah pewarnaan graf yang diyakini

(18)

2

pertama kali muncul sebagai masalah pewarnaan peta, dimana warna setiap daerah pada peta yang berbatasan di buat berlainan sehinga mudah untuk dibedakan. Hal ini kemudian mengembangkan teorema-teorema menarik dan berujung pada teorema 4 warna yang menyatakan: “bilangan kromatik graf planar tidak lebih dari 4”. Teorema ini pertama kali muncul sebagai sesutau perkiraan oleh Francis Guthrie, seorang mantan murid dari Augustus De Morgan, pada tahun 1852, akhirnya dibuktikan oleh Kenneth Appel dan Wolfgang Haken [1].

Persoalan pewarnaan graf, tidak hanya sekedar mewarnai titik-titik atau sisi dengan warna berbeda dari warna titik atau sisi tetangganya saja, namun juga menggunakan jumlah warna minimum yang disebut dengan bilangan kromatik pada graf. Pewarnaan dari suatu graf adalah masalah yang cukup mudah, tetapi pewarnaan dengan menggunakan warna minimum, secara umum adalah masalah yang sulit karena kenyataannya masih belum di temukan suatu cara yang mudah dalam pengkarakteristikan suatu k-kromatik graf.

Terdapat teori algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini seperti, salah satunya adalah algoritma Greedy. Algoritma Greedy adalah salah satu metode yang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi dengan memanfaatkan strategi algoritmik yang dapat memecahkan masalah langkah demi langkah (step by step), yang setiap langkahnya mengambil pilihan terbaik pada saat itu dengan gagasan dasar adalah membangun solusi optimal di atas solusi lokal [2].

Oleh karena itu, berdasarkan latar belakang diatas penulis mecoba untuk membahas bagaimana cara melakukan pewarnaan graf pada peta sehingga diperoleh warna minimum (bilangan kromatik) dengan judul Pewarnaan Graf

Pada Peta Menggunakan Algoritma Greedy (Studi Kasus: Peta Provinsi DKI Jakarta).

(19)

3

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang timbul dari latar belakang diatas adalah bagaimana menggunakan Algoritma Greedy untuk pewarnaan graf pada peta Provinsi DKI Jakarta berdasarkan warna minimum sedemikian sehingga tidak ada wilayah dari peta provinsi DKI Jakarta yang berbatasan langsun menggunakan warna yang sama

1.3 Pembatasan Masalah

Pembatasan masalah pada penulisan ini hanya pewarnaan graf pada peta Provinsi DKI Jakarta. Terdapat 42 kecamatan yang terbagi disetiap kota administrasi Provinsi DKI Jakarta yang direpresentasikan sebagai titik dan batas wilayah sebagai sisi.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyelesaikan kasus pewarnaan graf menggunakan Algoritma Greedy pada peta Provinsi DKI Jakarta berdasarkan kecamatan, dan untuk mengetahui jumlah warna minimum yang dibutuhkan untuk mewarnai peta tersebut sehingga tidak ada wilayah yang berbatasan menggunakkan warna yang sama.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat yang yang didapat bagi penulis dalam melakukan penelitian ini adalah menambah wawasan penulis tentang Teori Graf, khususnya mengenai pewarnaan graf pada peta menggunakan algoritma greedy.

Sedangkan bagi universitas diharapkan dapat menjadi sumbangan penelitian dalam cabang ilmu matematika, khususnya Teori Graf. Serta diharapkan dapat berguna sebagai penambah hasil-hasil penelitian yang dapat dijadikan bahan bacaan bagi peneliti lain dalam mengkaji objek penelitian dengan topik serupa.

Manfaat pewarnaan graf khususnya pewarnaan peta bagi masyarakat umum untuk mempermudah pembaca petta sedemikian sehingga dapat membedakan daerah atau wilayah yang berbatasan secara langsung dengan cepat dan tepat.

(20)

4

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan, akan diberikan beberapa definisi dan teori-teori pendukung permasalahan pada studi tentang penerapan algoritma greedy untuk melakukan pewarnaan graf pada peta.

2.1 Definisi Graf

Sebuah graf 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) adalah suatu sistem yang terdri dari atas dua himpunan terurut, yaitu himpunan tak kosong dan berhingga 𝑉(𝐺) yang elemennya disebut titik dan himpunan (mungkin kosong) 𝐸(𝐺) ⊆ { {𝑢, 𝑣}|𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) dan 𝑢 ≠ 𝑣}. Setiap elemen di 𝐸(𝐺)disebut sisi [6]. Untuk menyederhanakan penulisan, sisi 𝑒 = {𝑢, 𝑣} ditulis 𝑒 = 𝑢𝑣. Berikut ini, diberikan ilustrasi sebuah graf. Misalkan graf 𝐺 dengan 𝑉(𝐺): {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣_3,𝑣₄} dan 𝐸(𝐺): {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒_3,𝑒₄, 𝑒₅} , maka graf 𝐺 = 𝑉(𝐺) ∪ 𝐸(𝐺): { 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣_3,𝑣₄, 𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒_3,𝑒₄, 𝑒₅}.

Gambar 2.1 Graf 𝐺 2.2 Jenis-Jenis Graf

Berdasarkan ada tidaknya loop atau sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi dua jenis, yaitu:

1. Graf sederhana

(21)

5

2. Graf tak sederhana

Graf yang mengandung loop atau sisi ganda [6].

Gambar 2.2 (a) Graf sederhana dan (b) Graf tak sederhana

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, secara umum graf dibedakan menjadi dua jenis, yaitu:

1. Graf tak berarah

Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah [6]. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, 𝑢𝑣 = 𝑣𝑢.

2. Graf berarah

Graf berarah adalah graf yang di setiap sisinya diberikan orientasi arah [6]. Pada graf berarah, 𝑢𝑣 dan 𝑣𝑢 menyatakan dua buah sisi yang berbeda, dengan kata lain 𝑢𝑣 ≠ 𝑣𝑢.

Gambar 2.3 (a) Graf Berarah (b) Graf tak Berarah 2.3 Terminologi Graf

(22)

6

1. Bertetangga dan Bersisian

Jika = 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) , maka 𝑢 dikatakan bertetangga dengan 𝑣 dan sisi 𝑒 dikatakan bersisian dengan titik 𝑢 dan 𝑣 [6].

Gambar 2.4 Graf 𝐺

Berdasarkan Gambar 2.4, titik 𝑣₁ bertetangga dengan 𝑣₂ dan dan sisi 𝑒₁ bersisian dengan 𝑣1 dan 𝑣2.

2. Titik Terpencil

Titik terpencil adalah titik yang tidak memiliki sisi yang bersisian dengannya [9]. Dapat dinyatakan bahwa titik terpencil adalah titik yang satupun tidak bertetangga dengan titik-titik lainnya. Berdasarkan Gambar 2.4 titik 𝑣₃ adalah titik terpencil.

3. Derajat

Misalkan 𝑣 adalah titik pada suatu graf 𝐺 . Derajat titik 𝑣 (dinotasikan 𝑑(𝑣)) adalah jumlah sisi yang bersisian dengan titik 𝑣 dan sisi ganda dihitung dua kali. Derajat total 𝐺 adalah jumlah derajat semua titik dalam graf 𝐺 [9].

4. Jalan

Suatu Graf 𝐺 adalah sebuah barisan titik dan sisi terhingga dan bergantian dari titik-titik dan sisi-sisi pada suatu graf dengan ketentuan setiap sisi 𝑒1 bersisian pada 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗, dimana 𝑣𝑖 ≠ 𝑣𝑗 dan 𝑒𝑖 bukan suatu sisi ganda maka disebut jalan. Jalan biasanya notasikan dengan 𝑣₁𝑒₁, 𝑣₂𝑒₂, 𝑣₃𝑒₃, 𝑣₄𝑒₄, ⋯ , 𝑣_𝑘𝑒_𝑘 [9]. Berdasarkan Gambar 2.1 dijelaskan bahwa 𝑣₁𝑒₁𝑣₂𝑒₂ 𝑣₃𝑒₃𝑣₄𝑒₅𝑣₂ adalah sebuah jalan.

(23)

7

5. Lintasan

Graf lintasan berorde 𝑛 dinotasikan dengan 𝑃𝑛 adalah graf yang titik titiknya dapat dinamai 𝑣₁, 𝑣₂, ⋯ , 𝑣_𝑛 sehingga 𝐸(𝑃_𝑛) = {𝑣₁𝑣₂, 𝑣₂𝑣₃, 𝑣₃𝑣₄, ⋯ , 𝑣_𝑛−1𝑣_𝑛} . Lintasan dengan titik awal 𝑣₁ dan titik ujung 𝑣𝑛 dinotasikan dengan 𝑃𝑛(𝑣1, 𝑣𝑛) [7]. Berdasarkan Gambar 2.1 dijelaskan bahwa 𝑣1𝑣2, 𝑣2𝑣3, 𝑣3𝑣4 yaitu 𝑃4(𝑣1, 𝑣4) adalah sebuah lintasan. 6. Graf terhubung dan Graf tak terhubung

Misalkan 𝐺 adalah suatu graf, dua titik 𝑣 dan 𝑤 pada 𝐺 dikatakan terhubung jika dan hanya jika ada jalan dari 𝑣 ke 𝑤. Graf 𝐺 dikatakan terhubung jika dan hanya jika setiap 2 titik dalam 𝐺 terhubung. Graf 𝐺 dikatakan tidak terhubung jika dan hanya jika ada 2 titik pada 𝐺 yang tidak terhubung [9].

Gambar 2.5 (a) Graf terhubung dan (b) Graf tak terhubung 2.4 Graf Planar

Graf planar adalah graf yang dapat digambarkan pada bidang datar tanpa ada sisi-sisi yang berpotongan satu sama lain, jika tidak maka disebut dengan graf tak planar [7].

Berikut ini di berikan contoh suatu graf planar, dapat dilihat bahwa graf yang pada awalnya terdapat sisi yang saling berpotongan yaitu 𝑒 = 𝑣2𝑣7 saling

(24)

8

berpotongan dengan 𝑒 = 𝑣3𝑣6 dapat digambarkan kembali sehingga tidak ada sisi yang berpotongan.

Gambar 2.6 (a) Graf Planar dan (b) Graf Bidang

Representasi graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang. Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah dinotasikan dengan 𝑅 [11]. Untuk setiap graf bidang pasti mempunyai satu wilayah tak terbatas disebut wilayah luar [2]. Berdasarkan Gambar 2.6 (b) 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑟4, 𝑟5, 𝑟6, 𝑟6 adalah wilayah dalam dan 𝑟8 adalah wilayah luar.

2.5 Graf Dual

Graf dual dibedakan menjadi dua, yaitu 1. Graf dual dari graf 𝐺

a. Misalkan 𝐺 suatu graf bidang, graf dual 𝐺∗_{dari graf 𝐺 dapat dibuat} dengan menyesuaikan setiap wilayah 𝑟 pada 𝐺 adalah titik 𝑣 pada 𝐺∗ dan dua titik 𝑣1, 𝑣2 pada 𝐺∗dihubungkan oleh sisi 𝑒 pada 𝐺∗ jika dan hanya jika wilayah 𝑟₁ dan 𝑟₂ dibatasi oleh sisi 𝑒 pada 𝐺 [2].

b. Kita tempatakan setiap titik 𝑣 pada 𝐺∗ dan kita gambarkan setiap sisi 𝑒 pada 𝐺∗_{sedemikian sehingga memotong sisi 𝑒 pada 𝐺 hanya sekali dan} tidak memotong sisi yang lain pada 𝐺. Jadi setiap graf dual 𝐺∗ dari graf bidang 𝐺 adalah graf planar [2].

Pada Gambar 2.7 adalah ilustrasi pembuatan graf dual 𝐺∗_{dari 𝐺 sebagai} berikut:

(25)

9

Gambar 2.7 (a) Graf Bidang 𝐺 dan (b) Graf Dual 𝐺∗

Berdasarkan Gambar 2.7 (a) dijelaskan bahwa garis tipis pada graf bidang 𝐺 adalah sebuah repreresntasi pembentukan graf dual 𝐺∗ dari graf 𝐺. 2. Graf dual dari peta

Graf dual dari peta adalah sebuah graf planar 𝐺 yang direpresentasikan sebagai graf bidang. Untuk membuat graf dual dari peta ini setiap wilayah pada peta direpresentasikan dengan titik dan sisi yang menghubungkan dua titik jika wilayah tersebut memiliki perbatasan bersama. Dua daerah yang menyentuh hanya pada satu titik tidak dianggap bertetangga [10]. Gambar 2.7 adalah contoh graf dual dari peta, sebagai berikut:

Gambar 2.8 Graf Dual dari Peta

Jika sebuah graf dual dari peta mempunyai titik sebanyak 𝑉, mempunyai sisi sebanyak 𝐸 dan wilayah sebanyak 𝑅 , maka graf dual dari peta memenuhi persamaan Euler [11], sebagai berikut:

(26)

10

Persamaan 2.1 1. 𝑉 + 𝑅 − 𝐸 = 2 2. ∑𝑑(𝑟) = 2 ∑ 𝐸 3. 𝐸 ≤ 3𝑉 − 6

2.6 Representasi Graf pada Matriks

Matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graf [9]. Berikut ini beberapa representasi graf dalam matriks:

1. Matriks ketetanggan

Misalkan 𝐺 adalah graf sederhana dengan titik-titik 𝑣_1,𝑣_1,⋯ , 𝑣_𝑛 (n berhingga). Matriks ketetanggan yang sesuai dengan graf 𝐺 adalah matriks 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗], 𝑖, 𝑗= 1,2, … , 𝑛[10].

𝑎_𝑖𝑗 =

{

1, 𝑣_{0, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎}𝑖 𝑣𝑗 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝐺

Berdasarkan Gambar 2.1 di atas, graf 𝐺 dapat direpresentasikan kedalam matriks ketetanggan sebagai berikut:

𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 𝐴 = 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃ 𝑣₄ [ 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 ] 2. Matriks bersisian

Misalkan 𝐺 adalah graf tak berarah dengan titik 𝑣₁, 𝑣₂, ⋯ , 𝑣_𝑛 dan sisi 𝑒1, 𝑒2, ⋯ , 𝑒𝑚 (𝑛, 𝑚 berhingga). Matriks bersisian yang sesuai dengan 𝑉 dan 𝐸 pada 𝐺 adalah matriks 𝑀 = [𝑚_𝑖𝑗] dimana 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 ; 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑚 [10].

𝑚_𝑖𝑗 =

{

1, 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑒_{0, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎.}𝑗 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣𝑖

Berdasarkan Gambar 2.1 diatas, graf 𝐺 dapat direpresentasikan dalam matriks bersisian sebagai berikut:

𝑒₁ 𝑒₂ 𝑒₃ 𝑒₄ 𝑒₅ 𝑀 = 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃ 𝑣4 [ 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ]

(27)

11

2.7 Pewarnaan Graf

Pewarnaan graf adalah pemberian warna, yang biasanya direpresentasikan sebagai bilangan terurut mulai dari 1 atau dapat juga direpresentasikan langsung dengan menggunakan warna merah, biru, hijau, dan lain-lain pada objek tertentu pada suatu graf. Objek tersebut dapat berupa titik, sisi, dan wilayah. Setiap objek yang berdekatan atau bertetangga tidak mempunyai warna yang sama. Namun terdapat permasalahan untuk sebagian besar pada pewarnaan graf bahwa warna-warna yang digunakan harus sesedikit mungkin [10].

Pewarnaan pada graf dapat dibedakan menjadi tiga yaitu: 1. Pewarnaan Titik.

Pewarnaan titik dari graf 𝐺 adalah sebuah proses pemberian warna-warna ke titik-titik suatu graf sedemikian sehingga tidak ada dua buah titik yang bertetangga memiliki warna yang sama [10]. Pewarnaan titik erat kaitannya dengan penentuan bilangan kromatik 𝜒(𝐺) yaitu jumlah minimal warna yang digunkan dalam mewarnai titik [6]. Graf 𝐺 berwarna 𝑘 jika terdapat sebuah pewarnaan dari 𝐺 yang menggunakan 𝑘 warna.

Gambar 2.9 Pewarnaan Titik pada Graf 𝐺 2. Pewarnaan Sisi

Suatu pewarnaan sisi-𝑘 untuk graf 𝐺 adalah suatu penggunaan sebagian atau semua 𝑘 warna untuk mewarnai semua sisi di 𝐺 , sehingga setiap pasang sisi mempunyai titik yang sama diberi warna yang berbeda [6].

(28)

12

Gambar 2.10 Pewarnaan Sisi pada Graf 𝐺 3. Pewarnaan Wilayah

Pewarnaan wilayah adalah warna yang diberikan ke setiap wilayah pada graf, sehingga tidak ada wilayah yang bersebelahan memiliki warna yang sama [6]. Mewarnai wilayah pada suatu graf dapat menggunakan prinsip pewarnaan titik pada graf [11].

Adapun contoh dari pewarnaan wilayah pada graf 𝐺, sebagai berikut:

Gambar 2.11 Pewarnaan Wilayah pada Graf 𝐺 2.8 Pewarnaan Peta

Masalah pewarnaan pada peta adalah masalah pewarnaan titik pada graf dual dari peta sedemikian sehingga tidak ada dua buah titik yang bertetangga mempunyai warna yang sama [10].

Teorema 2.1 Jika graf 𝑮 adalah graf planar, maka 𝝌(𝑮) ≤ 𝟒.

Pembuktian Teorema 2.1 ini sangat rumit dan menurut catatan sejarah pembuktiannya membutuhkan ratusan lembar kertas untuk menuliskannya. Pemecahan perasoalan pewarnaan graf sangat berjasa dalam menentukan jumlah minimum warna yang di butuhkan untuk mewarnai sembarang peta. Selama bertahun-tahun, lima buah warna adalah jumlah yang cukup untuk mewarnai

(29)

13

sembarang peta. Setelah beberapa ratus tahun, persoalan ini berhasil di pecahkan oleh K.Appel dan W. Haken seperti yang dikemukakan pada teorem 2.1 diatas. Alfred Kempe juga menambahkan bahwa teorema Empat Warna hanya berlaku untuk graf planar [10].

Ada beberapa prinsip dalam mewarnai peta [11], yaitu:

1. Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai titik pada graf dual dari peta.

2. Dua buah titik yang terhubung oleh satu atau lebih sisi tidak boleh diberi warna yang sama.

3. Banyak warna yang digunakan harus seminimum mungkin.

4. Mewarnai peta pakailah sebuah warna secara optimum, artinya warna kedua digunakan setelah warna pertama tidak dapat digunakan lagi, seterusnya sampai semua titik terwarnai semua.

2.9 Algoritma Greedy

Metode Greedy adalah metode yang menyediakan solusi yang layak untuk graf yang besar secara optimal [1].

Algoritma Greedy merupakan algoritma yang menghasilkan solusi optimum melalui penyelesaian langkah per langkah (step by step) dengan menerapkan 2 hal berikut pada tiap langkahnya [1]:

1. Pilihan yang diambil merupakan pilihan terbaik yang dapat diperoleh pada saat itu tanpa memperhatikan konsekuensinya ke depan nanti, hal ini bersesuaian dengan prinsip Algoritma Greedy yaitu “take what you can get now”.

2. Berharap dengan memilih pilihan terbaik saat itu (optimum lokal) dapat mencapai solusi terbaik dari permasalahan yang dihadapi (optimum global). Dalam algoritma Greedy diasumsikan bahwa optimum lokal merupakan bagian dari optimum global.

Sedangkan untuk aplikasinya algoritma Greedy digunakan untuk pemecahaan yang memerlukan solusi yang bersifat optimum, yakni solusi yang memiliki nilai terbesar (maksimum) atau nilai terkecil (minimum). Berikut adalah komponen dari Algoritma Greedy dalam pemecahan masalah solusi [1], yaitu:

(30)

14

1. Himpunan Kandidat

Himpunan yang berisi elemen pembentuk solusi. Dalam kasus ini himpunan kandidat merupakan seluruh jenis warna yang ada akan digunakan untuk mewarnai peta.

2. Himpunan Solusi

Himpunan yang berisi elemen solusi pemecahan masalah. Himpunan solusi akan diisi dengan himpunan warna yang sudah digunakan untuk mewarnai peta.

3. Fungsi Seleksi

Pada kasus ini fungsi seleksi terbagi menjadi 2, yaitu; 1. Fungsi Seleksi Titik

Fungsi yang menyeleksi titik mana yang harus dikerjakan terlebih dahulu. Prioritas pengerjaan dilihat dari titik yang memiliki jumlah sisi terbanyak (derajat titik).

2. Fungsi Seleksi Warna

Fungsi ini akan memilih warna yang akan digunakan untuk mewarnai titik pada peta. Penyelesaian warna ini akan dibagi menjadi 2 tahap, yaitu:

a. Jika solusi layak warna akan diambil dari himpunan solusi, yaitu warna yang sudah dipakai sebelumnya, atau

b. Jika tidak satupun warna dari himpunan solusi layak atau himpunan solusi masih kosong, akan diambil warna dari himpunan kandidat, yaitu warna yang sama sekali belum digunakan.

4. Fungsi Kelayakan

Fungsi yang akan memeriksa apakah suatu warna layak digunakan pada sebuah titik. Pemeriksaan kelayakan dapat dilakukan dengan cara melihat titik-titik yang bertetangga dengan titik yang akan diwarnai.

5. Fungsi Objektif

Fungsi objektif dalam kasus pewarnaan peta adalah meminimalkan jumlah jenis warna yang digunakan pada prose pewarnaan seluruh titik.

(31)

15

Cara kerja algoritma greedy dalam kasus pewarnaan peta akan dijabarkan sebagai berikut [1] :

1. Inisialisasi himpunan solusi dengan kosong.

2. Pemilihan titik yang akan diisi warnanya dengan fungsi seleksi titik. 3. Memilih kandidat warna dengan menggunakan fungsi seleksi warna.

Kurangi warna pada himpunan kandidat 𝐶 jika warna diambil dari humpunan kandidat 𝐶.

4. Periksa kelayakan warna yang dipilih menggunakan fungsi kelayakan. Warna yang layak digunakan untuk titik terpilih akan dimasukan ke dalam himpunan solusi, jika tidak layak maka proses kembali ke langkah 2. 5. Periksa apakah solusi sudah meliputi pewarnaan seluruh titik dengan

solusi optimal dengan fungsi objektif. Proses pewarnaan akan berhenti jika pewarnaan telah mendapatkan solusi optimal, jika belumoptimal kembali kelangkah 2.

(32)

16

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

Pada penulisan ini, metodologi yang digunakan adalah studi literatur dengan membaca sumber-sumber bacaan yang berkaitan dengan persoalan yang akan dikaji melalui buku, jurnal ataupun paper terkait yang kemudian akan dieksplorasi dan beradaptasi dari hasil yang sudah tersedia. Berikut adalah detail metodologi yang dilakukan:

3.1. Mempelajari Teori Dasar

Adapun teori dasar yang harus dimiliki dalam penulisan ini adalah matematika diskrit, definisi graf, jenis-jenis graf, terminologi graf, pewarnaan graf serta algoritma Greedy. Materi matematika diskrit, definisi graf dan jenis- jenis graf telah dipelajari oleh penulis pada saat semester 1 dan semester 7, adapun materi selanjutnya adalah materi yang akan penulis eksplor melalui sumber- sumber bacaaan terkait juga diskusi dari dosen pembimbing.

3.2. Mempelajari Artikel Terkait

Tahapan selanjutnya adalah mencari sumber bacaan yang terkait dengan kajian ini. Sumber-sumber bacaan yang dimaksudkan disini adalah suatu paper ataupun buku juga dan jurnal yang membahas terkait teori graf khususnya terkait aplikasi teori graf dalam bidang pewarnaan pada graf (coloring graph).

3.3. Metode Pengumpulan Data

Data yang digunakan untuk membentuk sebuah graf dalam penulisan ini adalah berupa kecamatan-kecamatan di Kota Administrasi DKI Jakarta yang direpresentasikan sebagai titik dan batas wilayah antar kecamatan yang direpresentasikan sebagai sisi.

3.4. Analisis Pewarnaan Graf Menggunakan Algoritma Greedy

Algoritma untuk menyelesaikan permasalahan pewarnaan graf untuk kondisi tersebut ditunjukan dalam flowchart sebagai berikut:

(33)

17 Tidak Ya Ya Tidak Ya

Gambar 3.1 Flowchart Pewarnaan Graf Menggunakan Algoritma Greedy

Mulai

Inisialisai Himpunan Kandidat 𝐶 = {𝑀𝑒𝑟𝑎ℎ, … , 𝑘} Inisialisai Himpunan Solusi

dengan 𝑆 = {} Urutkan titik berdasarkan derajat

titik terpaling banyak.

Pemilihan titik yang akan diisi warnanya

Tidak

Ya

Memilih warna Himpunan Kandidat. Kurangi elemen Himpunan Kandidat

dengan warna yang diambil. Apakah terdapat Solusi ? Pemilihan warna dari Himpunan Solusi Apakah layak digunakan ? Masukan ke dalam Himpunan Solusi

Apakah semua titik telah diwarnai ?

Selesai

Tidak Apa masih ada

(34)

18

3.5 Alur Penulisan

Adapun flowchart dari alur penulisan ini adalah sebagai berikut:

.

Mulai

Mengakses Peta DKI Jakarta

Selesai

Merepresentasikan Kecamatan Sebagai Titik dan Batas-batas wilayah kecamatan Sebagai Sisi

Membentuk Graf Dual Dari Peta

Menentukan Warna Minimum pada Graf Dual dari Peta

(Bilangan Kromatik) Membentuk Matriks

Ketetanggan

Melakukan Pewarnaan Graf dengan Algoritma Greedy Menghitung Derajat Setiap Titik

(35)

19

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini berisi pembahasan mengenai pewarnaan graf pada peta Provinsi DKI Jakarta menggunakan algoritma greedy untuk mewarnai peta wilayah kecamatan di kota madya Provinsi DKI Jakarta, serta menentukan jumlah minimum warna yang akan digunakan dalam kasus pewarnaan graf untuk mewarnai peta wilayah kecamatan di kota madya Provinsi DKI Jakarta.

4.1 Wilayah Provinsi DKI Jakarta

Provinsi DKI Jakarta adalah sebuah kota yang dijadikan ibu kota bagi negara Indonesia. Kota yang kecil namun penuh dengan kompleksitas baik dari segi penduduk maupun atas wilayah. Pembahasan yang sesuai dari permasalahan kali ini yaitu wilayah.

Wilayah Provinsi DKI Jakarta terdiri atas wilayah Kota Madya dan Kabupaten. Wilayah Kota Madya terbagi dari 5 bagian yaitu Kota Madya Jakarta Barat, Kota Madya Jakarta Pusat, Kota Madya Jakarta Timur, Kota Madya Jakarta Selatan, dan Kota Madya Jakarta Utara, sedangkan wilayah kabupaten Provinsi DKI Jakarta yaitu Kabupaten Kepulauan Seribu.

Pada Pembahasan kali ini hanya dibahas 5 wilayah Kota Madya DKI Jakarta, dimana terdapat kecamata-kecamatan pada masing-masing wilayah tersebut. Terdapat 42 kecamatan yang tersebar dilima wilayah Kota Madya DKI Jakarta. Pada Kota Madya Jakarta Barat terdiri dari 8 buah kecamatan, pada Kota Madya Jakarta Pusat terdiri dari 8 buah kecamatan, pada Kota Madya Jakarta Timur terdiri dari 10 buah kecamatan, pada Kota Madya Jakarta Selatan terdiri dari 10 buah kecamatan dan pada Kota Madya Jakarta Utara terdiri dari 6 buah kecamatan.

Sebuah peta merupakan objek yang diperlukan untuk melakukan pewarnaan graf pada peta tersebut. Berikut ini adalah gambaran peta wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta seperti Gambar 4.1 :

(36)

(37)

21

Keterangan dari Gambar 4.1, kecamatan-kecamatan yang berada pada Kota Madya Provinsi DKI Jakarta terdiri dari 42 kecamatan sebagai berikut :

Tabel 4.1 Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta

No. Nama Kecamatan No. Nama Kecamatan

1. Kali Deres 22. Kramat Jati

2. Cengkareng 23. Makasar

3. Kembangan 24. Pasar Rebo

4. Kebon Jeruk 25. Ciracas

5. Grogol Petambuuran 26. Cipayung

6. Palmerah 27. Jagakarsa

7. Tambora 28. Pasar Minggu

8. Taman Sari 29. Cilandak

9. Tanah Abang 30. Pesanggrahan

10. Menteng 31. Kebayoran Lama

11. Gambir 32. Kebayoran Baru

12. Sawah Besar 33. Setia Budi

13. Kemayoran 34. Mampang Prapatan

14. Cemapaka Putih 35. Tebet

15. Senen 36. Pancoran

16. Johar Baru 37. Penjaringan

17. Matraman 38. Pademangan

18. Pulo Gadung 39. Tanjung Priok

19. Cakung 40. Koja

20 Jatinegara 41. Kelapa Gading

21. Duren Sawit 42. Cilincing

Berdasarkan Gambar 4.1, garis dengan putus-putus tipis menjelaskan batas kecamatan antar kota madya, sedangkan garis putus-putus tebal menjelaskan batas antar kota madya Provinsi DKI Jakarta namun tetap digunakan sebagai batas wilayah antar kecamatan.

4.2 Representasi Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta ke

Dalam Bentuk Graf

Cara merepresentasikan peta wilayah kecamatan di kota madya DKI Jakarta yaitu dengan merepresentasikan kecamatan sebagai titik pada graf dan setiap kecamatan yang berbatasan langsung sebagai sisi. Berikut adalah gambaran representasi peta wilayah kecamatan di kota madya DKI Jakarta ke dalam bentuk graf seperti Gambar 4.2 :

(38)

(39)

23

Berdasarkan Gambar 4.2, wilayah Kecamatan di Kota Madya DKI Jakarta merupakan suatu graf bidang yang membagi bidang kedalam daerah-daerah terhubung yang disebut wilayah.

4.3 Graf Dual dari Peta Provinsi DKI Jakarta

Pada gambar 4.2, wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta telah di buat kedalam bentuk graf bidang maka dari itu graf dual dari wilayah kecamatan di kota madya DKI Jakarta adalah seperti Gambar 4.3 :

Gambar 4.3 Graf Dual Peta Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta

Berdasarkan Gambar 4.3, peta Provinsi DKI Jakarta dapat direpresentasikan sebagai sebuah graf yang dinotasikan dengan titik dan sisi sebagai berikut:

(40)

24 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) 𝑉 = { 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9, 𝑣10, 𝑣11, 𝑣12, 𝑣13, 𝑣14, 𝑣15, 𝑣16, 𝑣17, 𝑣18, 𝑣19, 𝑣₂₀, 𝑣₂₁, 𝑣₂₂, 𝑣₂₃, 𝑣₂₄, 𝑣₂₅, 𝑣₂₆, 𝑣₂₇, 𝑣₂₈, 𝑣₂₉, 𝑣₃₀, 𝑣₃₁, 𝑣₃₂, 𝑣₃₃, 𝑣₃₄, 𝑣₃₅, 𝑣₃₆ 𝑣₃₇, 𝑣₃₈, 𝑣₃₉, 𝑣₄₀, 𝑣₄₁, 𝑣₄₂} 𝐸 = { (𝑣1𝑣2), (𝑣1𝑣37), (𝑣2𝑣3), (𝑣2𝑣4), (𝑣2𝑣5), (𝑣2𝑣37), (𝑣3𝑣4), (𝑣3𝑣30), (𝑣4𝑣5), (𝑣₄𝑣₆), (𝑣4𝑣30), (𝑣4𝑣31), (𝑣5𝑣6), (𝑣5𝑣7), (𝑣5𝑣11), (𝑣5𝑣37), (𝑣6𝑣9), (𝑣6𝑣11), (𝑣₆𝑣₃₁), (𝑣₇𝑣₈), (𝑣₇𝑣₁₁), (𝑣₇𝑣₃₇), (𝑣₈𝑣₁₁), (𝑣₈𝑣₁₂), (𝑣₈𝑣₃₈), (𝑣₉𝑣₁₀), (𝑣9𝑣11), (𝑣9𝑣31), (𝑣9𝑣32), (𝑣9𝑣33), (𝑣10𝑣11), (𝑣10𝑣15), (𝑣10𝑣17), (𝑣10𝑣33) (𝑣₁₀𝑣₃₅), (𝑣11𝑣12), (𝑣11𝑣15), (𝑣12𝑣13), (𝑣12𝑣15), (𝑣12𝑣38), (𝑣13𝑣14), (𝑣₁₃𝑣₁₅), (𝑣₁₃𝑣₁₆), (𝑣₁₃𝑣₃₈), (𝑣₁₃𝑣₃₉) , (𝑣₁₃𝑣₄₁), (𝑣₁₄𝑣₁₅), (𝑣₁₄𝑣₁₆), (𝑣14𝑣17), (𝑣14𝑣18), (𝑣15𝑣16), (𝑣15𝑣17), (𝑣17𝑣18), (𝑣17𝑣20), (𝑣17𝑣35), (𝑣₁₈, 𝑣₁₉), (𝑣18𝑣20), (𝑣18𝑣21), (𝑣18𝑣41), (𝑣19𝑣21), (𝑣19𝑣41), (𝑣19𝑣42), (𝑣₂₀𝑣₂₁), (𝑣₂₀𝑣₂₂), (𝑣₂₀𝑣₂₃), (𝑣₂₀𝑣₃₅), (𝑣₂₁𝑣₂₃), (𝑣₂₂𝑣₂₃), (𝑣₂₂𝑣₂₄), (𝑣22𝑣25)(𝑣22𝑣26), (𝑣22𝑣28), (𝑣22𝑣36), (𝑣23𝑣26), (𝑣24𝑣25), (𝑣24𝑣27), (𝑣₂₅𝑣₂₆), (𝑣27𝑣28), (𝑣27𝑣29), (𝑣28𝑣29), (𝑣28𝑣30), (𝑣28𝑣36), (𝑣29𝑣31), (𝑣₂₉𝑣₃₂), (𝑣₂₉𝑣₃₄), (𝑣₃₀𝑣₃₁), (𝑣₃₁𝑣₃₂), (𝑣₃₂𝑣₃₃), (𝑣₃₂𝑣₃₄), (𝑣₃₃𝑣₃₄), (𝑣33𝑣35), (𝑣34𝑣36), (𝑣35𝑣36), (𝑣37𝑣38), (𝑣38𝑣39), (𝑣39𝑣40), (𝑣39𝑣41), (𝑣40𝑣41), (𝑣₄₀𝑣₄₂), (𝑣41, 𝑣42), } 𝐸 = { 𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒₁₀₀ } 𝑅 = { 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟60 }

Berdasarkan Gambar 4.3, diketahui |𝐸| = 100 |𝑉| = 42 dan |𝑅| = 60, sehingga menurut Persamaan 2.1

1. 𝑉 + 𝑅 − 𝐸 = 42 + 60 − 100 = 2

2. ∑ 𝑑(𝑟) = ( 18 × 1) + (4 × 5) + (3 × 54) = 200 2 ∑ 𝐸 = 2 × 100 = 200

∴ ∑ 𝑑(𝑟) = 2 ∑ 𝐸

3. 𝐸 ≤ 3𝑉 − 6 ⟺ 100 ≤ 3(42) − 6 = 120

Terbukti bahwa graf dual dari peta wilayah kecamatan di kota madya DKI Jakarta memenuhi persamaan tersebut.

(41)

25

4.4 Membentuk Matriks Ketetanggan Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta

Matriks ketetanggan merupakan suatu matriks yang dapat menyatakan keterhubungan antar titik. Matriks ini berfungsi untuk mengetahui apakah wilayah satu dengan wilayah yang lainnya saling berhubungan.

Matriks ketetanggan wilayah DKI Jakarta yang berjumlah 42 kecamatan yang tersebar di setiap kota madya direpresentasikan sebagai titik dapat di bentuk dalam matriks persegi berukuran 42 × 42, ditampilkan pada halaman Lampiran 1. 4.5 Menentukan Derajat Setiap Titik pada Graf Dual Peta DKI Jakarata

Derajat setiap wilayah direpresentasikan sebagai titik dapat di hitung dengan cara menghitung berapa banyak sisi terhubung pada setiap titik graf dualnya. Derajat setiap 𝑣_𝑖dapat dihitung menurut matriks ketetanggan.

Berdasarkan matriks ketetanggan dapat ditentukan derajat setiap titiknya, yang disajikan pada tabel 4.2 sebagai berikut:

Tabel 4.2 Derajat Titik Graf Dual Peta Provinsi DKI Jakarta No. Titik Graf 𝒗_𝒊 Derajat titik

𝒅(𝒗_𝒊)

No. Titik Graf 𝒗_𝒊 Derajat Titik 𝒅(𝒗_𝒊) 1. 1 2 22. 22 7 2. 2 5 23. 23 4 3. 3 3 24. 24 3 4. 4 6 25. 25 3 5. 5 6 26. 26 3 6. 6 5 27. 27 3 7. 7 4 28. 28 5 8. 8 4 29. 29 5 9. 9 6 30. 30 3 10. 10 6 31. 31 6 11. 11 8 32. 32 5 12. 12 5 33. 33 5 13. 13 7 34. 34 5 14. 14 5 35. 35 5 15. 15 7 36. 36 4 16. 16 3 37. 37 5 17. 17 6 38. 38 5 18. 18 6 39. 39 4 19. 19 4 40. 40 3 20 20 6 41. 41 6 21. 21 4 42. 42 3

(42)

26

4.6 Pewarnaan Peta pada Wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta Menggunakan Algoritma Greedy

Pada sub bab ini akan dijelaskan bagaimana algoritma greedy bekerja untuk pewarnaan peta wilayah Kecamatan di Kota Madya Provinsi DKI Jakarta. Terdapat dua kasus pewarnaan graf pada peta Provinsi DKI Jakarta berdasarkan kecamatan di kota madya dimana terdapat derajat titik yang sama pada suatu 𝑣𝑖 yang harus dikerjakan terlebih dahulu dan berujung pada hasil pewarnaan secara optimal.

4.6.1 Pewarnaan Peta Kasus 1

Tahap-tahap jalannya algoritma greedy untuk pewarnaan peta wilayah kecamatan di kota madya Provinsi DKI Jakarta pada kasus 1 sebagai berikut: 1. Inisialisasi himpunan kandidat (𝐶) warna

Himpunan kandidat warna yang akan digunakan untuk mewarnai peta wilayah kecamatan Provinsi DKI Jakarta ini elemennya terdiri dari 42 jenis warna karena sesuai dengan banyak titik yang ada pada graf dual dari peta Provinsi DKI Jakarta. Himpunan kandidat 𝐶 yaitu,

𝐶 = { Himpunan Warna } dengan |𝐶| = 42 2. Inisialisasi himpunan solusi 𝑆

Inisialisasi himpunan solusi dengan kosong 𝑆 = { } , karena pada tahap selanjutnya himpunan solusi akan memuat elemen dari himpunan kandidat warna yang telah digunakan untuk mewarnai titik.

3. Mengurutkan titik

Melakukan pewarnaan pada graf di mulai dari titik yang memiliki jumlah derajat terpaling besar hingga terpaling kecil. Pengurutan derajat titik berguna untuk mendapatkan solusi optimal pada algoritma greedy yang memiliki cara kerja langkah per langkah.

Berdasarkan Tabel 4.2, dapat diurutkan titik berdasarkan jumlah derajat titik terpaling besar hingga yang terpaling kecil. Berikut adalah tabel yang berisikan derajat pengurutan titik:

(43)

27

Tabel 4.3 Pengurutan Derajat Titik Graf Dual Peta Provinsi DKI Jakarta Kasus 1 No. 𝒗𝒊 𝒅(𝒗𝒊) No. 𝒗𝒊 𝒅(𝒗𝒊) No. 𝒗𝒊 𝒅(𝒗𝒊)

1. 11 8 15. 6 5 29. 21 4 2. 13 7 16. 12 5 30. 23 4 3. 15 7 17. 14 5 31. 36 4 4. 22 7 18. 28 5 32. 39 4 5. 4 6 19. 29 5 33. 3 3 6. 5 6 20 32 5 34. 16 3 7. 9 6 21. 33 5 35. 24 3 8. 10 6 22. 34 5 36. 25 3 9. 17 6 23. 35 5 37. 26 3 10. 18 6 24. 37 5 38. 27 3 11. 20 6 25. 38 5 39. 30 3 12. 31 6 26. 7 4 40. 40 3 13. 41 6 27. 8 4 41. 42 3 14. 2 5 28. 19 4 42. 1 2 4. Fungsi Seleksi

Fungsi seleksi terbagi menjadi 2 yaitu: 1. Fungsi seleksi titik

Seleksi titik ini akan dipilih titik pertama yang akan diwarnai terlebih dahulu. Tahap seleksi ini diutamakan titik yang memiliki derajat terbanyak. Berdasarkan Tabel 4.3, seleksi titik yang memiliki derajat terbanyak adalah 𝑣₁₁ dengan 𝑑(𝑣₁₁) = 8, maka dapat dipilih 𝑣11 terlebih dahulu.

2. Fungsi seleksi warna

Pada tahap seleksi warna, dapat dipilih warna yang akan digunakan untuk mewarnai 𝑣₁₁. Pada tahap seleksi ini dibagi kembali kedalam dua tahap yaitu jika warna layak maka akan diambil dari himpunan solusi sudah digunakan sebelumnya. Jika tidak ada satupun warna dari himpunan solusi yang layak ataupun himpunan solusi masih kosong maka akan diambil warna dari himpunan kandidat, yaitu warna yang sama sekali belum digunakan.

Oleh karena itu, seleksi warna dari himpunan kandidat yang akan digunakan untuk 𝑣₁₁dipilih elemen pertama misalkan warna merah. Selanjutnya, karena

(44)

28

elemen kandidat warna telah digunakan satu buah artinya elemen himpunan kandidat sekarang, yaitu:

𝐶 = { Himpunan Warna } , |𝐶| = 41. 5. Fungsi kelayakan

Pada tahap ini akan diperiksa kelayakan warna merah yang digunakan untuk 𝑣11dapat diketahui menggunakan matriks ketetanggaan. 𝑣11 bertetangga dengan 8 buah titik yang belum diwarnai sama sekali, sehingga warna merah ini secara otomatis dianggap layak digunakan untuk 𝑣₁₁. Telah diwarnai 𝑣₁₁oleh warna merah, seperti Gambar 4.4 :

Gambar 4.4 Pewarnaan pada 𝑣₁₁ Menggunakan Warna Merah 6. Himpunan solusi (𝑆)

Setelah warna merah digunakan untuk 𝑣₁₁ lalu masukan ke dalam himpunan solusi karena warna dianggap layak. Himpunan solusi yang terbentuk dan himpunan kandidat yang tersisa yaitu:

𝑆 = { Merah }

𝐶 = { Himpunan Warna }, |𝐶| = 41. 7. Fungsi objektif

Pada proses ini akan diperiksa apakah solusi sudah meliputi pewarnaan seluruh titik dengan solusi optimum global. Jika sudah, maka selesai dan jika

(45)

29

belum kembali ke tahap seleksi titik. Pewarnaan titik pada 𝑣11disebut dengan solusi optimum lokal, karena pada tahap ini belum semua titik diwarnai secara optimum global, maka akan kembali pada tahap seleksi titik.

8. Seleksi titik dari titik berderajat 7, yaitu 𝑣₁₃, 𝑣₁₅ dan 𝑣₂₂.

Terpilih 𝑣₁₃ menggunakan warna merah karena tidak ada tetangga yang menggunakan warna sama. Dapat dilihat 𝑣13 telah diwarnai seperti Gambar 4.5.

Gambar 4.5 Pewarnaan pada 𝑣13 Menggunakan Warna Merah

Warna merah yang telah digunakan untuk mewarnai 𝑣₁₃dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga solusi lokal yang terbentuk tetap terdiri dari satu elemen yaitu:

𝑆 = { Merah }

Periksa seluruh titik menggunakan fungsi objektif. Pewarnaan seluruh titik belum optimal, maka kembali ke tahap seleksi titik.

9. Terpilih titik 𝑣₁₅

Pewarnaan 𝑣15 menggunakan elemen pertama himpunan kandidat yaitu misal warna kuning. Warna merah dari himpunan solusi tidak layak digunakan karena sudah digunakan untuk pewarnaan tetangga 𝑣₁₅. Dapat dilihat 𝑣₁₅ telah diwarnai seperti Gambar 4.6.

(46)

30

Gambar 4.6 Pewarnaan pada 𝑣₁₅ Menggunakan Warna Kuning

Sehingga himpunan kandidat berkurang 1 sementara menjadi 40 jenis warna. Warna kuning dimasukan kedalam himpunan solusi sementara menjadi 𝑆 = { Merah, Kuning }.

10. Terpilih titik 𝑣22.

Pewarnaan 𝑣₂₂ menggunakan warna merah dari himpunan solusi, karena tidak ada tetangga memiliki warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣₂₂telah diwarnai menggunakan warna merah seperti Gambar 4.7.

(47)

31

Warna merah yang telah digunakan untuk mewarnai 𝑣22 dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga solusi lokal yang terbentuk tetap terdiri dari dua elemen yaitu:

𝑆 = { Merah, Kuning }.

11. Tahap selanjutnya adalah kembali seleksi titik.

Akan diseleksi titik yang memiliki derajat terbanyak selanjutnya.Terdapat 9 titik yang memiliki derajat yang sama yaitu 𝑣4,𝑣5, 𝑣9, 𝑣10, 𝑣17, 𝑣18, 𝑣20, 𝑣31 dan 𝑣₄₁ berderajat 6. Terpilih titik 𝑣₄ yang akan diwarnai.

Pewarnaan 𝑣₄ menggunakan warna merah dari himpunan solusi, karena tidak ada tetangga memiliki warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣4 telah diwarnai menggunakan warna merah seperti Gambar 4.8.

Gambar 4.8 Pewarnaan pada 𝑣4 Menggunakan Warna Merah

Warna merah yang telah digunakan untuk mewarnai 𝑣₄ dimasukan ke dalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari dua elemen yaitu:

𝑆 = { Merah, Kuning }. 12. Terpilih titik 𝑣5

Pewarnaan 𝑣₅ menggunakan warna kuning dari himpunan solusi. Dapat dilihat 𝑣₅ telah diwarnai menggunakan warna kuning seperti Gambar 4.9.

(48)

32

Gambar 4.9 Pewarnaan pada 𝑣₅ Menggunakan Warna Kuning

Elemen pertama himpunan solusi yaitu warna merah tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣5 karena terdapat tetangga memiliki warna yang sama. Warna kuning yang telah digunakan untuk mewarnai 𝑣₅ dimasukan ke dalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari dua elemen yaitu:

𝑆 = { Merah, Kuning }. 13. Terpilih titik 𝑣9

Pewarnaan 𝑣₉ menggunakan warna kuning dari himpunan solusi. Elemen pertama himpunan solusi yaitu warna merah tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣₉ karena terdapat tetangga mengunakan warna yang sama. Warna kuning yang layak dan telah digunakan untuk pewarnaan 𝑣5 dimasukan ke dalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari dua elemen yaitu:

𝑆 = { Merah, Kuning }.

(49)

33

Gambar 4.10 Pewarnaan pada 𝑣₉ Menggunakan Warna Kuning 14. Terpilih titik 𝑣10

Pewarnaan 𝑣₁₀ menggunakan warna pertama himpunan kandidat sementara yaitu misal warna hijau. Warna merah dan kuning dari himpunan solusi tidak layak digunakan untuk mewarnai 𝑣₁₀ karena sudah digunakan pada pewarnaan titik tetangga 𝑣₁₀. Sehingga himpunan kandidat sementara berkurang satu jenis warna. Dapat dilihat 𝑣10telah diwarnai seperti Gambar 4.11.

(50)

34

Warna hijau yang telah digunakan untuk mewarnai 𝑣10 dimasukan ke dalam himpunan solusi, sehingga terdiri dari tiga elemen dan himpunan kandidat terdiri dari 39 elemen yaitu:

𝑆 ={ Merah, Kuning, Hijau } 𝐶 ={ Himpunan Warna }, |𝐶| = 39 15. Terpilih titik 𝑣17

Pewarnaan 𝑣₁₇ menggunakan warna merah dari himpunan solusi, karena tidak ada tetangga memiliki warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣₁₇telah diwarnai menggunakan warna merah ditunjukan pada Gambar 4.12.

Gambar 4.12 Pewarnaan pada 𝑣₁₇ Menggunakan Warna Merah

Warna merah yang telah digunakan untuk pewarnaan 𝒗_𝟏𝟕 dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga terdiri dari tiga elemen yaitu:

𝑆 = { Merah, Kuning, Hijau } 16. Terpilih titik 𝑣₁₈.

Pewarnaan 𝑣₁₈ menggunakan warna kuning dari himpunan solusi. Elemen pertama himpunan solusi yaitu warna merah tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣18 karena terdapat tetangga memiliki warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣₁₈ telah diwarnai menggunakan warna kuning ditunjukan pada Gambar 4.13.

(51)

35

Gambar 4.13 Pewarnaan pada 𝑣18 MenggunakanWarna Kuning

Warna kuning yang telah digunakan untuk pewarnaan 𝑣₁₈ dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari tiga elemen yaitu:

𝑆 ={ Merah, Kuning, Hijau } 17. Terpilih titik 𝑣20.

Pewarnaan 𝑣20 menggunakan warna hijau dari himpunan solusi. Dapat dilihat 𝑣₂₀ diwarnai menggunakan warna hijau ditunjukan pada Gambar 4.14.

(52)

36

Warna merah dan kuning dari himpunan solusi sebelumnya tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣20 karena terdapat titik tetangga menggunakan warna yang sama. Warna hijau yang telah digunakan untuk pewarnaan 𝑣₂₀ dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari tiga elemen yaitu: 𝑆 ={ Merah, Kuning, Hijau }

Pewarnaan 𝑣₃₁ menggunakan warna hijau dari himpunan solusi. Warna merah dan kuning dari himpunan solusi sebelumnya tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣₃₁ karena terdapat titik tetangga menggunakan warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣₃₁ telah diwarnai menggunakan warna hijau ditunjukan pada Gambar 4.15.

Gambar 4.15 Pewarnaan pada 𝑣31 Menggunakan Warna Hijau

Warna hijau yang telah digunakan untuk pewarnaan 𝑣₃₁ dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari tiga elemen yaitu:

𝑆 ={ Merah, Kuning, Hijau } 19. Terpilih titik 𝑣41

Pewarnaan 𝑣₄₁ menggunakan warna hijau dari himpunan solusi. Warna merah dan kuning dari himpunan solusi sebelumnya tidak layak digunakan untuk

(53)

37

pewarnaan 𝑣41 karena terdapat titik tetangga menggunakan warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣₄₁ telah diwarnai menggunakan warna hijau ditunjukan pada Gambar 4.16.

Gambar 4.16 Pewarnaan pada 𝑣₄₁ Menggunakan Warna Hijau

Warna hijau yang telah digunkan untuk pewarnaan 𝑣41 dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari tiga elemen yaitu:

𝑆 ={ Merah, Kuning, Hijau }

20. Tahap selanjutnya kembali seleksi titik

Akan diseleksi titik yang memiliki derajat terbanyak selanjutnya. Terdapat 12 titik yang memiliki derajat yang sama yaitu 𝑣₂, 𝑣₆, 𝑣₁₂𝑣₁₄, 𝑣₂₈, 𝑣₂₉, 𝑣₃₂, 𝑣₃₃, 𝑣₃₄, 𝑣₃₅, 𝑣₃₇ dan 𝑣₃₈. Terpilih titik 𝑣₂ yang akan diwarnai.

Pewarnaan 𝑣2 menggunakan warna hijau dari himpunan solusi. Warna merah dan kuning dari himpunan solusi sebelumnya tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣₂ karena terdapat titik tetangga menggunakan warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣₂ telah diwarnai menggunakan warna hijau ditunjukan pada Gambar 4.17.

(54)

38

Gambar 4.17 Pewarnaan pada 𝑣₂ Menggunakan Warna Hijau

Warna hijau telah digunakan untuk pewarnaan 𝑣2 dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari tiga elemen yaitu:

𝑆 ={ Merah, Kuning, Hijau } 21. Terpilih titik 𝑣₆.

Pewarnaan 𝑣6 menggunakan warna pertama himpunan kandidat sementara yaitu misal warna biru. Dapat dilihat 𝑣₆ telah diwarnai menggunakan warna biru ditunjukan pada Gambar 4.18.

(55)

39

Warna merah, kuning dan hijau dari himpunan solusi sebelumnya tidak layak digunakan untuk mewarnai 𝑣6 karena sudah digunakan pada pewarnaan titik tetangga 𝑣₆. Warna biru yang telah digunakan untuk mewarnai 𝑣₆ dimasukan ke dalam himpunan solusi, sehingga terdiri dari 4 elemen dan himpunan kandidat berkurang satu jenis terdiri dari 38 elemen yaitu:

𝑆 ={ Merah, Kuning, Hijau, Biru } 𝐶 ={ Himpunan Warna }, |𝐶| = 38 22. Terpilih titik 𝑣₁₂.

Pewarnaan 𝑣₁₂ menggunakan warna hijau dari himpunan solusi. Warna merah dan kuning dari himpunan solusi sebelumnya tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣12 karena terdapat titik tetangga menggunakan warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣₁₂ telah diwarnai menggunakan warna hijau ditunjukan pada Gambar 4.19.

Gambar 4.19 Pewarnaan pada 𝑣12 Menggunakan Warna Hijau

Warna Hijau yang telah digunakan untuk pewarnaan 𝑣₁₂ dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari empat elemen yaitu:

(56)

40

Pewarnaan 𝑣₁₄ menggunakan warna hijau dari himpunan solusi. Warna merah dan kuning dari himpunan solusi sebelumnya tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣₁₄ karena terdapat titik tetangga menggunakan warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣14 telah diwarnai menggunakan warna hijau ditunjukan pada Gambar 4.20.

Gambar 4.20 Pewarnaan pada 𝑣₁₄ Menggunakan Warna Hijau

Warna merah telah digunakan untuk pewarnaan 𝑣₁₄ dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari empat elemen yaitu:

𝑆 ={ Merah, Kuning, Hijau, Biru} 24. Terpilih titik 𝑣₂₈.

Pewarnaan 𝑣₂₈ menggunakan warna kuning dari himpunan solusi. Warna merah dari himpunan solusi sebelumnya tidak layak digunakan untuk pewarnaan 𝑣28 karena terdapat titik tetangga menggunakan warna yang sama. Warna merah telah digunakan untuk pewarnaan 𝑣₁₄ dimasukan kedalam himpunan solusi, sehingga tetap terdiri dari empat elemen yaitu:

(57)

41

Dapat dilihat 𝑣28 telah diwarnai menggunakan warna kuning ditunjukan pada Gambar 4.21.

Gambar 4.21 Pewarnaan pada 𝑣₂₈ Menggunakan Warna Kuning 25. Terpilih titik 𝑣29

Pewarnaan 𝑣₂₉ menggunakan warna merah dari himpunan solusi, karena tidak terdapat tetangga memiliki warna yang sama. Dapat dilihat 𝑣₂₉ telah diwarnai menggunakan warna merah ditunjukan pada Gambar 4.22.