Review Teori Probabilitas

Review Teori Probabilitas

Rekayasa Trafik

Rekayasa Trafik 2

Outline



Arti Probabilitas



Counting Method



Random Variable



Discrete RV



Continuous RV



Multiple RVs

Rekayasa Trafik 3

Rekayasa Trafik 4

Apakah Probabilitas

 Arti probabilitas

– Situasi tdk dp secara eksak direplikasi

Rekayasa Trafik 5

Probabilitas



Definisi

– Logika probabilitas



Aksioma

– Fakta tanpa bukti/proof



Teorema

– Diturunkan dari Definisi, Aksioma, atau Teorema lainnya

Rekayasa Trafik 6

Matematik Probabilitas



Teori set

– Operasi set

Rekayasa Trafik 7

Rekayasa Trafik 8

Eksperimen

 Apakah suatu eksperimen?

– Metoda utk mencari sejumlah fakta/konklusi

 Berikan suatu contoh?

– Utk film “Matrix Reloaded”, apakah fun? – Berdiri di depan bioskop

– Tanya audiences, fun atau tdk?

 Komposisi dari suatu eksperimen – Prosedure

– Observasi

 Mengapa eksperimen diperlukan? – Ketidakpastian

Rekayasa Trafik 9

Eksperimen

 Concern mengenai film “Matrix Reloaded”

– Apakah sebaiknya saya tanya laki-laki dewasa, perempuan dewasa atau remaja?

– Pengalaman dari audiences – Pengetahuan dari audiences

 Complicated experiment  perlu Model

– Eksperiment nyata: terlalu rumit – Tangkap hanya bagian penting – Contoh Model:

• Perlakukan semua audiences sama

Rekayasa Trafik 10

Eksperimen

 Contoh:

– Lempar suatu coin 3 kali, observasi deretan heads/tails

Rekayasa Trafik 11

Definisi dalam Probabilitas

 Outcome

– Sembarang observasi yg mungkin

 Sample Space

– Finest-grain: masing-masing outcome berbeda

– Mutually exclusive: jika satu outcome muncul, lainnya tdk akan

– Collectively exhaustive: tiap outcome harus dlm sample space

 Event

– Set dari outcomes (harus tahu semua outcomes)

Rekayasa Trafik 12

Contoh-Contoh Event

Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6 Sample space: S = {1,2,3,…,6} Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5}

Rekayasa Trafik 13

Rekayasa Trafik 14

Probabilitas dari Event P[ ]

Dari eksperimen: Lempar dadu

Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6 Sample space: S = {1,2,3,…,6} Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5}

Rekayasa Trafik 15

Aksioma-Aksioma Probabilitas

 Aksioma 1: Utk sembarang event A, P[A] ≥ 0

 Aksioma 2: P[S] = 1

 Aksioma 3: Utk events A₁, A₂,…, A_n yg mutual exclusive events

Rekayasa Trafik 16

Contoh Teorema-Teorema

 Teorema: Jika A dan B disjoint maka

 Teorema: Jika B = B₁  B₂  B₃  …  B_n dan B_i

 B_j =  maka

Rekayasa Trafik 17

Equally Likely

 Teorema:

Utk suatu eksperimen dg sample space S={s₁,…, s_n}

Rekayasa Trafik 18

Konsekuensi Dari Aksioma-Aksioma

Teorema:

 P[∅] = 0

 P[Ac] = 1 - P[A]

 Utk sembarang A dan B (tdk harus disjoint)

– P[A ∪ B] = P[A] + P[B] – P[A∩B] – Jika A ⊂ B , maka P[A] ≤ P[B]

Rekayasa Trafik 19

Suatu Teorema yg Berguna

Mis B₁, B₂,…,B_n event- Event yg mutual exclusive Dimana gabungannya

(union)

Sama dg sample space S

 partisi dari S

Utk sembarang event A

Rekayasa Trafik 20

Conditional Probability

 Dlm praktek, mungkin tdk mungkin utk menemukan outcome yg persis dari suatu eksperimen

 Namun, jika kita tahu bhw Event B telah terjadi (outcome dari Event A adalah dlm set B)

– Probabilitas dari A jika B muncul dp dinyatakan

Rekayasa Trafik 21

Conditional Probability

 Notasi: P[A|B]

– Probabilitas dari A diberikan B – Condition probability dari

event A diberikan kemunculan dari event B

Rekayasa Trafik 22

Rekayasa Trafik 23

Law of Total Probability

 Mis B₁, B₂,…,B_n event-event mutual exclusive dimana union sama dg sample space S

Rekayasa Trafik 24

Rekayasa Trafik 25

Rekayasa Trafik 26

Rekayasa Trafik 27

Rekayasa Trafik 28

Rekayasa Trafik 29

Most Common Application

 Asumsi bhw events dari eksperiments terpisah adalah independent

 Contoh:

– Asumsi bhw outcome dari suatu toss coin toss independent dari outcomes dari semua toss coin sebelum dan sesudahnya

P[H] = P[T] = ½

P[HTH] = P[H]P[T]P[H] = 1/2*1/2*1/2 = 1/8

Rekayasa Trafik 30

Eksperimen Sekuensial

 Eksperimen: secara sekuensial

subexperiments  subexperiments

 Tiap subexp. bisa tergantung pd yg sebelumya

 Direpresentasikan dg suatu Tree Diagram

Rekayasa Trafik 31

Contoh Sekuensial

 Koordinasi waktu 2 lampu lalu lintas

– P[lampuke-2 berwarna sama dg yg pertama] = 0.8

– Asumsi lampu ke-1 memp kemungkinan sama utk hijau atau merah

Rekayasa Trafik 32

Rekayasa Trafik 33

Contoh Sekuensial

Rekayasa Trafik 34

Rekayasa Trafik 35

Rekayasa Trafik 36

Rekayasa Trafik 37

Rekayasa Trafik 38

Rekayasa Trafik 39

Independent Trials

 Laksanakan pengulangan percobaan (trials)  p = probabilitas sukses

 (1-p) = probabilitas gagal

 Tiap percobaan adalah independent

Rekayasa Trafik 40

Independent Trial: Contoh

 3 percobaan dg 2 sukses

 000 001 010 011 100 101 110 111

 Berapa banyak cara utk memilih 2 dari 3

– Berapa probabilitas sukses utk tiap cara? – p2 _{* (1-p)}

Rekayasa Trafik 41

Independent Trial: Contoh

 Contoh: pd ronde pertama dari makanan, probabilitas suatu piring akan lulus test adalah 0.8

Dari 10 kandidat, berapa probabilitas bhw x kandidat akan lolos? P[x = 8]?

 Solusi:

A = {suatu piring lolos test}, P[A] = 0.8

Rekayasa Trafik 42

Independent Trials: Reliabilitas

Mis probabilitas suatu komputer bekerja = p Series: P[A] = P[A1A2] = p2

Paralel: P[B] = ?

P[B] = 1 – P[Bc]

= 1 – P[B₁cB₂c] = 1 – (1 – p)2

Rekayasa Trafik 43

Rekayasa Trafik 44

Random Variable

 Suatu varibel yg menggambarkan outcome dari suatu aktivitas random seperti rolling a die

 Mendefinisikan sebuah pemetaan dari outcome menjadi suatu nilai (value)

 Has a range of values over which it can vary and a

probability distribution with which it takes on these values

 Discrete random variable – can take on a finite or countable set of values, e.g., number of customers in system

 Continuous random variable – can take on values over a continuous interval, e.g., waiting time

Rekayasa Trafik 45

Random Variable



Eksperimen (Model Fisik)

 Komposisi dari prosedur & observasi  Dari observasi, kita dapat outcomes

 Dari semua outcomes, kita mendapatkan model probabilitas (matematis) disebut “Sample space”  Dari model, kita dapat P[A], A  S

Rekayasa Trafik 46

Random Variable

Dari suatu model probabilitas

 Mis.: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan dari lampu S = {R₁R₂,R₁G₂,G₁R₂,G₁G₂}

 Jika dialokasikan suatu bilangan pd tiap outcome pd S, tiap bilangan yg kita observasi disebut “Random

Variable”

 Observasi jumlah lampu merah S_X = {0,1,2}

Rekayasa Trafik 47

Rekayasa Trafik 48

2 Tipe Random Variable



Discrete Random Variable

Contoh:

X = # jumlah shuttle-cocks yg digunakan pd suatu pertandingan badminton



Continuous Random Variable

Contoh:

Rekayasa Trafik 49

Rekayasa Trafik 50

Discrete Random Variable

 Definisi:

– X adalah suatu discrete random variable jika rentang/range dari X dp dihitung/ countable

S_x = {x₁,x₂,…}

– X adalah suatu finite random variable jika semua nilai dg probabilitas tdk nol ada dlm set terbatas

Rekayasa Trafik 51

Mengapa Kita Memerlukan suatu RV

 Utk suatu model probabilitas (eksperimen), outcome pd S dp dlm berbagai bentuk sembarang

 Jika kita implementasikan suatu Random Variable, kita dp kalkulasi rata-rata!

 Dlm Probabilitas, rata-rata disebut “expected value” dari suatu random variable

Rekayasa Trafik 52

Probability Mass Function

 Utk suatu model probabilitas (discrete), P[A] = [0,1]

 Utk suatu discrete random variable, model

probabilitas disebut suatu “Probability Mass Function

Rekayasa Trafik 53

Rekayasa Trafik 54

Contoh PMF

 Contoh:

2 lampu lalu lintas, observasi urutan lampu S = { R₁R₂ , R₁G₂ , G₁R₂ , G₁G₂}

Rekayasa Trafik 55

Contoh PMF

 T adalah suatu random variable dari # lampu merah

 Cari P_T(t)

 P_T(t) = P[T = t]

 Pertama-tama, cari probabilitas utk tiap t  Tiap outcome adalah equally likely 1/4 P[T=0] = P[{G₁G₂}] = 1/4

P[T=1] = P[{R₁G₂ , G₁R₂ }] = 2/4 = 1/2 P[T=2] = P[{R₁R₂}] = 1/4

Rekayasa Trafik 56

Rekayasa Trafik 57

Rekayasa Trafik 58

Discrete RV Yg Berguna



Discrete Uniform Random Variable



Bernoulli Random Variable



Geometric Random Variable



Binomial Random Variable



Pascal Random Variable

Rekayasa Trafik 59

Rekayasa Trafik 60

Rekayasa Trafik 61

Cumulative Distribution Function

(CDF)

Memuat informasi lengkap mengenai model probabilitas dari random variable

Rekayasa Trafik 62

Rekayasa Trafik 63

Contoh CDF

 Utk suatu binomial RV, # durian jatuh dlm 5 test dg p = 0.2

Rekayasa Trafik 64

Rekayasa Trafik 65

Rata-Rata

 Study RV  rata-rata

 Berapakah rata-rata dari suatu RV?

– Satu bilangan tunggal yg dp menggambarkan RV

– Suatu contoh dari statistik

 Apakah Statistik?

– Bilangan yg mengumpulkan semua informasi yg dibawah perhatian kita

Rekayasa Trafik 66

Rata-Rata

 Mean:

– Sum / #terms

 Mode:

– Nilai yg paling sering

– P_X(x_mod) ≥ P_X(x) x

 Median:

– Pertengahan dari set data

Rekayasa Trafik 67

Mean  Expected Value

 Menambahkan semua pengukuran/ #terms

 Contoh:

 E[T] = ?

Rekayasa Trafik 68

Rekayasa Trafik 69

Rekayasa Trafik 70

Rekayasa Trafik 71

Variance & Standard Deviation

 Kita tahu rata-rata, E[X], kenapa kita perlu Variance

& Standard Deviation?

 Seberapa jauh dari rata-rata?

 T = X – µ_x

E[T] = E[X – µ_x] = 0

Rekayasa Trafik 72

Variance

 Ukuran yg berguna adalah E[|T|]

Rekayasa Trafik 73

Standard Deviation



σ

_X

andingkan dg µ

_x



E

_x

. σ

_X

= 15, Score +6 dari mean

 OK. Pertengahan kelas



E

_x

. σ

_X

= 3,Score +6 dari mean

Rekayasa Trafik 74

Rekayasa Trafik 75

Mengapa Kita Perlu Derived

Random Variable

 Dari harga sampel dari random variable, harga-harga ini utk menghitung quantities lain

 Contoh:

– cari bentuk harga suatu decibel dari signal-to-noise ratio

Rekayasa Trafik 76

Contoh-1

 Random Variable X = # hal dlm satu fax PX(x) = jumlah hal dlm tiap fax

 Charging plan

– Hal ke-1 = 100 Rupiah

– Hal ke-2 = 90 Rupiah

– …

– Hal ke-5 = 60 Rupiah

– Hal 6 – 10 = 500 Rupiah

Rekayasa Trafik 77

Contoh-1



Random Variable Y = charge dlm Rupiah utk

mengirim satu fax

Rekayasa Trafik 78

PMF dari Y

Rekayasa Trafik 79

Rekayasa Trafik 80

Rekayasa Trafik 81

Rekayasa Trafik 82

Continuous Sample Space

 Utk Discrete: Set bilangan countable

– S_X = {-1,0,1,3,4}

– S_X = {-1,0,9,0,0,5,1,1,8,2.25,2.9,3}

 Utk continuous: Set bilangan uncountable

– S_X = Interval antara 2 limit

Rekayasa Trafik 83

Probabilitas dari Suatu Continuous

RV

 Mengukur T, waktu download S_T= {t | 0 < t < 12}

 Tebak waktu download adalah (0, 10] menit  Tebak waktu download adalah [5, 8] menit  Tebak waktu download adalah [5, 5.5] menit

Kemungkinan tebakan kita benar makin kecil

 Tebak waktu download adalah tepat 5.25 menit

Probabilitas utk tiap outcome individual adalah nol. Probabilitas yg jadi perhatian adalah suatu interval

Rekayasa Trafik 84

CDF

 Utk Discrete:

– Probability Mass Function PMF, P_X(X)

 Utk Continuous:

– Tdk mungkin utk mendefinisikan PMF

Rekayasa Trafik 85

Rekayasa Trafik 86

Rekayasa Trafik 87

Probability Density Function

 Slope dari CDF pd suatu region dekat x

 Probabilitas dari random variable X dekat x  Prob. Pd suatu region keci (∆) = slope * ∆

Rekayasa Trafik 88

Rekayasa Trafik 89

Rekayasa Trafik 90

Rekayasa Trafik 91

Beberapa Continuous RV Berguna



Uniform



Exponential

Rekayasa Trafik 92

Rekayasa Trafik 93

Rekayasa Trafik 94

Rekayasa Trafik 95

Rekayasa Trafik 96

Rekayasa Trafik 97

Rekayasa Trafik 98

Rekayasa Trafik 99

Mixed Random Variable

 Discrete RV  PMF & Summation

 Continuous RV  PDF & Integral

 Kombinasi dari Discrete dan Continuous RV

 Unit impulse function

 Dp menggunakan formulas sama utk menyatakan kedua RVs

Rekayasa Trafik 100

Rekayasa Trafik 101

Rekayasa Trafik 102

Rekayasa Trafik 103

Summary

 Probability and Random Variable  Discrete Random Variable

– Uniform/Bernoulli/Geometric/… – PMF & CDF

– Expected Value

– Variance & Standard Deviation

 Continuous Random Variable

– PDF

– Uniform/Exponential/Gaussian

 Multiple Random Variables  Stochastic Process