ENSEMBLE KALMAN FILTER PERMEABILITAS MENGGUNAKAN GAVER-STEHFEST PADA KASUS RESERVOIR CONSTANT RATE PRODUCTION : BOUNDED
(NO FLOW )
TUGAS AKHIR
Diajukan Untuk Memenuhi Persyaratan Program Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Dwi Endah Wuryani 10107019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
ENSEMBLE KALMAN FILTER PERMEABILITAS MENGGUNAKAN GAVER-STEHFEST PADA KASUS RESERVOIR CONSTANT RATE PRODUCTION : BOUNDED
(NO FLOW )
TUGAS AKHIR
Diajukan Untuk Memenuhi Persyaratan Program Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Dwi Endah Wuryani 10107019
Telah diperiksa dan disetujui Bandung, Oktober 2011 Pembimbing Tugas Akhir
Prof. Dr. Sutawanir Darwis NIP:130515683
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
Abstrak
Permeabilitas merupakan kemampuan batuan untuk mengalirkan fluida. Semakin besar nilai permeabilitas maka laju alir fluida semakin besar. Pada tugas akhir ini, permeabilitas diestimasi menggunakan metode EnKF (Ensemble Kalman Filter). Metode EnKF menggunakan solusi persamaan di-fusivitas sebagai transformasi non-linier. Untuk memperoleh solusi persamaan difusivitas, dapat digunakan invers Laplace secara analitik atau numerik (Gaver Stehfest ). Dalam menyelesaikan suatu persamaan terkadang tidak mudah diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, digunakan EnKF solusi numerik yaitu EnKF menggunakan solusi persamaan difusivitas dengan invers Laplace secara numerik (Gaver Stehfest ) untuk mengestimasi permeabilitas pada kasus bounded reservoir. Dengan membandingkan EnKF solusi analitik dan numerik, diperoleh hasil data updating tekanan dan permeabilitas dari EnKF solusi analitik dan numerik memberikan hasil yang tidak jauh berbeda.
Kata Kunci:
Ensemble Kalman Filter (EnKF), Gaver-Stehfest, updating tekanan, updating permeabilitas, estimasi permeabilitas
Abstract
Permeability is the ability of rock to drain the fluid. In this final project, the permeability is estimated using EnKF (Ensemble Kalman Filter). EnKF method uses the solution diffusivity equation as a non-linear transformation. Inverse Laplace analytically or numerically (Gaver Stehfest) can be used to obtain the solution diffusivity equation. Sometimes solving an equation are not easily solved analytically. Therefore, EnKF using a solution diffusivity equation with the inverse Laplace numerically (Gaver Stehfest) to estimate the permeability of the reservoir bounded case. By comparing the EnKF analytic and numerical solutions, the results of updating the pressure and permeability data from the EnKF analytic solutions and numerical are not much different. Keywords:
Ensemble Kalman Filter (EnKF), Gaver-Stehfest, pressure updating, perme-ability updating, permeperme-ability estimation
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahan rahmat, dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Ensemble Kalman Filter Permeabilitas Menggunakan Gaver-Stehfest Pada Kasus Reservoir Constant Rate Production: Bounded (No Flow) yang merupakan salah satu syarat untuk mencapai program sarjana di Pro-gram Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung.
Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, penulis memperoleh bantuan, bimbingan, dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis in-gin menyampaikan rasa terima kasih tak terhingga kepada dosen pembimbing tugas akhir, Prof. Dr. Sutawanir Darwis yang telah meluangkan waktu, mem-berikan ilmu, arahan, dan bimbingan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir. Selain itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih tak terhingga kepada:
1. Keluarga, Bapak Budi Santosa, dan Mama Hastami, yang selalu mem-berikan do’a, kasih sayang, bantuan dan dukungan selama ini. Kakak, Waskito Ariyanto dan adik, Indra Hutomo Santosa yang telah mem-berikan dukungan dan doa kepada penulis.
2. Dr. Agus Yodi Gunawan, Dr. Sri Redjeki Pudjaprasetya, dan Utriweni Mukhaiyar, M.Si, selaku dosen penguji seminar tugas akhir penulis yang telah memberikan masukan dan arahan dalam penyelesaian tugas akhir ini.
3. Dr. Muchtadi Intan Detiena, selaku dosen wali akademik yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam akademik.
v 4. Seluruh staf pengajar Matematika ITB yang telah memberikan ilmu
kepada penulis.
5. Ibu Diah, seluruh staf tata usaha, dan staf perpustakaan yang telah membantu penulis selama menuntut ilmu di Matematika ITB.
6. Kak Nelma, Teh Nisa, dan Kak Fery yang telah memberikan ilmu, ban-tuan, dan dukungan selama pengerjaan tugas akhir.
7. Aulia, Fera, Epi, Damay, dan Yansi, teman seperjuangan tugas akhir yang telah memberikan bantuan dan dukungan.
8. Sahabat-sahabat, Hafidzati Dini, Ranny Rachmaniar, Devi Aprianti, Nur Isna Khairunnisa yang telah memberikan keceriaan dan dukungan selama penulis menuntut ilmu, semoga persahatan kita terus berlanjut.
9. Teh Cici, Teh Astria, Teh Poppy, Teh Wina, Teh Ai, Teh Wiwit, Teh Wina, Teh Hesti yang telah berbagi ilmu dan pengalaman selama penulis menuntut ilmu.
10. Teman-teman Matematika angkatan 2007, seluruh sahabat KM3, MILIS, dan HIMATIKA yang senantiasa memberikan kebersamaan dan keceri-aan pada penulis.
11. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah membantu dalam penyelesaian tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih banyak kekurangan se-hingga saran dan kritik sangat penulis harapkan untuk penyempurnaan tugas akhir ini. Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Bandung, Oktober 2011 Penulis,
Daftar Isi
ABSTRAK ii
PRAKATA iv
Daftar Isi vi
Daftar Gambar ix
Daftar Tabel xiii
1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang . . . 1
1.2 Rumusan Masalah . . . 2
1.3 Ruang Lingkup Kajian . . . 2
1.4 Tujuan Penulisan . . . 2
1.5 Sistematika Penulisan . . . 2
2 LANDASAN TEORI 4 2.1 Persamaan Difusivitas . . . 4
2.2 Algoritma Gaver-Stehfest . . . 6
2.3 Solusi Persamaan Difusivitas pada Kasus Reservoir dengan Kondisi Batas Constant Rate Production : Bounded (No-Flow) . 10 2.4 Metode Sekuensial . . . 15
2.4.1 Kalman Filter (KF) . . . 16
2.4.2 Ensemble Kalman Filter(EnKF) . . . 18
2.5 Well Testing . . . 19
2.5.1 Pressure Drawndown Test . . . 19
vii
3 HASIL DAN PEMBAHASAN 23
3.1 Estimasi Permeabilitas Menggunakan EnKF . . . 23 3.2 Kesesuaian Updating Tekanan dan Permeabilitas pada EnKF
Solusi Analitik dan Numerik . . . 26 3.2.1 Kesesuaian Updating Tekanan pada EnKF Solusi
Anali-tik dan Numerik . . . 27 3.2.1.1 Boxplot Data Updating Tekanan Analitik dan
Numerik . . . 27 3.2.1.2 Skewness, Kurtosis . . . 29 3.2.1.3 Uji Kenormalan Data Updating Tekanan
Ana-litik dan Numerik . . . 31 3.2.1.4 Uji Fisher dan Uji-t pada Data Updating
Tekanan Analitik dan Numerik . . . 33 3.2.2 Kesesuaian Updating Permeabilitas pada EnKF Analitik
dan Numerik . . . 35 3.2.2.1 Boxplot Data Updating Permeabilitas Analitik
dan Numerik . . . 35 3.2.2.2 Skewness, Kurtosis . . . 37 3.2.2.3 Uji Kenormalan Data Updating Permeabilitas
Analitik dan Numerik . . . 39 3.2.2.4 Uji Fisher dan Uji-t pada Data Updating
Per-meabilitas Analitik dan Numerik . . . 41 3.3 Estimasi Permeabilitas pada Pressure Build-up Test
Menggu-nakan Regresi Linier . . . 43 3.4 Estimasi Permeabilitas pada Pressure Build-up Test
Menggu-nakan EnKF . . . 46 3.5 Kesesuaian Updating Tekanan dan Permeabilitas pada EnKF
Solusi Analitik dan Numerik dengan Data Pressure Build-up Test sebagai Data Observasi . . . 48 3.5.1 Kesesuaian Updating Tekanan pada EnKF Analitik dan
Numerik dengan Data Pressure Build-up Test sebagai Data Observasi . . . 49 3.5.1.1 Boxplot Data Updating Tekanan Analitik dan
Numerik . . . 49 3.5.1.2 Skewness, Kurtosis . . . 51 3.5.1.3 Uji Kenormalan Data Updating Tekanan
viii 3.5.1.4 Uji Fisher dan Uji-t pada Data Updating
Tekanan Analitik dan Numerik . . . 55 3.5.2 Kesesuaian Updating Permeabilitas pada EnKF Analitik
dan Numerik . . . 56 3.5.2.1 Boxplot Data Updating Permeabilitas Analitik
dan Numerik . . . 56 3.5.2.2 Skewness, Kurtosis . . . 58 3.5.2.3 Uji Kenormalan Data Updating Permeabilitas
Analitik dan Numerik . . . 60 3.5.2.4 Uji Fisher dan Uji-t pada Data Updating
Per-meabilitas Analitik dan Numerik . . . 62 3.6 Pengaruh Ukuran Ensemble yang Berbeda pada EnKF terhadap
Kenormalan Data dan Kekonvergenan Permeabilitas . . . 64
4 Simpulan dan Saran 70
4.1 Simpulan . . . 70 4.2 Saran . . . 70 Daftar Referensi 71 LAMPIRAN 72 Lampiran A 73 Lampiran B 74 Lampiran C 75 Lampiran D 79
Daftar Gambar
2.1 Aliran reservoir dilihat dari atas dan samping . . . 4
2.2 Plot invers Laplace secara analitik dan numerik dari persamaan F (s) = 1s terhadap t . . . 7
2.3 Plot invers Laplace secara analitik dan numerik dari persamaan F (s) = s2!3 dengan s > 0 terhadap t . . . 7
2.4 Plot invers Laplace secara analitik dan numerik dari persamaan F (s) = Γ(5)s3 dengan s > 0 terhadap t . . . 8
2.5 Plot invers Laplace secara analitik dan numerik dari persamaan F (s) = s2+10010 dengan s > 0 . . . 8
2.6 Plot invers Laplace secara analitik dan numerik dari persamaan F (s) = s2+100s dengan s > 0 . . . 9
2.7 Plot invers Laplace secara analitik dan numerik dari persamaan F (s) = 10 s2−100 dengan s > |10| . . . 9
2.8 Plot invers Laplace secara analitik dan numerik dari persamaan F (s) = s2−100s dengan s > |10| . . . 10
2.9 Plot tekanan terhadap waktu . . . 14
2.10 Plot solusi persamaan difusivitas dengan invers Laplace secara analitik dan numerik terhadap waktu . . . 15
2.11 Alur sekuensial . . . 16
2.12 Algoritma Ensemble Kalman Filter . . . 18
2.13 Prinsip superposisi pada pressure build-up test . . . 20
3.1 Plot tekanan terhadap waktu dengan tekanan awal 3534 psi pada tahap inisialisasi. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik (ii) Hasil dari EnKF solusi numerik . . . 24
3.2 Plot standar deviasi tekanan terhadap waktu. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik (ii) Hasil dari EnKF solusi numerik . . . . 24
x 3.3 Plot permeabilitas terhadap waktu dengan permeabilitas awal
15 md pada tahap inisialisasi. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik (ii) Hasil dari EnKF solusi numerik . . . 25 3.4 Plot standar deviasi permeabilitas terhadap waktu. (i) Hasil
dari EnKF solusi analitik (ii) Hasil dari EnKF solusi numerik . 25 3.5 Boxplot data updating tekanan analitik dan numerik dengan
data reservoir pada Tabel 2.1 . . . 28 3.6 Histogram tekanan updating analitik dan numerik pada t=200
dengan skewness bernilai 0.011982 dan kurtosis bernilai -0.146231 . . . 30 3.7 Histogram updating tekanan analitik dan numerik pada t=4000
dengan skewness bernilai 0.051639 dan kurtosis bernilai 0.126577 31 3.8 Histogram updating tekanan analitik dan numerik pada t=8000
dengan skewness bernilai -0.015465 dan kurtosis bernilai 0.247282 31 3.9 Boxplot data updating permeabilitas analitik dan numerik data
reservoir pada Tabel 2.1 . . . 36 3.10 Histogram updating permeabilitas analitik dan numerik pada
t=200 dengan skewness bernilai 0.146461 dan kurtosis bernilai 0.023638 . . . 38 3.11 Histogram updating permeabilitas analitik dan numerik pada
t=5200 dengan skewness bernilai -0.114612 dan kurtosis bernilai 0.044786 . . . 39 3.12 Histogram updating permeabilitas analitik dan numerik pada
t=8000 dengan skewness bernilai -0.100457 dan kurtosis bernilai 0.171875 . . . 39 3.13 Plot pws terhadap log(∆t+t∆tp) . . . 44
3.14 Plot tekanan terhadap waktu dengan tekanan awal 3405 psi pada tahap inisialisasi. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik menggunakan data pressure build-up test sebagai data observasi (ii)Hasil dari EnKF solusi numerik menggunakan data pressure build-up test sebagai data observasi . . . 46 3.15 Plot standar deviasi tekanan terhadap waktu. (i) Hasil dari
EnKF solusi analitik menggunakan data pressure build-up test sebagai data observasi (ii)Hasil dari EnKF solusi numerik meng-gunakan data pressure build-up test sebagai data observasi . . . 47
xi 3.16 Plot permeabilitas terhadap waktu dengan permeabilitas awal
14.05 md pada tahap inisialisasi. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik menggunakan data pressure build-up test sebagai data observasi (ii)Hasil dari EnKF solusi numerik menggunakan data pressure build-up test sebagai data observasi . . . 47 3.17 Plot standar deviasi permeabilitas terhadap waktu. (i) Hasil
dari EnKF solusi analitik menggunakan data pressure build-up test sebagai data observasi (ii)Hasil dari EnKF solusi numerik menggunakan data pressure build-up test sebagai data observasi 48 3.18 Boxplot data updating tekanan analitik dan numerik dengan
data pressure build-up test sebagai data observasi . . . 50 3.19 Histogram tekanan updating analitik dan numerik pada t=0.1
dengan skewness bernilai 0.0253853 dan kurtosis bernilai -0.0720074 . . . 52 3.20 Histogram updating tekanan analitik dan numerik pada t=26.07
dengan skewness bernilai 0.012611 dan kurtosis bernilai -0.328057 53 3.21 Histogram updating tekanan analitik dan numerik pada t=31.03
dengan skewness bernilai 0.086478 dan kurtosis bernilai -0.194402 . . . 53 3.22 Boxplot data updating permeabilitas analitik dan numerik
de-ngan pressure build-up test sebagai data observasi . . . 57 3.23 Histogram updating permeabilitas analitik dan numerik pada
t=0.1 dengan skewness bernilai 0.00755 dan kurtosis bernilai 0.264753 . . . 60 3.24 Histogram updating permeabilitas analitik dan numerik pada
t=31.03 dengan skewness bernilai 0.104475 dan kurtosis bernilai 0.302148 . . . 60 3.25 Histogram updating permeabilitas analitik dan numerik pada
t=34.98 dengan skewness bernilai 0.08517 dan kurtosis bernilai 0.325835 . . . 60 3.26 Plot tekanan terhadap waktu dan plot permeabilitas terhadap
waktu dengan menggunakan data reservoir pada Tabel 2.1. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik dengan ukuran ensemble 20 (ii) Hasil dari EnKF solusi numerik dengan ukuran ensemble 20 . . 64
xii 3.27 Plot tekanan terhadap waktu dan plot permeabilitas terhadap
waktu dengan menggunakan data reservoir pada Tabel 2.1. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik dengan ukuran ensemble 100 (ii) Hasil dari EnKF solusi numerik dengan ukuran ensemble 100 . . 65 3.28 Plot tekanan terhadap waktu dan plot permeabilitas terhadap
waktu dengan menggunakan data pressure build-up test pada Tabel 3.10. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik dengan ukuran ensemble 41 (ii) Hasil dari EnKF solusi numerik dengan ukuran ensemble 41 . . . 67 3.29 Plot tekanan terhadap waktu dan plot permeabilitas terhadap
waktu dengan menggunakan data pressure build-up test pada Tabel 3.10. (i) Hasil dari EnKF solusi analitik dengan ukuran ensemble 100 (ii) Hasil dari EnKF solusi numerik dengan ukuran ensemble 100 . . . 68 3.30 Boxplot dari nilai kekonvergenan permeabilitas pada beberapa
Daftar Tabel
2.1 Data reservoir . . . 13 3.1 Skewness, kurtosis data updating tekanan analitik dan numerik . 30 3.2 Uji kenormalan data updating tekanan numerik, dan analitik . . 32 3.3 Uji-F data updating tekanan numerik dan analitik . . . 33 3.4 Uji-t data updating tekanan analitik dan numerik . . . 34 3.5 Skewness, kurtosis data updating permeabilitas analitik dan
nu-merik . . . 38 3.6 Uji kenormalan pada data updating permeabilitas numerik dan
analitik . . . 40 3.7 Uji-F data updating permeabilitas numerik dan data analitik . . 42 3.8 Uji-t data updating permeabilitas numerik dan data analitik . . 43 3.9 Data reservoir pada pressure build-up test . . . 43 3.10 Data hasil pressure build-up test . . . 44 3.11 Coefficient . . . 45 3.12 Skewness, kurtosis data updating tekanan analitik dan numerik
dengan pressure build-up test sebagai data observasi . . . 52 3.13 Uji kenormalan data updating tekanan numerik dan analitik
de-ngan pressure build-up test sebagai data observasi . . . 54 3.14 Uji-F data updating tekanan analitik dan numerik dengan
pres-sure build-up test sebagai data observasi . . . 55 3.15 Uji-t data numerik dan data analitik dengan pressure build-up
test sebagai data observasi . . . 56 3.16 Skewness, kurtosis data updating permeabilitas analitik dan
nu-merik dengan pressure build-up test sebagai data observasi . . . 59 3.17 Uji kenormalan data updating permeabilitas analitik dan
nu-merik dengan pressure build-up test sebagai data observasi . . . 61
xiv 3.18 Uji-F data updating permeabilitas analitik dan numerik dengan
pressure build-up test sebagai data observasi . . . 62 3.19 Uji-t data updating permeabilitas analitik dan numerik dengan
