PERSAMAAN BERNOULLI. Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng

(1)

PERSAMAAN BERNOULLI

Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng

Pendahuluan

Pada zat cair diam, gaya hidrostatis mudah dihitung karena hanya bekerja gaya tekanan.

Pada zat cair mengalir, diperhitungkan kecepatan, arah partikel, kekentalan yang menyebabkan gesekan antar partikel maupun dinding batas.

Persamaan energi gerak partikel diturunkan dari persamaan gerak.

Persamaan energi → persamaan Euler untuk

3-D, persamaan Bernoulli untuk 1-D.

(2)

Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli adalah hubungan pendekatan antara tekanan, kecepatan , p dan elevasi dan berlaku dalam aliran mantap, tak termampatkan dimana gaya geseran netto diabaikan.

Persamaan berguna dalam daerah aliran di luar lapis batas (boundary layers)

Chapter 6: Persamaan Bernoulli

batas (boundary layers), dimana gerak fluida ditentukan efek gabungan gaya tekanan dan gaya berat.

Persamaan Bernoulli

Anggapan:

Zat cair ideal, tidak mempunyai kekentalan Zat cair ideal, tidak mempunyai kekentalan Zat cair homogen, tidak termampatkan Aliran kontinu dan sepanjang garis arus (irrotational flow)

Kecepatan merata p

Gaya yang bekerja hanya gaya berat dan

tekanan.

(3)

Garis aliran

Gaya-gaya yang Bekerja

Ditinjau elemen zat cair pada garis arus,

(4)

Penurunan Persamaan Bernoulli

Go to Hydrodynamic Analysis

Gaya-gaya yang Bekerja

p ⎞

⎛ ∂

Gaya tekan dari up stream: p.dA

d i d t

ds dA

s

p p ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

dari down stream:

Berat zat cair: W = ρ .g.dA.ds

Komponen berat arah s : ρ .g.dA.ds.cos θ : ρ .g.dAds. ∂ z/ ∂ s Resultan gaya:

s ds z dA g ds s dA F p

∂

− ∂

∂

− ∂

= . ρ . . .

(5)

Keseimbangan Gaya

Menurut hukum Newton II:

F = M.a

z

p ∂

∂

Bila v = f(s,t) →

a ds s dA

ds z dA g ds s dA

p . ρ . . . = ρ . .

∂

− ∂

∂

− ∂

( p z ) a s + γ = ρ

∂

− ∂

s v v t v t s s v t v dt a dv

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

∂ + ∂

∂

= ∂

=

Sehingga pers menjadi:

→ pers. Euler

( + . ) = 0

∂ + ∂

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂ p z

s s v v t

v γ

ρ

Persamaan Bernoulli

Dari pers. Euler

Untuk aliran tetap 1-D, dv/dt =0 maka

(

+ .

)

=0

∂ + ∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂

∂ p z

s s v v t

v

γ

ρ

atau → pers. Bernoulli

( + . ) = 0 + d p z

vdv γ

ρ

C z p

v + + γ = ρ

²

2 1

const v H

z + p + = = 2

2

dimana : H = total head (tinggi tekan total) z = potential head (tinggi tempat)

p = pressure head (tinggi tekan) v²/2g = velocity head (tinggi kecepatan)

g

γ 2

(6)

Garis Energi Zat Cair Ideal

Persamaan energi:

g v z p

H 2

+

2

+

= γ

Persamaan Bernoulli

Tanpa memperhitungkan kehilangan energi, dua titik pada garis arus yang sama memenuhi

2 2

P V P V

dimana P/ρ : energi aliran, V

²

/2 : energi kinetis, dan gz :

energi potensial,

semua per unit mass.

Persamaan Bernoulli dapat dilihat sebagai pernyataan keseimbangan energi mekanis (mechanical energy

2 2

1 1 2 2

1 2

1

2

2 P V P V

z z

g g g g

ρ ⁺ ^{+ =} ρ ⁺ ⁺

keseimbangan energi mekanis (mechanical energy

balance)

Dinyatakan dalam kata-kata oleh ahli matematik Swiss

Daniel Bernoulli (1700–1782) dalam teks ditulis pada

tahun 1738.

(7)

Persamaan Bernoulli

Keseimbangan gaya tegak lurus garis arus

Keseimbangan gaya dalam arah-n tegak lurus garis arus untuk aliran mantap, tak termampatkan:

untuk aliran sepanjang garis lurus, R → ∞, maka persamaan menjadi:

menjadi:

adalah pernyataan untuk variasi tekanan hidrostatis sebagaimana sama dengan dalam fluida diam

Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak mantap, termampatkan

adalah:

(8)

Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi

Persamaan Bernoulli

P adalah tekanan statis; ini merepresentasi tekanan

termodinamika aktual dari fluida.

ρ

V²

/2 adalah tekanan dinamis; ini merepresentasi kenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.

kenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.

ρ

gz adalah tekanan hidrostatis, tergantung pada

bidang referensi yang ditetapkan.

Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi

Jumlah tekanan statis, dinamis, dan hidrostatis disebut tekanan total (konstan sepanjang garis (konstan sepanjang garis arus).

Jumlah tekanan statis dan dinamis disebut tekanan stagnasi,

Kecepatan fluida pada titik itu

dapat dihitung dari :

(9)

Aplikasi Persamaan Energi

Titik 2 : titik stagnasi

Dari pers energi didapat: p

₂

= p

₁

+ ½ ρ v

₁²

Tekanan dinamis = ½ ρ v

₁²

Tekanan stagnasi = p

₂

Tabung Stagnasi

g z V p g z V p

2 2

22 2 2

12

1

+

1

+ = + +

γ γ

p p V

p g V p

2 ) 2 (

2

1 2 2

1 2 2 1 1

−

=

= +

ρ γ γ

gl V

d d l 2

) ) ( 2 (

1

=

− +

= γ γ

ρ

(10)

Tabung Stagnasi dalam Pipa

g V

2 2 V

H p

2

γ p

Flow Pipe

z g H p

+2 +

=γ

2

Chapter 6: Persamaan Bernoulli z

=0 z

1

Pipa Pitot-statis

Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari:

Piezometer mengukur tekanan statis.

(11)

Alat Pengukur Kecepatan (Pitot)

D i i ½

²

Dari pers energi : p

₂

= p

₁

+ ½ ρ v

₁²

ρ gh

₂

= ρ gh

₁

+ ½ ρ v

₁²

(

₂ ₁

)

1

2 g h h

v = −

Venturi meter

Total energi titik 1 = total energi titik 2 Total energi titik 1 = total energi titik 2

Dari persamaan tsb dapat dihitung debit aliran

2 2 2 1 2 1

1 2

A A gh A A C Q

man

d

act −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= ρ

ρ

(12)

Garis Energi dan Garis Tekanan

Sering lebih enak untuk menggambar energi mekanis nenggunakan tinggi.

P/ρg adalah tinggi tekanan; ini merepresentasikan tinggi kolom fluida yang menghasilkan tekanan statis P.

V²/2g adalah tinggi kecepatan; ini merepresentasikan elevasi yang diperlukan untuk fluida mencapai kecepatan V selama jatuh bebas

p p p j

tanpa gesekan.

zadalah tinggi elevasi; ini merepresentasikan energi potensial dari fluida.

Hadalah tinggi total.

Garis Energi dan Garis Tekanan

Garis Tekanan (HGL) HGL P +

Garis Energy (EGL) (atau tinggi total)

HGL z

ρ g

= +

P V

2

2 P V

EGL z

g g

= ρ + +

(13)

Garis Energi Aliran Zat Cair Riil

HGL dan EGL

Untuk benda diam seperti waduk atau danau, EGL dan HGL berimpit dengan permukaan bebas zat cair, sepanjang kecepatannya nol danp j g p y tekana statis (gage) = nol.

EGL selalu berjarak V²/2g di atas HGL.

Dalam idealized Bernoulli-type flow, EGL horisontal dan tingginya tetap konstan. Ini juga untuk HGL bila kecepatan aliran konstan.

Untuk aliran saluran terbuka (open- channel flow) HGL berimpit dengan channel flow),HGL berimpit dengan permukaan bebas zat cair, dan EGL berjarak V²/2g di atas permukaan bebas.

(14)

HGL dan EGL

Tekanan fluida (gage) adalah nol pada titik dimana HGL memotong fluida.Tekanan dalam bagian aliran yang terletak di atas HGL negatif bagian aliran yang terletak di atas HGL negatif, dan tekanan bagian yang terletak di bawah HGL positif.

Garis Energi Aliran Pipa-Waduk

Kecepatan aliran dalam pipa = 0

(15)

Garis Energi Aliran Pipa-Waduk

Aliran zat cair ideal

Garis Energi Aliran Pipa-Waduk

Aliran zat cair riil

(16)

Contoh

Diketahui: kecepaian dalam outlet pipa dari reservoir adalah 6 m/s dan h = 15 m.

Hitung : Tekanan di A.

Penyelesaian : persamaan Bernoulli titik 1

h V p

g V p

h g

g z V p g z V p

A A

A A A

18 ) 15 ( 9810 ) (

0 2 2

0 0

2 2

2 12

1 1

−

=

−

=

+ +

= + +

+ +

= + +

γ γ γ

γ γ

Titik A

kPa p

h g p

A A

2 . 129

81) . 5 9 ( 98 0 2 )

(

= γ

Contoh

Diketahui: D=30 in, d=1 in, h=4 ft Hitung: V_A

Penyelesaian: persamaan Bernoulli

Point 1

gh V

g V h g

g z V p g z V p

A A A A

2 0 2 0 2

0 0

2 2

2 2 2

1 1 1

= + +

+ +

= + +

γ γ

γ

γ ^{Point A}

s ft gh V_A

/ 16

2

=

(17)

Contoh – Tabung Venturi

Diketahui: air 20^oC, V₁=2 m/s, p₁=50 kPa, D=6 cm, d=3 cm

Hitung : p2dan p3

Penyelesaian : persamaan kontinuitas. D d D

Persamaan Bernoulli 2 1 2 1 1 2

2 2 1 1

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

d V D A V A V

A V A V

1

2

3

V V p p

g z V p g z V p

) 2(

2 2

2 2 2 1 1 2

22 2 2 12 1 1

− +

=

+ +

= + +

ρ γ

γ Sama halnya untuk 2 Æ 3, atau 1 Æ 3

kPa p =150

Nozzle: kecepatan meningkat, tekanan turun

Diffuser: kecepatan turun, tekanan meningkat

Chapter 6: Persamaan Bernoulli ( )

( )

kPa p

Pa V d D p

120

2 ] 3 / 6 1 2 [ 000 1000 , 150

] / 1 [ 2

2

2 4 2 1 4 1

=

− +

=

− +

= ρ

Penurunan tekanan terjadi, selama dianggap tidak ada kehilangan karena gesekan

kPa p₃=150

( / )] 1 [

) ( 2

4 2 1

2 d D

p V p

−

= − ρ Tahu penurunan tekanan 1 Æ 2 dan d/D,

dapat dihitung kecepatan dan debit

Analisis Energi Aliran Mantap

Jika tidak ada kehilangan energi mekanis dan tidak ada peralatan kerja mekanis, maka persamaan Bernoulli menjadi:

2 2

1 1 2 2

P V P V

z z

+ + + +

Faktor koreksi energi kinetis, α

Menggunakan kecepatan aliran rata-rata dalam persamaan dapat menyebabkan kesalahan dalam perhitungan energi kinetis; oleh karenanya, α, faktor koreksi energi kinetis, digunakan untuk mengkoreksi kesalahan dengan mengganti

t i ki ti V

²

/2 d l i d

1 1 2 2

1 2

1 2 z 2 2 z

g g g g

ρ

⁺ ^{+ =}

ρ

⁺ ⁺

term energi kinetis V

²

/2 dalam persamaan energi dengan αV

_avg²

/2.

α = 2.0 untuk aliran laminer dalam pipa, dan antara 1.04 dan 1.11 untuk aliran turbulen dalam pipe bulat.

(18)

Faktor Koreksi Energi Kinetik

Kecepatan rata-rata pada penampang v, energi kinetik

v²/2g

g

Kenyataan kecepatan tidak merata, sehingga energi kinetik rata-rata α

.v²/2g