TEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung. M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.

(1)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 12

A‐2 TEOREMA GOURSAT

Konstruksi subgrup dari grup darab langsung

M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si.

Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma

Abstrak

Darab langsung G× dari grup G dan H adalah grup terhadap H perkalian per komponen. Selain itu bila A adalah subgrup dari G dan C adalah subgrup dari H, maka A× adalah subgrup dari C G× . H Sedangkan bila S× adalah subgrup dari T G× , belum tentu S H merupakan subgrup dari G dan T merupakan subgrup dari H.

Teorema Goursat memberikan prosedur yang sistematis untuk mencari semua subgrup dari suatu grup darab langsung.

Kata kunci : darab langsung, grup, subgrup.

1.Pendahuluan

1,1 Latar Belakang Masalah

Dalam perkuliahan tentang teori grup, mahasiswa diperkenalkan dengan bermacam‐macam metode untuk mengkonstruksi contoh‐contoh yang merupakan grup atau bukan grup. Apa yang kelihatannya luput dalam silabus perkuliahan teori grup adalah sebuah teorema, yang pertama kali dibuktikan oleh Edouard Jean_Baptiste Goursat (1858‐1936) pada tahun 1889, yang menunjukkan hubungan yang ‘indah’ antara beberapa topik elementer dari teori grup. Pembahasan tentang subgrup dari suatu darab langsung, bila ada, biasanya singkat dan tidak lengkap.

Goursat dikenal di kalangan matematikawan karena bukunya Cours d’analyse mathematique ( A Course in Mathematical Analysis ), yang dalam buku tersebut Goursat memperbaiki teorema integral Cauchy, yang kemudian dikenal secara luas sebagai Teorema Cauchy‐Goursat. Teorema tersebut menyatakan bahwa integral dari fungsi analitik pada kurva tertutup sederhana adalah nol.

(2)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Tulisan ini akan membahas teorema Goursat yang lain, yang secara lengkap menjelaskan tentang subgrup dari suatu darab langsung. Selanjutnya teorema tersebut akan disebut sebagai Teorema Goursat. Adapun bukti dari Teorema Goursat cukup didasarkan pada beberapa topik dasar dari teori grup: subgrup, subgrup normal, koset, grup kuosien, indeks, order,darab langsung, bijeksi, dan isomorfisma. Dengan demikian mudah diterima oleh mahasiswa yang mengikuti perkuliahan aljabar abstrak, khususnya teori grup. Di samping itu penulis akan mencoba menyusun kembali bukti Teorema Goursat tersebut dan Corollarynya ke dalam barisan teorema‐teorema — yang dalam perkuliahan bisa dijadikan sebagai kumpulan soal‐soal latihan — dengan maksud agar pada akhir semester, teorema tersebut dapat dipahami dan dibuktikan tanpa banyak kesulitan.

Digunakan notasi A<B untuk menyatakan A adalah subgrup normal dari B , notasi e_G untuk menyatakan elemen identitas dari grup G (atau dengan e bila konteksnya jelas), dan notasi 1 untuk menyatakan subgrup trivial dari G. Notasi teori grup yang lainnya adalah standar. Dalam tulisan ini untuk menyingkat penulisan, bukti teorema tidak disertakan.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasar uraian dalam latar belakang masalah di atas, dapat dituliskan rumusan masalah sebagai berikut :

1.Bagaimana bunyi Teorema Goursat yang mengenai konstruksi subgrup dari grup darab langsung?

2. Bagaimana langkah‐langkah pembuktian teorema tersebut?

1.3. Tujuan dan Manfaat

Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk memberikan kontribusi terhadap pengembangan matematika khususnya bidang aljabar abstrak dan pengajarannya.

(3)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

2. Pembahasan

2.1.Subgrup dari suatu darab langsung

Teorema 1. Bila A adalah subgrup dari G dan C adalah subgrup dari H, maka A× C adalah subgrup dari G× . H

Teorema 2. Diagonal dari G× , yang didefinisikan dengan D = G {(g,g)|g∈D}, adalah subgrup dari G× . G

Untuk melihat bahwa Teorema 1 dan 2 belum memberikan daftar yang lengkap dari subgrup‐subgrup, misalkan Z₃ = x = {e,x,x²}, dan perhatikan darab langsung

3

3 Z

Z × . Mudah diperiksa bahwa himpunan {(e,e),(x,x²),(x²,x)} adalah subgrup yang bukan merupakan darab langsung dari subgrup‐subgrup, bukan pula subgrup diagonal. Seperti yang dikatakan di depan bahwa Teorema Goursat akan memperlihatkan prosedur yang sistematis untuk memeriksa setiap subgrup dari darab langsung.

2.2.Teorema Goursat

Kita akan menggunakan istilah grup kuosien atau disingkat kuosien, untuk bentuk B

A / , di mana A adalah grup dan B<A. Bila A = B, maka A /B disebut kuosien trivial karena isomorfis dengan grup trivial berorde 1.

Teorema Goursat. Misal G dan H adalah grup. Maka terdapat bijeksi antara himpunan S yang terdiri dari subgrup dari G× dan himpunan T yang terdiri dari semua tripel H

) , / , /

(A B C D ϕ di mana A /B adalah kuosien dalam G, C /D adalah kuosien dalam H, dan ϕ:A/B→C/D adalah isomorfisma.

Atau secara sederhana, Teorema Goursat mengatakan bahwa struktur subgrup dari darab langsung bergantung pada struktur kuosien dari grup faktor. Penting dicatat

(4)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

bahwa, di samping isomorfisma identitas, isomorfisma yang lain mungkin ada antara kuosien‐kuosien tak trivial yang isomorfis, masing‐masing berkorespondensi dengan subgrup tunggal dalam darab langsung. Alasan mengapa Z₃×Z₃ memuat subgrup yang tidak dapat diperoleh dari Teorema 1 dan 2 (lihat paragraf di bawah Teorema 2) adalah bahwa kedua teorema tersebut hanya meneliti subgrup‐subgrup yang berkorespondensi dengan isomorfisma trivial atau identitas.

Alat yang dipakai untuk membantu menggambarkan struktur subgrup dari suatu grup adalah diagram Hasse. Dalam diagram Hasse, subgrup dinyatakan dengan titik, dan relasi termuat dinyatakan dengan garis yang menghubungkan subgrup‐

subgrup. Dengan ketentuan bahwa subgrup yang memuat subgrup yang lain digambar lebih tinggi. Diagram Hasse dalam Gambar 1 menunjukkan subgrup‐subgrup yang relevan dengan subgrup U dari G× . Subgrup‐subgrup antara dua subgrup di sana H tidak digambar.

Gambar 1. Visualisasi subgrup U dari G× . H

(5)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

2.2.Pembuktian Teorema Goursat

Misal G dan H adalah grup, misal S adalah himpunan semua subgrup dari G× , dan H misal T adalah himpunan semua tripel (A/B,C/D,ϕ) di mana B<A≤ G , D<C≤ H, dan ϕ:A/B→C/D adalah isomorfisma grup.

Teorema 3. Misal (A/B,C/D,ϕ) adalah tripel dalam T, dan didefinisikan }

) (

| )

,

{(g h A C gB hD

U_ϕ = ∈ × ϕ = .

Maka U_ϕadalah subgrup dari G× . H

Teorema 4. Untuk subgrup U dalam S, misalkan U

h g G g

A_U ={ ∈ |( , )∈ untuk suatu h∈H}, B_U ={g∈G|(g,1)∈U},

C_U ={h∈H |(g,h)∈U untuk suatu g∈G}, dan D_U ={h∈H |(1,h)∈U},

dan didefinisikan pemetaan ϕ_U :A_U /B_U →C_U /D_U dengan

U U

U(gB )=hD

ϕ bila (g,h)∈U. Maka

(a). A_U adalah subgrup dari G dan C_U adalah subgrup dari H. (Subgrup ini kadang disebut proyeksi dari U pada grup faktor .)

(b). B_U adalah subgrup normal dari D_U adalah subgrup normal dari C_U. (c). ϕ_Uadalah isomorfisma grup.

Teorema 5. Didefinisikan pemetaan α:S →T dan β :T →S dengan

= )

α(U (A_U /B_U,C_U /D_U,ϕ_U ) dan

ϕ ϕ

β(A/B,C/D, )=U .

Maka α adalah bijeksi dengan invers β .

(6)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Teorema 3 dan 4 menunjukkan bagaimana membentuk subgrup dalam S bila diberikan suatu tripel dalam T, dan sebaliknya.Yaitu, bila diberikan tripel

) , / , /

(A B C D ϕ dalam T, kita tentukan bayangan dari koset gB terhadap ϕ . Maka U_ϕ tidak lain adalah himpunan semua pasangan terurut elemen‐elemen dari gB dan hD . Sebaliknya, bila diberikan subgrup U, himpunan koordinat pertamanya membentuk A, dan himpunan koordinat pertamanya yang dipasangkan dengan elemen identitas membentuk B; subgrup C dan D dibentuk dengan cara sama. Isomorfisma ϕ kemudian dapat ditentukan. Contoh‐contoh di bawah ini menunjukkan langkah‐langkah tersebut.

2.3.Contoh‐contoh

Contoh 1. Misal G = Z₃= x ,dan misal H =Z₉= y . Dalam G× , enam subgrup H 1×1, 1× y³ , 1 Z× ₉, Z₃×1, Z₃× y³ , dan Z₃×Z₉ diperoleh dari kuosien trivial.

Satu‐satunya kuosien tak trivial dari Z₃ adalah Z₃/1, yang isomorfis dengan kedua kuosien Z₉ / y³ dan y³ /1 dalam Z₉. Masing‐masing pasangan ini berkorespondensi dengan dua subgrup, yaitu yang diperoleh dari dua isomorfisma yang berbeda dari grup siklik berorde 3 ke dirinya sendiri. Diagram Hasse untuk

9

3 Z

Z × lengkapnya ditunjukkan dalam Gambar 2.

Gambar 2. Diagram Hasse dari Z₃×Z₉

(7)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Contoh 2. Misal G =

63

Z = x , dan misal H adalah grup yang terdiri dari enam simetri dari segitiga samasisi di mana dua rotasi berorde 3 dinyatakan dengan r dan r², dan pencerminan berdorde 2 dengan s₁, s₂, dan s₃₁. Tabel 1 mendaftar kuosien‐kuosien yang dipakai.

Tabel 1. Kuosien‐kuosien untuk Contoh 2

Kuosien dalam G Orde Kuosien dalam H Orde

G

G / 1 H /H 1

2 2 / x

x 1 r / r 1

3 3 / x

x 1 s₁ / s₁ 1

1/1 1 s₂ / s₂ 1

s₃ / s₃ 1

1/1 1

/ x2

G 2 H / r 2

1

3 /

x 2 s₁ /1 2

s₂ /1 2

s₃ /1 2

/ x3

G 3 r /1 3

1

2 /

x 3

G/1 6 H/1 6

Misalkan kita akan mencari subgrup U yang berkorespondensi dengan tripel (G/ x³ , r /1,ϕ ), di mana ϕ : G/ x³ → r /1 didefinisikan dengan ϕ(x x³ )=r²1. Karena

} { }) ,

({e_G x³ = e_H

ϕ ,

(8)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

} { }) ,

({x x⁴ = r²

ϕ ,

} { }) ,

({x² x⁵ = r

ϕ ,

maka U ={(e_G,e_H),(x³,e_H),(x,r²),(x⁴,r²),(x²,r),(x⁵,r)}.

Sebaliknya, misal diberikan subgrup V, akan dicari tripel yang berkorespondensi dengan subgrup tersebut. Sebagai contoh, bila

) , {(e_G e_H

V = , (eG,r), (eG,r²), ( x ,s₁), ( x ,s₂), ( x ,s₃), (x²,e_H), (x²,r), (x²,r²), (x³,s₁), (x³,s₂), (x³,s₃), (x⁴,e_H), (x⁴,r), (x⁴,r²), (x⁵,s₁), (x⁵,s₃), (x⁵,s₃)},

maka A adalah himpunan semua koordinat pertama, B adalah himpunan semua koordinat petama yang dipasangkan dengan e_H, C adalah himpunan semua koordinat kedua, dan D adalah himpunan semua koordinat kedua yang dipasangkan dengan e_G. Dngan demikian

A = {e_G, x , x², x³, x⁴, x⁵} = G B = {eG, x², x⁴} = x²

C = {e_H, r, r², s₁, s₂, s₃} = H D = {e_H, r, r²}.

Karena A/B dan C/D berorde 2, isomorfisma ϕ harus isomorfisma identitas. Maka, subgrup V berkorespondensi dengan tripel (G / x² , H / r , ϕ ) , di mana ϕ : G / x²

→ H / r didefinisikan dengan ϕ(x x² )=s₁ r .

Perhatikan bahwa kuosien yang berorde 6 hanyalah G/1 dan H/1, yang tidak isomorfis, sehingga G× tidak mempunyai subgrup yang berkorespondensi dengan H kuosien‐kuosien ini.

2.4.Aplikasi Teorema Goursat

Kita dapat membentuk subgrup dari suatu darab langsung bila diberikan dua kuosien yang isomorfis yaitu dengan mencari semua pasangan terurut yang mungkin yang koordinat pertamanya diambil dari A dan koordinat keduanya diambil dari bayangan koset A / B dalam C / D. Cara tersebut mempermudah kita untuk mencari

(9)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

orde dan indeks subgrup dari suatu darab langsung berhingga, seperti yang dinyatakan dalam Teorema 6 berikut, yang diambil dari buku [ 1 ].

Teorema 6. Misal G dan H adalah grup berhingga, dan misal U adalah subgrup dari H

G× . Maka :

(a). |A_U |.|D_U | = | U | = |B_U |.|C_U |.

(b). [G:A_U].[H :D_U] = [G×H:U] = [G:B_U].[G:C_U].

Teorema 7. Misal G=H₁×...×H_n adalah grup berhingga di mana orde subgrup H_i dan

ji

H adalah relatif prima bila i≠ . Bila U adalah subgrup dari G, maka j Hn

U H

U

U = I ₁×...× I .

3.Kesimpulan dan Saran

Bila A adalah subgrup dari G dan C adalah subgrup dari H, maka A× adalah C subgrup dari G× . Selain itu diagonal dari H G× , yang didefinisikan dengan D = G

}

| ) ,

{(g g g∈D , juga merupakan subgrup dari G× . Akan tetapi subgrup dari suatu G darab langsung belum tentu merupakan darab langsung dari subgrup‐subgrup.

Teorema Goursat yang intinya mengatakan bahwa struktur subgrup dari suatu darab langsung bergantung pada struktur kuosien dari grup faktor, memberikan prosedur yang sistematis untuk mencari semua subgrup dari suatu darab langsung. Dan secara persisnya diperoleh bahwa bila G=H₁×...×Hn adalah grup berhingga di mana orde subgrup Hi dan

ji

H adalah relatif prima bila i≠ . Bila U adalah subgrup dari G, maka j Hn

U H

U

U = I ₁×...× I .

Disarankan mengingat keterbatasan waktu dalam perkuliahan, materi tersebut dibahas dalam bentuk kumpulan soal‐soal latihan dan dijadikan tugas kelompok — dengan maksud agar pada akhir semester, teorema tersebut dapat dipahami dan dibuktikan tanpa banyak kesulitan.

(10)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Daftar Pustaka

Crawford, R.R. and Wallace, K.D., On the number of subgrup of index two—an application of Goursat’s theorem, Math.Mag.48 (1975) 172‐174.

Gallian, J.A., Contemporary Abstract Algebra, 4^th ed., Houghton Mifflin, Boston, 1998.

Hungerford, T.W., Abstract Algebra: An Introduction, 2^nd ed., Brooks/Cole, Pacific Grove CA, 1997.

Petrillo, J., Goursat’s Other Theorem, The College Mathematics Journal, Vol.40, No.2 (2009) 119‐124