FORMULA SELISIH DAN PENJUMLAHAN BARISAN BILANGAN k-fibonacci. Rini Adha Apriani ABSTRACT

FORMULA SELISIH DAN PENJUMLAHAN BARISAN BILANGAN k-FIBONACCI

Rini Adha Apriani

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

riniadha@yahooo.co.id

ABSTRACT

This article discusses the formula of k-Fibonacci difference sequences from the initial k-Fibonacci numbers and formula for the sum of these new sequences as. This formula is evidenced by the concept of k-Fibonacci difference sequences.

Keywords: k-Fibonacci numbers, k-Fibonacci sequences, k-Fibonacci difference sequences

ABSTRAK

Artikel ini membahas formula selisih barisan k-Fibonacci dari barisan bilangan k- Fibonacci yang utama dan formula penjumlahan untuk barisan selisih yang baru.

Formula ini dibuktikan menggunakan konsep dari selisih barisan bilangan k- Fibonacci.

Kata kunci: Bilangan k-Fibonacci, barisan k-Fibonacci, selisih barisan bilangan k-Fibonacci

1. PENDAHULUAN

Barisan bilangan Fibonacci adalah salah satu barisan bilangan yang menarik.

Di dalam buku Burton [2, h. 284] dijelaskan bahwa barisan bilangan Fibonacci dikenal setelah seorang matematikawan Italia bernama Leonardo Fibonacci pada tahun 1202, di dalam bukunya berjudul LiberAbaci melakukan sebuah penga- matan terhadap peternakan kelinci. Di dalam buku Koshy [5, h.128] di- jelaskan bahwa pengamatan dilakukan selama satu tahun terhadap sepasang ke- linci, seekor jantan dan seekor betina. Dengan asumsi bahwa setiap pasang kelinci akan menjadi dewasa setiap bulannya, setiap pasang kelinci melahirkan sepasang

pertama lahir sepasang kelinci, berarti belum terdapat pasangan kelinci dewasa, kemudian sepasang kelinci tersebut membutuhkan waktu selama satu bulan untuk menjadi dewasa dan masih berjumlah satu pasang hingga akhir bulan per- tama. Lalu, pasangan kelinci yang telah menjadi dewasa melahirkan pasangan ke- linci baru pada akhir bulan kedua, jadi terdapat dua pasang kelinci. Sepasang kelinci yang telah dewasa kemudian melahirkan pasangan kelinci yang baru lagi di bulan ketiga sedangkan pasangan kelinci yang baru lahir di bulan kedua masih membutuhkan waktu selama satu bulan hingga bulan keempat untuk menjadi dewasa sehingga terdapat tiga pasang kelinci. Pasangan kelinci yang dewasa pada bulan keempat telah berjumlah dua pasang dan masing-masing melahirkan sepasang kelinci sehingga menjadi lima pasang kelinci termasuk pasangan kelinci yang lahir di bulan ketiga yang masih membutuhkan waktu satu bulan hingga bu- lan kelima untuk menjadi dewasa. Hal serupa terjadi berulang pada bulan-bulan berikutnya. Pengamatan tersebut menghasilkan sebuah barisan bilangan yang ditulis Fibonacci sebagai berikut:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,· · · .

Di dalam Rosen [6, h. 158] juga dijelaskan bahwa barisan Fibonacci adalah barisan yang diperoleh dengan menambahkan dua suku bilangan sebelumnya.

Barisan Fibonacci berawal dari bilangan 0 dan 1 atau F₀ = 0 dan F₁ = 1 dan secara rekursif didefinisikan sebagai

F_n = F_n−1+ F_n−2, untuk n ≥ 2.

Barisan Fibonacci telah banyak digeneralisasi menjadi suatu barisan yang baru, salah satu bentuk generalisasi dari barisan Fibonacci adalah barisan bilangan k- Fibonacci. Falcon [3] menjelaskan bahwa dalam barisan bilangan k-Fibonacci juga terdapat rumus umum selisih dan rumus penjumlahan dari barisan bilangan k- Fibonacci. Rumus-rumus tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan for- mula barisan k-Fibonacci dan definisi selisih barisan untuk mendapatkan formula selisih dan penjumlahan untuk barisan selisih k-Fibonacci. Rumus-rumus tersebut digunakan untuk membentuk barisan selisih sebagai barisan yang baru dari barisan k-Fibonacci.

Di dalam artikel ini diberikan penjelasan formula selisih dan penjumlahan barisan bilangan k-Fibonacci menggunakan definisi selisih barisan. Artikel ini merupakan review sebagian artikel Falcon [3].

2. BARISAN BILANGAN k-FIBONACCI

Falcon dan Plaza [4] memberikan definisi barisan k-Fibonacci seperti yang tertera dalam definisi berikut.

Definisi 1 Untuk setiap bilangan bulat k ≥ 1, barisan k-Fibonacci katakan- lah {Fk,n}_n∈N didefinisikan secara rekursif yaitu

Fk,n+1 = kFk,n+ Fk,n−1, untuk n≥ 1 dengan kondisi awal

F_k,0 = 0; F_k,1 = 1.

Falcon dan Plaza [3] juga memberikan persamaan untuk barisan k-Fibonacci dengan n adalah bilangan negatif yaitu

Fk,−n = (−1)ⁿ⁺¹Fk,n.

3. SELISIH BARISAN k-FIBONACCI

Di dalam artikel Falcon [3] dinyatakan bahwa untuk selisih barisan bilangan terurut {a0, a₁, . . .}, selisih pertama ∆(an) = a_n+1 − an, n ≥ 0. Selanjutnya, selisih ke-i dari barisan andapat ditulis sebagai

∆ⁱ(an) = ∆ⁱ⁻¹(an+1)− ∆ⁱ⁻¹(an) =

∑i j=0

(−1)^j (i

j )

ai+n−j. (1)

Kemudian, jika persamaan (1) diterapkan untuk menentukan selisih barisan k- Fibonacci maka diperoleh persamaan berikut:

∆⁽ⁱ⁾(Fk) = F_k⁽ⁱ⁾ = ∆⁽ⁱ⁾(F_(k,n)) = F_k,n⁽ⁱ⁾ = F_k,n+1⁽ⁱ⁻¹⁾ − F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾.

Selisih ke-i barisan k-Fibonacci kemudian ditulis secara umum yaitu

F_k,n⁽ⁱ⁾ =

∑i j=0

(−1)^j (i

j )

F_k,i+n−j. (2)

4. FORMULA SELISIH DAN PENJUMLAHAN BARISAN BILANGAN k-FIBONACCI

Pada bagian ini dipaparkan formula selisih dan penjumlahan barisan bilangan k- Fibonacci yang dinyatakan dalam lema dan beberapa teorema berikut.

Lema 2 Bilangan selisih k-Fibonacci memenuhi hubungan rekursif bilangan k- Fibonacci:

∀i ∈ N.

Bukti. Tunjukkan bahwa benar untuk i = 1, F_k,n+1¹ = F_k,n+2⁰ − Fk,n+1⁰ ,

= (kF_k,n+1+ F_k,n)− (kFk,n+ F_k,n−1) ,

= kF_k,n¹ + F_k,n−1¹ . Selanjutnya, diasumsikan benar untuk i≤ r yaitu

F_k,n+1^r = F_k,n+2^r−1 − Fk,n+1^r−1 ,

=(

kF_k,n+1^r−1 + F_k,n^r−1)

−(

kF_k,n^r−1+ F_k,n^r−1₋₁) , F_k,n+1^r = k(F_k,n^(r)) + F_n^(r)₋₁.

Kemudian, ditunjukkan bahwa rumus tersebut benar untuk i = r + 1.

F_k,n+1^r+1 = F_k,n+2^r − Fk,n+1^r ,

=(

kF_k,n+1^r + F_k,n^r )

−(

kF_k,n^r + F_k,n^r ₋₁) , F_k,n+1^r+1 = kF_k,n^r+1+ F_k,n^r+1₋₁.

Jadi, terbukti bahwa F_k,n+1ⁱ = kF_k,nⁱ + F_k,nⁱ ₋₁. 2 Selanjutnya, Falcon [3] memberikan teorema mengenai hubungan antara selisih barisan k-Fibonacci ke-i dan i− 1 yaitu

Teorema 3 Untuk i, n≥ 1,

F_k,n⁽ⁱ⁾ = (k− 1)Fk,n⁽ⁱ⁻¹⁾+ F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾₋₁, (4) dengan

F_k,0⁽ⁱ⁾ = F_k,1⁽ⁱ⁻¹⁾− F_k,0⁽ⁱ⁻¹⁾.

Bukti. Kemudian persamaan (4) dijabarkan sebagai berikut:

(k− 1)F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾+ F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾₋₁ = kF_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾− F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾+ F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾₋₁,

= k

i−1

∑

j=0

(−1)^j

(i− 1 j

)

F_{k,i−1+n−j}

−

∑i=1 j=0

(−1)^j

(i− 1 j

)

F_{k,i−1+n−j}

+

i−1

∑

j=0

(−1)^j

(i− 1 j

)

F_{k,i−2+n−j},

=

i−1

∑

j=0

(−1)^j

(i− 1 j

)

(kF_{k,i−1+n−j}+ F_{k,i−2+n−j})

−

i−1

∑

j=0

(−1)^j

(i− 1 j

)

F_{k,i−1+n−j},

=

i−1

∑

j=0

(−1)^j

(i− 1 j

)

F_k,i+n−j

−

i−1

∑

j=0

(−1)^j

((i− 1) j

)

F_{k,i−1+n−j},

= F_k,i+n+

i−1

∑

j=1

(−1)^j

(i− 1 j

)

F_k,i+n−j

−

i−1

∑

j=0

(−1)^j

(i− 1 j

)

F_{k,i−1+n−j},

= F_k,i+n+

i−1

∑

j=1

(−1)^j

(i− 1 j

)

F_k,i+n−j

−

i−1

∑

j=1

(−1)^j−1

(i− 1 j− 1

)

F_k,i+n−j+ (−1)⁽ⁱ⁻¹⁾F_k,n,

= F_k,i+n+

i−1

∑

j=1

(−1)^j

[(i− 1 j

) +

((i− 1) (j− 1)

)]

F_k,i+n−j

− (−1)ⁱ(−1)⁻¹F_k,n,

= F_k,i+n+

i−1

∑

j=1

(−1)^j (i

j )

F_k,i+n−j + (−1)ⁱF_k,n,

=

i−1

∑

j=0

(−1)^j (i

j )

F_k,i+n−j,

(k− 1)F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾+ F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾₋₁ = F_k,n⁽ⁱ⁾.

Jadi, terbukti bahwa F_k,n⁽ⁱ⁾ = (k− 1)F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾+ F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾₋₁. 2

Contoh 1 Menentukan bilangan pada selisih ke-3 dari barisan k-Fibonacci dengan k = 3 untuk n = 3 dapat diselesaikan dengan menggunakan dua metode, yaitu

(i) Metode langsung

bahwa F_3,3³ = 122.

(ii) Metode yang diberikan pada persamaan (4).

F_3,3³ = (3− 1)F3,3⁽³⁻¹⁾+ F_3,3⁽³⁻¹⁾₋₁, F_3,3³ = 2F_3,3² + F_3,2² ,

= 2(53) + 16 = 122.

Jika persamaan (4) diterapkan, maka didapat formula berikut:

F_k,n⁽ⁱ⁾ =

∑r j=0

(r j

)

(k− 1)^r−jF_k,n^i−r_−j, untuk r≤ i, k > 1. (5)

Jika ∑n j=0

(_n

j

)p^n−jFk,q−j dimisalkan dalam sebuah simbol sebagai [

p + Fk,q

](n)

. For- mula ini dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

F_k,nⁱ = [

(k− 1) + F_k,n^(i−r) ]r

,

= F_k,n⁽ⁱ⁾, F_k,nⁱ =

∑r j=0

(r j

)

(k− 1)^r−jF_k,n^(i−r)_−j.

Untuk r = i, selisih barisan k-Fibonacci bergantung pada barisan k-Fibonacci yang dinyatakan dalam formula berikut.

Akibat 4 Jika r = i, maka

F_k,n⁽ⁱ⁾ =

∑i j=0

(i j

)

(k− 1)^i−jF_k,n−j.

Teorema 5

∑n j=0

F_k,j⁽ⁱ⁾ = F_k,n+1⁽ⁱ⁻¹⁾ − Fk,0⁽ⁱ⁻¹⁾. (6) Bukti. Persamaan (6) diselesaikan dan diperoleh

∑n j=0

F_k,j⁽ⁱ⁾ = F_k,0⁽ⁱ⁾+

∑n j=1

F_k,j⁽ⁱ⁾,

= F_k,0⁽ⁱ⁾+ 1 k [

F_k,j+1⁽ⁱ⁾ − Fk,j⁽ⁱ⁾−1

] ,

= F_k,0⁽ⁱ⁾+ 1 k [

(F_k,1⁽ⁱ⁾+ F_k,2⁽ⁱ⁾+· · · + F_k,n+1⁽ⁱ⁾ )

− (F_k,−1⁽ⁱ⁾ + F_k,0⁽ⁱ⁾+· · · + F_k,n−1⁽ⁱ⁾ ) ]

,

= F_k,0⁽ⁱ⁾+ 1

k(F_k,n+1⁽ⁱ⁾ + F_k,n⁽ⁱ⁾ − F_k,1⁽ⁱ⁾− F_k,0⁽ⁱ⁾),

= F_k,0⁽ⁱ⁾+ i

k(F_k,n+2⁽ⁱ⁻¹⁾ − Fk,n+1⁽ⁱ⁻¹⁾ + F_k,n+1⁽ⁱ⁻¹⁾ − Fk,n⁽ⁱ⁻¹⁾

− F_k,2⁽ⁱ⁻¹⁾+ F_k,1⁽ⁱ⁻¹⁾− F_k,1⁽ⁱ⁻¹⁾+ F_k,0⁽ⁱ⁻¹⁾),

= F_k,1⁽ⁱ⁻¹⁾− F_k,0⁽ⁱ⁻¹⁾+ 1

k(F_k,n+2⁽ⁱ⁻¹⁾ − F_k,n⁽ⁱ⁻¹⁾− (F_k,2⁽ⁱ⁻¹⁾− F_k,0⁽ⁱ⁻¹⁾)),

= F_k,1⁽ⁱ⁻¹⁾− F_k,0⁽ⁱ⁻¹⁾+ F_k,n+1⁽ⁱ⁻¹⁾ − F_k,1⁽ⁱ⁻¹⁾,

∑n j=0

F_k,j⁽ⁱ⁾ = F_k,n+1⁽ⁱ⁻¹⁾ − F_k,0⁽ⁱ⁻¹⁾.

Jadi, terbukti bahwa ∑_n

j=0F_k,j⁽ⁱ⁾ = F_k,n+1⁽ⁱ⁻¹⁾ − Fk,0⁽ⁱ⁻¹⁾. 2 Contoh 2 Menentukan jumlah dari selisih ke-2 barisan 3-Fibonacci dengan n = 5 dapat diselesaikan dengan menggunakan dua metode, yaitu

(i) menyelesaikannya dengan metode langsung seperti berikut:

∑5 j=0

F_3,j⁽²⁾ = F_3,0⁽²⁾+ F_3,1⁽²⁾+ F_3,2⁽²⁾+ F_3,3⁽²⁾+ F_3,4⁽²⁾+ F_3,5⁽²⁾,

= 1 + 5 + 16 + 53 + 175 + 578 = 828.

(ii) menyelesaikannya dengan metode yang diberikan pada persamaan (6) yaitu

∑5 j=0

F_3,j⁽²⁾ = F_3,5+1⁽²⁻¹⁾− F3,0⁽²⁻¹⁾,

= F_3,6⁽¹⁾− F_3,0⁽¹⁾ = 829− 1 = 828.

Teorema 6 Penjumlahan dari n + 1 suku pertama dari barisan selisih k-Fibonacci diberikan oleh

∑n j=0

F_k,j⁽ⁱ⁾ =

i−1

∑

j=0

(i− 1 j

)

(k− 1)^i−1−j (

F_k,n+1−j + (−1)^jF_k,j )

. (7)

Bukti. Persamaan (7) diselesaikan dan diperoleh

∑n j=0

F_k,j⁽ⁱ⁾ = F_k,n+1⁽ⁱ⁻¹⁾ − F_k,0⁽ⁱ⁻¹⁾,

=

(i∑−1) j=0

(i− 1 j

)

(k− 1)^i−1−jF_k,n+1−j−

i−1

∑

j=0

(i− 1 j

)

(k− 1)^i−1−jF_k,−j,

∑n j=0

F_k,j⁽ⁱ⁾ =

(i∑−1) j=0

(i− 1 j

)

(k− 1)^i−1−j(F_k,n+1−j + (−1)^jF_k,j.

Jadi, terbukti bahwa ∑n

j=0F_k,j⁽ⁱ⁾ =∑i−1 j=0

(_i−1

j

)(k− 1)^i−1−j (

F_k,n+1−j + (−1)^jF_k,j )

. 2

Contoh 3 Apabila hasil penjumlahan dari barisan selisih ke-2 barisan 3-Fibonacci dengan n = 2 diselesaikan dengan metode langsung didapat hasil sebagai berikut:

∑2 j=0

F_3,j⁽²⁾ = F_3,0⁽²⁾+ F_3,1⁽²⁾+ F_3,2⁽²⁾,

= 1 + 5 + 16 = 22.

Jika masalah ini diselesaikan dengan menggunakan metode yang diberikan pada persamaan (7) diperoleh

∑2 j=0

F_3,j⁽²⁾ = (1

0 )

(2)¹(F_3,3+ (−1)⁰F_3,0) + (1

1 )

(2)⁰(F_3,2+ (−1)¹F_3,1),

= 2(10 + 0) + 1(3− 1) = 22.

Misalkan Sn⁽ⁱ⁾ adalah jumlah dari suku barisan yang sama, diberikan per- samaan sebagai berikut:

S_k,n⁽ⁱ⁾ = F_k,0⁽ⁱ⁾+ F_k,1⁽ⁱ⁾+ F_k,2⁽ⁱ⁾+· · · + Fk,n⁽ⁱ⁾−1+ F_k,n⁽ⁱ⁾. (8) Dengan melakukan operasi perkalian dengan suatu bilangan k pada persamaan (8) diperoleh

kS_k,n⁽ⁱ⁾ = kF_k,0⁽ⁱ⁾ + kF_k,1⁽ⁱ⁾+ kF_k,2⁽ⁱ⁾+· · · + kF_k,n⁽ⁱ⁾. (9)

Selanjutnya, dengan menjumlahkan persamaan (8) ke persamaan (9) diperoleh kS_k,n⁽ⁱ⁾ + S_k,n⁽ⁱ⁾ = kF_k,0⁽ⁱ⁾+ F_k,0⁽ⁱ⁾+ kF_k,1⁽ⁱ⁾+ F_k,1⁽ⁱ⁾+ kF_k,2⁽ⁱ⁾+· · · + kFk,n⁽ⁱ⁾

+ F_k,n⁽ⁱ⁾₋₁+ F_k,n⁽ⁱ⁾,

kS_k,n⁽ⁱ⁾ + S_k,n⁽ⁱ⁾ = kF_k,0⁽ⁱ⁾+ F_k,2⁽ⁱ⁾+ F_k,3⁽ⁱ⁾+· · · + Fk,n+1⁽ⁱ⁾ + F_k,n⁽ⁱ⁾, kS_k,n⁽ⁱ⁾ = kF_k,0⁽ⁱ⁾− F_k,0⁽ⁱ⁾− F_k,1⁽ⁱ⁾+ F_k,n+1⁽ⁱ⁾ + F_k,n⁽ⁱ⁾,

S_k,n⁽ⁱ⁾ = 1

k((k− 1)F_k,0⁽ⁱ⁾− F_k,1⁽ⁱ⁾+ F_k,n⁽ⁱ⁾ + F_k,n+1⁽ⁱ⁾ ).

Jadi, diperoleh rumus untuk penjumlahan barisan selisih k-Fibonacci yaitu S_k,n⁽ⁱ⁾ = 1

k((k− 1)F_k,0⁽ⁱ⁾− F_k,1⁽ⁱ⁾+ F_k,n⁽ⁱ⁾ + F_k,n+1⁽ⁱ⁾ ).

5. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan dari bab-bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan formula selisih barisan diperoleh formula untuk selisih barisan k-Fibonacci dan rumus penjumlahan barisan k-Fibonacci dari barisan selisih k- Fibonacci sebelumnya. Dengan menggunakan formula tersebut, menentukan barisan selisih k-Fibonacci atau bilangan barisan selisih k-Fibonacci dan jumlah barisan selisih k-Fibonacci menjadi lebih mudah dibandingkan menentukannya secara lang- sung.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Sri Gemawati, M.Si. yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction To Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley and Sons, New Jersey, 2011.

[2] D. M. Burton, Elementary Number Theory, Seventh Edition, McGraw-Hill Com- panies, New York, 2011.

[3] S. Falcon, The k-Fibonacci difference sequences, Chaos, Solitons and Fractals, 87 (2016), 153-157.

[4] S. Falcon dan A. Plaza, The k-Fibonacci sequence and the Pascal 2-triangle, Chaos, Solitons and Fractals, 33 (2007), 38-49.

[5] T. Koshy, Elementary Number Theory with Applications, Second Edition, Elsevier Academic Press, London, 2007.

[6] K. H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, Seventh Edition, McGraw-Hill, New York, 2012.