MERUMUSKAN PERHITUNGAN HASIL PANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF MATRIKS TRIDIAGONAL

(1)

MERUMUSKAN HASIL PERHITUNGAN PANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF

MATRIKS TRIDIAGONAL

KARYA ILMIAH

OLEH

DIYAN NURJANNAH NIM. 1803110421

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS RIAU

PEKANBARU 2022

(2)

MERUMUSKAN PERHITUNGAN HASIL PANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF MATRIKS TRIDIAGONAL

Diyan Nurjannah

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

diyan.nurjannah0421@student.unri.ac.id

ABSTRACT

This article disccuses a new approach to evaluate the integer positive powers from tridiagonal matrices by using Chebyshev polynomials in two cases, when the tridiagonal matrix has even order n = 2p and the tridiagonal matrix has odd order n = 2p + 1 with p ∈ N. In addition, this article also aims to show how the Cheby- shev polynomial can be used to determine the formulation of the transformation matrix and the inverse of the transformation matrix.

Keywords: Chebyshev polynomial, telescoping series, characteristic polynomial, eigenvalue, tridiagonal matrix.

ABSTRAK

Artikel ini membahas sebuah pendekatan baru untuk menghitung pangkat bilangan bulat positif dari matriks tridiagonal menggunakan polinomial Chebyshev dengan menimbang dua kasus yakni saat matriks tridiagonal berorde genap n = 2p dan saat matriks tridiagonal berorde ganjil n = 2p + 1 dengan p ∈ N. Selain itu, juga menunjukkan bagaimana polinomial Chebyshev dapat digunakan untuk menentukan formulasi dari matriks transformasi dan invers dari matriks tranformasi.

Kata kunci: polinomial Chebyshev, deret teleskopik, polinolial karakteristik, nilai eigen, matriks tridiagonal.

1. PENDAHULUAN

Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang di dalamnya secara khusus memuat tentang matriks. Matriks terbagi menjadi beberapa bentuk yang mempunyai sifat khusus, salah satu jenis dari matriks adalah matriks tridiagonal.

Suatu matriks tridiagonal yang berukuran n × n adalah matriks dengan entri-entri t_ij = 0 jika |i − j| > 1, seperti [13]

(3)

Tn=







a b 0 · · · 0 0 c a b · · · 0 0 0 c a · · · 0 0 ... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · a b 0 0 0 · · · c a





 ,

Terdapat beberapa matematikawan yang telah membahas mengenai pangkat dari suatu jenis matriks tridiagonal antara lain pada tahun 2008, Jesus Gutier- rez [8] membahas mengenai perhitungan pangkat dari matriks tridiagonal hermitian orde n × n tridiagn(a1, a₀, a₁) dengan mengeneralisasikan setiap entri dari pangkat matriks ke-l, l ∈ N. Selanjutnya pada tahun 2013 Jesus Gutierrez [7] membahas perhitungan pangkat ke-q dari matriks tridiagn(a1, a₀, a₋₁), ∀n ≥ 2(q − 1) dengan q ∈ N menggunakan koefisien binomial. Lalu pada tahun yang sama, Oteles dan Akbulak [11] membahas mengenai pangkat bilangan bulat positif matriks tridiagonal komples dengan menentukan dua faktorisasi kompleks untuk bilangan Fibonacci dan Pell. Pada tahun 2021, Beiranvand dan Ghasemi Kamalvand [3] membahas mengenai cara menentukan pangkat dari matriks tridiagonal orde genap dengan menggunakan polinomial Chebyshev jenis pertama dalam mengeneralisasikan bentuk matriks transformasi dan invers dari matriks transformasi.

Penulis ingin menunjukkan bahwa polinomial Chebyshev dapat digunakan dalam menentukan pangkat dari matriks tridiagonal, dengan menimbang dua kasus yakni saat matriks tridiagonal berorde genap n = 2p dan saat matriks tridiagonal berorde ganjil n = 2p+1 dengan p ∈ N. Selain itu, juga menunjukkan bagaimana polinomial Chebyshev dapat digunakan untuk menentukan formulasi dari matriks transformasi dan invers dari matriks tranformasi.

2. POLINOMIAL CHEBYSHEV

Polinomial Chebyshev terdiri dari dua jenis, yaitu polinomial Chebyshev jenis pertama Tn(x) dan polinomial Chebyshev jenis kedua Un(x), adapun penjelasan mengenai kedua jenis dari polinomial Chebyshev antara lain sebagai berikut.

Definisi 1 [3, h. 60] Polinomial Chebyshev jenis pertama Tn(x) adalah polinomial terhadap x berderajat n yang didefinisikan oleh

T_n(x) = cos(nθ) dengan x = cos(θ), n ≥ 0. (1) Bentuk rekursif dari polinomial jenis pertama terhadap x berderajat n sebagai berikut:

T_n(x) = 2xT_n−1(x) − T_n−2(x), n ≥ 2, T0(x) = 1 T1(x) = x, (2) Definisi 2 [10, h. 3] Polinomial Chebyshev jenis kedua Un(x) adalah polinomial terhadap x berderajat n yang didefinisikan oleh

U_n(x) = sin(n + 1)θ

, x= cos θ. (3)

(4)

Bentuk rekursif dari polinomial Chebyshev jenis kedua yaitu

U_n(x) = 2xU_n−1(x) − U_n−2(x), n ≥ 2, U0(x) = 1, U1(x) = 2x. (4)

3. NILAI EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL Pada artikel ini akan digunakan bentuk matriks tridiagonal sebagai berikut:

A=







0 2 0 · · · 0 0 1 0 1 · · · 0 0 ... ... ... ... ... ...

0 0 1 · · · 0 1 0 0 0 · · · 2 0







. (5)

Dalam menentukan nilai eigen dari matriks tridiagonal pada persamaan (5), diberikan lema sebagai berikut.

Lema 3 [12, h. 1039] Nilai eigen dari matriks A yaitu λ_k = −2 cos(k − 1)π

n− 1 , k= 1, 2, . . . , n. (6) Bukti. Misal dinotasikan polinomial karakteristik dari persamaan (5) sebagai berikut

D_n(−λ) = |A − λI| =

−λ 2 0 · · · 0 0

1 −λ 1 · · · 0 0 0 1 −λ · · · 0 0 ... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · −λ 1

0 0 0 · · · 2 −λ

, (7)

dengan λ ∈ R. Selanjutnya dinotasikan

∆n(−λ) =

−λ 1 0 · · · 0 0

1 −λ 1 · · · 0 0 0 1 −λ · · · 0 0 ... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · −λ 1

0 0 0 · · · 1 −λ

, (8)

dengan menyelesaikan determinant persamaan (8) menggunakan kofaktor sehingga diperoleh bentuk rekursif dari persamaan (8) yaitu

∆n(−λ) = −λ∆_n−1(−λ) − ∆_n−2(−λ), (9) dengan ∆₂(−λ) = λ²− 1, ∆₁(−λ) = −λ, dan ∆₀(λ) = 1.

(5)

Selanjutnya, dengan mensubstitusikan n = 3, 4, . . . , 6 ke persamaan (7) diperoleh D₃(−λ) = −λ³+ 4λ = (λ²− 4)(−λ) = (λ²− 4)∆1(−λ),

D₄(−λ) = λ⁴− 5λ²+ 4 = (λ²− 4)(λ²− 1) = (λ²− 4)∆₂(−λ), D₅(−λ) = −λ⁵+ 6λ³− 8λ = (λ²− 4)(−λ³+ 2x) = (λ²− 4)∆3(−λ),

D₆(−λ) = λ⁶− 7λ⁴+ 13λ²− 4 = (λ²− 4)(λ⁴− 3λ²+ 1) = (λ²− 4)∆4(−λ).

Dapat dilihat bahwa persamaan (7) memiliki pola sebagai berikut

D_n(−λ) = (λ²− 4)∆_n−2(−λ). (10) Dalam menentukan nilai eigen digunakan pedekatan polinomial Chebyshev untuk persamaan karakteristik pada persamaan (10), sehingga akan diubah bentuk polinomial karakteristik ke dalam bentuk polinomial Chebyshev. Berdasarkan persamaan (4) dapat ditulis bentuk rekursif dari polinomial Chebysev berderajat n terhadap ^−λ₂ sebagai berikut

U_n −λ 2

= 2 −λ 2

U_n−1 −λ 2

− U_n−2 −λ 2

U_n −λ 2

= −λU_n−1 −λ 2

− U_n−2 −λ 2

. (11)

dengan Un(^−λ₂ ) = 2(^−λ₂ ) = −λ dan U0(^−λ₂ ) = 1. Dikarnakan bentuk rekursif dari

∆n(−λ) pada persamaan (9) sama dengan bentuk rekursif polinomial Chebyshev pada persamaan (11), sehingga diperoleh

∆n(−λ) = Un

−λ 2

. (12)

Berdasarkan persamaan (12), sehingga persamaan (10) dapat ditulis D_n(−λ) = (λ²− 4)U_n−2 −λ

2 = 0, (13)

Selanjutnya, untuk mencari akar dari persamaan karakteristik pada persamaan (13), dicari akar dari polinomial chebyshev jenis kedua Un−2(^−λ₂ ) pada persamaan (13), adapun syarat mencari akar dari polinomial chebyshev yaitu U_n−2(^−λ₂ ) = 0, sehingga

U_n−2(−λ 2 ) = 0 sin((n − 2) + 1)θ

sin(θ) = 0 sin(n − 1)θ

sin(θ) = 0 sin(n − 1)θ = 0

θ= kπ

(n − 1), k ≥ 0,

(6)

berdasarkan Definisi 2 sehingga diperoleh solusi dari U_n−2(^−λ₂ ) yaitu

−λk

2 = cos(k − 1)π

((n − 1), k= 1, 2, . . . , n, λ_k = −2 cos(k − 1)π

(n − 1) , k = 1, 2, . . . , n.

Jadi, terbukti nilai eigen dari matriks tridiagonal A yaitu λk= −2 cos^(k−1)π_n−1 , dengan

k = 1, 2, 3, . . . , n. ✷

4. PERUMUSAN PANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF MATRIKS TRIDIAGONAL ORDE GENAP

Pada bagian ini dibahas rumusan dalam menentukan pangkat bilangan bulat positif matriks tridiagonal orde genap. Pertama-tama akan ditentukan matriks transformasi dari persamaan (5) orde genap menggunakan persamaan sebagai berikut

T⁻¹AT = J

AT = T J (14)

dengan J merupakan matriks jordan yang dinotasikan J = diag(λ1, λ₂, λ₃, . . . , λ_n), dan T merupakan matriks transformasi yang dinotasikan T = [T1, T₂, . . . , T_n], dengan T_i = [T1i, T_2i, . . . , T_ni]^T untuk i = 1, 2, . . . , n merupakan vektor eigen, sehinggga persamaan (14), dapat ditulis sebagai berikut

AT_i = λiT_i, dengan i = 1, 2, 3, . . . , n, (15) dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke dalam persamaan (15) diperoleh







2T2i

T_1i+ T3i

T_2i+ T4i

...

T_n−2i+ Tni

2T_n−1i







=







λ_iT_1i λ_iT_2i λ_iT_3i

...

λ_iT_n−1i λ_iT_ni







, i= 1, 2, . . . , n. (16)

Misalkan T1i = miuntuk i = 1, 2, 3, . . . , n, berdasarkan persamaan (16) dapat ditulis sebagai berikut:

T_ki = miT_k−1(λ_i

2), k = 1, 2, . . . , n, (17) dengan T_k−1(^λ₂ⁱ) adalah polinomial Chebyshev jenis pertama. Adapun vektor eigen dari persamaan (17) dapat ditulis sebagai

T_i =





 T_1i T_2i ...

T_ni







= mi[T0(λ_i

2), T1(λ_i

2), · · · , T_n−1(λ_i

2)]^T, i= 1, 2, . . . , n. (18)

(7)

Jika m1, m₂, . . . , m_n= 1, maka persamaan (18) menjadi

T =







T₀(^λ₂¹) T₀(^λ₂²) · · · T₀(^λⁿ⁻¹₂ ) T₀(^λ₂ⁿ) T₁(^λ₂¹) T₁(^λ₂²) · · · T₁(^λⁿ⁻¹₂ ) T₁(^λ₂ⁿ)

... ... · · · ... ...

T_n−2(^λ₂¹) T_n−2(^λ₂²) · · · T_n−2(^λⁿ⁻¹₂ ) T_n−2(^λ₂ⁿ) T_n−1(^λ₂¹) T_n−1(^λ₂²) · · · T_n−1(^λⁿ⁻¹₂ ) T_n−1(^λ₂ⁿ)







, (19)

dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (19) diperoleh pola matriks transformasi sebagai berikut:

T =







1 1 1 · · · 1 1 1

−1 − cos_n−1^π − cos _n−1^2π · · · cos_n−1^2π cos_n−1^π 1 1 cos_n−1^2π cos_n−1^4π · · · cos_n−1^4π cos_n−1^2π 1

... ... ... · · · ... ... ...

−1 cos_n−1^2π − cos _n−1^4π · · · cos_n−1^4π − cos_n−1^2π 1 1 − cos_n−1^π cos_n−1^2π · · · cos_n−1^2π − cos_n−1^π 1

−1 1 −1 · · · 1 −1 1







. (20)

selanjutnya akan dicari invers dari persamaan (20) dengan menggunakan persamaan

T⁻¹A= J T⁻¹ (21)

dengan T⁻¹ = [τ1, τ₂, . . . , τ_n] serta τi merupakan vektor eigen dari invers matriks transformasi dengan nilai τi = [τ_1i, τ_2i, . . . , τ_ni]^T untuk i = 1, 2, . . . , n, sehingga persamaan (21) dapat ditulis yaitu

[τ1, τ₂, . . . , τ_n]A = J [τ1, τ₂, . . . , τ_n], (22) dengan mensubsitusikan persamaan (5) orde genap ke dalam persamaan (22) diperoleh







τ₁₂ 2τ11+ τ13 . . . τ_1n−2+ 2τ1n τ_1n−1 τ₂₂ 2τ₂₁+ τ₂₃ . . . τ_2n−2+ 2τ_2n τ_2n−1

... ... · · · ... ...

τ_n−12 2τ_n−11+ τ_n−13 . . . τ_n−1n−2+ 2τ_n−1n τ_n−1n−1 τ_n2 2τn1+ τn3 . . . τ_nn−2+ 2τnn τ_nn−1







=







λ₁τ₁₁ λ₁τ₁₂ . . . λ₁τ_1n−1 λ₁τ_1n λ₂τ₂₁ λ₂τ₂₂ . . . λ₂τ_2n−1 λ₂τ_2n

... ... · · · ... ...

λ_n−1τ_n−11 λ_n−1τ_n−12 . . . λ_n−1τ_n−1n−1 λ_n−1τ_n−1n λ_nτ_n1 λ_nτ_n2 . . . λ_nτ_nn−1 λ_nτ_nn







. (23)

(8)

Jika τi1 = mi, maka persamaan (23) dapat ditulis sebagai

T⁻¹=







m1T0(^λ₂¹) m1T1(^λ₂²) · · · m1T_n−2(^λⁿ⁻¹₂ ) m1T_n−1(^λ₂ⁿ) m2T0(^λ₂¹) m2T1(^λ₂²) · · · m2Tn−2(^λⁿ⁻¹₂ ) m2Tn−1(^λ₂ⁿ)

..

. ... · · ·

..

. ...

m_n−1T0(^λ₂¹) m_n−1T1(^λ₂²) · · · m_n−1T_n−2(^λⁿ⁻¹₂ ) m_n−1T_n−1(^λ₂ⁿ) mnT0(^λ₂¹) mnT1(^λ₂²) · · · mnTn(^λⁿ⁻¹₂ ) mnT_n−1(^λ₂ⁿ)







. (24)

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (24) diperoleh pola invers matriks transformasi sebagai berikut

T⁻¹=







m1 −2m1 2m1 · · · −2m1 2m1 −m1

m2 −2 cos_n−1^π m2 2 cos_n−1^2π m2 · · · 2 cos_n−1^2π m1 −2 cos_n−1^π m2 m2

m3 −2 cos_n−1^2π m3 2 cos_n−1^4π m3 · · · −2 cos_n−1^4π m3 2 cos_n−1^2π m3 −m3

..

. ... ... · · ·

..

. ... ...

mn−2 2 cos_n−1^2π mn−2 2 cos_n−1^4π mn−2 · · · 2 cos_n−1^4π mn−2 2 cos_n−1^2π mn−2 mn−2

m_n−1 2 cos_n−1^π m_n−1 2 cos_n−1^2π m_n−1 · · · −2 cos_n−1^2π m_n−1 −2 cos_n−1^π m_n−1 −mn−1

mn 2mn 2mn · · · 2mn 2mn mn





 ,

(25)

dengan mensubsitusikan persamaan (20) dan persamaan (25) ke dalam persamaan T⁻¹T = I diperoleh

m₁ = mn= 1

2n − 2, (26)

dan untuk i ∈ {2, 3, . . . , n − 1} diperoleh m_i = 1

2k − 1 = 1

n− 1. (27)

Berdasarkan persamaan (25) dan persamaan (27), diperoleh nilai invers dari matriks transformasi sebagai berikut:

T⁻¹= 1 2n − 2







1 −2 2 · · · −2 2 −1

2 −4 cos_n−1^π 4 cos_n−1^2π · · · 4 cos_n−1^2π −4 cos_n−1^π 2 2 −4 cos_n−1^2π 4 cos_n−1^4π · · · −4 cos_n−1^4π 4 cos_n−1^2π −2 ... .

.. .

.. · · ·

... .

.. .

..

2 4 cos_n−1^2π 4 cos_n−1^4π · · · 4 cos_n−1^4π 4 cos_n−1^2π 2 2 4 cos_n−1^π 4 cos_n−1^2π · · · −4 cos_n−1^2π −4 cos_n−1^π −2

1 2 2 · · · 2 2 1







(28)

5. PANGKAT BILANGAN BULAT POSITIF MATRIKS TRIDIAGONAL ORDE GANJIL

Pada bagian ini dibahas rumusan dalam menentukan pangkat bilangan bulat positif matriks tridiagonal orde ganjil pada persamaan (5), dengan menggunakan rumusan pada bagian 4 dalam merumuskan matriks transformasi dan invers matriks transformasi. Dalam menentukan transformasi matriks yaitu dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (19) sehingga diperoleh pola sebagai berikut:

(9)

T =







1 1 1 · · · 1 · · · 1 1 1

−1 − cos_n−1^π − cos_n−1^2π · · · cos^π₂ · · · cos_n−1^2π cos_n−1^π 1 1 cos_n−1^2π cos_n−1^4π · · · cos^2π₂ · · · cos_n−1^4π cos_n−1^2π 1 ..

. ... ... · · ·

..

. · · · ..

. ... ... cos^(n−1)π₂ − cos^π₂ − cos^2π₂ · · · cos⁽ⁿ⁻¹²₂ ^)π · · · cos^2π₂ cos^π₂ 1

..

. ... ... · · ·

..

. · · · ..

. ... ...

−1 cos_n−1^2π − cos_n−1^4π · · · − cos^2π₂ · · · cos_n−1^4π − cos_n−1^2π 1 1 − cos_n−1^π cos_n−1^2π · · · − cos^π₂ · · · cos_n−1^2π − cos_n−1^π 1

1 −1 1 · · · cos^(n−1)π₂ · · · 1 −1 1







. (29)

Akan dicari invers dari persamaan (29). Dalam menentukan invers transformasi matriks dari matriks tridiagonal orde ganjil yakni dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (24) sehingga diperoleh pola yaitu

T⁻¹=







m₁ −2m1 · · · 2 cos^(n−1)π₂ m₁ · · · −2m1 m₁

m2 −2 cos_n−1^π m2 · · · −2 cos^π₂m2 · · · 2 cos_n−1^π m2 −m2

... .

.. · · ·

... · · ·

... .

..

mj 2 cos^π₂mj · · · 2 cos⁽ⁿ⁻¹²₂ ^)πmj · · · −2 cos^π₂mj 2 cos^(n−1)π₂ mj

... .

.. · · ·

... · · ·

... .

..

m_n−1 2 cos_n−1^π m_n−1 · · · 2 cos^π₂m_n−1 · · · −2 cos_n−1^π m_n−1 −mn−1

mn 2mn · · · 2mn · · · 2mn mn





 (30)

dengan j = ⁿ⁺¹₂ . Substitusikan persamaan (29) dan persamaan (30) ke dalam persamaan T⁻¹T = I sehingga diperoleh

m₁ = mn= 1

2n − 2, (31)

dan untuk i ∈ {2, 3, . . . , n − 1},

m_i = 1

n− 1. (32)

Misalkan b = n − j dan j = ⁿ⁺¹₂ dan dari persamaan (30) dan persamaan (32), diperoleh nilai invers dari persamaan (29) yaitu:

T⁻¹=







1 −2 2 · · · 2 cos^(n−1)π₂ · · · −2 2 −1

2 −4 cos_n−1^π 4 cos_n−1^2π · · · 4 cos^(n−2)π₂ · · · −4 cos_n−1^2π 4 cos_n−1^π −2 2 −4 cos_n−1^2π 4 cos_n−1^4π · · · 2 cos^(n−3)π₂ · · · 4 cos_n−1^4π −4 cos_n−1^2π 2

..

. ... ... · · ·

..

. · · ·

..

. ... ...

2 4 cos^π₂ 4 cos_n−1^2π · · · 4 cos⁽ⁿ⁻¹²₂ ^)π · · · 4 cos^(n−3)π₂ 4 cos^(n−2)π₂ 2 cos^(n−1)π₂

... ... ... · · · ... · · · ... ... ...

2 4 cos_n−1^2π 4 cos_n−1^4π · · · 4 cos^2π₂ · · · 4 cos_n−1^4π 4 cos_n−1^2π 2 2 4 cos_n−1^π 4 cos_n−1^2π · · · 4 cos^π₂ · · · −4 cos_n−1^2π −4 cos_n−1^π −2

1 2 2 · · · 2 · · · 2 2 1





 ,

dengan y = _2n−2¹ (33)

4. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, disimpulkan bahwa dengan menggunakan polinomial Chebyshev dapat ditentukan pangkat dari matriks tridiagonal. Misalkan jika B = A^k maka pangkat dari matriks tridiagonal A dapat

(10)

dihitung dengan menggunakan persamaan B = T J^kT⁻¹, serta pada skripsi ini juga menimbang 2 kasus kondisi saat matriks tridiagonal berorde genap n = 2p dan saat matriks tridiagonal berorde ganjil n = 2p + 1 dengan p ∈ N.

Langkah pertama yaitu menentukan nilai eigen dari matriks tridiagonal A. Ke- mudian dengan menggunakan formulasi transformasi matriks dan invers matriks tridiagonal A yang diperoleh untuk menentukan pangkat dari matriks tridiagonal A.

Ucapan terima kasih Ucapan terima kasih kepada Dr. Sri Gemawati, M.Si.

yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] H. Anton dan C. Rorres, Elementary Linear Algebra, Eleventh Edition, John Wiley and Sons, Hoboken, 2013.

[2] H. Anton dan C. Rorrer, Aljabar Linear Elementary, Eighth Edition. Jakarta, 2004.

[3] M. Beiranvand dan M. G. Kamalvand, On computing of integer positive powers for one type of tridiagonal and antitridiagonal matrices of even order, Journal of Linear and Topological Algebra, 10 (2021), 59-69.

[4] R. Bronson, Matrix Methods, Academic Press, INC., New Jersey, 1991.

[5] S. K. Jain dan A. D. Gunawaderna, Linear Algebra An Interactive Approach, Brooks/Cole Publishing Company, Canada, 2004.

[6] M. Golubitsky dan M. Dellnitz, Linear Algebra and Differential Equation Using Matlab, Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, 1999.

[7] J. Gutierrez , Binomial coefficients and powers of large tridiagonal matrices with constant diagonals, Applied Mathematics Computation, 219 (2013), 9219-9222.

[8] J. Gutierrez , Positive integer powers of certain tridiagonal matrices, Applied Mathematics Computation, 202 (2008), 133-140.

[9] C. Clapham, J. Nicholson, Concise Dictionary of Mathematics, Oxford Univer- sity Press Inc., New York, 2003.

[10] J. C. Mason, Chebysev Polinomials, CRC Press Company, New York, 2003.

[11] A. Oteles, M. Akbulak, Positive integer powers of certain complex tridiagonal matrices , Mathematical Sciences Letters, 1 (2013), 63-72.

[12] J. Rimas, On computing of arbitrary positive integer powers for one type of symmetric tridiagonal matrices of even order—II, Applied Mathematics Com- putation 172 (2006), 245–251

[13] F. Zhang, Matrix Theory, Second Edition, Springer, New York, 2011.