INTEGRAL TENTU. x 3. a=x 1. x 2. c 1. c 2. panjang selang bagian terpanjang dari partisi P. INTEGRAL LIPAT DUA

(1)

INTEGRAL TENTU

Perhatikan Gambar 1 berikut:

Gambar 1 Gambar 2

:

P panjang selang bagian terpanjang dari partisi P.

Definisi:

Misal f fungsi yang terdefinisi pada selang tertutup [a,b]. Jika

∑

= → ∆ n i k k P f x x 1 0 ( ) lim

ada, maka f dapat diintegralkan pada [a,b].

Selanjutnya integral tentu atau integral Riemann f dari a ke b adalah:

∑ ∫ = → ₌ ∆ n i k k P b a x x f dx x f 1 0 ( ) lim ) ( _.

Dengan cara yang sama dapat didefinisikan integral untuk fungsi dua peubah.

INTEGRAL LIPAT DUA

1. INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG

a b D y=f(x) a=x 1 c1 x2 c2 x3.… xn=b D

(2)

>

Definisi:

Misal f fungsi dua peubah yg terdefinisi pada suatu persegipanjang tertutup R.

Jika

ada maka f dapat diintegralkan pada R. Selanjutnya integral lipat dua f pada

R adalah:

Jika f ≥0, maka menyatakan volume benja pejal

dibawah permukaan z = f(x,y)_{dan diatas persegi panjang R, yang dapat}

ditentukan dengan metode irisan sejajar yaitu:

∑

= → ∆ n k k k k P f x y A 1 0 ( , ) lim = ∫∫ R dA y x f( , )

∑

= → ∆ n k k k k P f x y A 1 0 ( , ) lim ∫∫ R dA y x f ( , )

(3)

Volume benda pejal dibawaz = f(x,y) atas R adalah : ∫∫ =∫d c R dy y A dA y x f( , ) ( ) Padahal : =∫b a dx y x f y A( ) ( , ) Jadi diperoleh: _∫∫ =_∫∫d c b a R dxdy y x f dA y x f( , ) ( , )

Secara analog diperoleh _∫∫ =_∫b a R dx x A dA y x f( , ) ( ) = ∫∫b a d c dydx y x f ( , )

Jika f (x,y)_{negatif pada bagian R, maka}∫∫

R

dA y x

f ( , ) _{menghasilkan volume}

bertanda dari benda pejal antara permukaan z = f(x,y)_{dan persegi panjang R dari}

bidang xy.

SIFAT-SIFAT INTEGRAL LIPAT DUA

1. 2. dA y x f k dA y x kf R R ∫∫ ∫∫ ( , ) = ( , ) dA y x g dA y x f dA y x g y x f R R R ∫∫ ∫∫ ∫∫( ( , )+ ( , )) = ( , ) + ( , )

(4)

3. jika f(x,y) ≤ g(x,y)

4. Jika R terdiri dari dua daerah bagian R1 dan R2 yang tidak mempunyai titik

persekutuan kecuali titik-titik pada sebagian batasnya, maka:

Contoh: Hitung ∫∫_R f (x,y)dA jika: y x y x f₍ _, ₎₌₁₋₆ 2 dan _R₌_{(_x_,_y₎_:₀_≤_x_≤₂_, ₋₁_≤_y_≤₁_} Penyelesaian: ∫∫ ∫ ∫ − − − − = − = − 1 1 2 0 1 1 1 1 2 0 3 2 ₎ ₂ _] ₍₂ ₁₆ ₎ 6 1 ( x y dxdy x x y dy y dy 4 10 6 ) 8 2 ( ) 8 2 ( ] 8 2 1 1 2 ₌ ₋ ₋ ₋ ₋ ₌₋ ₊ ₌ − = y y − Latihan:

Tentukan integral rangkap dua berikut: 1. _∫∫2 0 3 1 2_y _dydx x 2. ∫∫1 0 1 ) sin( π dydx y x 3.

∫∫

− + 2 1 4 1 2 _dxdy y x dA y x g dA y x f R R ∫∫ ∫∫ ( , ) ≤ ( , ) dA y x f dA y x f dA y x f R R R ∫∫ ∫∫ ∫∫ = + 2 1 ) , ( ) , ( ) , (

(5)

4. ∫∫3 + 0 2 1 2 _dydx y xy 5. ∫∫ − 1 1 1 0 3 _dydx xy

2. INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAH BUKAN PERSEGI PANJANG.

(6)

M Missal

Untuk menghitung integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S dilakukan dengan cara membentuk daerah persegi panjang R yang melingkupi S dan didefinisikan suatu fungsi baru, g(x,y) yaitu:

Nilai integral lipat dua dari g(x,y) atas R sama dengan integral lipat dua

dari f(x,y) atas S ditulis:

Analog dengan pendefinisian pd daerah persegi panjang

1. Integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S dengan

S={ (x,y) :

φ

1

(x) ≤ y ≤

φ

2

(x) , a≤x≤b }

     − ∈ ∈ = f x y_x _yx y_R _SS y x g( , ) ₀( ,_; ₍) _,; (₎ , ) ∫∫ ∫∫ = R S dA y x g dA y x f( , ) ( , )

(7)

Contoh:

Hitung integral lipat jika

S ={ (x,y) : 1 ≤ x ≤ 2, -x ≤ y ≤ x

2

_}

Penyelesaian:

∫ ∫

∫∫

= b a x x S dydx y x f dA y x f ) ( ) ( 2 1 ) , ( ) , ( φ φ dA y x S ∫∫4 +10

∫ ∫

∫∫

− + = + 2 1 2 ) 10 4 ( 10 4 x x S dydx y x dA y x

(8)

]

3 2 43 ) 3 1 1 1 ( 3 8 16 32 3 ) 4 5 ( ) 5 4 ( ) 5 4 ( 5 4 2 1 3 4 5 2 1 2 3 4 2 2 2 1 4 3 2 2 1 2 = − + − − + =       ₊ ₋ = − + = + − − + = + = ∫ ∫ ∫ − x x x dx x x x dx x x x x dx y xy x_x

2. Sedangkan integral lipat dua dari z = f(x,y) atas S dengan

S={ (x,y) :

ψ

1

(y) ≤ x ≤

ψ

2

(y) , c ≤ y ≤ d }

Contoh:

Hitung integral lipat jika

S ={ (x,y) | 0 ≤ y ≤ 1, -y ≤ x ≤ y }

Prosedur menentukan batas integrasi

∫ ∫

∫∫

=d c y y S dxdy y x f dA y x f ) ( ) ( 2 1 ) , ( ) , ( ψ ψ dA y S ∫∫

(9)

1. Gambar / sketsa grafiknya 2. Batas integrasi y

Buatlah garis vertikal memotong S. Batas bawah ketika garis mulai memasuki S. Batas atas ketika garis meninggalkan S.

3. Batas integrasi x

Buat semua garis x (vertikal) pada S Atau

1. Gambar / sketsa grafiknya 2. Batas integrasi x

Buatlah garis horisontal memotong S. Batas bawah ketika garis mulai memasuki S. Batas atas ketika garis meninggalkan S.

3. Batas integrasi y

Buat semua garis y (horisontal) pada S Contoh: ∫ ∫ ∫∫ = − − = =1 0 1 1 2 ) , ( ) , ( x y x y S dydx y x f dA y x f ∫ ∫ ∫∫ = − − = =1 0 1 1 2 ) , ( ) , ( y x y x S dxdy y x f dA y x f

(10)

Latihan:

Hitung integral berikut:

1.

2.

3. 4. Hitung dengan S={ (x,y) : y = x

2

_{, y = 1}}

5.Hitung dg S segitiga yg titik sudutnya

(0,0) , (0,4) , (1,4)

Tugas

1.

∫ ∫1 0 0 2 . 2 y x_dxdy e y ∫ ∫2 − 1 1 0 x dydx y ∫ ∫ − + 3 1 3 0 2 2 ₎ ( y dxdy y x ∫ ∫ − − 1 3 0 2 2 ₎ ( x dydx y x ∫ ∫2 + 0 2 2 ) 2 4 ( x x dydx x dA xy S ∫∫ dA y x S ∫∫( + )

(11)

2. 3. dengan

S={ (x,y) : y = x

2

_{, y = }}

4. dengan

S={ (x,y) : y = x , y = 3x - x

2

_}

5. dengan S={ (x,y) : y = 2x , x+y = 2, sb x}

Integral Lipat Dua dalam Koordinat Kutub.

Kurva-kurva tertentu pada suatu bidang, spt lingkaran, kardioid dan mawar lebih mudah diuraikan dalam bentuk koordinat kutub daripada koordinat cartesius, sehingga lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub. dA y x S ∫∫( 2+2 ) dA xy x S ∫∫( 2− ) dA xy S ∫∫( ) x

(12)

Dalam koordinat kutub, suatu persegipanjang kutub R mempunyai bentuk: R = { (r,θ) | a ≤ r ≤ b , α ≤ θ ≤ β }

dengan a ≥ 0 dan β - α ≤ 2π

Persamaan permukaan dapat ditulis sebagai z = f(x,y) = f ( r cos θ, r sin θ ) = F(r,θ) dengan

x = r cos θ y = r sin θ x2_{+ y}2_{= r}2_tan_θ_{= y/x}

Menghitung volume V dg menggunakan koordinat kutub: R = { (r,θ) | a ≤ r ≤ b , α ≤ θ ≤ β }

(13)

A(Rk) = ̄r ∆rk ∆θk dengan ̄r : radius rata-rata Rk

Jadi

Contoh:

Hitung integral lipat dua x y dydx x ∫ ∫2 − + 0 4 0 2 2 2

Menggunakan Koordinat Cartesius

k k n k k k k r r r F V ≈

∑

θ ∆ ∆θ =1 ) , ( ∫∫ = R d dr r r r f V ( cosθ, sinθ) θ ∫∫ ∫∫ = R R d dr r r r f dA y x f( , ) ( cosθ, sinθ) θ dx x x x x dx x x x dx y y x dydx y x x x )) 4 )( 4 ( 3 1 4 ( ) 4 ( 3 1 4 3 1 2 2 2 0 2 2 3 2 2 0 2 2 4 0 2 0 2 2 0 4 0 2 2 2 2 − − + − = − + − = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − −

(14)

2 0 1 2 2 2 2 0 1 4 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 ) 2 ( sin 2 2 2 2 3 4 ) 2 ( sin 8 2 2 ) 2 2 ( 8 3 2 2 3 4 2 ( 3 2 4 3 4 4 ( 3 2 ) 4 3 4 4 3 2 ( ) 4 3 1 4 3 4 4 (       ₊   ₋ +       +   ₋ ₋ = − + − = − + − = − + − = − − − + − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x x x x x x x dx x dx x x dx x dx x x dx x x x dx x x x x π π π π π 2 3 4 3 2 ) 0 0 ( ) 2 . 2 0 ( 3 4 0 0 ( ) 2 . 2 0 ( 3 2 ) 0 ( sin 2 4 0 2 2 0 3 4 ) 1 ( sin 2 4 4 4 2 2 3 4 ) 0 ( sin 8 16 0 4 ) 2 0 . 2 ( 8 0 3 2 ) 1 ( sin 8 16 4 4 ) 4 4 . 2 ( 8 2 3 2 1 2 1 1 2 1 = + =       ₊ ₋ ₊ +       ₊ ₋ ₊ =       ₊   ₋ −       ₊   ₋ +     ₊   ₋ ₋ −     ₊   ₋ ₋ = − − − −

(15)

Menggunakan Koordinat Kutub/Polar ] ] π π θ θ θ θ θ π π π π π 2 2 4 4 . 4 4 1 . . . . 2 0 2 0 2 0 2 0 4 2 0 2 0 3 2 0 2 0 2 =       = = = = =

∫

∫ ∫

d d r d dr r d dr r r

Tentukan volume dari benda padat diatas persegipanjang kutub R = { (r,θ) | 1 ≤ r ≤ 3 , 0 ≤ θ ≤ π/4 }

(16)

Selanjutnya jika daerah S adalah

1. S = { (r,θ) | φ1(θ) ≤ r ≤ φ2(θ), α ≤ θ ≤ β } 2. S = { (r,θ) | a ≤ r ≤ b, ψ1(r) ≤ θ≤ψ2(r) } 2 2 _y x e z= +

∫ ∫

∫∫

= β α θ φ θ φ θ θ θ ) ( ) ( 2 1 ) sin , cos ( ) , (x y dA f r r rdrd f R

(17)

Contoh:

Hitung dengan S daerah kuadran pertama yang berada diluar lingkaran r=2 dan didalam kardioid r = 2(1+cosθ).

Jawab: dr d r r r f dA y x f b a R ∫ ∫ ∫∫ = ) ( ) ( 2 1 ) sin , cos ( ) , ( θ ψ θ ψ θ θ θ ∫∫ S ydA

(18)

Latihan

1. Hitung integral lipat berikut:

3 22 )] cos( )) cos( 1 ( 4 1 [ 3 8 )] sin( ) sin( ) cos( 1 [( 3 8 )] sin( 3 ) sin( 2 / 0 4 2 0 3 ) cos( 1 ( 2 2 2 0 3 2 0 )) cos( 1 ( 2 2 = + + − = − + = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ + = + = π π θ π π θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ d d r rdrd r ydA r S ∫ ∫2 0 ) cos( 0 2_sin( ₎ π θ θ θ drd r ∫ ∫2 0 ) sin( 0 π θ θ rdrd

(19)

a. c.

b. d.

2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung

bila:

a. S adalah daerah didalam lingkaran r = 4cos(

θ

) dan diluar

lingkaran r = 2.

b. S adalah daerah yg kecil yg dibatasi oleh

θ

=

π

/6 dan

r = 4sin(

θ

)

c. S adalah satu daun dari mawar daun empat r = 4sin(2

θ

)

d. S adalah daerah didalam kardioid r = 6 - 6sin(

θ

)

> ∫∫ S d dr r θ ∫ ∫ π θ θ 0 ) sin( 0 2_drd r _{∫ ∫}π − θ _θ _θ 0 ) cos( 1 0 ) sin( drd r

(20)

;

Penerapan Integral Lipat Dua

(21)

Contoh:

Tentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi

bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6-2x-3y.

• Massa dan Pusat Massa

Massa

Menghitung massa total dari lamina (pelat tipis)

yang terbuat dari bahan tak homogen

( kerapatannya berubah)

Misal suatu lamina mencakup suatu

daerah S di bidang xy dan misal kerapatan

(massa persatuan luas) di xy dinyatakan oleh

δ

(x,y) maka :

Contoh 1.

Tentukan massa total sebuah lamina dengan

kerapatan dibatasi oleh sumbu

x, garis x=8 dan kurva

Jawab:

Massa total

∫∫ = S dA y x m δ( , ) xy y x, )= ( δ 3 / 2 x y= ∫ ∫ ∫∫ = = = 8 0 0 5 768 . . ). , ( 3 / 2 x dx dy xy dA y x m δ

(22)

Pusat massa ( Titik Kesetimbangan)

dengan : momen total terhadap sumbu y

m : massa total

dengan : momen total terhadap sumbu x

m : massa total

Titik kesetimbangan =

Contoh 2.

∫∫ ∫∫ = = S S dA y x dA y x x m My x ). , ( ). , ( . δ δ My ∫∫ ∫∫ = = S S dA y x dA y x y m Mx y ). , ( ). , ( . δ δ Mx ) , (x y

(23)

Tentukan pusat massa/titik kesetimbangan dari

lamina pada Contoh 1.

Jawab:

Momen total terhadap sumbu y

Momen total terhadap sumbu x

Pusat massa =

13 12288 . . . . . . ) , ( . 8 0 0 8 0 0 2 3 / 2 2/3 = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ dx dy y x dx dy xy x dA y x x My x x S δ 3 1024 . . . . . . ) , ( . 2 8 0 0 8 0 0 3 / 2 2/3 = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ dx dy y x dx dy xy y dA y x y My x x S δ ) , (x y

(24)

Latihan:

Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang

mempunyai daerah S dan dg kerapatan yg ditunjukkan.

a. S={(x,y)|0≤x

≤

4, 0

≤

y

≤

3} dan

δ

(x,y)= y+1

b. S={(x,y)|-1≤x

≤

1, 0

≤

y

≤

1} dan

δ

(x,y)= x

2

c. S daerah segitiga dengan titik sudut (0,0), (1,1),

(4,0) dan

δ

(x,y)= x+y

d. S daerah di kuadran pertama yg dibatasi oleh

y=x

2

_{dan garis y=1serta}

δ

_{(x,y)= xy}

e. S daerah yg dibatasi oleh x=y

2

_{dan garis y=x-2}

serta

δ

(x,y)=3

22 . 2 768 5 . 3 1024 15 . 6 768 5 . 13 12288 ≈ = = ≈ = = m Mx y m My x

(25)

Integral Lipat Tiga

I. Jika B daerah didalam R

3

_{yang berbebtuk balok yang}

dengan menarik bidang-bidang yang sejajar dengan

bidang-bidang koordinat. Nyatakan partisi ini dengan

∆

V

k

dan n menyatakan banyaknya balok.

Misal volume balok ke-k adalah

∆

V

k

=

∆

x

k

∆

y

k

∆

z

k

Pilih titik

(xk,y_k,zk)

pada balok ke-k kemudian dibentuk

jumlahan

k k k k n k V z y x f ∆

∑

= ) , , ( 1

Misal



P



adalah panjang diagonal terpanjang dari semua

balok didefinisikan integral lipat tiga:

asalkan limitnya ada.

∑

∫∫∫

= → ₌ ∆ n k k k k k B P V z y x f dV z y x f 1 0 ( , , ) lim ) , , ( f

(26)

Jika maka

→

volume daerah B.

Contoh:

Hitung dengan B adalah balok

B = {(x,y,z)| 1

≤

x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2}

II. Jika daerah S dinyatakan oleh

S={(x,y,z)|a

1

1 ) , , (x y z = f ∫∫∫_B dxdydz ∫∫∫ B dV yz x2 .

∫∫∫

=

∫ ∫ ∫

S a a x x y x y x dx dy dz z y x f dV z y x f 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) , ( ) , ( . . ) , , ( ) , , ( φ φ ψ ψ

∫∫ ∫

− 2 0 0 2 2 0 2 . . . 2 x x dx dy dz xyz

(27)

Latihan

Hitung integral lipat berikut:

1.

2.

3.

4.

∫∫ ∫ − + 2 0 4 1 3 0 . . x y dx dy dz ∫∫∫ − 5 0 4 2 2 1 3 2 _. _. _. 6xy z dxdydz ∫∫ ∫ − − 7 3 2 0 1 . . x x y dx dy dz

∫ ∫ ∫

2 _ _ 0 0 2 sin 2 0 . . sin π z yz dz dy dx y x

∫∫ ∫

− 2 0 1 0 . . . 2 z xz dz dx dy xyz

(28)

Penerapan integral

Latihan:

1. Tentukan luas daerah S jika S adalah satu daun dari mawar daun empat r = 4sin(2θ)

2. Tentukan volume dari tetrahedron yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang 3x+4y+z-12=0

3. Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang mempunyai daerah S dan dg kerapatan yg ditunjukkan.

S daerah di kuadran pertama yg dibatasi oleh y=x2_{dan garis y=1serta}_δ_{(x,y)= xy}

4. _{∫∫ ∫} − − 7 3 2 0 1 . . x x y dx dy dz

(29)