III.l. PROBABILITAS AWAL (PRIOR PROBABILITY)
Seperti yang telah d i u raikan di atas, p endekatan dengan cara Bayes memerlukan suatu pro b a b i l i t a s awal
(prior probability) sebagai acuan proses selanjutnya.
Berdasarkan teorema limit central, maka d i a sumsikan d istribusi kokoh tekan adalah normal atau :
f (X) = 0 C(N-N)/r] (III.l)
X
d i m a n a N dan r didapat dari model M (1.196 ; 0.405)
Dalam praktek, mutu beton dan deviasi standard beton ditetapkan terlebih dahulu, dan berlaku sebagai target yang akan dicapai. Aplikasi model galat diill u s t r a s i k a n
dalam contoh berikut :
Misal ditentukan mutu beton K-150 dan Sr = 46 k g / c m ^ ; maka :
f'c = 150 + 1.64 X 46 kg/cm= = 225.44 kg/cm^
maka N = ( 225.44 / 150 ) = 1.5029
Dengan cara yang sama, harga N untuk berbagai mutu beton dan deviasi standard dapat ditabelkan seperti b e r i k u t :
la b e l 3 .1. : Harga N untuk berbagai lu t u beton dan d e v ia s i standard
I1ut,u-Sr S = 46 S = 50 S = 60 S = 65 S = 70 S = 75 S = 80 K - 150 1.5029 1.5467 1.6560 1.7107 1.7653 1.8200 1.8747 If - 175 1.4311 1.4686 1.5623 1.6091 1.6560 1.7029 1.7497 K - 225 1.3353 1.3644 1.4373 1.4738 1.5102 1.5467 1.5831 K - 250 1.3018 1.3280 1.3936 1.4264 1.4592 1.4920 1.5243 K - 300 1.2517 1.2733 1.3280 1.3553 1.3827 1.4100 1.4373 K - 350 1.2155 1.2343 1.2811 1.3046 1.3280 1.3514 1.3749
Dengan mengambil model galat M ( 1.196 ; 0.405) dan persamaan III.l didapat prob a b i l i t a s awal :
P(N=1.5029)
= ^ =
1.5029 - 1.196 0.405
Dari tabel d istribusi Normal Standard (lampiran C) didapatkan :
P(N=1.5029) = 77.637
%
Harga ini menyatakan bahwa untuk mutu beton K-150 dengan Sr = 46
kg/cm^,
p r o b a bilitas K-150 tercapai tanpa pengujian adalah 77.637 % .Dengan cara yang sama, harga p r o b a bilitas awal untuk semua mutu beton yang d i a n a l is a d a l a m penelitian ini ditabelkan sebagai berikut :
Tabel 3.2. : Harga probabilitas awal untuk tasing-iasing lutu beton
Hutu-Sr S = 46 S = 50 S = 60 S = 65 S = 70 S = 75 S = 80 K - 150 77.6373 80.5105 87.2857 89.7958 92.0730 93.8230 95.2540 K - 175 71.9043 74.8572 81.5940 86.6136 87,0762 89.4350 91.4656 K - 225 63.3072 66.2757 72.5747 75,1748 77.9350 80.5105 82.8944 t - 250 60.2568 62.9301 68.7933 71.5661 74.2152 76.7305 79.1030 K - 300 55.5671 73.5345 62.5517 65,1372 67.7242 70.1944 72.5747 K - 350 51.9939 53.5857 58.3166 60.6420 62.5517 64.8027 67.0032
I I I . 2 . KONSEP TEORI BAYESIAN
Karena tiap pengujian kubus beton tidak dipengaruhi oleh hasil pengujian yang lain, maka pengujian kubus bisa
dianggap saling asing (independent). Aplikasi kedua, untuk mutu pekerjaan atau proyek, iumlah kubus baton terbatas, PBI'71 mensyaratkan j u m l a h 20 buah dan SKBI'89 30 buah, maka pengujian bersifat diskrit (discrete).
Rumusan Bayesian d iturunkan b e rdasarkan teori proba- bilitas bersyarat (conditional probability) dan teori probabilitas total (total probability). B en t u k perumusan Bayesian adalah :
■' , P(€l9=0i) P(0=8i)
P ( 9 = 0 i l e ) = ’^--- (III.l.) 2 P(€l0=0i) P(0=0i)
dimana :
P(€|0=0i) = kemungkinan dari hasil percobaan atau test e apabila 0=0i yaitu p r o bailitas bersyarat mendapatkan hasil percobaan dengan asumsi bahwa parameter adalah 0.
P(0=0i) = probabilitas awal dari 0=0i yaitu awal dari informasi dari percobaan € yang tersedia. P(0=0ile) = probabilitas akhir dari 0=0i yaitu probabili
tas yang telah diperbaiki dengan melihat hasil percobaan e.
I I I . 3 . A N A L IS IS TEORI BAYESIAN
Untuk mendapatkan pro b a b i l i t a s akhir sebagai penentu pengambilan keputasan, pro b a b i l i t a s awal yang sudah didapatkan dalam tabel 3.2. d i a n a l is a dengan memasu k k a n semua event yang berkaitan dalam proses perhi t u n g a n dengan analisa Bayes.
Ev e nt-event yang terjadi adalah:
event 1 : apabila hasil test laboratorium dan mutu baton di lapangan memenuhi target kuat t e k a n . rata-rata harga p ro b ab il it as ny a sebesar 5 2 . 5 %
event 2 : apabila hasil test laboratorium m e m e nuhi target kuat tekan rata-rata, sedang- kan mutu beton di lapangan tidak menun- jukkan t e r capainya target kuat tekan rata-rata harga p r o b ab il it as n ya sebesar
17.5 %
event 3 : apabila hasil test laboratorium tidak memenuhi target kuat tekan rata-rata, sedangkan mutu beton di lapangan menun- jukkan t e r capainya target kuat tekan rata-rata harga p r ob ab il it as ny a 3 %
event 4 : apabila hasil test laboratorium dan mutu beton di lapangan tidak mencapai target
kuat tekan rata-rata harga pr o b a b i l i t a s - nya sebesar 27 %
Harga diatas diambil bahwa b e n d a uji memiliki ruang sampel memenuhi target atau tidak memenuhi target dengan distribusi benda uji sebelum m e n g alami test memberi keyakinan sebesar 70 % . Ur a i a n n y a dapat dilihat pada gambar d i ag ra m alir diba w a h ini:
Bdibar III.l : diagras alir harga probabilitas evsnt-event yang terjadi
benda.udi sebelum d i l akukan test
ditest dan lolos P = 0.70 keadaan di lapangan lolos P = 0.75 tidak P. = 0.25
ditest dan tidak lolos P = 0.30
keadaan di lapangan
lolos tidak
P = 0.10 P = 0.90
H arg a - h a r g a diatas merupakan suatu besaran yang diambil secara subyektif mengingat tidak adanya data mengenai hasil penelitian tersebut kecuali berdasarkan pengalaman. Adapun b e sarnya harga yang diambil seperti diatas adalah berdasarkan asumsi bahwa dengan mengambil harga awal yang lebih kecil (mutu pelak s a n a a n dianggap rendah), resiko kesalahan yang terjadi d iharapkan akan
lebih kecil karena tidak adanya data yang pasti sehingga akan menjadi lebih a m a n . .
Dengan mendefinisikan n o t a s i - n o t a s i ; T = test di laboratorium m e menuhi syarat
T = test di laboratorium tidak memenuhi syarat G = mutu beton di lapangan m emenuhi syarat
G = mutu beton di lapangan tidak m e menuhi syarat maka dengan menggunakan prob a b i l i t a s b e r s yarat dan dari persamaan I I I .2. didapat P(T U T|G) P(G) P(GjT U T) = (III.3.) n 2 P(T U T|G) P(G) 1=1 P(TIG) P(G) + P(T[G) P(G) P(G]T U T) = ---P(TjG) P(G)+P(T1G) P(G)+P(T|G) P(G)+P(T|G) P(G) dimana
P(G|T U T) = p r o b a bilitas mutu beton mem e n u h i target kuat tekan rata-rata di lapangan sete-
lah test di laboratorium. P(TjG) = p r o b a bilitas event 1 P(T|G) = p r o b a bilitas event 2 P(T|G) = prob a b i l i t a s event 3 P(T|G) = p r o b abilitas event 4
P(G) = p r o b a bilitas mutu beton terjadi di
lapangan memenuhi target kuat tekan r a t a - r a t a .
P(G) = prob a b i l i t a s mutu beton terjadi di • lapangan tidak m e menuhi target kuat
tekan rata-rata.
Dengan mengambil hasil p r ob a b i l i t a s awal dari tabel 3.2. dan persamaan I II .3. maka pro b a b i l i t a s akhir dari ma s i n g - m a s i n g mutu beton d ih it u ng sebagai berikut :
•*
Untuk mutu beton K-225 dengan p r o b a bilitas awal sebesar 63.3072 % (Sr = 4 6 kg/cm*) dengan memasukkan semua harga event yang ada ke d a l a m persamaan II I . 2-. didapatkan hasil
- untuk hasil test per t a m a dan memenuhi target
0.525x0.633 + 0.03x0.633
P(GIT U T) = -0.525x0.633 + 0.175x0.367 + 0.03x0.633 + 0.27x0.367 = 0.6827
- untuk test kedua dan mem e n u h i target, dengan harga P(G) 68.27 % , dengan harga p r o b a bilitas event-event yang ada adalah tetap' ma k a kenaikan P(G) yang d i h i
tung dengan cara yang sama sebesar 72.85 %
Untuk hasil test sela n j u t n y a d ih it u n g dengan cara yang sama dan hasilnya d i t unjukkan dalam tabel sebagai berikut :
test ke harga prob 1 68.27 2 72.85 3 78.99 4 80.67 5 83.88 6 86.65 7 89.01 8 90.99 9 92.64 10 94.01 11 95. 14
A n alog . deng’an p e r hitungan . d i a t a s , u ntuk berbagai harga mutu beton dan deviasi standard perhi t u n g a n dilaku- kan dengan para yang sama. H a si l n y a di s a j i k a n dalam bentuk g r a f i k - gr a fi k dari gambar I I I . 2 hingga I I I . 7 dan dalam b e ntuk tabel pada lampiran B.
Hukuigan banyaknya p«ngujian dan ppob, akhip 75 A Sp=46 kg/cM2 i Sp=50 kg/cn2 Q Sr=60 kg/cM2 "1~Sp=65 kg/cM2" 0 Sp=70 kg/cn2 -f«p=75 kg/cM2- Sp=80 kg/cM2 70 & X 4 65 w 4 ¥ 60 H J! 4 55 A 0 !< K 50 T ~ T r fianyaknya pengujian 1
I
Gasbar III.2. Grafik hubungan banyaknya pengujian d;n probabilitas akhir untuk «utu K-150
Hu})ungan banyaJcnya pengujian prob. a k h ir
Saebar III.3. Srafik hubungan banyaknya pengujian dan probabilitas akhir untuk autu K-175
Huiungan banyalcnya pengiijian dan prob. a k h ir
T ~ r ~ r ~ r ~ T Banyalaiya pengujian
Baibar 111,4. Grafik hutungan banyaknya pengujian dan probabilitas akhir untuk nutu K-225
Hubungan bansaknaa pengujian <Ian prob. a k h ir
1 i i i i i i i T
Banyaknya pengujian
10 11 12
n
Baibar Iil.5. 6rafik hubungan banyaknya pengujian dan probabilitas akhir untuk tutu K-250
Hulmngan banyaknya pengujian dan proli. akhir
m ~ n ~ r “ n ~ r
Banyalcnya pengujian
Sasbar I I I . 6. G ra fik hubungan banyaknya pengujian dan p ro b a b ilit a s a k h ir untuk autu K-300
HuLungan lianyaknya pengujian «lan prolb. aldiip
1
I
5
4 5I
71 T
10 11 12 13 14 15Banyalotya pengujian
Sisbar III.7. Srafik huhungan banyaknya pengujian dan probabilitas akhir untuk iutu K-350
