Repository FMIPA 1
APLIKASI MODEL BLACK-LITTERMAN DALAM
MENENTUKAN OPTIMISASI PORTOFOLIO INVESTASI
Juni Meli Indrasari1*, Tumpal P Nababan2, Bustami21
Mahasiswa Program S1 Matematika
2
Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
*
[email protected] ABSTRACT
This article studies the weighted Black-Litterman’s model in finding the optimization of portfolio invesment. The Black-Litterman’s model obtained by Bayesian approach is used to obtain the weighted values of each asset portfolio. Based on the weighted values of each asset the portfolio return is obtained and then is used in determining optimal value of portfolio.
Keywords: Black-Litterman, Bayes, portfolio, return ABSTRAK
Artikel ini membahas tentang penggunaan pembobotan model Black-Litterman dalam mencari optimisasi portofolio investasi. Model Black-Litterman yang diperoleh melalui pendekatan Bayes digunakan untuk mencari nilai bobot masing-masing saham dalam portofolio. Berdasarkan nilai pembobotan dari masing-masing saham tersebut diperoleh
return portofolionya yang berguna untuk menentukan nilai portofolio yang paling
optimal.
Kata kunci: Black-Litterman, Bayes, portofolio, return
1. PENDAHULUAN
Investasi adalah kegiatan penanaman modal yang membawa konsekuensi untung dan rugi. Penanaman modal tersebut bisa untuk satu atau lebih aktiva yang dimiliki, dan biasanya berjangka waktu lama, dengan harapan mendapatkan keuntungan di masa-masa yang akan datang [5]. Pelaku investasi disebut juga dengan investor. Dalam berinvestasi, investor akan dihadapkan pada kondisi ketidakpastian. Ada dua hal yang sangat mendasar yakni tingkat keuntungan investasi yang sering disebut dengan return
dan besarnya risiko yang akan ditanggung Investor. Hubungan keduanya dapat diiliustrasikan jika semakin besar return yang akan diperoleh maka semakin besar juga risiko yang akan ditanggung Investor. Untuk meyakinkan dalam memilih berinvestasi, banyak cara yang dilakukan Investor. Salah satunya adalah dengan melakukan
Repository FMIPA 2 observasi. Menghitung peluang terjadinya suatu kejadian berdasarkan pengaruh yang didapatkan melalui observasi dinamakan dengan pendekatan Bayes.
Penelitian tentang mengoptimalkan besarnya return pernah dilakukan oleh Black dan Litterman [1] yang mengembangkan suatu model dengan menggabungkan antara perhitungan return portofolio dan view (pandangan) dari investor. Widyandari [6] melakakukan penelitian untuk mengoptimalkan besarnya return pada portofolio saham dapat dilakukan dengan menaksir besarnya return dengan m e m p e r t i m b a n g k a n besarnya risiko. Subekti [4] melakukan penelitian untuk mengaplikasikan model Black-Litterman pada studi kasus saham S&P500. Pada artikel ini, penulis mengkaji ulang penelitian Widyandari [6]. Penulis tertarik untuk membahas tentang bagaimana menaksir return maksimal melalui model Black-Litterman dengan pendekatan Bayes dan model Variansi Rata-Rata. Dari keduanya dipilih yang menghasilkan portofolio yang paling optimal berdasarkan return yang paling besar.
2. RETURN DAN RISIKO
Tujuan utama dari suatu investasi adalah untuk mendapatkan return. Return merupakan hasil yang diperoleh dari suatu investasi. Agar return yang diperoleh investor maksimal, maka dibentuk portofolio. Portofolio adalah kumpulan dari beberapa saham terpilih untuk mendapatkan return yang maksimal. Sehingga apabila return dari satu aset mengalami penurunan yang mengakibatkan investor mengalami kerugian, diharapkan
return dari aset yang lain dalam portofolio tersebut dapat menutupi kerugiannya. Jika seorang investor menginvestasikan dana yang dimilikinya pada waktu t, dengan harga aset pada waktu t dinyatakan dengan Pt, harga aset pada waktu t -1 dinyatakan dengan
Pt-1, maka return aset yang dimiliki pada waktu t adalah
. 1 1 t t t P P R (1) Dalam suatu investasi, nilai ekspektasi return dapat dirumuskan sebagai berikut
n i j ij i R P R E 1 , ) (dengan Rij dan Pj menyatakan return aset ke-i pada waktu ke-j dan peluang return pada waktu ke-j. Untuk rumusan return portofolionya adalah
, ) ( ) ( 1
n i i i p wE R R E dengan n = 1, 2, 3. (2) Besarnya risiko yang dapat diestimasi dengan variansi, dapat dirumuskan sebagai berikut ( ( )) . 2 2 R E R E (3)Untuk rumusan risikoportofolionya adalah i, T i p w Vw
dengan i = 1, 2, 3. (4) dengan w dan V menyatakan bobot aset dan matrik variansi kovariansi.Repository FMIPA 3 3. PENGGUNAAN PEMBOBOTAN MODEL BLACK-LITTERMAN DALAM
MENENTUKAN OPTIMISASI PORTOFOLIO SAHAM
Model Black-Litterman merupakan suatu model yang digunakan untuk mencari portofolio optimal dengan melibatkan view investor didalamnya. Secara umum, model Black-Litterman tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
), ( ) )( (
1 1
bl VPT PVPT QPdengan bl menyatakan ekspektasi return yang baru. Dalam menetukan nilai portofolio optimal, dimulai dengan menentukan besarnya nilai return keseimbangan. Dengan menggunakan metode maksimum likelihood, diasumsikan sampel return keseimbangan pasar berdistribusi normal dengan rata-rata dan matriks kovariansi V.
Lalu, return aset ke-i dinyatakan sebagai berikut:
m i
V N
ri ~ (, ), 1,2,...,
Nilai ekspekatasi dari m sampel dapat ditulis seperti berikut [2]: , 1 1
m i i r m (5)dengan m adalah banyaknya observasi pasar, µ adalah rata-rata dari variabel random ri
dengan kovariansi V,maka fungsi kepadatan peluangnya adalah sebagai berikut . ) ( ) ( 2 1 exp ) 2 ( 1 ) ( 1 i T i m i r V r V r
Karena yang diestimasi adalah nilai maka untuk memaksimalkannya tidak perlu mempertimbangkan konstanta dari fungsi kepadatan peluang return. Maka fungsi kepadatan peluangnya adalah sebagai berikut
. ) ( ) ( 2 1 exp ) ( 1 i T i i r V r r (6) Bentuk fungsi likelihood dari persamaan (6) adalah
). ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 m m i i r r r r L
l ln((r1))ln((r2))ln((rm)). . ) ( ln 1
m i i r l (7) Substitusikan persamaan (6) kepersamaan (7), diperoleh, ) ( ) ( 2 1 exp ln 1 1
m i i T i V r r l
( ) ( )
. 2 1 1 1
m i i T i V r r l (8) Selanjutnya, maksimumkan fungsi pada persamaan (8) seperti berikut
( ) ( )
. 2 1 max max 1 1
m i i T i V r r l Karena yang ingin diestimasi adalah nilai maka dilakukan penurunan fungsi pada persamaan (8) terhadap µj dengan j = 1, 2,...,d, diperoleh
Repository FMIPA 4
( ) ( )
0, 2 1 1 1 1
m i T j T i i T j j e V r r V e l (9) karena ( ) 1
( ) 1
1( i )0, T j T j T i j T i V e r V e e V rr maka persamaan (9) dapat
ditulis menjadi . 0 1 1 1
m i m i i T jV r e (10) Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (10), diperoleh
0. 1 meTV r j (11) Untuk setiap j = 1, 2,..,d dari persamaan (11) diperolehr 0, , 1 1
m i i r m r , I
1. V V (12)Berdasarkan persamaan model Variansi Rata-Rata Markowizt [3, h.19], yaitu
1. V
wvr
(13) Substitusikan persamaan (13) ke persamaan (12), diperoleh
,
vr
Vw
dengan dan menyatakan return keseimbangan dan nilai risk averse yang merupakan nilai risiko dari return yang diharapkan yang telah ditetapkan sebagai toleransi dunia sebesar 2.5 [3].
Setelah memperoleh return keseimbangan, langkah selanjutnya yaitu mengkombinasikannya dengan view investor. Dimisalkan ada dua kejadian A dan B, dengan A adalah ekspektasi return yang disimbolkan dengan E(r)dan B adalah return
keseimbangan disimbolkan dengan , sehingga berdasarkan pendekatan Bayes dapat dibentuk seperti berikut
. ) ( )) ( ( )) ( | ( ) | ) ( ( P r E P r E P r E P
Diperoleh fungsi distribusi posteriornya sebanding dengan
( ( ) ) ( ( ) ) , 2 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 exp 1 1 Q r OE Q r OE r E V r E T
T
atau dapat dinyatakan sebagai
E r AE r B E r C ri ( i)T ( i) 2 T ( i) 2 1 exp ) ( ,
(14) denganA
V 1OT1O,B
V 1
OT1Q,C
T
V 1
QT1Q. Bentuk fungsi likelihood dari persamaan (14) adalah). ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 m m i i r r r r L
l lnLln((r1))ln((r2))ln((rm)).Repository FMIPA 5 . ) ( ln 1
m i i r l (15) Substitusikan persamaan (14) ke persamaan (15), sehingga diperoleh
( ) ( ) 2 ( )
, 2 1 exp ln 1
m i i T i T i AE r B E r C r E l
( ) ( ) 2 ( )
. 2 1 1
m i i T i T i AE r B E r C r E l (16) Selanjutnya, memaksimumkan fungsi pada persamaan (16) seperti berikut
( ) ( ) 2 ( )
. 2 1 max max 1 ) (
m i i T i T i r E E r AE r B E r C l iKarena yang ingin diestimasi adalah nilai
E
(
r
i)
maka dilakukan penurunan fungsi pada persamaan (16) terhadap E(rji) dengan j=1,2,...,d, diperoleh
( )
0, ) ( 1
m i j T i T j ij e B r AE e r E l
( )
0, 1
m i T j T i T j AE r B e e
( )
0, 1 1
m i m i i T j AE r B e (17)Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (17), sehingga diperoleh
AE(r)B
0, me i T j E ri A B 1 ) ( (18) Substitusikan nilai A dan B pada persamaan (14) ke persamaan (18), sehingga diperoleh
, ) (r V 1 O 1O 1 V 1 O 1Q E i T Tdengan E(ri) dalam artikel ini ditulis bl seperti berikut;
V OT O
V OT Q
bl 1 1 1 1 1
(
1 ) 1(
)
.
bl OVOT OTVO QO (19) Nilai bobot aset dengan menggunakan model Blck-Litterman sama halnya dengan menggunakan bobot aset pada persamaan (13). Namun, rata-rata aset yang digunakan adalah seperti pada persamaan (19). Sehingga diperoleh nilai bobot aset model Black-Litterman dengan pendekatan Bayes untuk portofolio saham optimal adalah. ) ( 1 bl bl V w
4. CONTOH PENGGUNAANPada artikel ini, penulis memisalkan portofolio terdiri dari 3 aset diantaranya Bank Negara Indonesia Tbk, Bank Tabungan Negara Tbk, dan Indofood Sukses Makmur Tbk. Nilai portofolio optimal yang dihasilkan dari pembobotan aset model Black-Litterman kemudian akan dibandingkan dengan portofolio optimal yang dihasilkan dari bobot aset model Markowitz. Data diambil melalui www.yahoofinance.com pada periode 02 september 2014 sampai 30 nopember 2014.
Repository FMIPA 6 Langkah pertama yang dilakukan untuk menentukan return portofolio optimal yaitu dengan uji kenormalan data return aset yang tergabung dalam portofolio tersebut.
Return dari aset dalam portofolio tersebut dicari dengan menggunakan persamaan (1). Hal ini berguna untuk mengetahui datanya berdistribusi normal atau tidak. Karena dalam menentukan portofolio yang optimal diperlukan data return yang berdistribusi normal. Dalam penelitian ini, digunakan uji normalitas data Kolmogorov-Smirnov. Perhitungan data dalam artikel ini menggunakan Software Microsoft Excel dan SPSS. Pada Tabel 1 disajikan hasil uji K-S dari ketiga aset saham dalam portofolio tersebut.
Tabel 1: Tabel Uji Kenormalan 3 Saham
Kode Saham BBNI.JK BBTN.JK INDF.JK
Banyak Data 64 64 64
Rata-Rata 0.00200 0.00050 -0.00070
Deviasi Standar 0.01966 0.01709 0.01245
Asymp. Sig. (2-tailed) 0.64200 0.36800 0.43200
Dari Tabel 1 terlihat bahwa nilai Asymp. Sig. (2-tailed) lebih besar dari 0.05 sehingga
return dari ketiga saham tersebut berdistribusi normal.
Langkah selanjutnya yaitu menentukan besarnya bobot aset model Black-Litterman dari ketiga saham tersebut. Dalam perhitungan bobot aset tersebut perlu dicari terlebih dahulu nilai matriks variansi kovariansi dari ketiga saham. Perhitungannya yaitu dengan menggunakan persamaan (3). Pada Tabel 2 disajikan nilai variansi kovariansinya.
Tabel 2: Tabel Variansi Kovariansi 3 Saham
Kode Saham BBNI.JK BBTN.JK INDF.JK
BBNI.JK
0.00038
0.00009
0.00017
BBTN.JK
0.00009
0.00029
0.00005
INDF.JK
0.00017
0.00005
0.00015
Setelah diperoleh nilai variansi kovariansinya, dicari vektor views dan matriks views.
Nilai views ditentukan dari pandangan investor terhadap aset yang dipilihnya yang bersifat relatif. Pada Tabel 3 disajikan nilainya.
Tabel 3: Tabel Vektor dan Matriks Views dari 3 Saham
Kode Saham Q P
BBNI.JK 0,0005 0 1 0
BBTN.JK 0,0019 1 -1 0
INDF.JK 0 0 0 1
Pada Tabel 3, Q menyatakan vektor views dari investor, dan P adalah matriks bobot
views. Vektor views adalah besarnya pandangan investor terhadap aset yang dipilihnya.
Repository FMIPA 7 setiap pembentukan portofolio. Langkah selanjutnya yaitu perhitungan nilai bobot aset dengan model Black-Litterman. Pada Tabel 4 disajikan nilainya.
Tabel 4: Tabel Nilai Bobot Aset dengan Black-Litterman
Kode Saham
w
blBBNI.JK
1.21680
BBTN.JK
-
0.10300
INDF.JK
-
0.45600
Setelah nilai bobot aset dengan model Black-Litterman diperoleh,dilakukan perhitungan bobot aset dengan model variansi rata-rata sebagai pembandingnya. Pada Tabel 5 disajikan hasil perhitungan bobot aset dengan model variansi rata-rata.
Tabel 5: Tabel Nilai Bobot Aset dengan Variansi Rata-Rata
Kode Saham
w
vrBBNI.JK
0.28630
BBTN.JK
0.34790
INDF.JK
0.38060
Diilustrasikan seorang investor memiliki 10000 lembar saham. Dengan menggunakan persamaan (2), diperoleh hasil seperti pada Pada Tabel 6 yang menyajikan perbandingan
return dari kedua model pembobotan aset.
Tabel 6: Perbandingan Pembobotan Portofolio
Kode Saham
E
(
R
)
RWVR RWblBBNI.JK 0.00198 5.65815 24.04800
BBTN.JK 0.00049 1.71338 -0.50799
INDF.JK -0.00067 -2.52566 3.02602
Total 4.84586 26.56564
Berdasarkan Tabel 6, terlihat bahwa dengan menggunakan model Black-Litterman jumlah keseluruhan dari RWbllebih besar dari jumlah keseluruhan dari
R
W.
Nilai 26.57 artinya return yang diperoleh investor yang memiliki 10000 lembar saham sebesar 26.57% dari total keseluruhan saham yang dimilikinya, nilai 4.85 artinya return yang diperoleh investor sebesar 4.85% dari total keseluruhan saham yang dimilikinya.Repository FMIPA 8 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan sebelumnya dalam studi kasus tiga saham yang terdaftar pada indeks LQ-45, diperoleh bahwa dengan menggunakan model Black-Litterman
return portofolionya lebih besar dari return portofolio berdasarkan pembobotan aset model variansi rata-rata. Hal ini terlihat dari ilustrasi seorang investor memiliki 10000 lembar saham, perhitungan dengan menggunakan model Black-Litterman diperoleh
return portofolio sebesar 26.57% dari total keseluruhan saham yang dimilikinya.
Sedangkan perhitungan dengan menggunakan model Variansi Rata-Rata diperoleh
return portofolio sebesar 4.85% dari total keseluruhan saham yang dimilikinya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Black, F. & D. Litterman. 1992. Global Portfolio Optimization. Financial Analysis Jurnal. [48]: 28-43.
[2] Devore, J. L. & K.N. Berk. 2007. Modern Mathematical Statistics with Aplications. Duxbury Press. Belmont, California.
[3] Mankert, C. (2006). The Black Litterman Model-Matematical and Behavioral Finance Approaches Toward Its Use in Practice. M.Sc Thesis. Royal Institute of Technology, Stockholm.
[4] Subekti, R. 2008. Aplikasi Model Black-Litterman dengan Pendekatan Bayes (Study Kasus Portofolio dengan 4 Saham S&P500). Prosiding Seminar Nasional Matematika UNY.
[5] Sunariyah. 2003. Pengantar Pasar Modal Edisi Ketiga. UPP AMP YKPN. Yogyakarta.
[6] Widyandari, F. Subanti, S. dan Sutrima. 2012. Optimalisasi Portofolio Saham pada
Indeks Lq-45 dengan Pendekatan Bayes Melalui Model Black-Litterman. Prosiding
