Penganggaran Kekardinalan Bagi Set Penyelesaian Sistem Persamaan Kongruen Melalui Kaedah Transformasi

(1)

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

PENGANGGARAN KEKARDINALAN BAGI SET PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN MELALUI KAEDAH

TRANSFORMASI

SHARIFAH KARTINI BINTI SAID HUSAIN

(2)

PENGANGGARAN KEKARDINALAN BAGI SET PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN MELALUI KAEDAH

TRANSFORMASI

SHARIFAH KARTINI BINTI SAID IillSAIN

MASTER SAINS

UNIVERSm PlITRA MALAYSIA

(3)

PENGANGGARAN KEKARDINALAN BAGI SET PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN MELALUI KAEDAH

TRANSFORMASI

Oleh

SHARIFAH KARTINI DINTI SAID IIDSAIN

Tesls Yang Dikemukakan Sebagal Memenuhl Keperluan Untuk IJazah Master Sains

di FakulU Sains dan Pengajlan Alam Sekltar Universiti Putra Malaysia

(4)

DEDlKASI

Teristimewa buat

Ibuku, Tuan Nong binti Syed Abdullah abang-abang, kakak-kakak

dan anak -anak saudara

dan dihadiahkan kepada Syed Ahmad Thani bin Tuan Hadi

dan Sharifah Maisara

(5)

Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai

memenuhi keperluan \Ultuk ijazah Master Sains.

PENGANGGARAN KEKARDINALAN BAGI SET PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN MELALll KAEDAH

TRANSFORMASI Oleh

SHARIFAH KARTINI BINTI SAID HUSAIN SEPTEMBER 2000

Pengerusi: Dr. Hj. Ismail bin AbduUah

Fakulti: Sains dan Pengajlan Alam Sekltar

Penganggaran kekardinalan bagi set penyelesaian bagi persamaan kongruen

modulo suatu kuasa perdana p yang diselrutukan dengan suatu poJinomial lruartik

berbentuk

daJam Zp[x,y] ditentukan dengan menggunakan kaedah transfonnasi

.Kaedah ini digwtakan apabila berlalru beberapa kes atau keadaan polino� iaitu:

1. Polinomial atau sepasang polinomial tak linear.

2. Polinomial atau sepasang polinomial berdatjah tinggi, biasanya lebih

darlpada 3.

3. Wujud pertindihan tembereng pada gambarajah petunjuk bagi sepasang

polinonrlal yang diselrutukwL

(6)

Kaedah ini meliputi satu algoritma yang melibatkan penurunan polinomial

daripada dua pembolehubah kepada satu pembolehubah sahaja. Seterusnya

daripada polinomial barn yang diperolehi kita kembali kepada pemaharnan poligon Newton untuk mendapatkan pensifar sepunya bagi polinomial-polinomial tersebut. Kemudian faktor penentu 0 bagi anggaran di atas diperolehi Maldumat ini kemudiannya digunakan untuk memperolehi anggaran kekardinalan di atas.

(7)

Abstract of thesis presented _tothe Senate ofUniversiti Putra Malaysia in

fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science.

ON THE ESTIMATE CARDINALI1Y OF TIlE SET OF SOLUTIONS TO CONGRUENCE EQUATION BY TRANSFORMATION METIIOD.

By

SHARIFAH KARTINI BINTI SAID HUSAIN SEPTEMBER 2000

Chairman: Dr. Hj. Ismail bin AbduUah

Faculty: Science and Environmental Studies

The estimation of the cardinality of the set of solutions to congruence equation modulo a prime power p which is associated with the quartic polynomial of the fonn

/(x,y)= ax4 + bx1y+ cxZyZ +dxyl +ey4 + mx+ �+k

in Zp[x,y] is detennined by means oftransfonnation method.

This method is utilized in certain cases or in any polynomial circumstances, that

is:

1. Polynomial or a pair of non-linear polynomials.

2. Polynomial or a pair of high degree polynomials, nonnaUy exceeding 3.

3. _{The existence of intersection of coinciding segments in the indicator diagram}

of a pair of associated polynomials.

(8)

This method covers an algorithm, which involves polynomial reduction from two variables to a single variable. Consequently, from the new polynomial obtained, we return to Newton polygon in order to set common zeros for the polynomials stated. Then, the estimation of determinant factor 8 is obtained. This

(9)

PENGHARGAAN

Dengan nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Penyayang! Kesyukuran yang tidak tedUngga dirafakkan ke hadrat Dahi kerana memberi peluang masa, usia dan ilmu untuk menyiapkan tesis ini.

Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi Jawatankuasa Penyeliaan iaitu Dr. Hj. Ismail bin Abdullah alas segala kesabaran, bantuan, dorongan dan bimbingan beliau selama dua tahun yang amat bennakna.

Ribuan terima kasih juga disampaikan kepada Timbalan Naib Canselor (Akademik), Profesor Dr. Kamel Ariffm bin Mohd. Alan dan kepada Dr. Mohamad Rushdan bin Md. Said kerana dorongan dan nmjukajar yang telah mereka curahkan.

Penghargaan yang sungguh berarti buat mereka sebagai pendidik yang sentiasa bersedia mencurahkan ilmu kepada insan-insan yang dahagakan pengetahuan. Saya abadikan jasa baik mereka dalam ungkapan <Ii bawah:

Dia

tempat berdiri tiang negara

dari keringat titisan ilmunya mencurah menjadi benih

dalam diri boo.

(10)

Akhir sekali saya ingin mengucapkan ribuan terima kasih kepada keJuarga, terutama suami yang memahami, dan rakan-rakan yang tidak jemu memberi galakan dan semangat sebingga penulisan ini dapat

disempwnakan.

(11)

Saya mengesahkan bahawa Lembaga Pemeriksa telah mengadakan peperiksaan akhir pada 30 September 2000 bagi Sharifah Kartini binti Said Husain mengenai tesis Master Sains yang bertajuk "Penganggaran Ke1cardinalan Bagi Set Penyelesaian Sistem Persamaan Kongruen melalui

K.aedah Transfonnasi" mengikut Akta Universiti Pertanian Malaysia

(ljazah Lanjutan) 1980 dan Peraturan-Peraturan Universiti Pertanian

Malaysia (Ijazah Lanjutan) 1981. Lembaga Pemeriksa memperakukan

bahawa calon ini dianugerahkan ijazah tersebut. Abli-ahli Lembaga

Pemeriksa ca10n adalah seperti berikut:

IU. HARUN BIN BUDIN, Ph.D,

Profesor Madya,

Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar, Universiti Putta Malaysia.

(Pengerusi)

HJ. ISMAIL BIN ABDlJ:aAH, Ph.D, Pensyarah,

Fakulti Sains Komputer dan Teknologi Maklwnat, Universiti Putta Malaysia.

(pemeriksa)

KAMEL ARIFF1N BIN MOlID. ATAN, Ph.D, Profesor,

F akulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar, Universiti Putra Malaysia.

(Pemeriksa)

MOHAMAD RUSlIDAN BIN MD. SAID, Ph.D, Pensyarah,

Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar, Universiti Putra Malaysia.

(pemeriksa)

G ALI MOlIA YIDIN, Ph.D,

ffimbalan Dekan Pusat Pengajian Siswazah, Universiti Putra Malaysia.

Tarikh: _{0 4 0 [C 2000}

(12)

Tesis ini telah diserahkan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi syarat keperluan untuk ijazah Master

Sains.

. �L�

KAMIS AW ANG, Ph.D, Profesor Madya,

Dekan Pusat Pengajian Siswazah, Universiti Putra Malaysia.

Tarikh: 1 1 JAN ZOOl

(13)

PENGAKUAN

Saya dengan ini mengakui bahawa tesis ini adalah berdasarkan kerja saya yang asli kecuali petikan yang telah dinyatakan sumbemya. Saya juga mengakui bahawa ia tidak pernah dihantar kepada mana-mana institusi di UPM atau di tempat lain.

SHARIFAH BINTI SAID lIDSAIN

Tarikh : 25 Mei 2000

(14)

KANDUNGAN MUKASURAT DEDIKASI ii iii ABSTRAK ABSTRACT PENGHARGAAN LEMBARAN PENGESAHAN PENYATAAN KEASLIAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH v vii ix xi xiv xv xix

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN BAB

I PENGENALAN 1

Tatatanda dan Takrifan 1

Latar Belakang 4

Ringkasan Keputusan 12

II POLINOMIAL, MEDAN p-ADIC DAN

POLIGON NEWfON 21 PolinonUal 21 Gelanggang Polinomial 21 Pensifar Polinornial 26 Pembezalayan 30 Medan p-adic 31 Poligon Newton 37

III POLllIEDRON NEWfON, GAMBARAJAH PETUNJUK DAN PERSILANGAN

GAMBARAJAH PETUNJUK 45

Polihedron Newton 45

Nonnal kepada Poliliedron Newton 55 Uqjuran Polihedron Newton 57

Gambarajah Petunjuk 59

Persilangan Gambarajah Petunjuk 66 Jenis Persilangan Gambarajah Pettmjuk 67

Persilangan Mudah 67

(15)

IV

V

Persilangan Pada Bucu 70

Persilangan Tembereng Selati 73

PersiJangan Sepenuh 76

PERINGKAT p-ADIC BAGI PENSIFAR

SEPUNYA 79

Pensifar Sepunya 79

Peringkat p-adic bagi Pensifar Suatu

Polinomial 81

Pensifar Sepunya dan Persilangan

Gambarajah Petunjuk 84

mANSFORMASI 94

Pengenalan 94

Transfonnasi 96

I.angkah-langkah Transformasi 1 13

VI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN

KONGRUEN 147

Hasil Tambah Eksponen 147 Penganggaran bagi

NVx,f"pa)

151 Penganggaran bagi Hasil Tambah Eksponen

Berganda 155

VII KESIMPULAN DAN CADANGAN 161

Penemuan Utama 161

Kesimpulan 164 Cadangan 165 BmLIOGRAFI 167 LAMPIRAN 170 VITA 206 xiii

(16)

Jadual

1.

SENARAI JADUAL

Jumlah permukaan tertinggi _yangterbentuk daripada sesuatu polinomial.

XlV

MukaSurat

(17)

SENARAI RAJAH

Rajah Mub Surat

1. Poligon Newton bagi

f(x)= 2X2 - 7x - 30 dengan p == 2. 39

f{x) = 2x3 - x2 - X - 36 dengan p == 2. 40

f{x) = X4 - 4/3r - 26/3x2 + 12x - 9

dengan p == 3. 40

4. Gambarajah Newton bagi

f{x,y)= 2x2 + 3.l)' - yZ + 8 dengan P == 2. 46

5. Gambarajah Newton bagi

f{x, y) = 9x2 + 2.l)' + 9.l)'2 + 27 deogan p == 3. 46 6. Gatnbarajah Newton bagi

f{x,y) = lOOx3 + 45x2y + 20.l)'2 + 75y3 + 125

dengan p == 5. 47

7. Polihedron Newton bagi

f(x, y) = 12+5x+7.l)' dengan p==3. 48

f(x,y) = 4x2 + 4.l)'2 + y2 - 9 dengan p = 3. 49 9. Polihedron Newton bagi.

f(x,y) = 9x2 +.l)' + 3y2 + 27 dengan p = 3. 49 10. Polihedron Newton bagi

/(x,y) = l00x3 + 45x2y + 20.l)'2 + 75yl + 125

dengan p == 5. _SO

f(x, y) = 2X2 + 6.l)' + 12y2 + 6 dengan P = 2. 50 12. Unjuran Lf yang bersekutu dengan Nf bagi

f(x,y)= 12+ 5x + 7.l)' dengan p = 2 58

(18)

13. UJ\juran Lf yang bersekutu dengan Nf bagi

/(x, y ) =:: 4x2 + 4xi'-+ y2 -9 dengan p = 3. 58

14. Unjuran Lf yang bersekutu dengan N f bagi

/(x,y)= l00x3 + 45x2y+ 2009'2 + 75yl +125

dengan p = 5. 59

15. Gambarajah petunjuk yan

)

bersekutu

dengan polinomial /(x,y = 12+ Sx+ 7xy

dengan p = 3. 62

16. Gambarajah petunjuk yang bersekutu

dengan polinomial /(x,y) = 4x2 + 4xy2 + y2 - 9

dengan p = 3. 62

17. Gambarajab petlu\juk yang bersekutu

dengan polinomial /(x,y) = 9x2 + xy + 3y2 + 27

dengan p=3. 63

dengan polinomial

/(x,y)= l00x1 + 45x2y+ 20xy2 + 75y3 + 125

dengan p = 5. 63

dengan polinomial /(x,_y)= 2x2 + 6xy+ 12y2 + 6

dengan p= 2 64

20. Gambarajah petunjuk bagi

/(x,y)= 4x+3y+l dan

g(x,y)= x+14y+6 dengan p =3. 68

/(x,y) = 3x2 + 4xy + 5 dan

g(x,y)= 2x2 +3y2 + 3 dengan P = 3. 69

22. Gambarajah petmjuk bagi

/(x,y)= 3x+ 2y+ 5 dan

g(x, y) = 409' + 2 dengan p = 2. 71

(19)

23. Gambarajah petUl\iuk bagi

f(x.y) = 3x+2y+5 dan

g(x,y) = x+ 4xy+ 2 dengan p = 2. ₇₂

f(x,y) = 15x2 + 4xy+ 3 dan

g(x,y) = 2X2 + 3y2 + 4 dengan p = 5. ₇₂

f(x,y) = 3x+ y+ 15 dan

g(x,y) = 2x+ 3y+ 1 dengan p = 3. ₇₃

f(x,y) = 3x+9y2 - l dan

g(x,y) = x+9y+ 3 dengan p = 3. ₁₄

f(x,y)= 4x2+ y+8 dan

g(x,y) = 4x2 + 3y - 2 dengan p = 2. ₇₅

f(x,y) = 20x3 +9x2y+ 4xy2 + 15y3 + 25 dan

g(x,y) = 3x3 + 4x2y + 45xy2 + 4y3 + 50

dengan p= 5. ₁₆

f(x,y) = 12+5x+1xy dan

g(x,y) = 9 + 2x2 + 5x2y2 dengan p = 3. ₇₇

30. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 3x+ 2y+ 5 dan

g(x,y) = 3x+ 5y+l dengan p = 3. ₇₈

f(x,y) = 1+ 2x+ 5y dan

g(x, y) = 2+ 5x+ 3y dengan p = 5. ₈₅

f(x,y) = 3x+ y-15 dan

g(x,y) = x+ y-9 dengan p =3. ₈₆

(20)

/(x,y)= 5x+ 5y - 4 dan

g(x,y)= 3x+ 3y - 8 dengan p = 3. 88 34. Gambarajah petwljuk bagi

f(x,y)=7x+ 49yz-6 dan

g(x,y)= 5x + 7y + 6 dengan p = 7. 91

35. Gambarajah petwljuk bagi

/(x,y)=x+ 2y + 2 dan

g(x,y)=2x+ 4y + 3 dengan p= 2. 92 36. Gambarajah petunjuk bagi

/(x,y)= 2+ 4x+ 6y dan

g(x,y)=5+2x+ 3y dengan p = 3. 93 37. Perubahan gambarajah petunjuk bagi g dan h. 98

38. Gambarajah petunjuk bagi F(U,V) dan a(u,v). 104 39. Gambarajah petunjuk bagi F(U,V) dan a(u,v). 112

F(U, V) = 3U1 + 2uoU + Fo dan

G{u,v₎= 3V1 + 2voV + Go denganp = 2. 117 41. Polihedron Newton bagi

/(x,y)= 12xz + 4xy + yZ + 27

dengan p = 3. ₁₂₀

g(x,y) == 2xz + 2xy + 9 dengan p = 3. 120 43. Gambarajah petunjuk bagi

/(x,y)= 12xz + 4xy + yZ + 27 dan

g(x,y) = 2xz + 2xy + 9 dengan p = 3. 121 44. Gambarajah petunjuk bagi

F(U,V)=Ul+ 2�U+ Fo dan

G{U, V) == Vl + 2voV + Go dengan p = 3. 126

(21)

p

a

[a] (a,b) x

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN

Nombor Perdana

Eksponen Nombor Perdana Gelanggang futeger

Medan Nombor Nisbah Medan Nombor Nyata Medan Nombor Kompleks Gelanggang Integer p-adic Medan Nombor Nisbah p-adic Tutupan Aljabar bagi Qp Pelengkap bagi Qp

Integer Telbesar yang lebih kecil atau sarna dengan a

Pembahagi SepWlya Terbesar bagi a dan b

n-Rangkap Pembolebubah (�, ... ,xn)

Gelanggang atau Medan

Gelanggang Polinomial dengan Pekali dalam F m-Rangkap Polinomial (It, . .. , 11ft)' m > 1

DaJjab bagi Polinomial I Matriks Jacobian bagi I

Kuasa Tertinggi bagi p yang membabagi a

(22)

VI

Kecerunan bagi f

D

Pembezalayan

D([)

Pembezalayan bagi f

Nf Polihedron Newton bagif

V Bucupada Nf

E Sisi pada Nf

Lf Unjuran sisi bagi Nf

11 Pembezalayan

maks Maksimum

mm Minimum

mod Modulo

eksp Eksponen

lip Penilaian terhadap p

L Hasil Tambah

IT HasilDarab

S{f;q) Hasil Tambah Eksponen

V

([

;pa

)

Set

{

� mod pa : f == Qmod pa

}

N

([

;pa

)

Kekardinalan bagi V

([

;pa)

(23)

BABI

PENDAHULUAN

Tatatanda dan Takrifan

Lazirnnya, kita tandakan Z sebagai gelanggang integer, Q sebagai medan nombor nisbah, m.anakala R dan C masing-masing sebagai medan nombor nyata dan medan nombor kompleks. Dengan p sentiasa menandakan nombor perdana,

Qp pula mewakili medan nombor p-adic dan Z p gelanggang integer p-adic sementara Op ialah suatu perluasan medan aljabar bagi Qp.

Huruf kecil Roman mewakili Wlsur-Wlsur dalam Z atau Z p' Huruf Greek

a adalah sentiasa eksponen bagi suatu nombor perdana p. Simbol [ ]

menandakan fungsi integer terbesar. flk.a aE R, maka [a] alcan bennakna

integer terbesar yang lebih kecil atau sarna dengan a. Tatatanda (a,b)

menandakan pembahagi sepunya terbesar bagi a dan b, kecuali pada masa-masa

tertentu yang penggunaannya jelas merujuk kepada pasangan tertib.

Tatatanda � menyatakan n-rangkap pembolehubah (Xi, ... ,XJ, dengan n � 1 dan F mewakili gelanggang atau medan, F�] bennakna gelanggang

(24)

2

polinomial dengan pekaJi dalam F. Datam penyeJidikan ini F akan merujuk sarna ada kepada Z atau Qp atau peluasan medan bagi Qp'

Andaikan f = LO'i .. • Oi.X.it ••• x: suatu polinomial dalamF�]. Darjah

bagi / ditakrifkan sebagai

cbjb /= ��(�+ ... + i,.). _{It 000'"}

Simbol f bennakna m-rangkap polinomial (It, ... ,/",), dengan m � 1 di

dalam Fl!l dan J £ iaIah matriks Jacobian

[� J.

1,,; i ,,; m, 1 ,,; j ,,; n bagi

poJinomial /. Aodaikan f:::: (I., . .. /.) ialah m-rangkap polinomial linear di

lou J, dengan julat yang sarna bagi i dan j sebagai matriks yang mewakili

polinomial f.

Misalkan p sebarang nombor perdana. Bagi sebarang nombor integer talc 8ifar a, ordp ° menyatakan Jruasa tertinggi bagi p yang membahagi a, iaitu a

yang terbesar sedemikian hingga a:; o{mod p a ).

Ttka x = alb ialah sebarang nombor nisbah, maka ordp x ditakrltkan

(25)

3

Kita mentakrif'kan suatu pemetaan yang ditandakan dengan lip pads Q sebagai berikut :

I x I p ==

o jikax=O

Boleh diperlihatkan bahawa pemetaan lip seperti yang ditakrifkan di atas adalah penilaian tak-arkhimedes pada Q (KobHtz 1977).

Suatu jujukan

�}

yang terdiri dari nombor nisbah disebut sebagai jujukan Cauchy jika untuk suatu nombor � > 0, terdapat suatu N sedemildan

hingga I al - a; Ip < � untuk i, i > N. Dua jujukan Cauchy {al} dan {bl}

dikatakan setara jika

had I QI -blip == O. I�'"

Kita takrifkan medan Qp sebagai set kelas kesetaraan jujukan Cauchy

daIam Q, iaitu Qp ialah pelengkap bagi Q terlladap peni1aian _{lip .} Kita tandakan dengan Qp sebagai tutupan bagi Qp dan Op sebagai pelengkap bagi Qp terhadap

Dengan menggunakan takrifan di atas, kita dapat menyatakan takrif bagi poligon Newton bagi suatu polinomial dengan pekali dalam medan p-adic seperti yang diberikan oleh Koblitz pada tahun 1977 sebagai berikut :