33
Topik 3 Pepejal Sekata dan Separa Sekata
3.1 Sinopsis
Dalam topik 1 dan 2, kita mempelajari corak-corak 2-dimensi dalam satah. Kita akan mengkaji bentuk 3-dimensi yang dibina dari poligon-poligon sekata. Pepejal Platonik adalah pepejal sekata yang berbucu cembung (convex regular solid). Pepejal Archimedean adalah pepejal separa sekata yang juga berbucu cembung serta Pepejal Kepler-Pointsot yang berbucu cekung.
3.2 Hasil Pembelajaran
1. Mengukuh dan membina pengetahuan tentang konsep asas geometri
2. Meningkatkan kemahiran dan pengetahuan tentang teknik untuk pembinaan geometri yang tepat
3. Menghargai peranan dan sejarah geometri
4. Menghubungkait geometri dalam kurikulum matematik sekolah rendah dan menengah.
3.3 Kerangka Konseptual
Pepejal Sekata dan
Separa Sekata
5 Pepejal Platonik
Bucu, Muka & Sisi
Pepejal Archimedes
Pepejal Kepler-Pointsot
34
3.4 Pepejal Platonik
Rajah 3.1 di bawah menunjukkan lima jenis pepejal Platonik. Pepejal-pepejal ini dinamakan tetrahedron, kiub (heksahedron), oktahedron, dodekahedron dan ikosahedron. Semua nama ini berasal dari perkataan Greek yang merujuk kepada bilangan permukaan pepejal.
3.4.1 Nama-nama pepejal Platonik
Cuba cam dan namakan setiap pepejal Platonik dalam Rajah 3.1 di bawah, berdasarkan poligon yang membentuk permukaan pepejal dan bilangan permukaan yang membentuk pepejal tersebut (tetrahedron, kiub, oktahedron, dodekahedron dan ikosahedron)
Rajah 3.1
Pepejal Platonik di atas dikelaskan ke dalam kumpulan polihedra. Polihedron adalah pepejal yang disempadani poligon satah (plane poligons). Poligon-poligon tersebut membentuk muka (faces). Permukaan-permukaan ini bertemu di sisi (edges), titik pertemuan di mana tiga atau lebih sisi dipanggil bucu (vertices).
Fikir sejenak
Semua permukaan pepejal Platonik mempunyai poligon sekata. Hanya 5 jenis pepejal sekata yang mungkin. Kenapa?
35
3.4.2 Hubungan pepejal Platonik dengan unsur alam semulajadi
Pepejal Platonik mula ditemui dan diketahui pada zaman Plato (427 – 347 S.M). Tapi perlu di ingatkan pepejal Platonik bukan ditemui oleh
Plato. Pepejal-pepejal ini dinamakan sedemikian kerana kajian-kajian yang dibuat oleh beliau dan pengikut-pengikutnya. Plato percaya tentang perkaitan mistikal antara empat pepejal tersebut dengan empat unsur alam semulajadi seperti berikut:
Kiub Bumi
Tetratedron Api
Oktahedron Udara
Ikosahedron Air
Dodekahedron menyeliputi keseluruhan alam semesta.
3.4.3 Definisi Polihedra
Semua polihedron adalah 3-dimensi di mana permukaan-permukaannya terdiri dari satah poligon. Dalam bahasa Greek ‘poly’ bermaksud banyak dan ‘hedron’ bermaksud permukaan banyak. Polihedron sekata adalah polihedron yang mempunyai permukaan-permukaan poligon sekata. Permukaan-permukaan ini hanya terdiri dari satu jenis poligon sahaja.
36
Adakah anda dapat membentuk pepejal?
Kemudian cuba dengan bentuk segiempat sama dan pentagon. Adakah anda dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung, jika sudut adalah sama dengan 3600?
Peringatan: Untuk membentuk objek 3-dimensi, kita mesti cantumkan sekurangnya 3 permukaan untuk bertemu di bucu. Jika anda mencuba dengan 2 poligon sahaja anda tidak akan dapat membentuk bucu pepejal).
Kita tidak dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung dengan 6 permukaan bertemu pada satu bucu kerana sudut segitiga sama sisi ialah 600, maka 6 x 600 =3600. Tetapi untuk membina pepejal 3-dimensi berbucu
cekung (concave 3-dimensional figure) kita boleh guna lebih dari 6 permukaan atau lebih 3600. Bermakna bilangan segitiga yang bertemu pada
satu bucu untuk membentuk pepejal 3-dimensi berbucu cembung ialah 3, 4 atau 5 seperti yang ditunjukkan di rajah di sebelah.
Aktiviti 1: Menyiasat bilangan poligon yang boleh membentuk bucu 1. Potong bentuk poligon sekata, segitiga sama sisi sebagai templat.
2. Dengan menggunakan segitiga sisi sama sebagai tempat, cuba bina bentangan (net) polihedra sekata. Hasilkan satu bentangan yang terdiri dari 6 segitiga. Cuba cantumkan poligon-poligon di bawah untuk mendapat satu pepejal.
3. Kenapa kita tidak dapat membina pepejal 3-dimensi berbucu cembung (convex 3-dimensional figure) dengan 6 permukaan bertemu pada satu bucu?
37
Perhatikan untuk membentuk polihedron berbucu cembung sekata (convex regular polyhedron), jumlah sudut perrmukaan pada satu bucu tidak boleh melebihi 3600.
Oleh itu, hanya ada lima polihedra sekata yang berbucu cembung sahaja dapat membentuk 5 pepejal platonik.
Tetrahedron:
Tiga segitiga pada satu bucu : 3 x 600 = 1800
Okhtahedron:
Empat segitiga pada satu bucu : 4 x 600 = 2400
Ikosahedron:
Lima segitiga pada satu bucu : 5 x 600 = 3000
Kiub:
Tiga segiempat sama pada satu bucu : 3 x 900 = 2700
Dodekahedron:
Tiga pentagram sekata pada satu bucu : 3 x 1080 = 3240
38 Bukti :
(i) jumlah sudut semua permukaan yang bertemu pada satu bucu mesti kurang dari 3600.
(ii) Pada setiap bucu sekurang-kurangnya hanya tiga segitiga sama sisi yang bertemu pada satu bucu boleh diwakilkan dengan simbol Schläfli (3,3). Simbol Schlafli (p,q) bermakna poihedron mempunyai permukaan polygon sekata p-sisi dengan q poligon bertemu pada satu bucu.
Simbol Schlafli (p,q)
Poligon sekata p-sisi bilangan polygon yang
bertemu pada satu bucu.
Aktiviti 2: Membina Pepejal Platonik
Buat model setiap jenis pepejal Platonik. Gunakan bentangan yang sesuai. Selepas anda membuat setiap pepejal Platonik, perhatikan dan buat analisa dari segi permukaan, sisi dan bucu. Kemudian isikan Jadual 1.
Dengan menggunakan program Geometers Sketch Pad (GSP) lukiskan kesemua bentangan-bentangan yang mungkin untuk setiap jenis pepejal Platonik.
[Nota : Anda boleh gunakan bentangan yang disediakan – Lampiran-lampiran 3A. Walaubagaimanapun anda mestilah menggunakan skala yang tepat agar dapat membina pepejal yang kemas dan cantik.
Cadangan: Untuk mendapat pepejal yang cantik dan menarik, cetakkan bentangan-bentangan menggunakan kertas bercorak.]
Sila layari internet dan cari bahan-bahan yang berkaitan dengan pepejal Platonik (Platonic solids)
39
Lengkap jadual di bawah berdasarkan kefahaman anda terhadap topik ini. Pepejal Nama pepejal Platonik Bilangan Permukaan pada satu bucu Simbol Schlafli (p,q) Bilangan Permukaan (F) Bilangan bucu (V) Bilangan sisi (E) Dual JADUAL 1
40
3.4.4 Dual pepejal Platonik
Sila rujuk Jadual 1. Anda akan dapat perhatikan perkaitan yang rapat di antara simbol Schlafli (p,q) untuk setiap pepejal Platonik. Misalnya simbol Schlafli untuk kiub ialah (4, 3) dan oktahedron ialah (3, 4). Bilangan sisi kedua-duanya adalah sama iaitu 12. Bilangan permukaan untuk kiub adalah sama dengan bilangan bucu oktahedron dan sebaliknya. Maka dikatakan dual untuk kiub adalah oktahedron dan sebaliknya. Begitu juga dengan dodekahedron dan ikosahedron. Simbol Schlafli (p,q) untuk dodekahedron ialah (5,3) dan ikosahedron ialah (3, 5). Bilangan sisi untuk kedua-duanya adalah 30. Maka dodekahedron adalah dual untuk ikosahedron dan sebaliknya. Untuk tetrahedron, dualnya ialah tetrahedron juga.
3.5 Bucu, Muka dan Sisi
Sekarang anda telah meghasilkan pepejal platonik, anda boleh mengkaji muka, bucu dan sisi pepejal-pepejal tersebut.
Pertama, kita tahu berapa bilangan permukaan untuk setiap pepejall (kecuali kiub) dengan nama tersendiri. Walau bagaimanapun, kita boleh mengkaji setiap pepejal dan mengira bilangan permukaan bagi setiap pepejal tersebut.
Kita boleh mendapatkan cara berkesan untuk mendapatkan bilangan permukaan polihedron. Contohnya, jika sebuah dodekahedron diletakkan pada meja yang rata, anda dapat melihat muka atas, satu pada bahagian bawah, lima berada di bahagian atas dan lima pada bahagian bawah, menjadi 1 + 1 + 5 + 5 = 12 kesemuanya.
Sebenarnya, mengira bilangan muka dengan cara ini akan membuat anda mengenali pepejal dan membantu anda mengetahui bilangan muka dan sisi pepejal.
41
Kita ambil contoh untuk dodekahedron. Dodekahedron mempunyai 12 muka, setiap muka adalah pentagon sekata dengan setiap muka mempunyai 5 sisi.
Jadi jika kita mengira setiap muka berasingan, kita akan dapat 5 X 12 = 60 sisi kesemuanya. Tapi setiap sisi pada dodekahedron mencantumkan dua muka, maka cara kiraan ini akan mengira kesemua sisi sebanyak dua kali. Jadi bilangan sisi sebenar adalah 60 ÷ 2 = 30.
Sekarang setiap sisi bertemu pada dua bucu. Jadi jika kita mengira setiap sisi berasingan kita akan dapat 2 X 30 = 60 bucu. Tapi untuk dodekahedron, tiga sisi bertemu pada setiap bucu jadi kita akan mengira setiap bucu sebanyak tiga kali. Jadi, sekali lagi bilangan bucu adalah 60 ÷ 3 = 20.
3.6 Pepejal Arcimedes
Pepejal Archimedean adalah pepejal separa sekata (semi regular solids) kerana ia terbentuk dari dua atau lebih poligon cekung sekata (regular convex polygon).Ciri utama pepejal Archimedean ialah setiap permukaan adalah poligon sekata dan pada setiap bucu, poligon-poligon berulang dalam susunan yang sama, misalnya heksagon-heksagon-segitiga pada ‘truncated tetrahedron.
Terdapat dua atau lebih poligon sekata pada pepejal Archimedean dan polihedron tersebut perlulah cembung.
Terdapat 13 jenis pepejal Archimedean (pepejal separa sekata) 1. (3, 4, 3, 4) kuboktahedron
2. (3, 5, 3, 5) ikosidodekahedron
3. (3, 6, 6) truncated tetrahedron (truncated merujuk kepada proses di mana bucu yang di potong)
42 4. (4, 6, 6) truncated oktahedron
5. (3, 8, 8) truncated kiub
6. (5, 6, 6) truncated ikosahedron
7. (3, 10, 10) truncated dodekahedron
8. (3, 4, 4, 4) rhombikuboktahedron, (juga dipanggil rhombikuboktahedron kecil)
9. (4, 6, 8) truncated kuboktahedron, (juga dipanggil rhombikuboktahedron besar)
10. (3, 4, 5, 4) rhombikosidodekahedron,
11. (4, 6, 10) truncated ikosidodekahedron,
12. (3, 3, 3, 3, 4) snub kiub, snub kuboktahedron (snub adalah proses mengelilingkan satu-satu poligon dengan segitiga)
13. (3, 3, 3, 3, 5) snub dodekahedron (snub ikosidodkahedron)
Rujuk kepada Lampiran 3.11 (Pepejal Archimedean)
Aktiviti 3: Membina pepejal Archimedean
Anda boleh guna beberapa bentangan yang disediakan dalam lampiran 3B. Cadangan : cetak guna kertas yang mempunyai corak yang menarik.
43
3.7 Pepejal Kepler-Poinsot
Polihedron bukan berbucu cekung sekata (Regular non-convex polyhedron) Juga dinamakan polyhedron bintang sekata (regular star polyhedra)
Kesemua permukaan adalah poligon sekata kongruen (All the faces are congruent (identical) regular polygons)
Bilangan permukaan yang bertemu pada kesemua bucu adalah sama. Terdapat empat jenis pepejal Kepler-Poinsot.
(i) Stellated dodekahedron kecil
12 permukaan, 12 bucu, 30 sisi Dualnya ialah Dodekahedron besar Simbol Schläfli ialah { 𝟓
𝟐, 5}
Terdiri dari 12 permukaan pentagram
(ii) Dodekahedron Besar
12 permukaan, 12 bucu, 30 sisi Permukaan cekung
Simbol Schläflinya ialah {5, 𝟓
𝟐 }
Merupakan polihedra berbucu cekung sekata (concave regular polyhedral).
Dualnya ialah stellated dodekahedron kecil
44
(iii) Stellated Dodekahedron Besar
12 permukaan, 20 bucu, 30 sisi Permukaan adalah cekung. Simbol Schläflinya ialah {𝟓
𝟐, 3}
Dualnya ialah Ikosahedron Besar
(iv) Ikosahedron besar
20 permukaan, 12 bucu, 30 sisi Simbol Schläflinya ialah {3, 𝟓
𝟐 }
Dualnya ialah Stellated dodekahedron besar
--SELAMAT MENCUBA SEMOGA BERJAYA—
[Type a quote from the document or the
summary of an
interesting point. You can position the text box anywhere in the
document. Use the Text Box Tools tab to change the formatting of the pull quote text box.]
Aktiviti 4: Membina pepejal Kepler-Poinsot
Anda boleh guna beberapa bentangan yang disediakan dalam lampiran 3C. Cadangan : cetak guna kertas yang ada corak yang menarik.
