TAKSIRAN INTERVAL KEPERCAYAAN PADA PERHITUNGAN k eff MONTE CARLO. Entin Hartini *

(1)

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir: 6-7 Agustus 2008(305-316)

TAKSIRAN INTERVAL KEPERCAYAAN

PADA PERHITUNGAN keff MONTE CARLO

Entin Hartini*

ABSTRAK

TAKSIRAN INTERVAL KEPERCAYAAN PADA PERHITUNGAN keff MONTE CARLO .

Hasil Monte Carlo menggambarkan rata-rata kontribusi dari beberapa history sampel sepanjang perjalanan neutron . Satu kuantitas penting dalam Monte Carlo adalah kekeliruan statistik dihubungkan dengan hasil. Pentingnya kekeliruan dan jumlah history karena user tidak hanya memperoleh kualitas dari hasil juga menentukan hasil secara statistik baik, sehingga mencerminkan interval konfidensi benar. Tujuan estimasi ini adalah agar user yang mempelajari MCNP memahami tentang interpretasi dari estimasi rata-rata, interval kepercayaan untuk mencapai nilai yang diinginkan. Makalah ini berisi kalkulasi Monte Carlo untuk interval kepercayaan estimasi keff pada MCNP. Estimator keff adalah

kombinasi least square atau kombinasi maksimum likelihood dengan distribusi multivariate normal. Kombinasi dari tiga estimator keff pada MCNP ditunjukan, secara teori dan empirik dengan study

statistik untuk memberikan estimator keff terbaik.

Kata-kata kunci: Monte Carlo, Interval Konfidensi, Kritikalitas, ENDF/B-VI MCNP5

ABSTRACT

CONVIDENCE INTERVAL ESTIMATE ON MONTE CARLO keff CALCULATION.

Monte Carlo's result present an average of the contribution from many history samp led during the course of neutron transport. One important thing in Monte Carlo is statistical error associated with result. The importance for error and history's amount because user not only get quality of result also determine result statistically good, so reflects confidence interval is right. To the effect this estimation is that user that studies MCNP to understand about interpretation of estimation average, confidence interval for reach desirable point. This therefore contains Monte Carlo's calculation to estimations confidence interval keff

on MCNP. Estimator keff is least square's combine or likelihood's maximum combine with multivariate's

distribution normal. Combine of three estimator keff on MCNP at indication, in theory and empirical with

study statistic for given the best estimator keff.

Keywords: Monte Carlo, Confidence Interval, Criticality, ENDF/B-VI MCNP5

PENDAHULUAN

Metodologi kritikalitas MCNP dan beberapa dasar statistik termasuk Interval kepercayaan sangat diperlukan dalam presentasi dari hasil monte carlo. Kombinasi dari tiga estimator keff pada MCNP ditunjukkan, secara teori dan empirik dengan

(2)

studi statistik untuk estimator keff terbaik. Metoda kombinasi estimator didasarkan

pada teori Gaus markov, untuk metoda least squares .

MCNP tidak menghasilkan estimasi titik dari keff, melainkan memberikan nilai rentang, dengan beberapa konfidensi yang ditetapkan sehingga akan mendapatkan harga keff yang benar. Untuk pertambahan peluang rentang keff ,

history yang dibutuhkan harus ditambah. Rentang yang merupakan interval kepercayaan sejalan dengan hasil Monte Carlo.

Pada makalah ini akan dibahas bagaimana membentuk interval kepercayaan dari tiga estimasi keff terpisah: tumbukan, serapan dan panjang lintasan serta

estimasi untuk kombinasi tiga estimator. Estimator keff dan estimator kombinasinya

dihitung dengan kombinasi least square atau kombinasi maksimum likelihood dengan distribusi normal variabel ganda untuk kovarian matriks diketahui.

Contoh kasus adalah menghitung interval kepercayaan untuk eksperimen kritikalitas benchmark bola plutonium dengan reflektor uranium dan energi kontinyu pada temperatur ruang. Jumlah total partikel yang disimulasikan 1500 neutron persiklus dengan total siklus 200 melewati 25 siklus yang pertama untuk menghindari problem konvergensi sumber.

METODOLOGI

Teori Central Limit dan Interval Kepercayaan Monte Carlo

Untuk menentukan presisi interval kepercayaan dari Monte Carlo, sentral limit teori dan teori peluang ditetapkan sebagai: [1]

∞ → =       ₊ _< _< ₊

∫

− N dt e x t β α

π

σ

β

σ

α

2/2 2 1 N E(x) N E(x) Pr lim (1)

di mana α dan β nilai yang berubah-ubah dan Pr(Z) peluang dari Z . Estimasi deviasi standar dari x adalah

S

_x. Untuk N besar ditulis sebagai:

∫

−

=













_<

−

_<

β α

π

β

σ

α

S

e

dt

N

x

E

x

S

t x x 2 / 2

2

1 /

)

(

Pr

(2)

(3)

Interval Kepercayaan Pada MCNP

MCNP Secara umum adalah code Monte Carlo untuk transport netron dan radiasi untuk aplikasi kritikalitas nuklir. Estimasi keff menggunakan estimasi standar deviasi untuk membangun interval konfidensi keff. Bilamana dari n sample estimasi

x dari variabel acak dengan simpangan baku s dengan interval konfidensi berada dalam jangkauan x±s, menurut teori central limit distribusi dari estimasi mean mendekati distribusi normal dengan n mendekati ∞. Untuk jumlah sampel tidak terbatas, distribusi didekati oleh distribusi student t, simetrik sekitar nol dan mendekati distribusi normal dengan n →∞. Ini digunakan untuk mendeskripsikan variable random t, dimana [2]

)

(x

s

x

t

=

−

µ

(3)

n

x

s

x

t

/

)

(

µ

−

=

(4)

Distribusi student t mempunyai distribusi yang berbeda untuk masing-masing n, ditulis sebagai t n-1, dimana n-1 adalah jumlah derajat kebebasan, yaitu jumlah

pengukuran independent yang mungkin. Titik dari absis pada graf dari distribusi student t adalah “ persentil dari distribusi” dan ditulis sebagai tn-1, 1-α/2 , dimana indek

bawah kedua adalah tingkat kepercayaan.

Estimator keff Pada MCNP

Variable bebas x, dengan distribusi dan mean µ tidak diketahui, dengan n sample acak independent (x1, x2, …,xn) dipilih dari distribusi peluang densitas x. Sebuah estimator, X (x1, x2, …,xn) adalah fungsi dari sample acak mewakili secara statistik dengan rata tidak diketahui. Dalam Monte Carlo estimator adalah rata-rata dari sample acak. Kualitas yang diinginkan dari estimator adalah : tidak bias, konsisten dan efisien.Estimator x dikatakan tidak bias, jika nilai ekspektasi sama dengan nilai µ dimana E(x) = µ untuk semua µ. Konsep tidak bias telah mendasari pengulangan eksperimen, konsistensi yang lain diterapkan untuk eksperimen tunggal dimana ukuran sample n menjadi besar. Estimator x adalah konsisten jika pendekatan, probabilistik nilai µ dengan n besar.

Pada MCNP diasumsikan estimator keff tidak bias, bila varian dari estimasi berkurang 1/n , dimana n jumlah siklus maka kombinasi tiga estimator akan efisien, dimana mempunyai varians terkecil diantara estimator linier.

MCNP mempunyai tiga estimator berbeda digunakan untuk mengestimasi keff,

kritikalitas dari multy system, tumbukan , serapan dan panjang lintasan estimator. Estimator serapan mempunyai dua bentuk analog serapan atau implicit serapan

Ekspresi matematik dari masing estimator pada MCNP dan masing-masing estimasi keff pada siklus khusus. Rata-rata semua siklus memberikan estimasi

(4)

ahir dari keff untuk masing- masing dari tiga estimator,. Indeks atas C,AA,IA dan TL

indikasi tumbukan, analog serapan , implicit serapan dan panjang lintasan.[2]

Untuk tumbukan, [2]

∑

_∑

















=

i _k k Tk k k k Fk C eff

f

Wi

N

k

σ

ν

1

(5) di mana

i = tumbukan dimana fisi mungkin terjadi k = isotop yang dikandung pada tumbukan ke i

Tk

σ

= total penampang lintang mikroskopik untuk nuklida k

Fk

σ

= penampang lintang mikroskopik fisi untuk nuklida k

k

ν

= Jumlah rata-rata dari total netron yang dihasilkan perfisi dengan tumbukan isotop pada energi tertentu

fk = fraksi atom untuk nuklid k

N = ukuran nominal sumber untuk siklus Wi = bobot partikel masuk dalam tumbukan Untuk analog serapan [2]

∑ ∑

_







∑









+

=

i _k Ak Fk k k Fk AA eff

Wi

N

k

σ

ν

1

(6) di mana Ak

σ

= penampang lintang mikroskopik serapan, tidak termasuk fisi Untuk Implicit serapan, [2]

∑

_



+

_



₊

=

i Ak Fk Fk k Tk Fk Ak IA eff

Wi

N

k

σ

ν

σ

1

(7) di mana

i = dijumlah untuk semua tumbukan dimana terjadi fisi

Tk Fk Ak

σ

+

= frekuensi dari analog capture pada masing masing tumbukan, _{kualitas dengan pembobotan adalah disesuaikan pada} masing-masing tumbukan.

(5)

Untuk panjang lintasan, [2] Fk i k k k TL eff

Wi

d

f

N

k

=

1 ∑

ρ

∑

υ

σ

(8) di mana

d = jarak lintasan neutron i = lintasan semua neutron

ρ = densitas atom dalam sel

Kombinasi Estimator

Distribusi Multivariat yang diperoleh dari sampel multivariat X :{x1,1, ...,x1,n;

x2,1,...,x2,n; ...,xk,n,} dimana n adalah jumlah siklus aktif keff dan k adalah jumlah dari

estimator, dimana dalam MCNP k= 3. rata-rata n siklus aktif menghasilkan vektor dari k estimator,

X

=

(

x

1 ,...,

x

k

),

dimana masing-masing elemen varians yang berbeda dan berkorelasi satu sama lain. Nilai ekpektasi dari masing-masing x adalah nilai dari keff yaitu

µ

, varian dan kovarian membentuk kovarian matriks Σ . maka sampel

variabel ganda diasumsikan berdistribusi normal dengan vektor rata-rata

µ

e dan varian Σ, X ~ N(

µ

e, Σ) dimana vektor e adalah vektor satu dan X ~ N(

µ

e, Σ) berdistribuasi normal dengan rata-rata

µ

e dan varian Σ. Penyelesaian Persamaan

maximum likelihood variabel ganda memberikan

µ

, σ dan estimassi invers kovarian

matriks dengan meminimumkan jumlah kuadrat kekeliruan.

Kombinasi Dua Estimator Pada MCNP

Transformasi dari x pada z untuk 2 estimasi berbeda diberikan dengan: [2]









−

=

















=

2

1

2

1

0

1 x

x

A

z

(9)

(6)

Untuk dua kasus estimator         − + =                 = ∑ 2 12 2 22 2 11 2 12 2 11 2 12 2 11 2 11 2 22 2 11 2 12 2 11 2 1 0 1 1 1 1 0 1

σ

x (10)

Di mana varian

σ

_ij diestimasi dengan

σ

ˆ

_ij : [3]

1 -n

s

ˆ

2 ij 2 11

=

σ

∑

∑ ∑

∑

= = = − − = − − − = n l n l l l j il jl il n l j jl i il ij n x x x x n x x x x n 1 1 1 1 2 / 1 1 ) )( 1 1 ˆ

σ

(11) 2

ˆ

_ij

σ

adalah kovarian populasi sampel antara n nilai dari

x

_il dan

l j

x

, dimana i=j ,

2

ˆ

_ij

σ

estimasi varian populasi dari n. Sedangkan 2

ij

s

adalah jumlah kuadrat dari deviasi dan rata-rata dibagi dengan derajat kebebasan (n-1) memberikan estimasi tak bias untuk

_σ

ˆ

_ij2. Σ berisi elemen

σ

_ij2 dan _∑ˆ berisi

_σ

ˆ

_ij2 sedangkan matrik S berisi elemen

s

_ij2 .dan jumlah kuadrat memberikan hubungan

∑

ˆ

=

S

/(

n

−

1 )

Untuk dua estimasi matriks skalar partisi adalah: [3]

2 12 2 11 12 s s S_x = − (12) dan [3]

)

2 (s

1 )

2 (

2 12 2 22 2 11 1 2 12 2 22 2 11 1 22

s

S

_x

−

+

=

−

+

=

− − (13)

(7)

2 w ˆ 2 ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ 2 ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ 2 ˆ ˆ ) ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( 2 ) )( ( ˆ 2 1 1 2 2 12 2 22 2 11 2 12 2 11 1 2 12 2 22 2 11 2 12 2 22 2 12 2 22 2 11 2 2 12 2 11 1 2 12 2 22 2 12 2 22 2 11 2 1 2 12 2 11 1 x w x x x x x s s s x x s s x + = − + − + − + − = − + − + − = − + − + − =

σ

µ

(14)

Varian kombinasi dari dua estimator adalah:









−

+

−

+









−

+

−

=

₋

)

2 )

((

1 )

2 )

2

1 ˆ

₂ 12 2 22 2 11 2 2 1 1 2 12 2 22 2 11 2 2 12 2 11 2 11 2

s

x

n

s

n

µ

σ

(15)

Kombinasi Tiga Estimator Pada MCNP

Varian matriks untuk 3tiga estimator berbeda menggunakan transformasi vektor z, maka [3]





























=

∑

2 33 2 23 2 13 2 23 2 22 2 12 2 13 2 12 1 2 1

1

0

1

0

1

0

1 σ

σ

x (16) 2 13 2 11 2 12 2 11 12=

σ

−

σ

−

σ

−

σ

∑x (17)









−

+

−

+

−

+

−

+

=

∑

− 2 12 2 221 2 11 2 13 2 12 2 23 2 11 2 13 2 12 2 23 2 11 2 13 2 33 2 11 1 22

2 )

(

)

2 (

2

1 σ

σ

g

x (18) di mana : 2 2 13 2 12 2 23 2 11 2 13 2 33 2 11 2 12 2 22 2 11

2 )(

2 )

(

)

(

σ

+

σ

−

σ

+

σ

−

σ

−

σ

+

σ

−

σ

−

σ

=

g

(19)

(8)

[

]

[

(ˆ ˆ ˆ ˆ )( ) (ˆ ˆ 2ˆ )( )

]

) ˆ ˆ ( ) )( ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) )( ˆ 2 ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ( ˆ 3 1 2 12 2 22 2 11 2 1 2 13 2 12 2 231 2 11 2 13 2 11 3 1 2 13 2 12 2 23 2 11 2 1 2 13 2 33 2 11 2 12 2 11 1 x x x x g x x x x g x − − + + − − − + − − − − − − + − − − + − − =

σ

µ

Bila

_ˆ

2

_ˆ

2 ji ij

σ

σ =

Maka [2]

∑

= =

=

₃ 1 3 1

ˆ

l l l l l

f

x

f

µ

(20) Di mana

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

2 2 2 2 2 2 2 2 2 jk ik ij jk ij kk ik kk jj l

f

=

σ

−

σ

−

σ

+

σ

+

σ

−

σ

(21)

di mana l adalah permutasi parsial dari i, j, k seperti berikut ini l i j k 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Estimasi varian [2] ) 2 ( (1 gn S1 ˆ2 2 3 ˆ gs S S n − + = µ

σ

(22) di mana gs = (n-1)2 g (23) j l ik jk ij kk l jk kk l jj l l x x s s s s S x s s s S fl S ) 3 ) 2 ( 2 ˆ 1 2 2 2 3 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 1 − − + = − + = =

∑

= =

σ

(24)

(9)

HASIL DAN PEMBAHASAN

KASUS

Perhitungan MCNP untuk eksperimen kritikalitas terdiri atas 6,06±0,03 kg teras bola plutonium (densitas=15,53 g/cm3) yang dikelilingi lapisan sferis berbatasan konsentris dari uranium dengan ketebalan 7,72 inci dan densitas 19,0 g/cm3. Eksperimen diasumsikan pada temperatur ruang (2930 K). Radius teras benchmark berbentuk bola Pu =4,5332 cm. Bola direfleksikan oleh uranium dengan tebal 19,6088 cm, sehingga radius luarnya menjadi 24,1420 cm. Densitas atom teras Pu dan reflektor uranium yang dihitung dari komposisi isotopik diberikan pada Tabel 2. Perhitungan MCNP untuk teras bola plutoniumdengan reflector uranium dikerjakan dengan opsi “KCODE” dan ”KSRC” dengan tampang lintang ENDF/B-V energi kontinu pada temperatur ruang. Jumlah total partikel yang disimulasikan adalah 1500 neutron per siklus dengan total siklus 200 melewati 25 siklus.

Gambar 1. Model Geometri MCNP

Tabel 1. Komposisi Bahan

Isotop/ elemen Fraksi Atom %

239 Pu 240Pu 241Pu Ga 93,80 4,80 0,30 1,10

(10)

Tabel 2. Densitas Atom

Isotop Densitas atom

Teras 239 Pu 240Pu 241Pu Ga 3,6697x10-2 1,8700x10-3 1,1639x10-4 1,4755x10-3 Reflektor 234 U 235 U 238 U 2,6438x10-6 3,4610x10-4 4,7721x10-2 OUTPUT MCNP

Estimasi rata-rata keff pada simpangan baku 68, 95, dan 99 % interval

kepercayaan pada tabel 3

Tabel 3. Interval Kepercayaan keff Pada Taraf 68%, 95% dan 99% Estimator keff keff Simpang an Baku Kepercayaan 68% Kepercayaan 95% Kepercayaan 99% Tumbukan Serapan Panjang lintasan Tumbukan/ serapan Serapan/ pj lintasan Tumbukan/ pj lintasan Tumbukan/ serapan/ pj lintasan 1,00181 1,00170 1,00138 1,00179 1,00150 1,00154 1,00153 0,00155 0,00157 0,00142 0,00156 0,00136 0,00136 0,00136 1,00026-1,00337 1,00013-1,00326 0,99996-1,00281 1,00023-1,00335 1,00014-1,00286 1,00019-1,00290 1,00019-1,00290 0,99872-1,00491 0,99857-1,00482 0,99855-1,00422 0,99869-1,00490 0,99879-1,00420 0,99884-1,00424 0,99882-1,00424 0,99771-1,00592 0,99755-1,00584 0,99762-1,00515 0,9967-1,00591 0,99790-1,00508 0,99796-1,00513 0,99794-1,00512

Estimasi akhir dari kombinasi tumbukan /serapan /panjang lintasan untuk keff =

1.00153 dengan simpangan baku 0.00136 dan estimasi interval kepercayaan keff

untuk 68, 95, & 99 persen adalah 1.00017 sampai 1.00289, 0.99882 sampai 1.00424, dan 0.99794 sampai 1.00512

(11)

KESIMPULAN

MCNP memberikan interval kepercayaan untuk tiga estimator keff , rata-rata

sampel dari masing-masing estimasi dan rata-rata sampel dari gabungan ketiga estimasi . rata-rata terbaik didapat pada kombinasi tiga estimasi dimana mempunyai simpangan baku terkecil.

DAFTAR PUSTAKA

1. RONALD E. WALPOLE AND RAYMOND h. MYERS, “Pobability and Statistics for Engineers and Scie ntists”, Macmillan and Publishing Company, 1989.

2. URBATSCH T.J , “Estimation and Interpretation of keff Confidence Intervals in MCNP”, Los Alamos: LA-12658, 1995.

3. JOHN O. RAWLINGS, “ Applied Regression Analysis”, Pacific Grove California , 1988.

DISKUSI

GUNARWAN PRAYITNO

Hasil estimasi keff terbaik, dasarnya apa ? Dan dimana kontribusi hasil yang anda hitung pada program 5 pilar BATAN.

ENTIN HARTINI

Dibuat estimasi keff untuk masing-masing dan kombinasinya dari tumbukan, serapan dan panjang lintasan. Estimasi terbaik adalah estimasi dengan varian terkecil. Berhubungan dengan penelitian 2008.

JAN SETIAWAN

1. Taksiran interval kepercayaan merupakan output MCNP5 atau perhitungan terpisah ?

(12)

2. Ketidakpastian pada output MCNP hasil perhitungan atau output interval dari MCNP

ENTIN HARTINI

1. Modul perhitungan MCNP dikupas dan dibuat modul tersendiri 2. Dibandingkan keff dari MCNP terhadap keff = 1

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

1. Nama : Dra. Entin Hartini

2. Tempat/Tanggal Lahir : Majalengka, 19 Februari 1962

3. Instansi : BATAN

4. Pekerjaan / Jabatan : Staf Peneliti PPIN - BATAN 5. Riwayat Pendidikan : S1 Statistik Universitas Padjadjaran