Trigonometri - IPA. Tahun 2005

Trigonometri - IPA

Tahun 2005

1. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 030° sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah ...

A . 10 37 mil C . 30 ( +5 2 2)mil E. 30 ( −5 2 3)mil B . 30 7 mil D. 30 ( +5 2 3)mil Jawab: U B T C S 300 _{60 mil}

α

AC = ….? A B 30 mil

“ Patokan arah adalah dari utara ”

α

= 900 _{+ 30}0 _{= 120}0 Aturan cosinus AC2 _{= AB}2_{+ BC}2 _{- 2 AB . BC Cos}

_α

= 302 _{+ 60}2 _{- 2 . 30. 60 . cos 120}0 = 900 + 3600 – 3600 . (-2 1 ) = 4500 +1800 = 6300 AC = 6300 = 63.100 = 10 63 = 10 9.7 = 3. 10 7 = 30 7 mil Jawabannya adalah B

2. Nilai dari tan 165° = ...

A . 1 - 3 C . -2 + 3 E . 2 + 3 B . -1 + 3 D . 2 - 3

Jawab: rumus:

tan (1800 _{- θ ) = -tan θ}

tan 165° = tan(1800 _{- 15}0_{) = - tan 15}0 _{= - tan (45}0 _{- 30}0₎ = - 0 0 0 0 30 tan 45 tan 1 30 tan 45 tan + − = - 3 3 1 . 1 1 3 3 1 1 + − = -3 3 1 1 3 3 1 1 + − 3 3 1 . 1 3 3 1 1 − − = - 3 1 1 3 1 3 3 2 1 − + − = -3 2 3 3 2 3 4 − = - 2 3 ( 3 3 2 3 4 − ) = - 2 + 3 Jawabannya adalah C

3. Nilai x yang memenuhi persamaan 2 3 cos²x - 2 sin x . cos x - 1 - 3 = 0, untuk 0° x 360° adalah ... A . 45°, 105°, 225°, 285° D . 15°, 135°, 195°, 315° B . 45°, 135°, 225°, 315° E . 15°, 225°, 295°, 315° C . 15°, 105°, 195°, 285° Jawab: * cos 2A = 2 cos A - sin A 2 cos 2A = _{cos A –(1 - cos}2 2_{A )} cos 2A = 2

cos A –1 + cos2A cos 2A = 2 2

cos A –1 2_{cos A = cos 2A + 1} 2

* sin2A = 2 sin A cosA

2 3 cos²x - 2 sin x . cos x - 1 - 3 = 0 3 . 2cos²x - 2 sin x . cos x - 1 - 3 = 0 3 . ( cos2x + 1 ) – sin2x - 1 - 3 = 0 3 .cos2x + 3 – sin2x - 1 - 3 = 0

= k cos 2x cos

α

+ k sin 2x sin

α

k cos

α

= 3 k sin

α

= - 1 tan

α

= α α cos sin k k = 3 1 − ₌ -3 1

3 (sin = - dan cos = + berada di kuadaran IV)

α

= 3300

a cos x + b sin x = k cos (x -

α

) = c

k = 2 2 b a + : tan

α

= a b k = 2 2 b a + = ( 3)2 +(−1)2 = 3+ = 2 1 dengan k = 2 dan

α

= 3300

3 .cos2x – sin2x = k cos (2x -

α

) 3 .cos2x – sin2x = 2 cos (2x - 3300) 2 cos (2x - 3300_{) = 1}

cos (2x - 3300_{) =} 2 1

cos (2x - 3300_{) = cos 60}0 _{atau cos (2x - 330}0_{) = cos 300}0 2x - 3300 _{= 60}0 _{2x - 330}0 _{= 300}0 2x = 3900 _{+ k .360}0 _{2x = 630 + k . 360}0 jika k = 0
2x = 3900 _{jika k = 0
2x = 630}0 x = 1950 _{x = 315}0 jika k = -1
2x = 300 _{jika k = -1
2x = 270}0 x = 150 _{x = 135}0 Himpunan penyelesiannya adalah: {150_{, 135}0_{, 195}0_{, 315}0_}

Jawabannya adalah D Tahun 2006

4. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 0440 _{sejauh 50 km. Kemudian} berlayar lagi dengan arah 1040 _{sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C} adalah…

A. 10 95 km C. 10 85 km E. 10 61 km B. 10 91 km D. 10 71 km

Jawab: 1800_{- 44}0 _{= 136}0 U U B 1040 γ 0440 C A γ = 3600 _{- 104}0 _{- 136}0 _{= 120}0 B 40 km 50 km 1200 A C Aturan cosinus C b γ a

α

β A c B 2 c = a + 2 b - 2ab cos 2 γ AC2 _{= BC}2 _{+ AB}2 _{- 2 BC. AB cos 120}0 = 402 _{+ 50}2 _{- 2 . 40. 50 .( -} 2 1 ) = 1600 + 2500 + 2000 = 6100 AC = 6100 = 61 . 100 = 10 61 km Jawabannya adalah E

5. Nilai sin 1050 _{+ cos 15}0 _=…. A. ( 6 2) 2 1 − − C. ( 6 2) 2 1 − E. ( 6 2) 2 1 + B. ( 3 2) 2 1 − D. ( 3 2) 2 1 + Jawab: Sin (900 _{+ θ ) = cos θ}

sin 1050 _{+ cos 15}0 _{= sin (90}0 _{+ 15}0 _{) + cos 15}0 = cos 150_{+ cos 15}0

= 2 cos 150

= 2 cos (450 _{- 30}0₎

= 2 { cos 450 _{cos 30}0 _{+ sin 45}0 _{Sin 30}0_} = 2 . { 2 2 1 , 3 2 1 + 2 2 1 . 2 1 } = 2 . { 6 4 1 + 2 4 1 } = 6 2 1 + 2 2 1 = 2 1 { 6 + 2 } Jawabannya adalah E Tahun 2007

6. Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45°. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p 2 meter, maka panjang terowongan itu adalah … meter.

A. p √5 C. 3√2 E. 5p B. p √17 D. 4p

Jawab:

C pakai aturan cosinus: 450 _AB2 _{= AC}2_{+ BC}2_{- 2 AC. BC. Cos}

_α

2p 2 p = (2p 2)2 + p2 - 2 (2p 2). p Cos 450 = 8p2 _{+ p}2 _{- 4p}2 _{2 .} 2 1 2 A ? B = 9 p2 _{- 4p}2 _{. 1} = 5p2 AB = 2 5 p = p 5 Jawabannya adalah A

7. Nilai dari cos 40° + cos 80° + cos 160° = ….

A. –½√2 C. 0 E. ½√2 B. –½ D. ½

Jawab:

cos A + cos B = 2 cos 2

1 (A + B) cos 2

1 (A –B)

cos 40° + cos 80° + cos 160° = (cos 40° + cos 80°) + cos 160° = 2 cos

2

1 ( 40° + 80°) cos 2

1 ( 40° - 80°) + cos 160° = 2 cos 60° cos -20° + cos 160° ; cos -20° = cos 20° = 2 . 2 1 cos 20° + cos 160° = cos 20° + cos 160° = 2 cos 2 1 ( 20° + 160°) cos 2 1 ( 20° - 160°) = 2 cos 900 _{cos -70}0 _{= 2 cos 90}0 _{cos 70}0 = 2 . 0 . cos 700 _{= 0}

Tahun 2008

8. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x0 _{+ 7 sin x}0 _{– 4 = 0, 0≤ x≤360 adalah ….} A. { 240,300 } C. { 120,240 } E. { 30,150 }

B. { 210,330 } D. { 60,120 }

Jawab:

cos 2x0 _{= cos}2 0

x - sin2x = (1 - sin0 2x ) - sin0 2x 0

= 1 – 2 sin2 0

x

cos 2x0 _{+ 7 sin x}0 _{– 4 = 1 – 2 sin}2 0

x + 7 sin x0 – 4 = 0

= – 2 sin2 0

x + 7 sin x0 - 3 = 0

= (-2sin x0_{+ 1)(sin x}0_{- 3 ) = 0}

-2sin x0_{+ 1 = 0 ; sin x}0_{- 3 = 0}

- 2sin x0 _{= -1 sin x}0_{= 3 ; tidak berlaku karena maksimum nilai sin x}0 adalah 1

sin x0 ₌ 2 1

Nilai sin x0 _{berada di kuadran I dan II (nilai positif untuk sin x}0 ₎

Nilai sin x0 _{adalah 30}0 _{dan 180}0 _{- 30}0 _{= 150}0 _{( Sin (180}0 _{- θ ) = sin θ)} Himpunan penyelesaian { 30,150 } Jawabannya adalah E 9. Nilai dari ° + ° ° + ° 40 sin 50 sin 40 cos 50 cos adalah …. A. 1 C. 0 E. - 1 B. ₂ 2 1 _D. 3 2 1 − Jawab:

cos A + cos B = 2 cos 2

1 (A + B) cos 2

1 (A –B) Sin A + sin B = 2 sin

2

1 (A + B) cos 2

° + ° ° + ° 40 sin 50 sin 40 cos 50 cos = ) 40 50 ( 2 1 cos ) 40 50 ( 2 1 sin 2 ) 40 50 ( 2 1 cos ) 40 50 ( 2 1 cos 2 0 0 0 0 0 0 0 0 − + − + = 0 0 0 0 5 cos 45 sin 2 5 cos 45 cos 2 = 0 0 45 sin 2 45 cos 2 = 2 . 2 1 . 2 2 2 1 . 2 = 1 Jawabannya adalah A

10. Jika tan

α

= 1 dan

3 1

tanβ = dengan

α

dan β sudut lancip, maka sin (

α

+β) = ….

A. 5 3 2 C. ½ E. 5 1 B. 5 3 1 D. 5 2 Jawab:

tan

α

= 1
sin

α

= cos

α

= 2 2 1 3 1 tanβ =
x y 10 1 3 sin β = ry ; r = 2 2 3 1 + = 10
sin β= 10 1 = 10 1 10 10 = 10 10 1 cosβ = rx = 103 =10 3 10

sin (

α

+β) = sin

α

cos β + cos

α

Sin β = 2 2 1 . 10 3 10 + 2 2 1 . 10 10 1 = 20 3 20 + 20 1 20 = 20 4 20 = 5 1 .2 5 = 5 2 5 Jawabannya adalah A

11. Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 600 dan sudut ABM = 750. maka AM = … cm. A.150 ( 1 + 3 ) C. 150 ( 3 + 3 ) E. 150 ( 3 + 6 ) B. 150 ( 2 + 3 ) D. 150 ( 2 + 6 ) Jawab: M 450 600 750 A 300 cm B = ∠M 1800 _{- (60} ) 750 0_{+ = 45}0 Aturan sinus: 0 75 sin AM = 0 45 sin AB = 0 60 sinMB 0 75 sin AM = ₀ 45 sin AB
AM = 0 45 sin AB . Sin 750 ₌ 2 2 1300 . Sin 75 0 sin 750_{= sin (45}0_{+ 30}0₎

= sin 450 _{cos 30}0 _{+ cos 45}0 _{sin 30}0 = 2 1 2 . 2 1 3 + 2 1 2 . 2 1 = AM = 2 2 1300 . Sin 75 0 ₌ 2 2 1300 . 2 1 2( 2 1 3 + 2 1 ) = 300 . ( 2 1 3 + 2 1 ) = 150. ( 3 +1) Jawabannya adalah A

Tahun 2009

12. Himpunan penyelesaian persamaan sin2 _{2x – 2 sin x cos x – 2 = 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360}

adalah ….

A. { 45,135 } C. { 45,225 } E. { 135,315 } B. { 135,180 } D. { 135,225 }

Jawab:

sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0 (sin 2x- 2) (sin 2x + 1) = 0

sin 2x- 2 = 0 atau sin 2x + 1 = 0 sin 2x = 2
tidak ada sin 2x = -1

sin 2x = sin 2700 2x = 2700 _{+ k . 360}0 x = 1350 _{+ k . 180}0 untuk k = 0
x = 1350

k = 1
x = 3150

Jadi himpunan penyelesaiannya { 135,315 }

Jawabannya adalah E

13. Dalam suatu segitiga ABC diketahui cos A =

53 dan cos B = 135 . Nilai sin C = …. A. 65 56 C. 65 16 − E. 65 56 − B. 65 33 D. 65 33 − Jawab: Sin C = sin (1800_-( B A + )) = sin (A +B)

= sin A cos B + cos A sin B

= 1 - ( 5 3 )2 _{= 1 -} 259 = 16 25 Sin A = 25 16 = 5 4 sin2_{B + cos}2_{B = 1} sin2_{B = 1 - cos}2_B = 1 - ( 135 ) 2 _{= 1 -} 16925 = 169144 Sin B = 169 144 = 13 12

Sin C = sin A cos B + cos A sin B = 5 4 . 135 + 53 . 1312 = 65 36 20 + = 65 56 Jawabannya adalah A 14. Diketahui sin

α

= 13 5 1

,

α

sudut lancip. Nilai dari cos 2

α

= ….

A. – 1 C. 5 1 − E. 1 B. – ½ D. 25 1 − Jawab: cos 2

α

= 2

cos

α

- sin2

α

= 1 - 2sin2

α

= 1 – 2 ( 13 5 1 )2 = 1 – 2 . 25 13 = 25 26 25 − = - 251 Jawabannya adalah D

Tahun 2010

15. Himpunan penyelesaian persamaan 2cos2 _{x – 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah}

…. A.       6 5 , 6 π π C.       3 2 , 3 π π E.       3 4 , 3 2π π B.       6 11 , 6 π π _D.       3 5 , 3 π π Jawab:

2cos2 _{x – 3 cos x + 1 = 0 ; misal cos x = y}

2 y2 _{- 3 y + 1 = 0} (2y -1) (y -1) = 0 2y-1 = 0 y = 2 1
cos x = 2 1 x = 600 ₍ 3 π ) dan 3000 ₍ 3 5π ) y-1 = 0 y = 1
cos x = 1

x = 00 _{dan 360}0 ₍₂

π

_{)
tidak memenuhi 0 < x < 2π} Himpunan penyelesaiannya adalah

      3 5 , 3 π π Jawabannya adalah D 16. Hasil dari = − + + + + − 0 0 0 0 ) 30 cos( ) 30 cos( ) 60 sin( ) 60 sin(

α

α

α

α

_.… A. - 3 C. 3 1 3 E. 3 B. -3 1 3 D. 1

Jawab:

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)

= − + + + + − 0 0 0 0 ) 30 cos( ) 30 cos( ) 60 sin( ) 60 sin(

α

α

α

α

0 0 0 0 ) 30 cos( ) 30 cos( ) 60 sin( ) 60 sin(

α

α

α

α

− + + − + + = _{0 0} 0 0 cos 30 cos 2 cos 60 sin 2

α

α

= ₀ 0 30 cos 60 sin = 3 2 1 3 2 1 = 1 Jawabannya adalah D 17. Diketahui (A+B) = 3

π

dan sin A sin B = 4

1 . Nilai dari cos (A – B) = …. A. –1 C. 2 1 E. 1 B. -2 1 D. 4 3 Jawab:

-2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)
sin A sin B = - 2

1 { cos (A+B) – cos(A-B)} -

2

1 { cos (A+B) – cos(A-B)} = 4 1 - 2 1 { cos ( 3

π

_{) – cos(A-B)} =} 4 1 - 2 1 { 2 1 – cos(A-B)} = 4 1 2 1 – cos(A-B) = - 4 2 = - 2 1 2 1 + 2 1 = cos(A-B) cos(A-B) = 1 Jawabannya adalah E