APLIKASI INVERSI NON LINIER DENGAN PENDEKATAN LINIER UNTUK
MENENTUKAN HIPOSENTER (CONTOH KASUS DI G. KELUD)
Cecep SULAEMAN
Pusat Vulkanologi dan Mitigasi Bencana Geologi Badan Geologi Sari
Parameter model yang tidak linier dapat didekati secara linier memakai ekspansi Taylor orde pertama di sekitar model awal. Solusinya diperoleh memakai metoda kuadrat terkecil, yaitu meminimumkan selisih data pengamatan dengan data perhitungan. Contoh kasus diterapkan untuk menghitung hiposenter gempa Vulkanik di G. Kelud. Hasil perhitungan menunjukkan, bahwa gempa vulkanik di G. Kelud terdapat pada kedalaman 0,5 – 3,5 km di bawah kawah.
Pendahuluan
Hiposenter merupakan salah satu parameter penting di dalam bidang seismik. Berdasarkan informasi hiposenter dapat diperkirakan penyebab gempa tersebut, apakah aktivitas magma atau aktivitas struktur (misalnya sesar). Berbagai metoda telah dikembangkan untuk menentukan hiposenter. Salah satu cara penentuan hiposenter adalah dengan metoda inversi.
Tulisan ini membahas metoda inversi non linier dengan pendekatan linier yang kemudian diaplikasikan untuk menghitung hiposenter. Sebagai contoh kasus, metoda ini diterapkan untuk menghitung hiposenter gempa vulkanik di G. Kelud menjelang erupsi tahun 2007.
Teori inversi didefinisikan sebagai suatu kesatuan teknik/metoda matematika dan statistika untuk memperoleh informasi yang berguna mengenai suatu sistem fisika berdasarkan observasi terhadap sistem tersebut (Menke, 1984; di dalam Grandis, 2003). Pemodelan inversi sering disebut sebagai kebalikan dari pemodelan ke depan, karena dalam pemodelan inversi, parameter model diperoleh secara langsung dari data.
Secara umum metoda inversi dibagi menjadi inversi linier dan inversi non linier, bergantung pada permasalahan yang diselesaikan. Permasalahan non linier dapat diselesaikan dengan pendekatan linier, yaitu melalui pencarian lokal dan pencarian global. Penyelesaian inversi adalah memperkirakan parameter model yang memiliki respon (data terhitung) cocok dengan data lapangan.
Solusinya diperoleh dengan menerapkan jumlah kuadrat kesalahan minimum (least square). Inversi non Linier dengan Pendekatan Linier
Secara umum, hubungan antara data dengan parameter model yang tidak linier dapat dinyatakan dengan persamaan eksplisit (Tarantola, 1987; Grandis, 2003), yaitu ;
d = g(m) ... (1) dimana :
d adalah data
g merupakan fungsi pemodelan ke depan m adalah model yang terdiri atas sejumlah parameter model.
Huruf tebal (bold) menyatakan besaran vector. Parameter model yang tidak linier dapat didekati secara linier dengan memakai ekspansi Taylor orde pertama g(m) di sekitar model awal m0, maka persamaan (1) menjadi
d = g(m0) + J0 Δm0 ……… (2) dengan J0 = 0 m j i m g ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂
adalah matriks Jacobi dengan komponen berupa turunan parsial fungsi g(m) terhadap setiap elemen parameter model m yang dievaluasi pada m = m0 dan
Persamaan (2) tersebut dapat diselesaikan memakai metoda kuadrat terkecil, yaitu mencari solusi Δm0 yang menghasilkan (d –
(g(m0) + J0 Δm0) minimum. Artinya kuantitas
yang diminimumkan adalah selisih data pengamatan dengan data perhitungan dengan menggunakan pendekatan orde pertama ekspansi Taylor. Solusi persamaan (2) tersebut adalah
Δm0= [J0T J0 ]-1J0T (d - g(m0)) …..…… (3)
Notasi superposisi T dalam persamaan di atas menyatakan transpos.
Dengan memperhatikan Δm0 = [ m - m0],
maka solusi tersebut dapat diartikan sebagai suatu pertubasi terhadap model awal m0 untuk
memperoleh model m yang lebih baik, sehingga m = m0 + Δm0. Model yang optimum
diperoleh melalui proses modifikasi terhadap model awal m0 secara iteratif menggunakan
persamaan (3). Hubungan antara pertubasi model dengan model pada dua iterasi yang berurutan, maka model pada iterasi ke n+1, dapat ditulis:
mn+1= mn + [JnT Jn ]-1JnT(d - g(mn)) ...(4)
Aplikasi Inversi non Linier dengan pendekatan Linier untuk Menentukan Hiposenter
Salah satu data yang diperoleh bila kita melakukan pengamatan seismik adalah waktu tiba gelombang (tobs) di stasiun seismik. Bila
gelombang seismik menjalar pada medium yang homogen dari posisi sumber , maka waktu tiba gelombangnya, misalnya gelombang P dapat dihitung di stasiun seismik (Gambar 1), dengan persamaan sebagai berikut
)
,
,
(
x
0y
0z
0Gambar 1. Sumber gempa dan Stasiun seismik
p i i i
v
z
zs
y
ys
x
xs
0 2 0 2 0 2 0 cal pi)
(
)
(
)
(
t
t
=
+
−
+
−
+
−
; i = 1,…, N ... (5) dimana : cal pit
= waktu tiba gelombang P di stasiun seimik ke i0
t
= waktu terjadi gempap
v = kecepatan gelombang P
Dalam menentukan hiposenter memakai metoda di atas, maka langkah yang harus dilakukan adalah menyusun matriks sesuai dengan persamaan (4). Matriks tersebut adalah matriks berelemen parameter model (mn),
matriks Jacobi (Jn), dan matriks berelemen
selisih data waktu tiba dengan waktu tiba perhitungan (Tobs – Tcal). Dalam studi ini
diasumsikan kecepatan gelombang P ( ) konstan dan waktu terjadi gempa diketahui dari hubungan data waktu tiba gelombang P
p v 0
t
dengan selisih waktu tiba gelombang S dengan P, seperti diperlihatkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Hubungan (ts –tp) dengan tp untuk memperoleh t0
Parameter model di dalam penentuan hiposenter adalah , ditulis dalam bentuk matriks untuk n = 0 adalah
0 0 0
,
y
,
z
x
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0 0 0 0z
y
x
m
………(6)Matrik Jacobi Jn diperoleh dengan
menurunkan persamaan (5) terhadap parameter model , dan disusun dalam bentuk matriks sesuai persamaan (4) unuk n = 0, yaitu :
0 0 0
,
y
,
z
x
J0 =⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0 cal pN 0 cal pN 0 cal pN 0 cal p2 0 cal p2 0 cal p2 0 cal p1 0 cal p1 0 cal p1...
...
...
y
t
y
t
x
t
y
t
y
t
x
t
z
t
y
t
x
t
………. (7) dengan p i i i iv
z
zs
y
ys
x
xs
x
xs
x
2 0 2 0 2 0 0 0 cal pi(
)
(
)
(
)
(
)
t
−
−
+
−
+
−
−
=
∂
∂
p i i i iv
z
zs
y
ys
x
xs
y
ys
y
2 0 2 0 2 0 0 0 cal pi(
)
(
)
(
)
(
)
t
−
−
+
−
+
−
−
=
∂
∂
p i i i iv
z
zs
y
ys
x
xs
z
zs
z
2 0 2 0 2 0 0 0 cal pi(
)
(
)
(
)
(
)
t
−
−
+
−
+
−
−
=
∂
∂
Dalam matriks Jacobi tersebut, jumlah baris sama dengan jumlah stasiun dan jumlah kolom sama dengan jumlah parameter model. Nilai (d - g(m0)) adalah selisih data waktu tiba
pengamatan dengan waktu tiba perhitungan di masing – masing stasiun seismik, dan ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
(d – g(m0)) = ………(8)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
cal pN obs pN cal 2 p obs 2 p cal 1 p obs 1 pt
t
....
t
t
t
t
Solusi diperoleh bilamana parameter model memiliki kesalahan terkecil atau kesalahan dengan kreteria yang diinginkan. Nilai kesalahan (E) dapat dihitung dari jumlah kesalahan kuadrat :
∑
= − = N 1 obs p cal pi t ) t ( E i i ………(9)Contoh Kasus Menentukan Hiposenter di G. Kelud
Metoda ini diterapkan untuk menentukan hiposenter di G. Kelud untuk 6 data gempa vulkanik pada tanggal 1 Nopember 2007, beberapa hari menjelang munculnya kubah lava. Sinyal gempa terekam di empat stasiun seismik dengan koordinat seperti tercantum pada Tabel 1 (Suantika, 2007). Dalam studi ini dipakai koordinat Kartesian, dengan stasiun KWH dijadikan referensi.
Perhitungan hiposenter memakai persamaan (4). Dalam contoh kasus ini, matriks parameter model awal (n = 0) terdiri atas 3 baris dan 1 kolom, baris pertama sampai ke tiga
masing-masing berisi . Matriks Jacobi terdiri atas 4 baris dan 1 kolom, matriks selisih data waktu tiba pengamatan dengan perhitungan terdiri atas 4 baris dan 1 kolom. Kecepatan gelombang P dianggap tetap sebesar 3 km/detik, dan waktu terjadi gempa dicari dari hubungan (t 0 0 0
,
y
,
dan
z
x
0t
s –tp) dengan tp. Operasimatriks pada persamaan (4) tersebut diselesaikan dengan memanfaatkan perintah-perintah bahasa program Matlab Versi 7.1.
Hasil perhitungan menunjukkan gempa vulkanik tersebut berada di area kawah G. Kelud pada kedalaman antara 0,5 0 – 3,5 km dari kawah (Gambar 3) dengan kesalahan bervariasi antara 0,0017 sampai dengan 0,0172.
Tabel 1. Koordinat stasiun seismik di G. Kelud
Stasiun Lintang (LS) Bujur (BT) Elevasi
(m) KLD -07°56’36.500” 112°18’37.300” 1492 SUM -07°56’41.700” 112°17’55.600” 1350 GJM -07°56’04.620” 112°17’58.800” 1400 KWH -07°56’32.800” 112°18’13.900” 1257 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 KLD SUM GJM KWH Barat - Timur (km) S e la tan U tar a (k m )
Episenter Gempa Vulkanik G. Kelud 1 Nopember 2007 episenter st. seismik
Kawah
Gambar 3a. Episenter gempa vulkanik di G. Kelud, 1 Nopember 2007 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 KLD SUM KWH Barat - Timur (km) K e da la m a n (k m )
Hiposenter Gempa Vulkanik G. Kelud 1 Nopember 2007 hiposenter St. seismik
Kawah
Gambar 3b. Hiposenter gempa vulkanik di G. Kelud, 1 Nopember 2007
Pembahasan
Pemakaian metoda ini memperlihatkan hasil yang cukup baik. Banyaknya iterasi sampai memperoleh kesalahan yang kecil (kreteria yang diinginkan) bergantung pada pemberian model awal. Dalam contoh kasus di atas, banyaknya iterasi hanya sampai dua kali dengan nilai model awal di sekitar kawah (
x
0=
0
,
y
0=
0
,
dan
z
0=
2
km
). Bila nilai model awal yang diberikan jauh dari kawah, maka iterasi lebih dari dua kali. Hal ini menunjukkan bahwa pemakaian metoda pendekatan linier ini, memerlukan pengetahuan mengenai struktur daerah penelitian dan atau permasalahan yang ditinjau. Dalam contoh kasus ini daerah penelitian adalah gunungapi dan permasalahan yang ditinjau adalah gempa vulkanik, maka nilai model awal yang diberikan adalah di sekitar kawah, sehingga tidak memerlukan banyak iterasi untuk mendapatkan model yang optimum.Metoda ini belum memperhatikan kualitas data pengamatan (waktu tiba gelombang), maka bila diberikan pembobotan terhadap data, hasilnya akan bergantung pada kualitas data.
Kesimpulan
Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan sebagai berikut :
• Permasalahan non linier dapat diselesaikan dengan pendekatan linier
• Metoda inversi non linier dengan pendekatan linier dapat diaplikasikan untuk menghitung hiposenter
• Hiposenter gempa vulkanik di G. Kelud berada pada kedalaman 0,5 – 3,5 km di bawah kawah dengan kesalahan lebih kecil dari 0,1
• Pemberian nilai awal dalam menentukan hiposenter memerlukan pengetahuan mengenai struktur daerah penelitian.
Daftar Pustaka
Grandis, H., 2003, Inversi Geofisika, Buku Ajar, Program Studi Geofisika, ITB
Menke, W., 1984, dalam Grandis, 2003, Geophysical Data Analysis, Academic Press
Suantika, G., 2007, Laporan Tanggap Darurat Letusan G. Kelud, Pusat Vulkanologi dan Mitigasi Bencana Geologi
Tarantola, A., 1987, Inverse Problem Theory, Elsevier, 1987
