Pengolahan Citra di Kawasan Frekuensi

(1)

BAB 6

Pengolahan

Citra di Kawasan

Frekuensi

Setelah bab ini berakhir, diharapkan pembaca

mendapatkan berbagai pengetahuan berikut dan mampu mempraktikkannya.

 Pengolahan citra di kawasan spasial dan kawasan frekuensi

 Alihragam Fourier  Fourier 1-D

 Fourier 2-D

 Fast Fourier transform  Visualisasi pemrosesan FFT

 Penapisan pada kawasan frekuensi  Filter lolos-rendah

 Filter lolos-tinggi

 Penapisan dengan pendekatan high frequency emphasis

(2)

6.1 Pengolahan Citra di Kawasan Spasial dan Kawasan Frekuensi

Citra dapat ditransformasikan di kawasan spasial maupun di kawasan frekuensi. Dua cara untuk melakukan transformasi citra ditunjukkan pada Gambar 6.2. Sejumlah contoh transformasi di kawasan spasial atau keruangan telah dibahas di Bab 5. Namun, sebagai alternatif citra perlu diproses di kawasan frekuensi agar penentuan daerah frekuensinya dapat lebih ketat dan tepat. Untuk itu diperlukan pasangan transformasi dan transformasi-balik sebelum dan sesudah penapisan.

Gambar 6.1 Transformasi citra dapat diproses melalui kawasan spasial maupun frekuensi

 Dalam bahasa Indonesia, istilah lain yang identik dengan transformasi adalah alihragam.

 Adanya pasangan alihragam dan alihragam-balik tentu saja menambah beban komputasi.

Salah satu alihragam yang biasa dipakai di kawasan frekuensi adalah alihragam Fourier. Sejak algoritma alihragam Fourier ditemukan, telah bermunculan pula macam-macam alihragam yang lain, seperti transformasi

(3)

gelombang-singkat (wavelet), transformasi Radon, dan DCT (Discrete Cosine

Transform).

6.2 Alihragam Fourier

Alihragam Fourier (Fourier transform) merupakan salah satu jenis alihragam ke kawasan frekuensi yang banyak dipakai pada pengolahan citra. Alihragam ini dimanfaatkan untuk memetakan citra dari kawasan spasial ke dalam kawasan frekuensi. Disamping untuk melihat karakteristik spektrum citra, juga menjadi bagian pemrosesannya. Citra dapat diamati sebagai kumpulan gelombang sinusoid dengan frekuensi, amplitudo, dan fase yang berbeda-beda. Meskipun pada zaman sekarang terdapat berbagai alihragam sebagai alternatif alihragam Fourier, konsep yang mendasari alihragam Fourier perlu dimengerti. Lagipula, beberapa pemrosesan masih bertumpu pada alihragam Fourier.

Berdasarkan temuan ahli fisika dari Prancis bernama Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), semua fungsi yang bersifat periodis, betapapun kompleks fungsi tersebut, dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinusoid. Kuncinya terletak pada komposisi amplitude dan fase sinus setiap frekuensi. Begitu pula pada citra. Sebagai gambaran, suatu isyarat berdimensi satu pada Gambar 6.1(a) dapat disusun atas tiga gelombang sinusoid seperti terlihat pada Gambar 6.1(b).

(4)

6.3 Fourier 1-D

Penerapan Discrete Fourier Transform (DFT) atau alihragam Fourier diskret pada citra berdimensi satu disajikan pada pembahasan berikut. Misalnya, terdapat fungsi f(x) yang terdiri atas N data (f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), …, f(N-1)). Jika dikenakan DFT, akan diperoleh hasil alihragam berupa F(u) berupa

F(u) = (F(0), F(1), F(2), F(3), F(4), .., F(N-1))

Perhatikan bahwa jumlah data diskret N yang sama di kawasan frekuensi, yang sejalan dengan hukum kelestarian informasi. F(u) diperoleh melalui persamaan:

𝐹(𝑢) = 1 𝑁∑ 𝑓(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [ 2𝜋𝑢𝑥 𝑁 ] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋𝑢𝑥 𝑁 ]) 𝑁−1 𝑥=0 (6.1) atau 𝐹(𝑢) = 1 𝑁∑ 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑝 [−𝑗 2𝜋𝑢𝑥 𝑁 ] , 𝑁−1 𝑥=0 dengan u = 0,1,2,…,N-1 (6.2)

Pada rumus di depan, j menyatakan √−1. Dengan demikian, hasil transformasi

Fourier berupa bilangan kompleks.

Adapun alihragam-baliknya berupa:

𝑓(𝑥) = ∑ 𝐹(𝑢) 𝑒𝑥𝑝[𝑗2𝜋𝑢𝑥

𝑁 ] , 𝑁−1

𝑥=0 dengan u = 0,1,2,…,N-1 (6.3)

Sebagai contoh, terdapat f(x) = (2, 4, 1, 5). Alihragam Fourier-nya seperti berikut. 𝐹(0) = 1 4∑ 𝑓(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [ 2𝜋0𝑥 4 ] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋0𝑥 4 ]) 3 𝑥=0 = (f(0)(cos(0)-j sin(0)) + f(1)(cos(0)-j sin(0)) + f(2)(cos(0)-j sin(0)) + f(3)( (cos(0)-j sin(0))) / 4 = (f(0) + f(1) + f(2) + f(3)) / 4 = (2 + 4 + 1 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3 𝐹(1) = 1 4∑ 𝑓(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [ 2𝜋1𝑥 4 ] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋1𝑥 4 ]) 3 𝑥=0

(5)

= (f(0)(cos(0)-j sin(0)) + f(1)(cos(𝜋/2)-j sin(𝜋/2)) + f(2)(cos(𝜋)-j sin(𝜋)) + f(3)( (cos(3𝜋/2)-j sin(3𝜋/2))) / 4 = (2 (1-0) + 4(0-j) + 1(-1-0) + 5(0+j)) / 4 = (1+j)/4 = 0,25 + j0,25 𝐹(2) = 1 4∑ 𝑓(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [ 2𝜋2𝑥 4 ] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋2𝑥 4 ]) 3 𝑥=0 = (f(0)(cos(0)-j sin(0)) + f(1)(cos(𝜋)-j sin(𝜋)) + f(2)(cos(2𝜋)-j sin(2𝜋)) + f(3)( (cos(3𝜋)-j sin(3𝜋))) / 4 = (2 (1-0) + 4(-1-0) + 1(1-0) + 5(-1-0) ) / 4 = -6 / 4 = -1,50 𝐹(3) = 1 4∑ 𝑓(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [ 2𝜋3𝑥 4 ] − 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋3𝑥 4 ]) 3 𝑥=0 = (f(0)(cos(0)-j sin(0)) + f(1)(cos(3𝜋/2)-j sin(3𝜋/2)) + f(2)(cos(3𝜋)-j sin(3𝜋)) + f(3)( (cos(9𝜋/2)-j sin(9𝜋/2))) / 4 = (2 (1-0) + 4(0+j) + 1(-1-0) + 5(0-j) ) / 4 = (1 - j)/4 = 0,25 - j0,25

(6)

Gambar 6.2 Citra dimensi satu dan hasil transformasi Fourier

Pada Gambar 6.2, DFT-1_{menyatakan transformasi balik dari kawasan frekuensi}

ke kawasan spasial. Perhatikan bahwa data asli f(x) hanya 4, tetapi hasil alihragam ada 8, seolah ada tambahan informasi.

Sekarang akan ditunjukkan pelaksanaan alihragam-baliknya. Perhatikan cara menghitungnya. 𝑓(0) = ∑ 𝐹(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [2𝜋0𝑥 4 ] + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋0𝑥 4 ]) 3 𝑥=0 = F(0)(cos(0)+j sin(0)) + F(1)(cos(0)+j sin(0)) + F(2)(cos(0)+j sin(0)) + F(3)( (cos(0)+j sin(0))) / 4 = F(0) + F(1) + F(2) + F(3) = 3+ j0 + 0,25 + j0,25 - 1,5+j0 + 0,25-j0,25 = 2 𝑓(1) = ∑ 𝐹(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [2𝜋1𝑥 4 ] + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋1𝑥 4 ]) 3 𝑥=0 = F(0)(cos(0)+j sin(0)) + F(1)(cos(𝜋/2)+j sin(𝜋/2)) + F(2)(cos(𝜋)+j sin(𝜋)) + F(3)( (cos(3𝜋/2)+j sin(3𝜋/2)) = 3 (1+0) + (0,25 + j0,25)(0+j) - 1,5 (-1+0) + (0,25-j0,25)(0-j)

(7)

= 3 + j0,25 -0,25 + 1,5 - j0,25 -0,25 = 4 𝑓(2) = ∑ 𝐹(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [2𝜋2𝑥 4 ] + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋2𝑥 4 ]) 3 𝑥=0 = F(0)(cos(0)-j sin(0)) + F(1)(cos(𝜋)-j sin(𝜋)) + F(2)(cos(2𝜋)-j sin(2𝜋)) + F(3)(cos(3𝜋)-j sin(3𝜋)) = 3 (1-0) + (0,25 + j0,25) (-1-0) - 1,5 (1-0) + ((0,25-j0,25))(-1-0) = 3 – 0,25 –j0,25 -1,5 – 0,25 +j0,25 = 1 𝑓(3) = ∑ 𝐹(𝑥)(𝑐𝑜𝑠 [2𝜋3𝑥 4 ] + 𝑗 𝑠𝑖𝑛 [ 2𝜋3𝑥 4 ]) 3 𝑥=0 = (F(0)(cos(0)+j sin(0)) + F(1)(cos(3𝜋/2)+j sin(3𝜋/2)) + F(2)(cos(3𝜋)+j sin(3𝜋)) + F(3)( (cos(9𝜋/2)+j sin(9𝜋/2))) / 4 = 3 (1-0) + (0,25 + j0,25) (0-j) - 1,5 (-1-0) + (0,25-j0,25)(0+j) = 3 - j0,25 + 0,25 + 1,5 + j0,25 + 0,25 = 5

Tampak bahwa f(x) tidak mengandung komponen imajiner seperti aslinya.

Berikut adalah contoh fungsi yang digunakan untuk menghitung DFT berdimensi satu.

(8)

function [Re, Im] = dft1d(Fx)

% DFT1D Digunakan untuk memperoleh DFT dimensi satu. % Hasil: Re berisi bagian real dan

% Im berisi bagian imajiner

n = length(Fx); % Jumlah nilai dalam fungsi Fx for u = 0 : n - 1 Re(u+1) = 0; Im(u+1) = 0; for x = 0 : n - 1 radian = 2 * pi * u * x / n; cosr = cos(radian); sinr = -sin(radian);

Re(u+1) = Re(u+1) + Fx(x+1) * cosr; Im(u+1) = Im(u+1) + Fx(x+1) * sinr; end Re(u+1) = Re(u+1) / n; Im(u+1) = Im(u+1) / n; end Akhir Program

Contoh penggunaan fungsi dft1d ditunjukkan di bawah ini. Perhatikan Fx perlu ditranspos. >> Fx = [2,4,1,5]';  >> [Re,Im] = dft1d(Fx)  Re = 3.00000 0.25000 -1.50000 0.25000 Im = 0.00000 0.25000 -0.00000 -0.25000 >>

Hasil di atas sesuai dengan perhitungan manual di depan.

Alihragam-baliknya dapat diperoleh melalui fungsi idft1d seperti berikut.

(9)

function Fx = idft1d(Fu)

% IDFT1D Digunakan untuk melaksanakan transformasi balik % 1D DFT.

% Masukan: Fu berupa bilangan kompleks

n = length(Fu); % Jumlah nilai dalam fungsi Fu for u = 0 : n - 1 Fx(u+1) = 0; for x = 0 : n - 1 radian = 2 * pi * u * x / n; cosr = cos(radian); sinr = sin(radian);

Fx(u+1) = Fx(u+1) + Fu(x+1) * (cosr+ j*sinr); end

end

Fx = real(Fx); % Peroleh bagian real

Akhir Program

Berikut adalah contoh penggunaan DCT dan alihragam-baliknya:

>> Fx = [2,4,1,5]';  >> [Re,Im] = dft1d(Fx);  >> F = idft1d(Re+Im*j)  F = 2.0000 4.0000 1.0000 5.0000 >>

Perhatikan, argumen pada fungsi idft1d berupa bilangan kompleks, tetapi tidak ada komponen imjinernya atau nilai imajinernya nol. Pengalian dengan j pada Im*j dipakai untuk membentuk bagian imajiner. Hasilnya terlihat sama dengan isi Fx.

(10)

6.4 Fourier 2-D

Suatu citra diskret berdimensi dua f(x, y) dapat dinyatakan sebagai deret Fourier, yang dituliskan seperti berikut:

𝐹(𝑢, 𝑣) = ∑ ∑ 𝑓(𝑥, 𝑦)(cos(2𝜋 (𝑢𝑥 𝑁 + 𝑣𝑦 𝑀)) − 𝑗 sin (2𝜋 ( 𝑢𝑥 𝑁 + 𝑣𝑦 𝑀))) 𝑁−1 𝑥 =0 𝑀 −1 𝑦=0 (6.4)

Dalam hal ini, citra berukuran MxN (M baris dan N kolom). Komponen v bernilai dari 0 sampai dengan M-1 dan u bernilai dari 0 sampai dengan N-1. Dalam hal ini, u dan v menyatakan frekuensi, sedangkan nilai F(u, v) dinamakan koefisien

Fourier atau spektrum frekuensi diskret.

Adapun alihragam-baliknya berupa:

𝑓(𝑦, 𝑥) = 1 𝑀𝑁∑ ∑ 𝐹(𝑣, 𝑢)(cos (2𝜋 ( 𝑢𝑥 𝑁 + 𝑣𝑦 𝑀)) + 𝑗 sin (2𝜋 ( 𝑢𝑥 𝑁 + 𝑣𝑦 𝑀))) 𝑁−1 𝑥=0 𝑀−1 𝑦=0 (6.5)

Berdasarkan rumus di atas, setiap piksel akan ditransformasikan dengan kompleksitas berupa O(MN) atau O(N2_{) jika ukuran citra berupa NxN. Dengan}

demikian, untuk citra berukuran NxN, kompleksitas berupa O(N4_{). Tentu saja,}

untuk ukuran yang besar akan diperlukan waktu yang sangat lama. Itulah sebabnya, dalam praktik cara tersebut dihindari karena terdapat metode lain yang jauh lebih cepat dalam melakukan transformasi.

Sekedar untuk kepentingan ilustrasi, alihragam Fourier yang menggunakan Persamaan 6.4 dapat diimplementasikan seperti berikut.

Program : dft2d.m

function [Re, Im] = dft2d(berkas)

% DFT2D Digunakan untuk memperoleh DFT dimensi dua. % Masukan: nama berkas berskala keabuan

% Hasil: Re berisi bagian real dan % Im berisi bagian imajiner

Fx = double(imread(berkas)); [m, n] = size(Fx); % Ukuran citra % m = jumlah baris % n = jumlah kolom for v = 0 : m -1 for u = 0 : n - 1

(11)

Re(v+1, u+1) = 0; Im(v+1, u+1) = 0; for y = 0 : m - 1 for x = 0 : n - 1 radian = 2 * pi * … (u * x / n + v * y / m); cosr = cos(radian); sinr = -sin(radian);

Re(v+1, u+1) = Re(v+1, u+1) + ... Fx(y+1, x+1) * cosr; Im(v+1, u+1) = Im(v+1, u+1) + ... Fx(y+1, x+1) * sinr; end end end end Akhir Program

Fungsi dft2d digunakan untuk mentransformasikan citra berskala keabuan. Contoh penggunaannya misalnya seperti berikut:

>> [Dr, Di] = dft2d(’C:\Image\lena64.png’);  Dengan cara seperti itu, Dr mencatat bagian real dan Di mencatat bagian imajiner.

Tabel berikut memberikan contoh waktu pengeksekusian yang dilakukan pada tiga citra dengan ukuran yang berlainan dengan menggunakan fungsi dft2d. Terlihat bahwa semakin besar ukuran citra yang diproses, terjadi peningkatan waktu komputasi yang sangat signifikan.

Tabel 6.1 Waktu komputasi menggunakan dft2d

Citra Waktu

(detik)

lena64.png (ukuran 64 x 64) 3,51 lena128.png (ukuran 128 x 128) 54,42 lena256.png (ukuran 256 x 256) 870,09

(12)

Pendekatan lain memungkinkan penghitungan baris dan kolom tidak dilakukan sekaligus. Pertama, transformasi berdimensi satu hanya dikenakan pada baris-baris saja. Selanjutnya, hasilnya ditransformasi menurut kolom. Contoh program dalam bahasa C terdapat di Vandevenne (2007).

6.5 Fast Fourier Transform

Suatu metode bernama FFT (Fast Fourier Transform) dibuat untuk mempercepat komputasi alihragam Fourier. Jika kompleksitas DFT untuk mentransformasikan sebuah piksel seperti yang tertuang dalam implementasi di depan sebesar O(N2_{), FFT memiliki kompleksitas sebesar O(N log}

2 N). Sebagai

pembanding, jika N sama dengan 256 maka N2_{sama dengan 65.536, sedangkan N}

log2 N menghasilkan 256 x 8 atau 2048. Jadi, FFT lebih cepat 32 kali

dibandingkan DFT untuk ukuran citra seperti itu. Pada alihragam berdimensi dua, penghematan waktu akan lebih terasa.

Peluang adanya penghematan waktu komputasi dapat dilukiskan untuk citra N=8. Nilai 𝑒𝑥𝑝 [𝑗2𝜋𝑢𝑥

8 ] untuk u dan x sama dengan 0,1,2,3,4,5,6,7 dengan nilai

real cos 𝑒𝑥𝑝 [𝑗2𝜋𝑢𝑥

8 ] + 𝑗𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑥𝑝 [𝑗 2𝜋𝑢𝑥

8 ] ditunjukkan pada Tabel 6.2.

Tabel 6.2 Nilai-nilai 𝑒𝑥𝑝 [𝑗2𝜋𝑢𝑥 8 ] x u 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1 1+j0 1 √2+ 𝑗 1 √2 0+j ₋ 1 √2+ 𝑗 1 √2 -1+j0 ₋1 √2− 𝑗 1 √2 0-j ₋ 1 √2− 𝑗 1 √2 2 1+j0 0+j -1+j0 0-j 1+j0 0+j -1+j0 0-j 3 1+j0 ₋1 √2− 𝑗 1 √2 0+j ₊ 1 √2− 𝑗 1 √2 0-j ₊1 √2+ 𝑗 1 √2 0-j ₋ 1 √2+ 𝑗 1 √2 4 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 1+j0 5 1+j0 1 √2+ 𝑗 1 √2 0+j ₋ 1 √2+ 𝑗 1 √2 -1+j0 ₋1 √2− 𝑗 1 √2 0-j ₋ 1 √2− 𝑗 1 √2 6 1+j0 0 + j -1+j0 0-j 1+j0 0+j -1+j0 0-j 7 1+j0 ₋1 √2− 𝑗 1 √2 0+i 1 √2− 𝑗 1 √2 0-j ₊1 √2+ 𝑗 1 √2 0-j ₋ 1 √2+ 𝑗 1 √2

(13)

Terlihat bahwa nilai-nilai 𝑒𝑥𝑝 [𝑗2𝜋𝑢𝑥

8 ] banyak yang sama, yaitu 0, 1

√2, dan 1.

Oleh karena itu, algoritma cepat dibuat untuk tidak mengulang proses perkalian dengan angka-angka yang sama. Bahkan, perkalian dengan angka 1 dapat diloncati karena tidak perlu dilakukan. Demikian pula, perkalian dengan nol sama dengan melompati datanya untuk tidak perlu disertakan dalam perhitungan.

Namun, perlu dictata bahwa penghematan proses komputasi ini hanya dapat terjadi untuk jumlah pikel N = 2n_{, yaitu 2, 4, 8, 16, dan seterusnya. Untuk citra}

dengan besar N (dan M) kurang dari angka-angka tersebut dapat dilengkapi dengan piksel-piksel kosong (bernilai intensitas nol).

Cara melakukan komputasi dengan FFT dijabarkan oleh Cooley, dkk. (1969). Implementasi dengan Octave berupa fungsi fft dan fft2. Contoh penggunaan fft2 seperti berikut:

>> Img = imread(’C:\Image\lena256.png’);  >> F = fft2(Img); 

Pada contoh di atas, citra bernama lena256.png ditransformasikan menggunakan FFT.

6.6 Visualisasi Pemrosesan FFT

Sebagaimana telah dibahas di depan, alihragam Fourier menghasilkan bilangan kompleks. Terkait dengan hal itu, terdapat definisi spektrum Fourier seperti berikut:

|𝐹(𝑣, 𝑢)| = √𝑅2_{(𝑣, 𝑢) + 𝐼}2_{(𝑣, 𝑢)} _(6.6)

dengan R(u,v) menyatakan bagian real dan I(u,v) menyatakan bagian imajiner. Adapun sudut fase transformasi didefinisikan sebagai:

∅(𝑣, 𝑢) = 𝑡𝑎𝑛−1[𝐼(𝑣,𝑢)

(14)

Selain itu, terdapat pula istilah power spectrum atau spektrum daya, yang didefinisikan sebagai kuadrat besaran:

𝑃(𝑣, 𝑢) = |𝐹(𝑣, 𝑢)|2 = 𝑅2(𝑣, 𝑢) + 𝐼2(𝑣, 𝑢) (6.8) Untuk kepentingan analisis secara visual, spektrum dan sudut fase Fourier dapat disajikan dalam bentuk gambar. Berikut adalah contoh untuk melakukan transformasi citra lena256.png dan kemudian menyajikan spektrum.

>> Img = imread(’C:\Image\lena256.png’);  >> F = fft2(Img); 

>> imshow(abs(F),[]); 

Citra lena256.png dan spektrum Fourier-nya diperlihatkan pada Gambar 6.3(a) dan Gambar 6.5(b).

(15)

(a) Citra lena256.png (b) Visualisasi hasil FFT. Hanya di pojok kiri atas yang terlihat putih

(c) Visualisasi hasil FFT dengan skala logaritmik intensitas

(d) Visualisasi hasil FFT. Dengan frekuensi nol ditengahkan Gambar 6.3 Transformasi Fourier pada citra dan visualisasi

Mengingat nilai dalam spektrum terlalu lebar, penerapan logaritma biasa digunakan hanya untuk kepentingan visualisasi. Sebagai contoh, Gambar 6.3(c) diperoleh melalui:

>> S2 = log(1 + abs(F));  >> imshow(S2, []); 

(16)

Hasil pada Gambar 6.3(c) menunjukkan keadaan yang seperti berulang yang muncul pada setiap pojok dalam kotak frekuensi. Hal ini disebabkan adanya sifat pengulangan pada transformasi Fourier. Dalam hal ini, nilai pada M/2 menuju ke M-1 adalah pengulangan dari titik asal 0 hingga M/2 – 1. Hal ini juga berlaku pada arah mendatar. Berdasarkan sifat ini, untuk kepentingan visualisasi, titik awal (0,0) seringkali diubah agar terletak di tengah-tengah kotak frekuensi, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 6.4.

Gambar 6.4 Frekuensi 0 diletakkan di tengah-tengah kotak frekuensi

Hal seperti itu dapat dikerjakan dengan menggunakan fungsi fftshift yang disediakan oleh Octave. Kegunaan fungsi fftshift adalah untuk mengatur agar komponen frekuensi nol diletakkan di tengah-tengah spektrum. Untuk memberikan gambaran fungsi ini, perhatikan contoh berikut.

(17)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Jika dikenakan perintah seperti berikut

fftshift(X)

diperoleh hasil berupa:

ans =

11 12 9 10 15 16 13 14 3 4 1 2 7 8 5 6

Gambar 6.5 menunjukkan model penukaran keempat kuadran yang bersebrangan secara diagonal melalui fftshift.

(18)

Contoh berikut menunjukkan efek penukaran fftshift pada hasil transformasi

Fourier:

>> G = fftshift(F); 

>> imshow(log(1+abs(G)),[])  >>

Hasilnya dapat dilihat pada Gambar 6.3(d).

6.7 Penapisan pada Kawasan Frekuensi

Sebagaimana telah diutarakan pada Gambar 6.1, penapisan dapat dilakukan pada kawasan frekuensi. Menurut teorema konvolusi, konvolusi pada kawasan frekuensi dapat dilakukan dengan mengalikan F(v, u) dengan H(v,u) (Gonzalez, dkk., 2004). Dalam hal ini, H(v,u) dinamakan sebagai fungsi transfer filter dan diperoleh melalui pengenaan DFT terhadap h(y,x), yang merupakan kernel konvolusi pada kawasan spasial.

Satu hal yang perlu diperhatikan pada kawasan frekuensi, penapisan dapat menimbulkan problem akibat konvolusi. Problem yang dimaksud dikenal dengan nama wraparound error atau spatial aliasing error (Bovik, 2009). Hal ini disebabkan pada kawasan frekuensi terdapat fungsi periodis (yang berulang setelah jarak tertentu) yang membuat gambar akan diulang (seperti efek pengubinan) dan akibatnya membuat interferensi pada konvolusi. Gambar 6.6(a) menunjukkan dua citra yaitu f dan h. Adapun Gambar 6.6(b) menunjukkan operasi konvolusi pada koordinat (m, n). Berdasarkan Gambar 6.6(b), piksel (m, n) dihitung sebagai penjumlahan atas perkalian antara piksel di f dan h. Hasilnya tentu saja mengandung kesalahan yaitu ketika perkalian antara f dan h yang berulang ikut dijumlahkan.

(19)

Gambar 6.6 Problem wraparound error

Untuk mengatasi wraparound error, fungsi f dan h dimodifikasi dengan cara memperbesar ukurannya dan bagian yang diperluas diisi dengan nol. Cara perluasan ukuran dan pemberian nilai nol seperti itu dinamakan sebagai zero

padding. Gambar 6.7(a) menunjukkan keadaan setelah zero padding dikenakan

pada citra f dan h. Adapun Gambar 6.7(b) menunjukkan bahwa konvolusi pada suatu koordinat piksel tidak lagi mengandung wraparound error.

(20)

Gambar 6.7 Efek zero padding pada konvolusi pengulangan

Gonzales, dkk. (2004) menjelaskan cara menentukan ukuran baru untuk citra f dan h. Misalkan, f berukuran a x b dan h berukuran c x d. Kedua fungsi tersebut diperluas menjadi berukuran p x q. Maka, ukuran untuk p dan q harus memenuhi

p > a + c -1 (6.9)

(21)

q > b + d -1 (6.10) Apabila menggunakan FFT, nilai p dan q dipilih sehingga memenuhi 2r

dengan r adalah bilangan bulat. Dalam praktik, nilai p dan q acapkali dibuat sama, yaitu sebesar r. Dengan kata lain, nilai r harus memenuhi persamaan berikut:

2r_{> a + c -1} _(6.11)

dan

2r_{> b + d -1} _(6.12)

Dengan asumsi bahwa ukuran citra f jauh lebih besar daripada citra h, satu pendekatan yang biasa dilakukan untuk memperoleh nilai p dan q untuk kepentingan zero padding menggunakan algoritma seperti berikut.

ALGORITMA 6.1 – Menentukan ukuran zero padding

Masukan:

 f dan h (masing-masing berupa citra berukuran a x b dan c x d)

Keluaran:

 pxq (ukuran baru citra untuk f dan h) 1. m  max(a, b)

2. Cari nilai r sehingga memenuhi 2r_{> 2m – 1}

3. p 2q

4. q 2q

(22)

Di Octave dan MATLAB, nilai q berdasarkan Algoritma 6.1 dapat diperoleh melalui:

nextpow2(2 * max(a, b))

Adapun contoh berikut menunjukkan pemakaian zero padding.

>> Fs = imread('C:\Image\kotatua.png');  >> Hs = fspecial('sobel');  >> size(Fs)  ans = 747 500 >> Ff = fft2(Fs, 512, 512);  >> Hf = fft2(Hs, 512, 512);  >> G = Hf .* Ff;  >> F = real(ifft2(G));  >> Fx = F(1:250, 1:250);  >> imshow(uint8(Fx)) 

Pada contoh di atas, pengaturan 512 didasarkan pada perhitungan untuk zero

padding seperti yang telah dibahas di depan, mengingat ukuran citra berupa

250x250. Pada perintah di atas, Fx = F(1:250, 1:250);

digunakan untuk mengambil citra seperti ukuran citra semula. Gambar 6.8 menunjukkan contoh citra yang diproses dan hasil pemfilteran.

(23)

Gambar 6.8 Contoh pemfilteran dengan filter Sobel pada kawasan frekuensi

Pada perintah di depan

Hs = fspecial('sobel');

digunakan untuk memperoleh filter Sobel. Fungsi fspecial disediakan oleh paket Image Processing. Implementasi fungsi Sobel yang tidak menggunakan fspecial akan dibahas pada Bab 10.

Skrip berikut ditujukan untuk memudahkan dalam menangani penapisan pada kawasan frekuensi melalui FFT.

Program : filterdft.m

function F = filterdft(berkas, H)

% FILTERDFT Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran % pada kawasan frekuensi menggunakan FFT.

% Masukan:

% berkas - nama citra

% H - kernel pada kawasan spasial % Keluaran:

(24)

Fs = double(imread(berkas));

[a, b] = size(Fs); %Peroleh ukuran citra

% Menentukan ukuran baru untuk perluasan citra r = nextpow2(2 * max(a, b));

p = 2 ^ r; q = p;

% Transformasi via FFT dengan zero padding Ff = fft2(Fs, p, q);

Hf = fft2(H, p, q); % Konvolusi

G = Hf .* Ff;

% Peroleh citra hasil pemfilteran F = real(ifft2(G));

F = uint8(F(1:a, 1:b));

Akhir Program

Contoh penggunaan fungsi filterdft: >> H = fspecial(’sobel’); 

>> F = filterdft('C:\Image\kotatua.png', H);  >> imshow(F) 

6.8 Filter Lolos-Rendah

Filter lolos-bawah (low-pass filter) adalah filter yang mempunyai sifat dapat meloloskan yang berfrekuensi rendah dan menghilangkan yang berfrekuensi tinggi. Efek filter ini membuat perubahan level keabuan menjadi lebih lembut. Filter ini berguna untuk menghaluskan derau atau untuk kepentingan interpolasi tepi objek dalam citra. Tiga jenis filter lolos-rendah dilihat pada Tabel 6.1.

(25)

Tabel 6.1 Filter lolos-rendah

Filter Citra terkait

Ideal

Butterworth

(26)

Jenis filter lolos-rendah pada kawasan frekuensi yang paling sederhana adalah yang dinamakan ILPF (Ideal Low Pass Filter). Filter ini memiliki fungsi transfer seperti berikut:

𝐻(𝑣, 𝑢) = {1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐷(𝑣, 𝑢) ≤ 𝐷0

0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐷(𝑣, 𝑢) > 𝐷₀ (6.13) Dalam hal ini, D0 adalah bilangan non-negatif yang biasa disebut radius filter,

yang menentukan ambang frekuensi, dan D(v,u) adalah jarak antara (v,u) terhadap pusat filter, yang dinyatakan dengan

𝐷(𝑣, 𝑢) = √𝑣2_{+ 𝑢}2 _(6.14)

Skrip berikut menunjukkan suatu fungsi yang ditujukan untuk memfilter citra menggunakan ILPF.

Program : ilpf.m

function F = ilpf(berkas, d0)

% ILPF Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran % pada kawasan frekuensi menggunakan ILPF. % Masukan:

% d0 - menentukan frekuensi ambang % Keluaran:

% F - citra yang telah difilter

p = 2 ^ r; q = p;

% Menentukan jangkauan frekuensi u dan v u = 0:(p - 1);

v = 0:(q - 1);

% Hitung indeks untuk meshgrid idx = find(u > q/2);

u(idx) = u(idx) - q; idy = find(v > p/2); v(idy) = v(idy) - p;

(27)

% Peroleh array meshgrid [V, U] = meshgrid(v, u);

% Hitung jarak D(v,u) D = sqrt(V.^2 + U.^2);

% Hitung frekuensi ambang sebesar d0 kalai lebar citra ambang = d0 * q;

% Peroleh fungsi transfer Hf = double(D <= ambang);

% Transformasi via FFT dengan zero padding Ff = fft2(Fs, p, q); % Pemfilteran G = Hf .* Ff; % Transformasi balik F = real(ifft2(G)); F = uint8(F(1:a, 1:b)); Akhir Program

Contoh pemakaian fungsi ilpf:

>> F = ilpf('C:\Image\kotatua.png', 0.08); imshow(F) 

Gambar 6.9 merupakan contoh penerapan IDLF untuk berbagai nilai d0 yang diterapkan pada kotatua.png.

(28)

Gambar 6.9 Hasil penerapan ILPF

BLPF (Butterworth low pass filter) merupakan jenis filter lolos-rendah yang digunakan untuk memperbaiki efek bergelombang yang dikenal dengan sebutan

ringing, yang diakibatkan oleh ILPF. Berbeda dengan ILPF, BLPF tidak memiliki

titik diskontinu yang tajam. Fungsi transfernya berupa 𝐻(𝑣, 𝑢) = 1

1+[𝐷 (𝑣,𝑢)/𝐷₀]2𝑛 (6.15)

Dalam hal ini, n dinamakan orde filter.

Skrip berikut menunjukkan suatu fungsi yang ditujukan untuk memfilter citra menggunakan BLPF.

(29)

function F = blpf(berkas, d0, n)

% BLPF Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran % pada kawasan frekuensi menggunakan BLPF. % Masukan:

% d0 - menentukan frekuensi ambang % n - menentukan faktor n

% Keluaran:

p = 2 ^ r; q = p;

v = 0:(q - 1);

% Menentukan n kalau n tidak disebutkan if nargin == 2

n = 1; end

ambang = d0 * p; % Hitung frekuensi ambang Hf = 1 ./ (1 + D ./ ambang^(2 * n));

% Transformasi via FFT dengan zero padding Ff = fft2(Fs, p, q); % Pemfilteran G = Hf .* Ff; % Transformasi balik F = real(ifft2(G)); F = uint8(F(1:a, 1:b)); Akhir Program

(30)

Contoh pemakaian fungsi blpf:

>> F = blpf('C:\Image\kotatua.png', 0.02, 0.3 );  >> imshow(F) 

Gambar 6.10 dan 6.11 merupakan contoh penerapan IDLF untuk berbagai nilai d0

dan n yang berbeda yang diterapkan pada kotatua.png.

(31)

Gambar 6.11 Hasil penerapan BLPF untuk berbagai N

GLPF (Gaussian low pass filter) merupakan filter lolos-rendah dengan fungsi transfer seperti berikut:

𝐻(𝑣, 𝑢) = 𝑒

𝐷2 (𝑣,𝑢)

2𝜎2 _(6.16)

dengan 𝜎 merupakan deviasi standar. Sebagai contoh, dengan menggunakan 𝜎 sama dengan Do maka

𝐻(𝑣, 𝑢) = 𝑒

𝐷2 (𝑣,𝑢)

2𝐷02 _(6.17)

(32)

Contoh berikut merupakan fungsi yang digunakan untuk melakukan pemfilteran dengan GLPF.

Program : glpf.m

function F = glpf(berkas, d0)

% GLPF Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran % pada kawasan frekuensi menggunakan GLPF. % Masukan:

% d0 - menentukan frekuensi ambang % Keluaran:

p = 2 ^ r; q = p;

v = 0:(q - 1);

n = 1; end

ambang = d0 * p; % Hitung frekuensi ambang Hf = exp(-(D.^2) ./ (2 * ambang ^ 2));

% Transformasi via FFT dengan zero padding Ff = fft2(Fs, p, q); % Pemfilteran G = Hf .* Ff; % Transformasi balik

(33)

F = real(ifft2(G)); F = uint8(F(1:a, 1:b));

Akhir Program

Contoh pemakaian fungsi di glpf:

>> F = glpf('C:\Image\kotatua.png', 0.05);  >> imshow(F) 

Gambar 6.12 merupakan contoh penerapan GLPF untuk berbagai nilai d0 yang

diterapkan pada kotatua.png.

(34)

6.9 Filter Lolos-Tinggi

Filter lolos-tinggi adalah filter yang ditujukan untuk menekan frekuensi rendah hingga frekuensi tertentu dan meloloskan frekuensi lainnya. Filter ini memiliki hubungan dengan filter lolos-rendah seperti berikut:

𝐻_𝑙𝑡(𝑣, 𝑢) = 1 − 𝐻_𝑙𝑟(𝑣, 𝑢) (6.18)

Dengan Hlt(v,u) adalah fungsi transfer filter lolos-tinggi dan Hlf(v,u) adalah fungsi

transfer filter lolos-rendah.

Tiga jenis filter lolos-tinggi dilihat di Tabel 6.3. Ketiga filter yang tercantum dalam tersebut yaitu IHPF (Ideal high pass filter), BHPF (Butterworth high pass

filter), dan GHPF (Gaussian high pass filter).

Tabel 6.3 Filter lolos-tinggi

Ideal

(35)

Gaussian

Contoh berikut menunjukkan implementasi filter BHPF untuk memfilter citra.

Program : bhpf.m

function F = bhpf(berkas, d0, n)

% BHPF Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran % pada kawasan frekuensi menggunakan BHPF. % Masukan:

% Keluaran:

p = 2 ^ r; q = p;

v = 0:(q - 1);

(36)

idx = find(u > q/2); u(idx) = u(idx) - q; idy = find(v > p/2); v(idy) = v(idy) - p;

n = 1; end

ambang = d0 * p; % Hitung frekuensi ambang

Hlr = 1 ./ (1 + (D ./ ambang) .^(2 * n)); % Lolos-rendah Hlt = 1 - Hlr; % Lolos-tinggi

% Transformasi via FFT dengan zero padding Ff = fft2(Fs, p, q); % Pemfilteran G = Hlt .* Ff; % Transformasi balik F = real(ifft2(G)); F = uint8(F(1:a, 1:b)); Akhir Program

Contoh pemakaian fungsi blpf:

>> F = bhpf('C:\Image\goldhill.png', 0.005, 1 );  >> imshow(F) 

Gambar 6.13 menunjukkan gambar asli dan hasil pemrosesan dengan perintah di atas.

(37)

Gambar 6.13 Pemfilteran dengan BHPF

Hasil pada Gambar 6.13(b) menunjukkan bahwa penerapan BHPF pada citra membuat latarbelakang menjadi hampir hilang, karena nilai intensitas reratanya hilang (menjadi nol).

6.10 Pemfilteran dengan Pendekatan High Frequency Emphasis

Penerapan filter lolos-tinggi dengan cara yang telah dibahas menimbulkan efek berupa hilangnya latarbelakang. Hal ini disebabkan pemfilteran dengan cara tersebut menghilangkan komponen DC (F(0,0)).

Nah, untuk mengatasi hal itu, terdapat pendekatan yang dinamakan pemfilteran high frequency emphasis (HFE). Dalam hal ini, penonjolan frekuensi tinggi diatur melalui rumus:

𝐻ℎ𝑓𝑒(𝑣, 𝑢) = 𝑎 + 𝑏𝐻𝑙𝑡(𝑣, 𝑢) (6.19)

Dalam hal ini,

 Hlt adalah fungsi transfer filter lolos-tinggi;

 a adalah nilai ofset, sebagai penambah nilai rerata intensitas;  b adalah nilai pengali, untuk meningkatkan kontras.

(38)

Gonzales, dkk. (2004) menunjukkan bahwa penggunaan a sebesar 0,5 dan b sebesar 2 memberikan hasil yang memuaskan pada citra medis. Nilai a dan b itulah yang dicoba digunakan pada program berikut.

Program : hfe.m

function F = hfe(berkas, d0, n)

% HFE Digunakan untuk melaksanakan pemfilteran % pada kawasan frekuensi menggunakan BHPF

% dan menerapkan HFE (High frequency emphasis). % Masukan:

% Keluaran:

p = 2 ^ r; q = p;

v = 0:(q - 1);

n = 1; end

ambang = d0 * p; % Hitung frekuensi ambang

Hlr = 1 ./ (1 + (D ./ ambang) .^(2 * n)); % Lolos-rendah Hlt = 1 - Hlr; % Lolos-tinggi

% Proses HFE

(39)

% Transformasi via FFT dengan zero padding Ff = fft2(Fs, p, q); % Pemfilteran G = Hfe .* Ff; % Transformasi balik F = real(ifft2(G)); F = uint8(F(1:a, 1:b)); Akhir Program

Contoh penggunaan fungsi hfe:

>> F = hfe('C:\Image\goldhill.png', 0.05, 1 );  >> imshow(F) 

Gambar 6.14 menunjukkan gambar asli goldhill.png dan hasil pemrosesan di atas.

Gambar 6.14 Hasil penerapan high frequency emphasis

(40)

1. Berikan beberapa contoh transformasi yang mengalihkan ke kawasan frekuensi.

2. Terdapat data seperti berikut:

f(x) = (3, 4, 4, 5)

Hitunglah transformasi Fourier F(0) hingga F(3). 3. Jelaskan maksud istilah berikut.

(a) Spektrum Fourier

(b) Spektrum daya (power spectrum) 4. Apa yang Anda ketahui mengenai FFT? 5. Apa kegunaan fungsi fftshift?

6. Jelaskan yang dimaksud dengan istilah berikut. (a) Filter lolos-rendah

(b) Filter lolos-tinggi

7. Apa yang dimaksud dengan wraparound error? Jelaskan cara mengatasinya. 8. Apa yang dimaksud dengan filter- filter berikut?

(a) ILPF (b) BLPF (c) GLPF (d) IHPF (e) BHPF (f) GHPF (g) HFE

9. Buatlah fungsi bernama fillrb dengan 4 buah argumen yang secara berturut-turut menyatakan matriks citra, frekuensi ambang, dan orde filter. Fungsi tersebut memberikan nilai balik berupa fungsi transfer filter lolos-rendah tipe Butterworth. Bantuan: modifikasilah berdasarkan blpf.m.

(41)

10. Gambarkan fungsi transfer fillrb pada Soal 9 dengan menggunakan f. Sebagai contoh, gunakan citra boneka2.png, dengan frekuensi sebesar 0,1, dan orde filter sebesar 1.

Bantuan: Misalkan, H adalah fungsi transfer yang dihasilkan oleh fillrb, maka Anda bisa menyajikan filter transfer dengan menggunakan perintah berikut:

mesh(fftshift(H)); colormap(jet);

11. Dengan menggunakan fungsi fillrb (Soal 9), bagaimana kalau dikehendaki untuk memperoleh fungsi transfer filter lolos-tinggi Butterworth?

(42)