MODUL PANDUAN PRAKTIKUM. Riset Operasional 2. Oleh: Tim Pengembangan Laboratorium Manajemen Menengah Fakultas Ekonomi Universitas Gunadarma

(1)

2015

Oleh:

Tim Pengembangan

Laboratorium Manajemen

Menengah

Fakultas Ekonomi

Universitas Gunadarma

MODUL PANDUAN PRAKTIKUM

Riset

(2)

Riset Operasional 2

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat-Nya yang telah dilimpahkan kepada penulis, sehingga Modul Operasional Riset Dua ini telah berhasil kami selesaikan hingga dapat disajikan pada mahasiswa/i dan dapat menjadi sumber ilmu yang dapat dipahami oleh mahasiswa/i ataupun pembacanya.

Untuk memudahkan penyelesaian masalah yang ada, modul ini juga dilengkapi dengan cara penggunaan aplikasi Quantative System for Bussines ( QSB ) sebagai software yang digunakan untuk mengurangi kesalahan penghitungan secara manual, dan mempertinggi keakuratan dalam memecahkan masalah yang ada.

Dalam kesempatan ini, penyusun ingin mengucapkan terima kasih kepada Kedua Orang Tua kami, Staff Laboratorium Management Menengah Universitas Gunadarma, juga para Asisten senior dan rekan rekan asisten lainnya yang telah memberikan bantuan dalam penyusunan modul Operasional Riset Dua ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang terdapat dalam modul ini, oleh karena itu kami memohon kritik dan saran yang bersifat konstruktif demi perbaikkan dalam penyusunan modul yang akan datang. Semoga modul ini dapat memberikan manfaat positif pembacanya.

Depok, Febuari 2015

(3)

Riset Operasional 2

2015

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... 1 Deskripsi Modul ... 3 Tujuan Modul ... 3 Bab I ... 4

Pengantar: Teori Antrian ... 4

Antrian Multi Channel Single Phase ... 5

Contoh Soal ... 7 Penggunaan Software ... 10 Soal Praktikum ... 15 BAB II ... 17 Pengantar: PERT ... 17 Model Jaringan ... 17

Distribusi Probabilitas Beta ... 17

Penjadwalan Kegiatan ... 18

Contoh Soal ... 19

Penggunaan Software ... 26

Soal Praktikum ... 32

BAB III ... 40

Pengantar: Analisis Markov ... 40

Ciri-ciri Proses Markov ... 40

Menyusun Probabilitas Transisi ... 41

Contoh Soal ... 41

Probabilitas Tree ... 41

Pendekatan Matriks ... 43

Probabilitas Steady State ... 45

Penggunaan Probabilitas Steady State ... 46

BAB IV ... 58

Pengantar: Teori Pengambilan Keputusan ... 58

Fungsi teori pengambilan keputusan ... 58

Tujuan teori pengambilan keputusan ... 59

Klasifikasi informasi yang diterima oleh manager ... 59

Konsep – konsep dasar TPK ... 60

Contoh soal ... 60

BAB V ... 76

Pengantar: Teori Permainan ... 76

Contoh Soal ... 76

(4)

Riset Operasional 2

2015

Deskripsi Modul

Riset operasional merupakan cabang interdisiplin dari matematika terapan dan sains formal yang menggunakan model-model—seperti model matematika, statistika, dan algoritma untuk mendapatkan nilai optimal atau nyaris optimal pada sebuah masalah yang kompleks. Riset Operasional merupakan suatu metode/teknik/peralatan/cara manajemen yang digunakan oleh seorang manajer untuk menyelesaikan masalah-masalah yang sering muncul dalam kegiatan-kegiatan sehari-hari. Riset operasional biasanya digunakan untuk mencari nilai maksimal (profit, performa lini perakitan, hasil panen, bandwith dll) atau nilai minimal (kerugian, risiko, biaya, dll) dari sebuah fungsi objektif. Sehingga akhirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal.

Tujuan Modul

Setelah menyelesaikan praktikum pada modul ini, praktikan akan memahami: 1. Efektifitas dari suatu loket

2. Penjadwalan yang efisien dalam pengerjaan suatu proyek

3. Prediksi dari adanya perubahan-perubahan yang akan terjadi dari suatu permasalahan 4. Probabilitas atas resiko dari suatu kegiatan

5. Menyusun suatu strategi atas suatu kegiatan

Isi

Pembelajaran: Teori Antrian

Latihan 1 Menghitung Probabilitas atas suatu antrian

Pembelajaran: Program Evaluastion and Review Technique

Latihan 2 Menghitung Waktu optimal penyelesaian proyek

Pembelajaran: Analisis Markov

Latihan 3 Menghitung Prediksi prubahan suatu kegiatan

Pembelajaran: Teori Pengambilan Keputusan

Latihan 4 Menghitung Keputusan yang paling optima

Pembelajaran: Teori Permainan

(5)

Riset Operasional 2

2015

Bab I

Teori Antrian

(Queieng Theory – Multi Channel Single Phase)

Pengantar: Teori Antrian

Antrian adalah kejadian yang sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Seperti menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api, menunggu pengisian bahan bakar, menunggu di pintu jalan tol, menunggu pembayaran di kasir pada supermarket, dan beberapa kasus menunggu yang lain. Komponen dasar proses antrian adalah kedatangan, pelayanan, dan antri. Ada dua fungsi dasar model antrian yaitu:

a. Meminimumkan biaya langsung

Biaya langsung adalah biaya yang timbul akibat lamanya waktu pelayanan yang secara langsung membebani perusahaan. Contohnya, pembengkakan biaya akibat waktu ini adalah pekerja yang dibayar perjam dan diharuskan melayani sejumlah pelanggan, perusahaan harus membayar pekerja tersebut persatuan waktu. b. Meminimumkan biaya tidak langsung

Biaya tidak langsung adalah terjadi apabila pelanggan harus menunggu lama sehingga mungkin membatalkan niat memakai jasa perusahaan tersebut. Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu:

1. Single Channel - Single Phase (satu saluran satu tahap) 2. Single Channel - Multi Phase (satu saluran banyak tahap) 3. Multi Channel - Single Phase (banyak saluran satu tahap) 4. Multi Channel - Multi Phase (banyak saluran banyak tahap)

Pada praktikum semester lalu kalian telah mempelajari antrian single channel single phase pada Manajemen Operasional. Kini pada praktikum Riset Operasional 2 pembahasan antrian masih berlanjut tepatnya antrian MULTI CHANNEL SINGLE PHASE.

(6)

Riset Operasional 2

2015

Antrian Multi Channel Single Phase

a)

Asumsi-asumsi dalam multi channel single phase (

infinite

)

> Jumlah antrian tidak dibatasi

> Kedatangan mengikuti distribusi poisson

> Waktu pelayanan mengikuti distribusi exponential negative > First come, first served

> Saluran dikalikan dengan tingkat pelayanan > dari tingkat kedatangan.

b)

Ciri ciri distribusi poisson :

> Tingkat kedatangan rata-rata dapat diduga berdasarkan data masa lalu > Tingkat kedatangan rata-rata persatuan waktu adalah konstan

> Banyaknya kedatangan dalam suatu selang waktu tidak dipengaruhi apa yang terjadi pada selang waktu sebelumnya

> Probabilitas suatu kedatangan dalam selang waktu yang sangat pendek adalah sangat kecil sehingga probabilitas > dari satu kedatangan dalam selang waktu yang pendek akan mendekati 0 (nol)

Multi channel single phase (infinite) = antrian tidak dibatasi

P

Model antrian O O O O

Rumus :



Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system

1 Po =

c-l

(λ / µ)

n

c-l

(λ /µ)

c

∑

+

∑

n=0

n!

n=0

c! (1 – (λ /c.µ))

catatan : untuk yg diketahui C,dihitung dari 1 , 2 , 3 ,dst sampai ke C

C C C

(7)

Riset Operasional 2

2015

 Probabilitas orang ke-n mengantri dalam system

(λ / µ)

n

P (n ≤ c) =

. Po

n!

(λ / µ)

n

P (n > c) =

. Po

C! . C

n-c  Tingkat Kegunaan

λ

R =

C ×

µ

 Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian (Lq)

Po

(λ / µ)

c

.

[(λ / (c × µ)]

Lq =

C

!

(1 – (λ / (c . µ))

2

Atau

Po

(λ / µ)

c

.

[R]

Lq =

C

!

(1 – (R)

2

 Rata-rata banyaknya pengantri dalam System (L)

L = Lq + λ / µ

 Rata-rata waktu mengantri dalam antrian (Wq)

Wq = Lq / λ

 Rata-rata waktu mengantri dalam System (W)

(8)

Riset Operasional 2

2015

Contoh Soal

Di KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ terdapat 3 dapur ‖ yang diketahui mampu melayani 10 orang/20 menit serta memiliki tingkat kegunaan 90%. Dari data tersebut maka tentukan

a. Tingkat kedatangan,

b. Probabilitas tidak adanya pengantri dalam sistem, c. Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian, d. Rata-rata banyaknya pengantri dalam system, e. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian, f. Rata-rata waktu menunggu dalam system, g. Probabilitas adanya orang ke-5

h. Probabilitas adanay 4 orang JAWAB

a.

λ = R x C x µ

= 0,9 x 3 x 30 = 81

Jadi, tingkat kedatangan pelanggan di KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah 81 orang/jam

b.

1 Po =

c-l

(λ / µ)

n

c-l

(λ /µ)

c

∑

+

∑

n=0

n!

n=0

c! (1 – (λ /c.µ))

=

1 (81 / 30)

0

+ (81 / 30)

1

+ (81 / 30)

2

+ (81 / 30)

3

0 ! 1 ! 2 ! 3 ! (0,1)

=

1 = 1

1 + 2,7 + 3,64 + 32,80 40,14

(9)

Riset Operasional 2

2015

= 0,0249

Jadi, probabilitas tidak adanya pengantri dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah 0,024

c.

Lq = Po

x

(λ / µ)

c

x

(

R

)

C ! ( 1- (R))

2

=

0,0249 x (81 / 30)

3

x (0,9) = 0,441 = 7,35 >> 7 orang

3! (1-(0,9))

2

0,06

Jadi, rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian pada KEVIN KINGDOM MUSIC

―CAFÉ‖ adalah sebanyak 7 orang

d.

L = Lq + (λ / µ)

= 7,35 + (81 / 30)

= 7,35 + 2,7

= 10,016 >> 10 orang

Jadi, rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah sebanyak 10 orang

e.

Wq = Lq / λ

= 7,35 / 81 = 0,09 = 5,4 menit

Jadi, rata-rata lamanya waktu menunggu untuk dilayani dalam antrian pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ selama 5,4 menit

f.

W = Wq + (1 / µ)

=

0,09 + (1 / 30)

=

0,123 = 7,4 menit

Jadi, rata-rata lamanya waktu menunggu untuk dilayani dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ selama 7,4 menit

(10)

Riset Operasional 2

2015

g.

Probabilitas adanya orang ke-5 yang mengantri dalam sistem

P

5

=

(λ / µ)

n

x Po

C ! x C

n- C

=

(81/ 30)

5

x 0,0249 = 0,06616

3 ! x 3

5- 3

Jadi, probabilitas adanya orang ke-5 yang mengantri dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah 0,06616

h. Probabilitas adanya 4 orang yang mengantri dalam system

(λ / µ)

n

P

1

=

x Po

n!

(81 / 30)

1

=

x 0,0249 = 0,0672

1!

(λ / µ)

n

P

2

=

x Po

n!

(81 / 30)

2

=

x 0,0249 = 0,0907

2!

(λ / µ)

n

P

3

=

x Po

n!

(81 / 30)

3

=

x 0,0249 = 0,0816

3!

P

4

=

(λ / µ)

n

x Po

C ! x C

n- C

=

(81/ 30)

4

x 0,0249 = 0,0735

3 ! x 3

4- 3

(11)

Riset Operasional 2

2015

Jadi, probabilitas adanya 4 orang yang mengantri dalam sistem pada KEVIN KINGDOM MUSIC ―CAFÉ‖ adalah P0+P1+P2+P3+P4 = 0,0249 + 0,0672 + 0,0907 + 0,0816 + 0,0735 = 0,3379

Penggunaan Software

(12)

Riset Operasional 2

2015

 Kemudian enter 2 kali, dan pilih (A) Queuing theory

(13)

Riset Operasional 2

2015

 Masukkan nama serta satuan waktunya (H)

(14)

Riset Operasional 2

2015

(15)

Riset Operasional 2

2015

(16)

Riset Operasional 2

2015

Soal Praktikum

1.) Pada penjualan tiket XXI khusus film Hunger Games : ―Catching Fire‖ diketahui memiliki 3 loket dengan tingkat pelayanannya yaitu 90 detik/orang mengikuti distribusi poisson. Serta diketahui juga tingkat kegunaan 80% Maka tentukan : Tingkat Kedatangan, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata – rata banyaknya pengantri dalam system, Rata – rata waktu mengantri dalam antrian, Rata – rata waktu mengantri dalam system, Probabilitas orang ke 7, beserta analisisnya !

a. 95 orang/jam; 0,054; 2 orang; 4 orang; 0,3 menit; 2 menit dan 0,051 b. 96 orang/jam; 0,056; 2 orang; 4 orang; 1,6 menit; 3 menit dan 0,052 c. 96 orang/jam; 0,056; 4 orang; 2 orang; 1,6 menit; 3 menit dan 0,052 d. 95 orang/jam; 0,054; 2 orang; 4 orang; 0,3 menit; 3 menit dan 0,051

2.) Sebuah tempat permainan anak bernama ‗Angry Bird‘ terdapat 6 kasir yang melayani pembelinya. Jika diketahui tingkat menganggur dari kasir tersebut sebesar 8% serta tingkat kedatangan pelanggan sebanyak 23 orang/10 menit (begitu seterusnya) mengikuti distribusi poisson. Tentukanlah : Tingkat pelayanan, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata-rata banyaknya pengantri dalam system, Rata-rata waktu menunggu dalam antrian, Rata-rata waktu menunggu dalam system, Probabilitas adanya 2 pelanggan !

a. 25 orang/jam; 0,0012; 2 orang; 4 orang; 4 menit; 6,3 menit dan 0,234 b. 25 orang/jam; 0,0012; 9 orang; 14 orang; 4 menit; 6,3 menit dan 0,347 c. 25 orang/jam; 0,0016; 9 orang; 14 orang; 4 menit; 6,3 menit dan 0,347 d. 40 orang/jam; 0,0016; 2 orang; 5 orang; 4 menit; 6,3 menit dan 0,234

3.) Reporter Michael memantau pada acara Grammy Award 2013, diketahui tingkat kedatangan 120 orang / jam mengikuti distribusi poisson. Sedangkan tingkat pelayanan sebesar 30 orang/jam. Selain itu pula diketahui tingkat kegunaan sebesar 80%. Tentukan : Berapa loket yang dimiliki acara tersebut, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata – rata banyaknya pengantri dalam system, Rata – rata waktu menunggu dalam antrian, Rata – rata waktu menunggu dalam system, Probabilitas orang ke-10, Analisisnya !

a. 5 loket; 0,01298; 2 orang; 6 orang; 1,1 menit; 3 menit dan 0,0363 b. 5 loket; 1,298; 2 orang; 6 orang; 2,1 menit; 3 menit dan 0,0363

(17)

Riset Operasional 2

2015

c. 5 loket; 0,01298; 2 orang; 6 orang; 1,1 menit; 3 menit dan 0,344

d. 3 loket; 0,01298; 2 orang; 6 orang; 1,1 menit; 3 menit dan 0,344

4.) Suatu hari Tristan dan saudara-saudaranya pergi ke dufan diketahui tingkat kedatangan 18 orang / 5 menit mengikuti distribusi poisson. Sedangkan tingkat pelayanan mengikuti distribusi exponential negative sebesar 45 orang/jam. Selain itu pula diketahui tingkat kegunaan sebesar 80%. Tentukan : Berapa loket yang dimiliki oleh Dufan yang aktif waktu itu, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata – rata banyaknya pengantri dalam system, Rata – rata waktu menunggu dalam antrian, Rata – rata waktu menunggu dalam system, Probabilitas adanya orang ke 7, Analisis !

a. 5 loket; 0,006096; 2 orang; 6 orang; 0,5 menit; 0,2 menit dan 0,8284 b. 6 loket; 0,05776; 2 orang; 6 orang; 0,5 menit; 2 menit dan 0,1294 c. 6 loket; 0,006096; 2 orang; 6 orang; 0,5 menit; 2 menit dan 0,8284 d. 6 loket; 0,006096; 2 orang; 3 orang; 0,5 menit; 2 menit dan 0,8284

5.) Di Kerajaan Manajemen Menengah terdapat 3 dapur‖ yang diketahui mampu melayani setiap orangnya selama 80 detik serta memiliki tingkat menganggur 40%. Dari data tersebut maka tentukan: Tingkat kedatangan, Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian, Rata-rata banyaknya pengantri dalam system, Rata-rata waktu menunggu dalam antrian, Rata-rata waktu menunggu dalam system, Probabilitas orang ke-5, Analisis !

a. 81 orang/jam; 0,1459; 0 orang; 2 orang; 0,4 menit; 1,7 menit dan 0,051 b. 81 orang/jam; 0,249; 7 orang; 10 orang; 4 menit; 7,4 menit dan 0,06616 c. 81 orang/jam; 0,1459; 0 orang; 2 orang; 4 menit; 7,4 menit dan 0,051 d. 81 orang/jam; 0,249; 7 orang; 10 orang; 0,4 menit; 1,7 menit dan 0,06616

(18)

Riset Operasional 2

2015

BAB II

PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE

Pengantar: PERT

Masalah penjadwalan, perencanaan, dan pengawasan suatu proyek dari segi waktu biasanya dianalisis dengan salah satu model jaringan yang dinamakan Critical Path

Method (CPM) atau Program Evaluation And Review Tehnique (PERT). CPM

dan PERT pada dasarnya serupa, bedanya CPM adalah teknik deterministic sedangkan

PERT bersifat probabilistik. Pada teknik deterministic, waktu kegiatan diasumsikan diketahui dengan pasti, sehingga merupakan nilai tunggal. Sedangkan pada PERT

waktu kegiatan merupakan variable random yang memiliki distribusi probabilistik.

Salah satu tujuan dari analisis CPM/PERT adalah untuk menentukan waktu terpendek yang diperlukan untuk merampung proyek atau menentukan critical path, yaitu jalur dalam jaringan yang membutuhkan waktu penyelesaian paling lama. Kegiatan-kegiatan yang dilewati critical path dinamakan Kegiatan-kegiatan kritis. Keterlambatan penyelesaian salah satu kegiatan ini akan menyebabkan keterlambatan penyelesaian proyek.

Model Jaringan

Model Jaringan tersusun atas beberapa komponen utama:

• Kegiatan (activity), yaitu bagian dari keseluruhan pekerja yang dilaksanakan. Kegiatan suatu proyek disimbolkan dengan garis. Setiap kegiatan menghubungkan dua peristiwa.

• Peristiwa (event), yaitu permulaan dan akhir suatu kegiatan. Biasanya peristiwa digambarkan dengan suatu lingkaran atau nodes.

• Kegiatan semu (dummy), yaitu kegiatan yang tidak nyata. Suatu dummy activity tidak memakan waktu dan sumber daya, jadi waktu kegiatan dan biaya sama dengan nol.

Distribusi Probabilitas Beta

Seringkali waktu penyelesaian kegiatan tidak diketahui dengan pasti atau merupakan variabel random. Maka diperlukan asumsi tertentu tentang bentuk distribusi waktu penyelesaian kegiatan. Bentuk probabilistic waktu penyelesaian kegiatan tersebut dapat menggunakan distribusi beta.

(19)

Riset Operasional 2

2015

penyelesaian, yaitu:

A. Optimistic time (a), ialah waktu terpendek untuk menyelesaikan

kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih pendek dan waktu ini sangat kecil.

B. Most likely time (m), ialah waktu yang paling mungkin untuk

menyelesaikan kegiatan.

C. Pessimistic time (b), ialah waktu terlama untuk menyelesaikan

kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih panjang dari waktu ini sangat kecil.

PERT mengasumsikan bahwa penyelesaian kegiatan mengikuti distribusi beta, dengan rata- rata (tij) dan varian (vij) seperti berikut:

PERT juga mengasumsikan bahwa waktu kegiatan adalah Independen secara statistik, sehingga rata-rata dan varians waktu-waktu kegiatan itu dapat dijumlahkan untuk menghasilkan rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek. PERT juga mengasumsikan bahwa rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek mengikuti distribusi normal

Penjadwalan Kegiatan

Analisis PERT juga bertujuan menentukan jadwal kegiatan yang dapat menerangkan kapan kegiatan ini dimulai dan berakhir. Penjadwalan itu juga dapat menentukan critical path (sekaligus waktu minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek) dan kegiatan apa saja yang dapat ditunda dan berapa lama.

a

ij

+ 4m

ij

+ b

ij

t

ij

=

6 b

ij

– a

ij

2

v

ij

=

6

(20)

Riset Operasional 2

2015

1. Earliest Time : Waktu minimum yang diperlukan untuk

menyelesaikan proyek

2. Latest Time : Waktu terakhir (paling lama) suatu event dapat

direalisasikan tanpa menunda waktu penyelesaian proyek

3. Slack Kegiatan : Waktu dimana suatu kegiatan dapat ditunda tanpa

mempengaruhi penyelesaian proyek dengan waktu

minimum

Contoh

Soal

Di bawah ini table perkiraan waktu perakitan sebuah sepeda motor: Kegiatan Kegiatan Sebelumnya aij mij bij A - 1 3 5 B - 2 4 6 C B 3 6 9 D A 4 5 6 E C,D 5 7 9 F C,D 6 6 6 G C,D 7 8 9 H E,F,G 8 8 8

Berdasarkan data diatas gambarkan jaringan dari perakitan di atas, distribusi beta, jalur kritis, dan peluang proyek dikerjakan diatas 30 minggu.

Earliest Time (ET

j

) = Maks {ET

j

+ t

ij

}

Latest Time (LT

i

) = Min { LT

j

- t

ij

}

(21)

Riset Operasional 2

2015

Gambar Jaringan Distribusi Beta  Kegiatan A 1 + 4(3) + 5 t12 = = 3 6 v12 = 5 – 1 2 = 4 / 9 6  Kegiatan B 2 + 4(4) + 6 t13 = = 4 6 V13 = 6 – 2 2 = 4 / 9 6  Kegiatan C 3 + 4(6) + 9 t34 = = 6 6 V34 = 9 – 3 2 = 1 6  Kegiatan D 4 + 4(5) + 6 t24 = = 5 6 V24 = 6 – 4 2 = 1 / 9 6  Kegiatan E 5 + 4(7) + 9 t45 = = 7 6 V45 = 9 – 5 2 = 4 / 9 6  Kegiatan F 6 + 4(6) + 6 t46 = = 6 6 V46 = 6 – 6 2 = 0 6  Kegiatan G 7 + 4(8) + 9 t47 = = 8 6 V47 = 9 – 7 2 = 1/ 9 6  Kegiatan H 8 + 4(8) + 8 t78 = = 8 6 V78 = 8 – 8 2 = 0 6

(22)

Riset Operasional 2

2015

Jalur Kritis

Dalam menentukan jalur kritis, kita harus mengetahui terlebih dahulu earliest time (ET) dan latest time (LT) dari masing peristiwa/event atau node yang terjadi. Lalu pilih peristiwa mana yang memiliki nilai ET dan LT yang sama, maka itulah jalur kritisnya.

Berikut adalah langkah-langkah penjelasannya: 1. Node 1 selalu memiliki nilai ET1 = 0 minggu

2. Node 2 berasal dari kegiatan A (t12)

maka nilai ET2 = ET1 + t12

= 0 + 3 = 3 minggu

3. Node 3 berasal dari kegiatan B (t13)

= 0 + 4 = 4 minggu 0 1

N

ET

O

D

E

LT

0 1 3 2 A 0 1 3 2 4 A 0 1 3 2 A B

(23)

Riset Operasional 2

2015

4. Node 4 berasal dari kegiatan D (t24) atau kegiatan C (t34)

= 3 + 5 = 8 minggu Atau nilai ET4 = ET3 + t34

= 4 + 6 = 10 minggu √

Pilih yang jalur kegiatan C (t34) karena memiliki nilai ET yang lebih besar

5. Node 5 berasal dari kegiatan E (t45)

= 10 + 7 = 17 minggu

6. Node 6 berasal dari dummy1 atau kegiatan F (t46)

maka nilai ET6 = ET5 + dummy = 17 + 0 = 17 √

Atau nilai ET6 = ET4 + t46

= 10 + 6 = 16

Maka pilih kegiatan dummy1 karena memiliki nilai ET yang paling besar

0 1 3 2 4 3 A 0 1 3 2 A B 10 4 D C 0 1 3 2 4 3 A 0 1 3 2 A B 10 4 D C 17 5 E

(24)

Riset Operasional 2

2015

7. Begitu seterusnya sampai ET8

8. Selanjutnya tentukan LT. menentukan LT dengan cara mundur dari node yang paling belakang sehingga dimulai dari node 8, maka LT8 = 26 minggu

9. Node 7 penyebab dari kegiatan H Maka nilai LT7 = LT8 – t78 = 26 - 8 = 18 0 1 3 2 4 3 A 0 1 3 2 A B 10 4 D C 17 5 E 0 1 3 2 4 3 A 0 1 3 2 A B 10 4 D C 17 5 E 17 6 18 7 26 8 F G H Dummy1 Dummy2 0 1 3 2 4 3 A 0 1 3 2 A B 10 4 D C 17 5 E 17 6 18 7 26 8 26 F G H Dummy1 Dummy2

(25)

Riset Operasional 2

2015

10.Begitu seterusnya sampai LT1

*dalam menentukan LT, pilih yang memiliki nilai LT paling kecil

11.Lalu pilih jalur kritis yang memiliki nilai ET dan LT yang sama

0 1 3 2 4 3 A 0 1 3 2 A B 10 4 D C 17 5 E 17 6 18 7 18 26 8 26 F G H Dummy 1 Dummy 2 0 1 0 3 2 5 4 3 4 A 0 1 3 2 A B 10 4 10 D C 17 5 18 E 17 6 18 18 7 18 26 8 26 F G H Dummy 1 Dummy 2 0 1 0 3 2 5 4 3 4 A 0 1 3 2 A B 10 4 10 D C 17 5 ₁₈ E 17 6 18 18 7 18 26 8 26 F G H Dummy 1 Dummy 2

(26)

Riset Operasional 2

2015

Jalur kritis pada perakitan sepeda motor adalah 1 – 3 – 4 – 7 – 8 (kegiatan B – C – G –H)

µ = t13 + t34 + t45 + t56 = 4 + 6 + 8 + 8 = 26 minggu σ2 = v13 + v34 + v45 + v56 = 4/9 + 9/9 + 1/9 + 0 = 14/9 minggu Hitung P(tij ≥ 30) P (tij ≥ 30) = P z ≥ 30 - µ √σ2 = P z ≥ 30 - 26 √14/9 = P (z ≥ 3.207) Pembulatan 3.2 = 0,5(*)– 0,4993(**) = 0,0007

(*) 0,5 karena menggunakan table distribusi normal

(**) lihat table distribusi normal (lihat pada kolom 0, baris 3,2)

Note : Jika menggunakan software QSB hasilnya adalah P(tij ≤ 30) maka untuk

(27)

Riset Operasional 2

2015

Penggunaan Software

(28)

Riset Operasional 2

2015

 Enter 2 kali kemudian pilih (7) Project Sceduling-PERTH

(29)

Riset Operasional 2

2015

 Kemudian isikan nama serta jumlah kegiatannya

(30)

Riset Operasional 2

2015

 Kemudian enter 1 kali dan spasi 2 kali, lalu pilih Solve Problem

(31)

(32)

Riset Operasional 2

2015

(33)

Riset Operasional 2

2015

Soal Praktikum

NOMOR 1

KEGIATAN

SEBELUMNYA aij Mij bij tij vij A - 16 17 18 B - 7 7 7 C - 8 11 14 D A 19 21 23 E B,C 22 23 24 F D 10 10 10 G E 6 9 12 H F,G 16 18 20

Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan H, jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 69 minggu

a. t78 = 18 V12 = , 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H), 0,0013 b. t78 = 17 V12 = , 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H), 0,0013 1 4 2 3 7 6 5 A17 B7 C11 Dummy 1 D21 F10 E23 8 G9 H18 1 4 2 3 7 6 5 A17 B7 C11 Dummy 1 D21 F10 E23 8 G9 H18

(34)

Riset Operasional 2

2015

c.

t78 = 18 V12 = , 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H),

0,0045

d. t78 = 17 V12 = , 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H),

0,0012

NOMOR 2 KEGIATAN KEGIATAN

SEBELUMNYA

aij Mij bij tij vij

A - 14 17 20 B A 8 8 8 C A 9 10 11 D A 21 23 25 E B 7 10 13 F C,D 9 9 9 G E,F 18 19 20 H E,F 7 9 11 I G,H 10 13 16

Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan G, jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 85 minggu

1 4 2 3 7 6 5 A17 B7 C11 Dummy 1 D21 F10 E23 8 G9 H18 1 4 2 3 7 6 5 A17 B7 C11 Dummy 1 D21 F10 E23 8 G9 H18

(35)

Riset Operasional 2

2015

a.

t78 = 19 V12 = , -2-5-6-7-8-9 ( kegiatan A-D-F-G-DUMMY 2-I ), 0,0062

b.

c.

d.

1 2 4 3 7 6 5 A17 B8 C10 Dummy 1 D23 F9 E10 8 G19 H9 Dummy 2 9 I13 1 2 4 3 7 6 5 A17 B8 C10 Dummy 1 D23 F9 E10 8 G19 H9 Dummy 2 9 I13 1 2 4 3 9 8 5 A17 B8 C10 Dummy 1 D23 F9 E10 7 G19 H9 Dummy 2 9 I13 1 2 4 5 8 7 3 A17 B8 C10 Dummy 1 D23 F9 E10 6 G19 H9 Dummy 2 9 I13

(36)

Riset Operasional 2

2015

NOMOR 3

Kegiatan Kegiatan Sebelumnya aij bij tij Mij Vij

A - 3 7 5 B - 12 14 13 C - 18 24 20 D A 10 16 13 E B,C 10 10 10 F D,E 14 18 16 G D,E 19 23 21 H F,G 26 30 28 I H 6 8 7

Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan I, jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 88 minggu

a. m89 = 7 V89 = , 1-4-5-7-8-9 ( kegiatan C-E-G-H-I),

0,0898

b. m89 = 7 V89 = , 1-4-5-7-8-9 ( kegiatan C-E-G-H-I),

0,0899

1 4 2 3 7 6 5 A5 B1 3 C20 Dummy 1 D13 F16 E10 8 G21 H28 Dummy 2 9 I7 1 2 4 3 6 7 5 A5 B1 3 C20 Dummy 1 D13 F16 E10 8 G21 H28 Dummy 2 9 I7

(37)

Riset Operasional 2

2015

c. m89 = 7 V89 = , 1-4-5-7-8-9 ( kegiatan C-E-G-H-I),

0,0808

d. m89 = 7 V89 = , 1-4-5-7-8-9 ( kegiatan A-D-G-H-I),

0,0808

NOMOR 4 Kegiatan Kegiatan sebelumnya

Aij mij bij tij Vij

A - 11 14 17 B - 6 8 10 C - 17 18 19 D A,B 10 13 16 E D 7 9 11 F C 16 17 18 G E,F 7 7 7 H G 8 11 14 I G 19 21 23 J H,I 22 23 24

Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan D, jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 90 minggu

1 4 2 3 7 6 5 A5 B1 3 C20 Dummy 1 D13 F16 E10 8 G21 H28 Dummy 2 9 I7 1 2 4 3 6 7 5 A5 B1 3 C20 Dummy 1 D13 F16 E10 8 G21 H28 Dummy 2 9 I7

(38)

Riset Operasional 2

2015

a.

t35 = 16 V35 = 1, -2-3-5-6-7-9-10 ( kegiatan A-DUMMY 1-D-E-G-I-J), 0,04689

b.

c.

d.

1 4 2 3 5 6 7 A14 B8 C18 Dummy 1 D13 F17 E9 8 G7 H11 Dummy 2 9 I21 10 J23 1 4 2 3 5 6 7 A14 B8 C18 Dummy 2 D13 F17 E9 8 G7 H11 Dummy 1 9 I21 10 J23 1 4 2 3 5 6 7 A14 B8 C18 Dummy 2 D13 F20 E9 8 G7 H11 Dummy 1 9 I21 10 J23 1 4 2 3 5 6 7 A14 B8 C18 Dummy 1 D13 F17 E9 8 G7 H11 Dummy 2 9 I21 10 J23

(39)

Riset Operasional 2

2015

NOMOR 5 Kegiatan Kegiatan sebelumnya aij mij bij tij vij A - 12 13 14 B - 22 25 28 C A,B 6 8 10 D C 15 17 19 E C 3 4 5 F E 8 11 14 G A,B 18 21 24 H F 2 2 2 I G 9 10 11 J D,H 21 22 23 K I,J 4 7 10

Dari data diatas tentukanlah gambar jaringan, distribusi beta untuk kegiatan H , jalur kritis, probabilitas proyek dikerjakan 83 minggu

a.

t78 = 2 V78 = 0, 1-2-5-7-8 ( kegiatan A-D-F-H) dan 1-2-4-6-7-8-9-10 ( kegiatan

B-C-E-F-H-J-K), 0,0107dan 0,0179

b.

B-C-E-F-H-J-K), 0,0107dan 0,0179 Dummy 1 1 4 2 3 6 7 5 A13 B2 5 C8 D17 F11 E4 8 G21 H2 9 1 0 J2 2 K7 I10 Dummy 1 1 6 2 3 7 8 5 A13 B2 5 C8 D17 F11 E4 4 G21 H2 9 1 0 J2 2 K7 I10

(40)

Riset Operasional 2

2015

c.

B-C-E-F-H-J-K), 0,0107dan 0,0179

d.

B-C-E-F-H-J-K), 0,0157dan 0,0189 Dummy 1 1 6 2 3 7 8 5 A13 B2 5 C8 D17 F11 E4 4 G21 H2 9 1 0 J2 2 K7 I10 Dummy 1 1 6 2 3 7 8 5 A13 B2 5 G8 I17 F11 E4 4 C21 H2 9 1 0 J2 2 K7 D10

(41)

Riset Operasional 2

2015

BAB III

ANALISIS MARKOV

Pengantar: Analisis Markov

Model Rantai Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia A.A. Markov pada tahun 1996. Pada umumnya Riset Operasional bertujuan untuk mengambil keputusan yang optimal atas suatu permasalahan. Namun Analisis markov digunakan untuk menghasilkan suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pengambilan keputusan. Dengan kata lain teknik-teknik yang lain dalam Riset Operasional pada umumnya merupakan teknik optimisasi sedangkan pada Analisis Markov merupakan teknik deskriptif.

Rantai Markov adalah suatu teknik matematik yang biasa digunakan untuk melakukan pembuatan model bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-perubahan yang akan terjadi di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar perubahan-perubahan variabel tersebut di waktu lampau.

Ciri-ciri Proses Markov

Probabilitas Transisi adalah perubahan dari satu status ke status yang lain pada periode (waktu) berikutnya dan merupakan suatu proses random yang dinyatakan dalam probabilitas.

Untuk lebih jelasnya akan digunakan sebuah contoh kasus pada kendaraan umum. Dalam kasus ini terdapat dua buah state (kondisi / status) yaitu narik dan mogok. Jadi kendaraan umum tersebut akan selalu berada pada salah satu dari dua state tersebut, narik atau mogok.

Agar dapat digunakan dalam proses Markov dibutuhkan beberapa asumsi seperti berikut :

a. Jika state kendaraan saat ini adalah narik maka hanya ada dua kemungkinan untuk kondisi waktu (hari) berikutnya yaitu narik kembali atau mogok. Sehingga jumlah probabilitas transisi pada setiap baris adalah satu.

b. Probabilitas transisi itu tidak akan berubah untuk selamanya.

c. Probabilitas transisi hanya tergantung pada status sekarang bukan status periode sebelumnya.

(42)

Riset Operasional 2

2015

Menyusun Probabilitas Transisi

Untuk menunjukkan cara penyusunan probabilitas transisi, akan digunakan contoh kasus diatas dengan probabilitas-probabilitas sebagai berikut:

Contoh Soal

Status (saat ini) Banyaknya Mobil

Hari l Hari II

Narik 120 144

Mogok 100 76

Jumlah 220 220

Table 3.1

Hari l Hari II Jumlah

Narik Mogok

Narik 70 50 120

Mogok 74 26 100

Jumlah 144 76 220

Tabel 3.2

Dari tabel di atas dapat diperoleh Probabilitas Transisi sebagai berikut:

Hari l Hari II Narik Mogok Narik 70/120= 0,5833 50/120 = 0,4167 Mogok 74/100 = 0,74 26/100 = 0,26 Tabel 3.3

Probabilitas

Tree

Probabilitas Tree merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan sejumlah terbatas transisi dari suatu proses Markov. Agar lebih jelas kita masih akan mengambil contoh kasus di atas.

Semisal ingin diketahui :

a. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 narik b. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik

(43)

Riset Operasional 2

2015

c. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 mogok

d. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok

Maka kita akan buat Probabilitas Tree dari kasus di atas sebagai berikut:

Hari ke-1 Hari ke-2 Hari ke-3

Probabilitas Tree hari ke-1 narik

Hari ke-1 Hari ke-2 Hari ke-3

Probabilitas Tree hari ke-1 mogok Narik Mogok Narik Narik Narik Mogok Mogok 0,5833 0,5833 0,4167 0,4167 0,4167 0,5833 0,26 0,74 0,3402 0,2431 0,3084 0,1083 Mogok Mogok Narik Narik Narik Mogok Mogok 0,74 0,74 0,26 0,26 0,4167 0,5833 0,26 0,74 0,4316 0,3084 0,192 4 0,0676

(44)

Riset Operasional 2

2015

Dari gambar 3.1 dan Gambar 3.2 dapat kita jawab soal di atas, sehingga :

a. Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 narik = 0,3402 + 0,3084 = 0,6486 b. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik = 0,2431 + 0,1083 = 0,3514 c. Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 mogok = 0,4316 + 0,1924 = 0,642 d. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok = 0,3084 + 0,0676 = 0,376

Pendekatan Matriks

Ada kalanya kita harus mencari probabilitas pada periode yang sangat besar, misalkan periode hari ke-9, ke-10 dan seterusnya, akan sangat menyulitkan dan membutuhkan media penyajian yang khusus jika kita menggunakan Probabilitas Tree. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Pendekatan Matriks Probabilitas

Adapun Matriks Probabilitas dari contoh kasus di atas adalah sebagai berikut: 0,5833 0,4167

0,74 0,26

Probabilitas kendaraan narik pada periode ke-i jika pada periode ke-1 narik, dilambangkan dengan:

Probabilitas Narik Nn (i) Periode ke-i

Status Awal Narik

Probabilitas kendaraan mogok pada periode ke-3 jika pada periode ke-1 mogok, dilambangkan dengan:

Probabilitas Mogok Mm (3) Periode ke-3

Status Awal Mogok

Jika kendaraan pada hari ke-1 narik maka berlaku probabilitas sebagai berikut: Nn(l) = 1 sedangkan Mm(l) = 0

Jika probabilitas di atas disusun ke dalam vektor baris, maka kita dapatkan: (Nn(l) Mm(l)) = (l 0)

(45)

Riset Operasional 2

2015

(Nn(i+1) Mn(i+1)) = (Nn(i) Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi

Bila rumus di atas kita gunakan untuk mencari probabilitas hari ke-2, maka: (Nn(2) Mn(2)) = (Nn(1) Mn(1)) ×

= (1 0) ×

= (0,5833 0,4167)

Terlihat bahwa hasilnya sama dengan yang diperoleh dengan menggunakan metode Probabilities Tree. Dengan menggunakan cara yang sama kita akan dapatkan status untuk periode-periode berikutnya sebagai berikut:

(Nn(3) Mn(3)) = (0,6486 0,3514) (Nn(4) Mn(4)) = (0,6384 0,3616) (Nn(5) Mn(5)) = (0,6400 0,3400) (Nn(6) Mn(6)) = (0,6397 0,3603) (Nn(7) Mn(7)) = (0,6398 0,3602) (Nn(8) Mn(8)) = (0,6398 0,3602)

Terlihat bahwa perubahan probabilitas semakin lama semakin mengecil sampai akhirnya tidak tampak adanya perubahan. Probabilitas tersebut tercapai mulai dari periode ke-7, dengan probabilitas status:

(Nn(7) Mn(7)) = (0,6398 0,3602)

Ini berarti pemilik kendaraan dapat menarik kesimpulan bahwa jika awalnya kendaraan berstatus narik, setelah beberapa periode di masa depan probabilitasnya narik adalah sebesar 0,6398 dan probabilitasnya mogok adalah sebesar 0,3602.

Untuk perhitungan probabilitas status hari pertama mogok dapat kita cari dengan metode yang sama dan akan kita dapatkan probabilitas yang akan sama untuk periode selanjutnya, mulai dari periode ke-8. Adapun probabilitas pada periode ke-8 adalah:

(Nm(8) Mm(8)) = (0,6398 0,3602)

0,5833 0,4167 0,74 0,26 0,5833 0,4167 0,74 0,26

(46)

Riset Operasional 2

2015

Probabilitas Steady State

Dalam banyak kasus, proses markov akan menuju pada Steady State (keseimbangan) artinya setelah proses berjalan selama beberapa periode, probabilitas yang dihasilkan akan bernilai tetap, dan probabilitas ini dinamakan Probabilitas Steady State. Dari contoh di atas Probabilitas Steady Statenya adalah probabilitas narik sebesar 0,6398 dan probabilitas mogok sebesar 0,3602.

Untuk mencari Probabilitas Steady State dari suatu Matriks Transisi, maka kita dapat menggunakan rumus:

(Nn(i+1) Mn(i+1)) = (Nn(i) Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi

Karena Steady State akan menghasilkan probabilitas yang sama pada periode ke depan maka rumus tersebut akan berubah menjadi:

(Nn(i) Mn(i)) = (Nn(i) Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi Dari contoh kasus di atas dengan status hari ke-1 narik, maka kita dapatkan:

0,5833 0,4167 0,74 0,26

Untuk mengurangi keruwetan, periode (i) dapat kita hilangkan, karena pada saat Steady State tercapai periode tidak akan mempengaruhi perhitungan. Sehingga perhitungan di atas akan menjadi:

0,5833 0,4167 0,74 0,26

Dari perhitungan di atas akan menghasilkan persamaan berikut: Nn = 0,5833Nn + 0,74Mn ... (1) Mn = 0,4167Nn + 0,26Mn ... (2) Karena salah satu ciri proses markov adalah:

Nn(i) + Mn(i) = 1, maka: Nn + Mn = 1 Mn = 1 - Nn

Dengan menstubstitusikan Mn = 1 -Nn ke persamaan (1) didapatkan: Nn = 0,5833Nn + 0,74(l -Nn)

Nn = 0,5833Nn + 0,74 - 0,74Nn l,1567Nn = 0,74

(47)

Riset Operasional 2

2015

Nn = 0,6398

Lalu kita masukkan nilai Nn = 0,6398 ke dalam persamaan (2) didapatkan: Mn = 0,3602

Penggunaan Probabilitas Steady State

Dari contoh kasus kita ketahui bahwa Pemilik Kendaraan memiliki 220 kendaraan. Dengan menggunakan Probabilitas Steady State yang sudah kita dapatkan, Pemilik dapat mengharapkan jumlah kendaraan setiap harinya narik atau mogok sebanyak:

Narik : Nn x 220 = 0,6398 x 220= 140,756 atau sebanyak 141 kendaraan Mogok : Mn x 220 = 0,3602 x 220= 79,244 atau sebanyak 79 kendaraan

Misalkan Pemilik kurang puas dengan tingkat operasi yang ada dan ingin meningkatkannya, sehingga Pemilik mengambil kebijakan untuk menggunakan suku cadang asli dalam setiap perawatan armada. Kebijakan ini membuat Matriks Probabilitas Transisi berubah menjadi:

0,7 0,3 0,74 0,26

Artinya kebijakan ini membuat Probabilitas saat ini narik, lalu hari berikutnya mogok menurun dari 0,4 menjadi 0,3. Probabilitas Steady State yang baru adalah: (Nn Mn) = (Nn Mn) x

Sehingga kita adpatkan persamaan berikut: Nn = 0,7Nn + 0,74Mn………(1) Mn = 0,3Nn + 0,26Mn………(2)

Substitusikan Nn = 1 - Mn ke persamaan (2), sehingga kita dapatkan: Mn = 0,2885 dan Nn = 0,7116

Artinya setiap harinya Pemilik dapat mengharapkan kendaraan yang narik atau mogok sebanyak:

Narik : Nn x 220 = 0,7116 x 220 = 156,55 atau sebanyak 157 kendaraan 0,7 0,3

(48)

Riset Operasional 2

2015

Mogok : Mn x 220 = 0,2885 x 220 = 63,47 atau sebanyak 63 kendaraan

Kebijakan tersebut menghasilkan kenaikan operasional dari 141 kendaraan perhari menjadi 157 kendaraan perhari. Dalam hal ini Pemilik harus mengevaluasi kebijakan ini, apakah kenaikan pendapatan operasional dapat menutupi kenaikan biaya operasional karena kebijakan ini. Misalkan karena kebijakan ini terjadi kenaikan biaya perawatan kendaraan sebesar Rp. 1.000.000,- setiap harinya. Jadi bila kenaikan pendapatan operasional lebih besar dari Rp. 1.000.000,- maka kebijakan tersebut layak untuk dijalankan.

Dari contoh ini menunjukkan bahwa Analisis Markov tidak memberikan solusi atau keputusan, namun analisis tersebut memberikan informasi yang dapat membantu pembuatan keputusan.

(49)

Riset Operasional 2

2015

Penggunaan Software

1. Buka software QSB

(50)

Riset Operasional 2

2015

3. Enter new problem

(51)

Riset Operasional 2

2015

5. How many states are there in your problem ? isi 2 (Karena narik dan mogok)

6. Do you know initial state probability? N

7. Do you want to use teh default names of states ? N

(52)

Riset Operasional 2

2015

9. Isi enter the transition probability ( isi datanya setelah data tersebut telah menjadi satuan decimal) misal : narik : 70/120 = 0.5833, isi di softwarenya 0.5833

(53)

Riset Operasional 2

2015

11. lalu pilih (2)- solve and display the final iteration

(54)

Riset Operasional 2

2015

Soal Praktikum

1. Sebuah kursus memasak yang telah berdiri beberapa tahun lalu ingin mengetahui perkembangan siswanya dalam membuat kue. Selama bergabung dalam 2 bulan terakhir, sering kali siswa-siswanya berhasil ataupun gagal dalam membuat kue. Pengajar ingin mengertahui kemungkinan keberhasilan ataupun kegagalan pada bulan ke-3 dengan melihat data dua bulan sebelumnya. Berikut adalah datanya:

Dalam waktu 2 bulan terakhir, terjadi perubahan jumlah siswa yang berhasil atau gagal dalam membuat kue. Untuk data lebih jelasnya, lihat tabel dibawah ini :

Bulan 1 Bulan 2 Jumlah Berhasil Gagal Berhasil 10 8 18 Gagal 5 12 17 Jumlah 15 20 35

Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah probabilitas bulan ke-3 mengalami gagal apabila pada bulan ke-1 berhasil; probabilitas bulan ke-3 mengalami berhasil apabila pada bulan ke-1 gagal; probabilitas bulan ke-3 mengalami berhasil apabila pada bulan ke-1 berhasil; probabilitas bulan ke-3 mengalami gagal apabila pada bulan ke-1 berhasil; dan terakhir tentukan pula probabilitas pada kondisi Steady State !

a.0,629; 0,371; 0,4394; 0,5606; X1 = 0,3982 dan X2 = 0,6018

b.0,726; 0,371; 0,4394; 0,4412; X1 = 0,1092 dan X2 = 0,6018

c.0,629; 0,371; 0,556; 0,4412; X1 = 0,3982 dan X2 = 0,2104

d.0,112; 0,371; 0,4394; 0,5606; X1 = 0,10922 dan X2 = 0,6018

Keterangan Bulan 1 Bulan 2

Berhasil 18 15

Gagal 17 20

(55)

Riset Operasional 2

2015

2. Seorang mahasiwa sedang melakukan penelitian di subuah panti jompo. Ia ingin

mengetahui tingkat daya ingat para lansia disana akan dirinya selama 3 hari. Berikut adalah data daya ingat para lansia selama 2 hari pertama.

Keterangan Hari 1 Hari 2

Ingat 365 350

Lupa 425 440

Jumlah 790 790

Adapun lebih lanjut perubahan daya ingat para lansia sebagai berikut:

Hari 1 Hari 2

Ingat lupa Jumlah

Ingat 300 65 365

Lupa 50 375 425

Jumlah 350 440 790

Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah Probabilitas pada hari ketiga lupa apabila pada hari pertama ingat ; Probabilitas pada hari ketiga lupa apabila pada hari pertama lupa ; Probabilitas pada hari ketiga ingat, jika pada hari pertama membeli ingat ; Probabilitas pada hari ketiga membeli ingat, jika pada hari pertama lupa dan terakhir tentukanlah Probabilitas pada kondisi steady state.

a. 0,3036; 0,7995; 0,6617; 0,2005; X1 = 0,2656 dan X2 = 0,6984

b. 0,3036; 0,7995; 0,6964; 0,2005; X1 = 0,3977 dan X2 = 0,6023

c. 0,1865; 0,7995; 0,6617; 0,2005; X1 = 0, 2656 dan X2 = 0,6984

(56)

Riset Operasional 2

2015

3. Rumah karantina model berisi 475 wanita yang dididik untuk menjadi model

professional. Untuk mendapatkan tubuh yang bagus, tidak sedikit dari mereka melakukan diet ketat. Berikut adalah data jumlah model yang diet dan yang tidak selama 2 bulan terakhir.

Adapun perubahan model yang melakukan diet atau tetap makan secara lebih jelas terlihat pada table berikut:

Bulan 1 Bulan 2

Diet Makan Jumlah

Diet 200 125 325

Makan 35 115 150

Jumlah 235 240 475

Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah probabilitas model pada bulan ketiga makan apabila pada bulan pertama diet ; probabilitas model pada bulan ketiga diet apabila pada bulan pertama memilih diet ; probabilitas model pada bulan ketiga diet apabila pada bulan pertama memilih makan ; probabilitas model pada bulan ketiga makan, jika pada bulan pertama makan dan terakhir tentukanlah pada kondisi

steady state

a. 0,5316; 0,5316; 0,2333; 0,6775; X1 = 0,2247 dan X2 = 0,7753

b. 0,5316; 0,4684; 0,3225; 0,6775; X1 = 0,2247 dan X2 = 0,7753

c. 0,5316; 0,5316; 0,2333; 0,6775; X1 = 0,3776 dan X2 = 0,6224

d. 0,5316; 0,4684; 0,3225; 0,6775; X1 = 0,3776 dan X2 = 0,6224

Diet 325 235

Makan 150 240

(57)

Riset Operasional 2

2015

4. Seorang manager dari klinik JENG SUEK, ingin mengetahui perkembangan

Kepuasan pelanggannya yang berjumlah 5250 pelanggan. Manager tersebut melakukan pendataan terhadap pelanggannya. Berikut ini data-data tersebut :

Selama 2 minggu terdapat perubahan terhadap kepuasan pelanggan di klinik tersebut. Di bawah ini data perubahan lebih jelasnya :

Minggu 1 Minggu 2 Jumlah

Puas Tidak Puas

Puas 1000 550 1550

Tidak Puas 1750 1950 3700

Jumlah 2750 2500 5250

Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah probabilitas pelanggan pada minggu ketiga Puas apabila pada minggu pertama dia Tidak Puas ; Tentukanlah probabilitas pelanggan pada minggu ketiga Puas, bila pada minggu pertama dia Puas ; Tentukanlah probabilitas pelanggan pada minggu ketiga Tidak Puas apabila pada minggu pertama dia Tidak Puas ; Tentukanlah probabilitas pelanggan pada minggu ketiga Tidak Puas, bila pada minggu pertama dia Puas dan terakhir Tentukanlah probabilitas pada kondisi steady state ?

a. 0,5545; 0,5841; 0,4455; 0,4159; X1 = 0,5714 dan X2 = 0,4286

b. 0,5545; 0,5841; 0,4455; 0,4159; X1 = 0,6978 dan X2 = 0,3022

c. 0,5545; 0,5841; 0,4455; 0,4159; X1 = 0,4286 dan X2 = 0,5714

d. 0,5545; 0,5841; 0,4455; 0,4159; X1 = 0,3022 dan X2 = 0,6978

Keterangan Minggu 1 Minggu 2

Puas 1550 2750

Tidak Puas 3700 2500

(58)

Riset Operasional 2

2015

5. Ikatan istri tentara ingin mengetahui kemungkinan para suami pulang pada bulan

Maret (bulan ke-3) ini dengan melihat data kepulangan jumlah suami pada dua bulan terakhir. Berikut adalah datanya

Pulang 3400 4350

Tidak Pulang 5350 4400

Jumlah 8750 8750

Adapun perubahan terhadap kepulangan para suami selama 2 bulan terakhir berikut lebih jelasnya :

Bulan 1 Bulan 2

Pulang Tidak Pulang Jumlah

Pulang 2250 1150 3400

Tidak Pulang 2100 3250 5350

Jumlah 4350 4400 8750

Dengan menggunakan probabilitas tree, tentukanlah Probabilitas bulan ke-3 tidak pulang apabila bulan ke-1 pulang ; Probabilitas bulan ke-3 pulang apabila bulan ke-1 tidak pulang ; Probabilitas bulan ke-3 pulang, jika bulan ke-1 pulang ; Probabilitas bulan ke-3 tidak pulang apabila bulan ke-1 tidak pulang !

a. 0,4293; 0,4982; 0,5707; 0,5017; X1 = 0,5371 dan X2 = 0,4629

b. 0,4293; 0,4982; 0,5707; 0,5017; X1 = 0,1128 dan X2 = 0,8872

c. 0,4293; 0,4982; 0,5707; 0,5017; X1 = 0,5371 dan X2 = 0,4629

(59)

Riset Operasional 2

2015

BAB IV

TEORI PENGAMBILAN KEPUTUSAN

Pengantar: Teori Pengambilan Keputusan

Keputusan merupakan hasil proses pemikiran yang berupa pemilihan satu diantara beberapa alternative yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah yang dihadapinya, selain itu juga harus didasari atas logika dan pertimbangan, penetapan alternatif terbaik, serta harus mendekati tujuan yang telah ditetapkan.

Pengambilan keputusan (decision making) adalah melakukan penilaian dan menjatuhkan pilihan. Pembuatan keputusan ini bertujuan mengatasi atau memecahkan masalah yang bersangkutan sehingga usaha pencapaian tujuan yang dimaksud dapat dilaksanakan secara baik dan efektif.

Jadi teori pengambilan keputusan adalah ilmu yang mempelajari tentang cara memilih alternatif yang tepat yang akan dijadikan sebuah keputusan.Analisis ini berguna untuk menghasilkan keputusan yang baik dalam penyelesaian suatu masalah. Berikut adalah proses pengambilan keputusan dalam suatu penyelesaian masalah:

Fungsi teori pengambilan keputusan

Pengambilan keputusan sebagai suatu kelanjutan dari cara pemecahan masalah mempunyai fungsi antara lain:

1. Pangkal permulaan dari semua aktivitas manusia yang sadar dan terarah baik secara individual maupun secara kelompok, baik secara lnstitusional maupun secara organisasional.

2. Sesuatu yang bersifat futuristic, artinya menyangkut dengan hari depan/masa yang akan dating, dimana efeknya atau pengaruhnya berlangsung cukup lama. Identifikasi Masalah Memilih Alternatif yang akan dipakai Melakukan Analisa dari berbagai alternatif tersebut Keputusan

(60)

Riset Operasional 2

2015

Tujuan teori pengambilan keputusan

Tujuan pengambilan keputusan dapat dibedakan menjadi dua yaitu : 1. Tujuan yang bersifat tunggal.

Tujuan pengambilan keputusan yang bersifat tunggal terjadi apabila keputusan yang dihasilkan hanya menyangkut satu masalah, artinya bahwa sekali diputuskan, tidak ada kaitannya dengan masalah lain.

2. Tujuan yang bersifat ganda.

Tujuan pengambilan keputusan yang bersifat ganda terjadi apabila keputusan yang dihasilkan menyangkut lebih dari satu masalah, artinya keputusan yang diambil itu sekaligus memecahkan dua (atau lebih) masalah yang bersifat kontradiktif atau yang bersifat tidak kontradiktif.

Klasifikasi informasi yang diterima oleh manager

Dalam Dunia bisnis para manager sering dipaksa untuk mengambil berbagai keputusan tanpa tersedianya informasi yang sempurna, keakurasian dan varibilitas informasi yang diterima oleh para manager pada hakikatnya di klasifikasikan menjadi tiga, yaitu : Kepastian, Resiko, dan Ketidakpastian.

Model keputusan dalam kepastian (certainty) menggambarkan informasi yang menunjukkan bahwa setiap rangkaian (kegiatan) mempunyai suatu hasil (pay off) tertentu tunggal. Dalam hal ini tidak ada keacakan pada hasil keputusan-keputusan dengan kondisi kepastian atau dengan kata lain semua informasi dianggap pasti. Misalnya kita akan menyelesaikan masalah kombinasi dengan linear programming, maka besarnya kontribusi marginal tiap produk serta tersedianya sumber daya yang dibutuhkan untuk memproduksi produk tersebut dapat diketahui dengan pasti. Model seperti ini disebut model deterministik.

Model keputusan dengan resiko menggambarkan informasi yang mengidentifikasi bahwa setiap rangkaian keputusan mempunyai sejumlah kemungkinan hasil dan probabilitas terjadinya. Model resiko seperti ini disebut model stokastik.

Model keputusan ketidakpastian menggambarkan informasi yang menunjukkan, semua atau beberapa hasil dari berbagai keputusan yang berbeda, tetapi probabilitas terjadinya tersebut tidak dapat ditentukan.

(61)

Riset Operasional 2

2015

Konsep – konsep dasar TPK

1. Keadaan dasar, sekumpulan peristiwa atau kejadian acak yang mungkin mempengaruhi hasil keputusan.

2. Probabilitas, suatu probabilitas yang berkaitan dengan keadaan dasar.

3. Keputusan, sekumpulan kegiatan yang mungkin diambil oleh pengambil keputusan.

4. Payoff, sekumpulan laba atau biaya yang mungkin dihasilkan akibat dari kombinasi keputusan dan keadaan pasar yang acak.

Contoh soal

Mc. Donald ingin membuka cabang baru yang berpusat didaerah Margonda, Kelapa Dua, dan Mekar Sari. Komponen-komponen situasi itu disajikan pada tabel berikut.

Tabel Matriks pay off Alternative

investasi

Prospek Ekonomi

High Middle Low

Margonda 1243 1457 1788

Kelapa Dua 1343 1413 1614

Mekar Sari 3500 4444 5000

 Dari table Pay off diatas tentukan Maximin, Maximax, Minimax regret, Laplace investasi.

 Apabila probabilitas keuntungan yang diperoleh dari ketiga jenis investasi tersebut tergantung dari situasi pasar yaitu high, middle dan low yang masing-masing bernilai 15%, 30% dan 55%. Investasi manakah yang sebaiknya dipilih berdasarkan konsep expected value dan expected regret.

(62)

Riset Operasional 2

2015

JAWAB Langkah 1: Kriteria Maximin

Kita buat matrik payoff minimum terlebih dahulu

Matriks payoff minimum Alternative Investasi Payoff terkecil (minimum) Margonda 1243 Kelapa Dua 1343 Mekar Sari

Kriteria maximin adalah memilih keuntungan maksimal dari keuntungan yang minimal,

maka dari keuntungan di atas kita memilih Mekar Sari karena memiliki keuntungan yang paling besar yaitu sebesar 3500 juta.

Langkah 2: Kriteria Maximax

Kita buat matriks payoff maksimum terlebih dahulu. Matriks payoff maksimum Alternative Investasi Payoff terbesar (maksimum) Margonda 1788 Kelapa Dua 1614 Mekar Sari

Kriteria maximax adalah memilih keuntungan maksimal dari keuntungan yang maksimal,

maka dari keuntungan di atas kita memilih Mekar Sari, karena memiliki keuntungan yang paling maksimal yaitu sebesar 5000 juta.

3500

(63)

Riset Operasional 2

2015

Langkah 3:

Kriteria Minimax (regret):

Kita buat matrix regretnya terlebih dahulu.

Matriks Regret Alternatif

Investasi

Prospek Ekonomi

High Middle Low

Margonda 2257 2987 3212

Kelapa Dua 2157 3031 3386

Mekar Sari 0 0 0

Matriks regret tersebut diperoleh dari mengurangkan antara keuntungan yang paling maksimum yang terdapat di dalam kolom matriks payoff dengan keuntungan yang

lain, misalnya pada kolom High 3500 - 1243 maka akan menghasilkan 2257 ; 3500 -

1343 maka akan menghasilkan 2157 dan 3500 - 3500 akan menghasilkan 0. Langkah selanjutnya sama seperti pada kolom Naik. Pada kolom Middle dan Low pilih keuntungan yang paling maksimum dan kurangkan dengan keuntungan yang lain yang terdapat pada kolom tersebut.

Matriks regret maksimum Alternative Investasi Regret Maksimum Margonda ₃₂₁₂ Kelapa Dua ₃₃₈₆ Mekar Sari

Kriteria minimax atau regret adalah memilih kerugian atau tingkat penyesalan yang

minimum dari kerugian atau penyesalan yang maksimum, maka dari hasil regret

maksimum diatas kita memilih Mekar Sari yaitu sebesar 0 karena memiliki kerugian yang paling minimum.

Langkah 4: Kriteria Laplace

Pada kriteria ini diasumsikan bahwa probabilitas tidak diketahui oleh karena itu probabilitas untuk setiap keuntungan dalam kondisi perekonomian dianggap sama.

Margonda : 1/3 (1243) + 1/3 (1457) + 1/3 (1788 ) = 1496 0

(64)

Riset Operasional 2

2015

Kelapa Dua : 1/3 (1343) + 1/3 (1413) + 1/3 (1614) = 1456,67

Mekar Sari : 1/3 (3500) + 1/3 (4444) + 1/3 (5000) = 4314,67

Dari kriteria laplace ini dipilih keuntungan yang paling besar yaitu Mekar Sari sebesar 4314,67.

Langkah 5:

Konsep keputusan nilai yang diharapkan (Expected Value)

Pada konsep ini nilai yang diharapkan diperoleh dari penjumlahan dari keuntungan yang sebelumnya dikalikan terlebih dahulu dengan probabilitas dari setiap kondisi.

Rumusnya adalah :

Persamaan matematisnya adalah : Jawab:

High 0,15 ; Middle 0,30 ; Low 0,55

E (Margonda) = 1243 (0,15) + 1457 (0,30) + 1788 (0,55) = 1606,95 E (Kelapa Dua) = 1343 (0,15) + 1413 (0,30) + 1614 (0,55) = 1513,05 E (Mekar Sari) = 3500 (0,15) + 4444 (0,30) + 5000 (0,55) = 4608,2

Dari hasil diatas maka pengambil keputusan sebaiknya memilih investasi pada Mekar Sari karena memiliki expected value yang paling besar yaitu sebesar 4608,2

Langkah 6:

Konsep expected regret

Pada konsep ini diperoleh hasil dengan menjumlahkan hasil perkalian antara matriks

regret dengan probabilitas yang ada pada kondisi suatu masalah.

E regret Margonda = 2257 (0,15) + 2987 (0,30) + 3212 (0,55) = 3001,25 E regret Kelapa Dua = 2157 (0,15) + 3031 (0,30) + 3386 (0,55) =3095,15 E regret Mekar Sari = 0 (0,15) + 0 (0,30) + 0 (0,55) = 0

Dari hasil diatas maka pengambilan keputusan sebaiknya memilih investasi pada Mekar Sari karena memiliki expected regret yang paling kecil yaitu 0.

*Catatan yang perlu diingat bahwa expected value dan expected regret menghasilkan kesimpulan atau keputusan yang sama.

(65)

Riset Operasional 2

2015

Penggunaan Software

1. Buka software QSB

(66)

Riset Operasional 2

2015

3. Pilih 2- Enter New Problem

(67)

Riset Operasional 2

2015

5. Setelah masukkan nama kemudian Enter. Pada tulisan Please enter the option

number? 3

6. How many state of nature (0 to return) berdasarkan prospek ekonomi yang ada ? 3 7. How many alternative (0 to return) berdasarkan alternative investasi? 3

8. Payoff represents :1—profit, 2—cost? 1

Maka akan muncul tampilan sebagai berikut (No. 6 - 8)

9. Enter data for payoff table analysis—probabilitas for state of nature Isi S1 : 0.15 S2 : 0.3 0 S3 : 0.55

(68)

Riset Operasional 2

2015

Kemudian enter dan space

10. Enter data for payoff table analysis—payoff values State alternative 1

S1 A1: 1243 A2: 1343 A3: 3500 S2 A1: 1457 A2: 1413 A3: 4444 S3 A1: 1788 A2: 1614 A3: 5000 Kemudian space dan enter

(69)

Riset Operasional 2

2015

12. Pada payoff table analysis, pilih option yg diinginkan, Kriteria maximin : no. 1

Kriteria maximax : no. 2 Kriteria minimax regret : no. 3 Kriteria Laplace : no. 5

Kriteria expected value : no. 4 Kriteria expected regret : no. 6

(70)

Riset Operasional 2

2015

jelas silahkan perhatikan tutor dengan baik..

Output Softwarenya :

1. Maximin

(71)

Riset Operasional 2

2015

3. Minimax (regret)

(72)

Riset Operasional 2

2015

5. Expected value