KALKULUS I
Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika
Definisi: Misalkan
A
dan
B
adalah himpunan tak kosong.
Fungsi
f
dari
A
ke
B
adalah suatu ATURAN
yang MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di
A
dengan
tepat satu dan hanya satu elemen di
B
Dalam definisi tersebut,
A
disebut DOMAIN / DAERAH ASAL/ DAERAH
DEFINISI untuk fungsi
f
, dinotasikan dengan
𝒟
𝑓
B
disebut KODOMAIN / DAERAH KAWAN fungsi
f
DAERAH HASIL / DAERAH JELAJAH / RANGE
adalah semua elemen di
B
yang berpasangan dengan
•
Pada Kalkulus I hanya dipelajari fungsi REAL,
yaitu fungsi dengan domain dan kodomain
subhimpunan bilangan real. Dengan demikian
𝐴 ⊆ ℝ
dan
B ⊆ ℝ
•
Bila daerah asal tidak disebutkan, ambillah daerah
asal ALAMI / NATURAL sebagai daerah asal,
yaitu
𝒟
𝑓= 𝑥 ∈ ℝ 𝑓(𝑥) ∈ ℝ
•
Grafik fungsi
f
(
x
) adalah kumpulan titik-titik di
bidang koordinat Cartesius yang memenuhi
𝑦 = 𝑓 𝑥
. Grafik fungsi
f
(
x
) berupa kurva di
1.
Fungsi Identitas, yaitu
f
(
x
) =
x
2.
Fungsi Ganjil, yaitu
f
(-
x
) = -
f
(
x
)
3.
Fungsi Genap, yaitu
f
(-
x
) =
f
(
x
)
4.
Fungsi harga mutlak
𝑓 𝑥 = 𝑥
5.
Fungsi yang memiliki asimtot. Asimtot
fungsi
f
adalah garis di bidang koordinat
yang DIDEKATI oleh grafik
y
=
f
(
x
).
6.
Fungsi bilangan bulat terbesar
𝑦 = 𝑥
=
Operasi Aljabar Fungsi
𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 , 𝒟
𝑓±𝑔= 𝒟
𝑓∩ 𝒟
𝑔
𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , 𝒟
𝑓𝑔= 𝒟
𝑓∩ 𝒟
𝑔 𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, 𝒟
𝑔𝑓= 𝒟
𝑓∩ 𝒟
𝑔∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0.
Komposisi Fungsi:
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥 ), 𝒟
𝑓∘𝑔=?
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≠
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥
Fungsi invers dari
f
(
x
)
,
dinotasikan dengan
𝑓
−1𝑥
adalah
fungsi yang bersifat:
(𝑓 ∘ 𝑓
−1) 𝑥 = 𝑓
−1∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥
Grafik
𝑦 = 𝑓
−1𝑥
simetris dengan grafik
y
=
f
(
x
)
terhadap
garis
y
=
x
.
Operasi grafis terhadap suatu fungsi
Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik fungsi baru yang diperoleh dari fungsi f(x) dengan melakukan beberapa operasi secara grafis (geometris)
NO. FUNGSI BARU OPERASI
1. f(x) + k, k > 0 Geser ke atas k satuan.
2. f(x+k), k > 0 Geser ke kiri k satuan.
3. - f(x) Cerminkan terhadap sumbu x.
4. f(-x) Cerminkan terhadap sumbu y.
5. | f(x) | Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.
. sumbu terhadap n dicerminka sumbu bawah di yang grafik bagian a Selanjutny . satuan 1 bawah ke digeser lalu satuan, 3 kiri ke digeser grafik : langkah Langkah . 1 ) 3 ( 8 6 sebab , fungsi grafik dari diperoleh dapat 8 6 fungsi grafik Sketsa : Contoh 2 2 2 2 2 x x x y x x x y x y x x y 2 x y 1 ) 3 ( 2
x y 2 ) 3 ( x y 1 ) 3 ( 2
ALJABAR
Fungsi yang diperoleh
dari fungsi konstan dan
fungsi indentitas melalui
operasi-operasi aljabar
+, −,∗,
,
1.
Fungsi Polinom
2.
Fungsi Rasional
TRANSENDEN
1. Fungsi Trigonometri 2. Fungsi Eksponensial 3. Fungsi Logaritma
Limit fungsi di suatu titik
Limit-limit sepihak
Eksistensi Limit
Limit yang nilainya tak berhingga
LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK
Misalkan f(x) fungsi dengan daerah asal 𝒟𝑓 ⊆ ℝ dan a ∈ ℝ, dengan a
tidak harus termuat di 𝒟𝑓
Notasi
dibaca
“limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L”
atau
“f(x) mendekati L bila x mendekati a “
berarti bahwa
nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.
L
x
f
a x
(
)
lim
Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu
11
Situasi yang mungkin terjadi:
a x
0
L y
f(x)
a x
0
L y
f(x)
a x
0
L y
f(x)
Contoh:
,
2
4
2
)
(
2
x
x
x
x
f
?
4
2
lim
2
2
x
x
x2 x
0
y
f(x)
0,25
(
2
)
4
1
)
2
(
1
lim
)
2
)(
2
(
2
lim
4
2
lim
2 2
2 2
f
x
x
x
x
x
x
x x x
13
2
, 1
2
, 4 2 )
( 2
x x x
x x
f
Jika didefinisikan
1
)
2
(
4
1
4
2
lim
2
2
x
f
x
x2 x
0
y
f(x)
2
, 4
1
2
, 4 2
)
( 2
x x x
x
x f
Jika didefinisikan
2 x
0
y
f(x)
0,25
)
2
(
4
1
4
2
lim
2
2
x
f
x
x
15
LIMIT SEPIHAK
Notasi
Dibaca
“limit f(x) bila x mendekati a dari kiri (kanan) sama dengan L”
atau
“f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri (kanan)“
berarti bahwa
Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a dan x < a (x > a).
L
x
f
a x
(
)
lim
a
f
x
L
x)
(
lim
L
x
f
a x
(
)
lim
jika dan hanya jikaf
x
f
x
L
a x
a x
(
)
lim
(
)
Contoh 1. Fungsi bilangan bulat terbesar
1
x
0
y
f(x)
2 3
-1 -2
-3
1 2 3
-1
-2
-3
3
x
2
2,
2
x
1
,
1
)
(
x
f
x
x
f
(
)
lim
(
)
?
2
f
x
x
2 )
( lim
sedangkan ,
1 )
( lim
2
2
f x x f x
x
)
(
lim
)
(
lim
sebab
ADA,
TIDAK
)
(
lim
2 2
2
f
x
xf
x
xf
x
Contoh 2.
lim
sin
?
0
x
x
Bila
n
x
maka nol
bulat tak bilangan
, 1
n n
x
sehingga
sin
sin
n
0
x
, 2
2
n
x
Namun bila
,
bilangan
bulat
1
4
2
n
n
x
1
2
2
sin
sin
n
x
maka
sehingga
1 x
0
y
f(x)
1
-1
-1
x
x
f
y
(
)
sin
Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 dapat disimpulkan bahwa nilai limit fungsi di suatu titik tidak selalu ada. Hal ini disebabkan oleh
1. Nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan atau
2. Nilai fungsi berfluktuasi sangat cepat
19
1
1
lim
1
x
x Contoh :
LIMIT YANG NILAINYA TAK BERHINGGA
DEFINISI
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali
pada x = a sendiri. Maka
berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif (negatif) sebesar mungkin, dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.
)
(
lim
a
f
x
x
(
)
lim
f
x
20
1 x
0
y
2
1 1 )
(
x x
f
1
Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif
21
Situasi yang mungkin terjadi:
( )
lim f x a
x
y
x
0 a
f(x)
( )
lim f x a
x
x
0
y
a
f(x)
( )
lim f x a
x
0
y
a
f(x)
( )
lim f x a
x
x
0
a
f(x)
x
0
y
a
f(x)
( )
lim f x a x
x
0
y
a
f(x)
x
( )
Jika
sekurang-kurangnya satu
di antara keenam
situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi
f
(
x
)
maka garis
x
=
a
disebut
asimtot tegak
dari
grafik
y
=
f
(
x
).
1
1
lim
1
1
lim
sebab
ADA,
TIDAK
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
1 1
1 1 1
x
x
x
x
x
x x
x x x Contoh :
Garis x = 1 adalah asimtot tegak dari grafik 𝑦 = 1
23
LIMIT DI KETAKHINGGAAN
)
(
lim
f
x
x
lim
f
(
x
)
x
Notasi
disebut limit f(x) di ketakhinggaan, mengkaji bagaimana perilaku nilai f(x) manakala x membesar positif (negatif).
ada
tidak
)
(
lim
f
x
L
x
Contoh: 1 . lim x2 1 x
2 1
2 lim 1
2 lim .
2
x x
x
x x
ada tidak
cos lim
.
3
x
x
24
Situasi yang mungkin terjadi:
x
0
f(x)
y
lim f (x)
x
y
x
0
f(x)
y
lim f (x)
x
x
0
f(x)
lim f (x)
x
x
0
L
f(x)
y
L x
f
x
lim ( )
x
0
L
f(x)
y
L x
f
x
lim ( )
x
0
f(x)
ada tidak )
( lim
f x
25 Contoh: 6 5 1 ) (
2
x x x x f
lim ( 3)( 2)
3 ) 2 )( 3 ( 1 lim 6 5 1 lim ) ( lim . 1 2 2 2 2
2 x x x x
x x x x x f x x x x
lim ( 3)( 2)
3 ) 2 )( 3 ( 1 lim 6 5 1 lim ) ( lim . 2 2 2 2 2
2 x x x x
x x x x x f x x x x
Maka garis x = 2 adalah asimtot tegak dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan garis x = 3.
1 0 0
00 0 6 5 1 1 1 lim 6 5 1 1 1 lim 6 5 1 lim . 3 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x
Garis y = 0 adalah asimtot datar dari grafik y = f(x).
Jika maka garis y = L disebut asimtot datar dari grafik y = f(x).
L x f L x f x x
26
6 5
1
2
x x
x y
27
Teorema-teorema tentang limit
( )
lim ( )lim d. 0 ) ( lim asalkan , ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim c. ) ( lim ). ( lim ) ( ) ( lim b. ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim a. maka ada, ) ( lim dan ) ( lim nilai dan konstanta suatu Jika 1. x f k x kf x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f k a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x L x g L x h f(x) a a x x h x g x f a x a x a x
lim ( ) ,maka lim ( )
28
Trik menentukan limit di suatu titik
1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a)
2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa limit-limit sepihak.
)
(
lim
f
x
a x
Contoh 1. xlim4 x 4 4 4 0
29 ? sin lim . 3 2
0
x x
x
1
sin
1
x
Jawab: karena
maka
2
2
sin
x
2
.
x
x
x
0
lim
)
(
lim
2 0 20
x
xx
x
Diketahui bahwa
maka
30
4. f(x) = [ x ] + [-x] lim ( ) ?
2
f x
x
1 x
0
y
2 3 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3 3 x 2 1, (-3) 2 2 , 0 2 2 2 x 1 , 1 ) 2 ( 1 )
(x x
31
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
ada tidak
tan lim
, 0 cos
lim
, 1 sin
lim
, 0 tan
lim
, 1 cos
lim
, 0 sin
lim
2 2
2
0 0
0
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
32
0
sin
lim
,
0
sin
lim
,
1
sin
lim
0
x
x
x
x
x
x
x x
2.5 KEKONTINUAN
Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a
dikatakan kontinu di x = a jika
)
(
)
(
lim
f
x
f
a
a
x
Dengan perkataan lain:
f(x) kontinu di x = a jika
f(a) terdefinisi
Nilai limitnya di x = a ada
Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu
)
(
)
(
lim
)
(
lim
f
x
f
x
f
a
a x a
x
2 x
0
y
f(x)
0,25 Contoh
2
, 4
1
2
, 4 2
)
( 2
x x x
x
x f
)
2
(
4
1
4
2
lim
2
2
x
f
x
x
Jadi f(x) kontinu di x = 2.
Akibat: jika
f
kontinu
di
x
=
a
maka
lim
f
(
x
)
ada
a
Teorema fungsi kontinu:
1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka
fungsi-fungsi f + g, f – g, kf, fg, dan f/g ( jika ) juga kontinu di x = a.
2. fungsi polinom kontinu di ℝ, sedangkan fungsi rasional kontinu di daerah definisinya.
3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi
kontinu di x = a.
0 )
(a g
) )( ( f g x
riil. bilangan
setiap di
kontinu )
( agar dan
tentukan
, 3
, 2
3 0
,
0
, 1
) (
Jika 2
x f b
a
x x
x b
ax x
x f
36 Jawab:
karena f(x) berupa polinom untuk x < 0, 0 < x < 3, dan x > 3, maka
f(x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup
diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3
Agar f(x) kontinu di x = 0:
• f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1
• Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0
sama dengan f(0), yaitu
1
0 . 1
yaitu
), 0 ( )
( lim
) ( lim
2 0 0
b a
f x
f x
f
x
Agar f(x) kontinu di x = 3:
• f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5
• Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3 sama dengan f(3), yaitu
4 9
5 1 9
5 9
5
5
3 .
yaitu
), 3 ( )
( lim )
( lim
2
3 3
a a
b a
b a
f x
f x
f
x x
9
4
a
Teorema Nilai Antara (TNA):
misalkan f(x) kontinu pada selang tutup [a,b] dan f(a) < M < f(b). Maka terdapat c, a < c < b sedemikian sehingga f(c) = M.
a x
0
M
f(x)
c b
f(b)