09 Struktur Data Hirarki SDH - Binary - Heap Tree

Algoritma Struktur Data

3 sks

Materi

Materi

Pengantar Struktur Data

Abstract Data Type (ADT)

Rekursif : Fibonacci

Sorting (Selection, Insertion, Bubble, Shell, Merge, Quick)

Struktur Data Linier (Linked List, Stack, Queu)

Struktur Data Hirarki (Tree, Graph, Hash Tables)

Lit erat ur :

1. H.M Deit el, P.J Deit el, Small J ava How t o Program-sixt h

Edit ion, Pear son Pr ent ice Hall, 2005

2. Elliot B. Kof f man, Paul A.T. Wolf gang, Obj ect s, Abst ract ion,

Dat a St ruct ures and Design Using J ava, J ohn Wiley & Sons.I nc, 2005

3. Mar k Allen Weiss, Dat a St ruct ures & Algorit hm Analysis in

J ava, Addison-Wesley, 1999

4. Moh.Sj ukani, Algorit ma & St rukt ur Dat a dengan C, C++ dan Yogyakar t a, 2001

9. Wir t h, Niklaus, Algorit hmic + Dat a St ruct ures Programs, Pr ent ice-Hall, 1976

10. Thompson Susabda Ngoen , Algorit ma dan St rukt ur Dat a

Bahasa C, Mit r a Wacana Media, 2009

ALGORI TMA

TREE - POHON

TREE - POHON

•

Tree merupakan salah sat u bent uk

st rukt ur data yang non linear/ t idak

linear yang menggambarkan hubungan

yang bersifat hirarki (hubungan one t o

many) antara elemen-elemen

•

Tree dapat juga didefinisikan sebagai

kumpulan simpul/ node dengan sat u

elemen khusus yang disebut ROOT dan

node yang lainnya t erbagi menjadi

Istilah Umum Dalam TREE

1.

Tree (pohon) dan Graph (Graf)

2.

Simpul (Vert ex, Node) dan Busur

(Edge, Arc)

3.

Superordinat dan subordinat , fat her

dan son, parent dan children

4.

Root (akar) dan Leaf (daun)

5.

Level (t ingkat ) dan Dept h (kedalaman)

6.

Degree (derajat ) simpul dan degree

pohon

1. Tree/ Pohon & Graph/ Graf

•

Tree (pohon)

merupakan bagian

dari graph

•

Dengan simbol

matemat ik

pernyataan Tree

dapat dit uliskan

sebagai berikut :

2. Simpul & Busur

•

Pohon merupakan

kumplan dari simpul dan

busur, dimana salah sat u

simpul merupakan akar

(root ) dan simpul-simpul

lain membent uk suat u sub

pohon / sub t ree yang

dapat dit uliskan sbb:

T = (V, E)

2. Simpul & Busur

•

Simpul/ Node/ Tit ik/ Vert ex

–

Tree t erdiri dari 14 buah simpul (n=14)



simpul A s.d. N at au v₀ s.d. v₁₃

V = {v₀, v₁, v₂... , v₁₃)

•

Busur/ Edge

–

Tree t erdiri dari 13 buah busur (m=12)



e₀ s.d. e₁₂

3. Superordinat & Subordinat

• Superordinatdiist ilahkan

dengan fat her/ bapak/ parent sedangkan subordinat

diist ilahkan dengan son/ anak/ child

• Contoh:

– Simpul B merupakan

superordinat simpul E dan F

– Simpul E dan F merupakan

subordinat simpul B

– Simpul B mempunyai

superordinat yait u simpul E (left child) dan F (right child)

• Parent : predecessor sat u level di atas suat u node

4. Root/ Akar & Leaf/ Daun

• Root (akar) adalah simpul yang t idak mempunyai superordinat .

– Unt uk pohon yang dicont ohkan

disamping, maka akar adalah simpul A

– Root : Sat u-sat unya node khusus dalam t ree yang tak punya

predecessor

• Leaf/ daun adalah simpul yang t idak mempunyai subordinat

– Unt uk pohon yang dicont ohkan

disamping, maka daun adalah simpul C, E, G, I, J, K, L, M , N

5. Level & Depth/ Kedalaman

• Level (t ingkat ) akar

dinyatakan berada pada level 0, set iap t urunan sat u

subordinat , level bertambah 1

• Dept h (kedalaman) sat u

pohon yang mempunyai level teratas atau level tert inggi = k, maka disebut

kedalamannya = k

– Unt uk pohon yang

dicontohkan disamping,

karena level tert inggi adalah 3 maka dept h =3

• Height : Banyaknya

6. Degree sebuah simpul

•

Degree merupakan

sebuah simpul yang

menyatakan jumlah

simpul subordinat dari

simpul t ersebut

–

Unt uk pohon disamping :

• Sim pul A : degree = 3

• Sim pul B : degree = 2

• Sim pul C : degree = 0

istilah-istilah umum dalam tree

•

Predecessor: node yang berada di atas node

tertent u

istilah-istilah umum dalam tree

•

Ancestor

: seluruh node yang terletak

sebelum node tertent u dan terletak pada

jalur yang sama

•

Descendant

: seluruh node yang terletak

sesudah node tertent u dan terletak pada

jalur yang sama

•

Sibling

: node-node yang memiliki parent

yang sama dengan suat u node

Root / Akar = …..

Superordinat / Parent = ….

7a. M -ary Tree

•

M atau K menyatakan derajat pohon

•

Cont oh : sebuah simpul pohon M -ary

dimana M =3 digambarkan dengan

Linked-List

INFO

7b. Binary Tree

•

M atau K menyatakan derajat pohon

•

Cont oh : sebuah simpul pohon Binary Tree /

Pohon Biner dimana M =2 digambarkan

dengan Linked-List

INFO

Contoh Pohon Biner

A

B C

D E F G

8. Link, Null-Link dan Bukan Null-Link

•

Link

–

Point er yang digunakan unt uk menunjuk simpul subordinat

–

Unt uk cont oh pohon biner adalah set iapsimpul mempynyai 2 link, sehingga jumlah link = n* 2

•

Null-Link

–

Link yang bernilai Null, yait u link yang t idak menunjuk simpul subordinat

•

Bukan Null-Link

–

Link yang menunjuk simpul subordinat at au link yang

Contoh Soal : M -ary

•

Sebuah pohon M -ary dengan 10 buah

simpul. Apabila M =3, Hit ung berapa jumlah

Null-Link nya?

Pohon dengan M = 3 Jumlah simpul 10,

Contoh Soal : Pohon Biner

•

Sebuah pohon biner dengan 10 buah simpul.

Apabila M =2, Hit ung berapa jumlah Null-Link

nya?

Pohon dengan M = 2 Jumlah simpul 10,

POHON BINER / BINARY TREE

•

Sebuah pohon biner/ binary t ree adalah merupakan

himpunan t erbat as yang

–

M ungkin kosong

–

Terdiri dari sebuah simpul yang disebut sebagai akar dan dua buah himpunan lain yang saling asing

–

Dia humpunan yang saling asing t ersebut adalah pohon biner pada sub pohon kiri (left ) dan sub pohon kanan (right )

POHON BINER / BINARY TREE

•

M erupakan pohon M -ary dimana M =2, yang art inya

set iap simpul paling banyak memiliki 2 simpul

subordinat yang biasa disebut subordinat kiri (left

-child) dan subordinat kanan (right --child)

INFO

Left Right

INFO

POHON BINER / BINARY TREE

•

St rict ly Binary Tree merupakan pohon biner yang

semua simpulnya, (kecuali simpul leaf/ daun)

mempunyai lengkap simpul subordinat kiri dan

subordinat kanan

•

Sebuah pohon biner st rict lybinary t ree, apabila

mempunyai n buah daun, maka akan mempunyai

(2n-1) buah simpul

A

B C

D E F G

H _I

Jumlah daun/ leaf = 5

COM PLETE BINARY TREE/ FULL BINARY TREE/

ALM OST COM PLETE BINARY TREE

•

Complet e Binary Tree dengan kedalaman = d,

merupakan pohon biner st rict ly binary t reedimana

semua daun hanya berada pada level d

•

Pada pohon complet e binary t ree/ full binary

t ree/ almost complet e binary t ree berlaku :

–

Pada leve k jumlah simpul



n=2^ k

–

Unt uk pohon dengan kedalaman d, maka jumlah seluruh simpul



n = 2^ (d+1)-1

COM PLETE BINARY TREE/ FULL BINARY TREE/

ALM OST COM PLETE BINARY TREE

•

Pada pohon complet e binary t ree/ full binary

t ree/ almost complet e binary t ree berlaku :

–

Unt uk pohon dengan kedalaman d, maka jumlah simpul bukan daun



n = (2^ d)-1

–

Bila jumlah seluruh simpul = n, maka kedalaman pohon adalah



d = log₂(n+1)-1

–

Set iap simpul yang berada dibaw ah level d-1, mempunyai dua subordinat

–

Bila pada level d-1 sub pohon kanan ada simpul yang

COM PLETE BINARY TREE/ FULL BINARY TREE/

ALM OST COM PLETE BINARY TREE

Almost Complete Binary Tree dan Bukan Strictly Binary Tree karena simpul G hanya punya sat u anak

A

B C

D E F G

J K

H _I L M N

Almost Complete

COM PLETE BINARY TREE/ FULL BINARY TREE/

ALM OST COM PLETE BINARY TREE

Bukan Almost Complete Binary Tree

karena simpul Chanya punya sat u anak

A

B C

D E F

J K

H _I

Bukan Almost Complete Binary Tree

A

B C

D E F G

H

Almost Complete Binary Tree dan tapi bukan Strictly Binary Tree

A

B C

D E F G

POHON BINER SEIM BANG - AVL

•

AVL diambil dari nama



G.M . Adelson-Velskii dan E.M .

Landis, 2 orang ahli mat emat ika Rusia yang pertama

kali (1962) memperkenalkan met ode unt uk membuat

pohon biner selalu seimbang

•

Pohon Biner Seimbang / Berimbang adalah pohon

biner yang ket inggian subpohon kiri dan subpohon

kanan unt uk set iap simpul superordinat , paling banyak

berselisih 1

•

Jadi pohon biner complet e dan almost complet e adalah

pohon biner berimbang

CONTOH : BALANCED BINARY TREE

UNBALANCED BINARY TREE

Unbalanced Binary Tree

A

B C

D E F G

J K

H _I L M N

Balanced Binary Tree

A

B C

D E F G

J K

PENOM ORAN SIM PUL POHON BINER

•

Berdasarkan konversi dapat disepakat i cara

penomoran set iap simpul dalam pohon biner, yait u:

–

Bila sebuah simpul bernomor n, maka subordinat kiri bernomor 2n dan subordiat kanan bernomor 2n+1

–

Simpul akar, diberi nomor 1

PENOM ORAN SIM PUL POHON BINER

Level (k)

M aksimum jumlah simpul pada level

2^k

M aksimum jumlah seluruh simpul sampai dengan level

2^(k+1)-1

BINARY TREE/ POHON BINER

•

Proses Pohon Biner (Binary Tree), adalah

1.

M endeklarasikan st rukt ur simpul

2.

Inisialisasi

3.

Pembuatan sebuah simpul

4.

Pembuatan simpul akar

5.

Penambahan/ melakukan insert simpul

baru kedalam sebuah pohon

BINARY TREE/ POHON BINER

•

Proses Pohon Biner (Binary Tree), adalah

1.

Deklarasi st rukt ur simpul

2.

Inisialisasi

BINARY TREE/ POHON BINER

•

Proses Pohon Biner (Binary Tree), adalah

BINARY TREE/ POHON BINER

•

Proses Pohon Biner (Binary Tree), adalah

BINARY TREE/

POHON BINER

•

Proses Pohon

Biner (Binary

Tree), adalah

5.

Penambahan

/ melakukan

insert simpul

baru kedalam

sebuah

BINARY TREE/ POHON BINER

•

Proses Pohon Biner

(Binary Tree),

adalah

6.

Pembacaan/ pene

HEAP & B-TREE

HEAP TREE



Heap adalah t ree yang mempunyai persamaan

sebagai berikut :



R[i] < r[2i]

dan

R[i] < r[2i+1]



Heap Tree disebut juga

Complete Binary Tree

,

jika suat u node mempunyai child, maka jumlah

childnya harus selalu dua



M inimum Heap

, apabila parent nya lebih kecil

daripada kedua childnya

Contoh HEAP TREE

9

12 25

22 55

Contoh HEAP TREE

63

55 25

22 9

HEAP-TREE

•

Operasi dalam Heap Tree)

1.

Penambahan/ melakukan insert simpul

HEAP-TREE

•

Operasi dalam Heap Tree)

Insertion

•

Insert 14

14

13

21 16

24 ₃₁ 19 68

Insertion

•

Insert 14

31 13

21 16

24 ₁₄ 19 68

Insertion

•

Insert 14

31 13

14 16

24 ₂₁ 19 68

HEAP-TREE

•

Operasi dalam Heap Tree)

0 1 43 3 3 2 65 58 40

-1

42 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1

0 1

43 ₃ 3 2

65 58 40 42 4

14

Delete M inimum

0 1 43 3 3 2 65 58 40

4

42

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4

0 1

43 ₃ 3 2

65 58 40 42

14

3 1 43 4 3 2 65 58 40

0

42

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0

3 1

43 ₄ 3 2

65 58 40 42

14

13

14 16

19 ₂₁ 19 68

65 26 32 31

14 16

19 ₂₁ 19 68

65 26 32 31

Delete M in (Alternative)

Delete M in (Alternative)

14

16

19 ₂₁ 19 68

14

19 16

21 19 68

65 26 32 31

Delete M in (Alternative)

14

19 16

26 ₂₁ 19 68

Delete M in (Alternative)

14

19 16

26 ₂₁ 19 68

B-TREE



B-Tree adalah t ree yang set iap nodenya dapat

berisi lebih daripada sat u elemen



Jumlah elemen dalam 1 node t ergant ung kepada

order B-Tree t ersebut



Jumlah minimum elemen dalam set iap node

(kecuali ROOT) adalah d, dan jumlah maksimum

elemen di ROOT adalah sat u dan jumlah

maksimumnya adalah 2d



Jumlah minimum child suat u node di dalam

B-TREE

•

Operasi dalam Pohon B (B- Tree)

1.

Penambahan/ melakukan insert simpul

B-TREE

•

Operasi dalam Pohon B (B- Tree)

1.

Insert



Apabila node/ simpul belum penuh (jumlah

elemen < 2d), maka elemen dapat langsung diinsert



Jika node/ simpul sudah penuh, maka lakukan

NODE SPLIT dengan langkah sebagai berikut



Split node/ simpul menjadi 2



25 37 40



Akan menginsert elemen 27



Let akkan d elemen t erkecil di node/ simpul kiri



Let akkan d elemen t erkecil di node/ simpul kanan

B-TREE

• Operasi dalam Pohon B (B- Tree)

2. Delete

 Jika target node/ simpul yang akan dihapus berisi elemen lebih dari d, maka target elemen dapat langsung dihapus, tanpa harus di regenerate

 Contoh : Split node/ simpul  10  Root

 5 6 7 15 16 18  delete 6  5 7 15 16 18

 Jika target node/ simpul yang akan dihapus berisi d node/ simpul, penghapusan akan menyebabkan underflow, maka regenerate dilakukan dengan meminjam elemen yang berada di node/ sim;ul kiri atau kanan (yang memiliki elemen lebih dari d).

Parent / separator akan berubah

 Contoh : Split node/ simpul

 10 20  Root

 5 7 9 15 16 25 26  delete 15

 9 20  Root

B-TREE

•

Operasi dalam Pohon B (B- Tree)

2. Delet e



Jika node/ simpul kiri maupun kanan yang akan

dilakukan peminjaman t ernyat a mempunyai elemen kurang dari d, jika dilakukan peminjaman node/ simpul t ersebut akan t erjadi underflow, maka regenerat e akan dilakukan dengan menggabung node/ simpul yang akan dihapus dengan node/ simpul kiri yang akan dihapus dengan node/ simpul di kiri/ kanan

 Contoh : Split node/ simpul

 9 20  Root

 5 7 15 16 25 27  delete 15

 20  Root

Heap Sort

Seperti metode struktur

organisasi,

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

2 3

1 7 1 4

6 1 3 _{1 0} 1

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

2 3

1 7 1 4

6 1 3 _{1 0} 1

5 7 1 2

i=5

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

2 3

1 7 1 4

7 1 3 _{1 0} 1

5 6 1 2

i=4

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

2 3

1 7 1 4

7 1 3 _{1 0} 1

5 6 1 2

i=3

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

2 3

1 7 1 4

7 1 3 _{1 0} 1

5 6 1 2

i=2

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

2 3

1 7 1 4

7 1 3 _{1 0} 1

5 6 1 2

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 7

1 3 1 4

7 1 2 _{1 0} 1

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 4

1 3 1 0

7 1 2 ₆ 1

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 3

1 2 1 0

7 5 ₆ 1

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 2

7 1 0

1 5 ₆ 1 3

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 0

7 6

1 5 _{1 2} 1 3

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

7

5 6

1 1 0 _{1 2} 1 3

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

6

5 1

7 1 0 _{1 2} 1 3

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1

5 6

7 1 0 _{1 2} 1 3

Heap Sort -

M ax/ Descending

A: [ 23,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1

5 6

7 1 0 _{1 2} 1 3

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

8

1 7 1 4

6 1 3 _{1 0} 1

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

8

1 7 1 4

6 1 3 _{1 0} 1

5 7 1 2

i=5

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

8

1 7 1 4

6 1 2 _{1 0} 1

5 7 1 3

i=4

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

8

1 7 1 4

5 1 2 _{1 0} 1

6 7 1 3

i=3

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

8

1 7 1

5 1 2 _{1 0} 1 4

6 7 1 3

i=2

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

8

5 1

1 7 1 2 _{1 0} 1 4

6 7 1 3

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1

5 8

1 7 1 2 _{1 0} 1 4

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

5

1 2 8

1 7 1 3 _{1 0} 1 4

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

5

1 2 8

1 7 1 3 _{1 0} 1 4

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

7

1 2 8

1 7 1 3 _{1 0} 1 4

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

7

1 2 8

1 7 1 3 _{1 0} 1 4

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

8

1 2 1 4

1 7 1 3 _{1 0} 7

Heap Sort-

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 0

1 2 1 4

1 7 1 3 ₈ 7

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 2

1 3 1 4

1 7 1 0 ₈ 7

Heap Sort-

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 3

1 7 1 4

1 2 1 0 ₈ 7

Heap Sort -

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 4

1 7 1 3

1 2 1 0 ₈ 7

Heap Sort-

M in/ Ascending

A: [ 8,17,14,6,13,10,1,5,7, 12]

1 7

1 4 1 3

1 2 1 0 ₈ 7