PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION PADA STRUKTUR STATIS TAK TENTU DENGAN KEKAKUAN YANG TIDAK MERATA
DALAM SATU BALOK.
Jemy Wijaya dan Fanywati Itang
Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Tarumanagara e-mail: [email protected]
ABSTRACT
Slope deflection method is one method that can be used in analyzing the statically indeterminate beam with beam's difference stiffness EI. Another method that can be used is a method Consistent Deformation, Clayperon method, Method and Method Cross Matrix. In this paper the Slope Deflection method will be discussed in the completion of statically indeterminate beam with a difference of the beam's stiffness EI for the completion with this method is quite simple and not difficult. In the application of the Slope Deflection method, there are some things that should be known in advance which is round the corner at a point and moment magnitude of the primary (fixed end moment) at the ends of the beam.
Keywords: slope, fixed end moment
ABSTRAK
Metode Slope Deflection adalah salah satu metode yang bisa dipakai dalam menganalisis struktur balok dengan kekakuan yang tidak merata. Metode lain yang dapat dipakai adalah metode Consistent Deformation, Metode Clayperon, Metode Cross dan Metode Matriks. Dalam tulisan ini akan dibahas penggunaan metode Slope Deflection dalam penyelesaian struktur statis tak tentu dengan kekakuan yang tidak merata karena penyelesaian dengan metode ini cukup sederhana dan tidak sulit. Pada penggunaan metode Slope Deflection, ada beberapa hal yang harus diketahui terlebih dahulu yaitu putaran sudut pada suatu titik dan besaran momen primer (fixed end moment) pada ujung-ujung balok.
Kata kunci: putaran sudut, momen primer
LATAR BELAKANG
Pada umumnya buku-buku Mekanika Teknik dalam pembahasan Metode Slope Deflection hanya membahas balok yang mempunyai kekakuan EI yang sama sepanjang balok. Untuk itu diperlukan persamaan untuk penyelesaian konstruksi statis tak tentu dengan kekakuan EI yang berbeda dalam satu balok.
Penurunan persamaan ini cukup sulit karena harus menurunkan dahulu besar putaran sudut dan momen-momen ujung (Fixed End Moment) untuk kondisi kekakuan EI yang berbeda.
Dalam satu balok akibat pembebanan yang diberikan, perhitungan diulang untuk kondisi pembebanan dan kekakuan yang berbeda-beda dalam satu balok. Dari hasil penurunan dan pemakaian persamaan ini
akan didapat besar reaksi dan gaya-gaya dalam.
PENDAHULUAN
Metode Slope Deflection ini awalnya diperkenalkan oleh George A.
Maney pada tahun 1914 [1] yang merupakan suatu metode dalam penyelesaian analisis struktur balok kontinu dan kerangka kaku statis tak tentu.
Pada hakekatnya metode ini merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persamaan-persamaan serempak didalam metode defleksi (displacement method) dengan ketelitian yang cukup baik.
ANALISIS STRUKTUR METODE SLOPE DEFLECTION
Pada metode Slope Deflection ini ada beberapa anggapan-anggapan yang
a. Titik hubungan kaku (tidak berubah sudut).
b. Deformasi/perputaran sudut/perpindah- an titik hubungan terjadi secara ke- seluruhan (sudut-sudut antara batang- batang tetap besarnya setelah mengala- mi deformasi).
c. Deformasi axial/normal diabaikan.
d. Bahan dianggap linier elastis sehingga berlaku hukum Hooke dan hukum superposisi.
e. Dalam perencanaan perhitungan, mula- mula semua perletakan dianggap sebagai jepit walaupun perletakan itu sendi atau rol.
Dalam perhitungan dengan metode Slope Deflection harus dipatuhi perjanjian tanda yaitu sebagai berikut [2,3]:
a. Momen ujung (FEM) positif (+), bila searah jarum jam (momen ujung pada keadaan freebody).
b. Rotasi/Perputaran sudut positif bila searah jarum jam.
c. Displacement/perpindahan positif bila searah jarum jam (sudut yang terbentuk oleh perpindahan terukur dari sumbu batang mula-mula ke sumbu batang baru setelah deformasi), kasus ini terjadi pada perletakan yang dapat turun
seperti perletakan pegas atau untuk portal yang bisa bergoyang.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Freebody dan gambar bidang Momen, Lintang dan Normal.
Analisis freebody dilakukan untuk menghitung besar reaksi perletakan akibat beban luar dan momen ujung pada setiap balok.
Langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut:
a. Nyatakan struktur dalam bentuk batang- batang yang bebas.
b. Hitung besarnya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat beban luar dan momen ujung yang telah diperoleh.
c. Jumlahkan semua hasil perhitungan langkah b. untuk memperoleh besarnya reaksi perletakan total.
d. Dengan data-data pada langkah b, hitung Momen maksimum yang terjadi pada setiap balok.
e. Gambar bidang Momen, Lintang dan Normal.
Penurunan rumus.
Penurunan rumus metode Slope Deflection perlu dilakukan untuk balok dengan kekakuan tidak merata [2].
2EI EI 2EI
q
q
P7
P6
P5
P4
P3 P1 P2
D E
C A B
Tinjau bagian balok AB
+
+
Rumus-rumus ini didapat dan telah diturunkan dengan hasil sebagai berikut [4]:
) + EI ( 16
L M
=3 A A1
θ
) - EI ( 8
L
= MB A2
θ
) - EI ( 8
L
= MA B1
θ
) + EI ( 16
L M
=5 B B2
θ
) ii ...(
EI 16
L M 5 + L M 2
= - +
=
) i ...(
EI 16
L 2M - L M
= 3 +
=
B A
B2 B1 total B
B A
A2 A1 total A
θ θ θ
θ θ θ
Dari kedua persamaan di atas diperoleh:
B A
A 11L
EI +32 L
11 EI
=80
M θ θ B A B
L 11
EI +48 L
11 EI
= 32
M θ θ
Rumus Slope Deflection untuk balok dengan kekakuan tidak merata dalam satu balok.
Fixed end Moment/Momen primer
Didapat dari hasil penurunan rumus dengan hasil sebagai berikut [4] [5]:
PL
66 -10
= FEMAB
66PL
= 7 FEMBA MAB q
L EI 2EI
MBA
P1 P2
2EI 1/2 L FEMAB
A
FEMBA
1/2 L P
EI B
θA2 θB2
P1
MFAB
MFBA
2EI EI P2 q
MB
2EI EI
θA1 θB1
MA
EI 2EI
FAB B
A FAB
A
AB (10 +4 )+M
L 11
EI
= 8 M + M
=
M θ θ
FBA B
A FBA
B
BA (4 +6 )+M
L 11
EI
= 8 M + M
=
M θ θ
AB qL2 176 - 17
=
FEM
BA qL2
176 13
=
FEM
CONTOH SOAL
109.09091 -
EI 0.24242
=
) 12 )(
60 66( -10 ) 4 + 10 (12)( 11
EI
= 8 M
B B A AB
θ θ θ
76.36364 +
EI 0.36364
=
) 12 )(
60 66( + 7 ) 6 + 4 )( 12 ( 11
EI
= 8 M
B B A BA
θ θ θ
386.36364 -
EI 0.29091 +
EI 72727 . 0
=
) 10 )(
40 176( - 17 ) 4 + 10 (10)( 11
EI
= 8 M
C B
C 2 B BC
θ θ
θ θ
295.45454 +
EI 0.43636 +
EI 29091 . 0
=
) 10 )(
40 176( + 13 ) 6 + 4 (10)( 11
EI
= 8 M
C B
C 2 B CB
θ θ
θ θ
96.9697 -
EI 0.36364 +
EI 90909 . 0
=
) 8 )(
80 66( -10 ) 4 + 10 (8)( 11
EI
= 8 M
D C
D C CD
θ θ
θ θ
67.87879 +
EI 0.54545 +
EI 36364 . 0
=
) 8 )(
80 66( + 7 ) 6 + 4 (8)( 11
EI
= 8 M
D C
D C DC
θ θ
θ θ
kNm 60
= ) 3 ( 20
= MDE A B
FEMAB
FEMBA
q
1/2 L 1/2 L
L
2EI EI
G H
F B C D E
A
q = 40 KN/m P2 = 80 KN P3 = 20 KN P1 = 60 KN
EI EI
EI
EI 2 EI 2 EI
2 EI
3.00 4.00
4.00 5.00
5.00 6.00
6.00
Freebody Stuktur
Syarat Batas
Titik B: - MBA - MBC = 0 atau MBA + MBC = 0
1.09091 EI θB + 0.29091 EI θC = 310 ...(1) Titik C: - MCB - MCD = 0 atau MCB + MCD = 0
0.29091 EI θB + 1.34545 EI θC + 0.36364 EI θD = - 198.48484 ...(2) Titik D: - MDC + MDE = 0 atau MDC - MDE = 0
0.36364 EI θC + 0.54545 EI θD = - 7.87879 ...(3) Untuk memudahkan perhitungan, EI dianggap = 1
(1) 1.09091 θB + 0.29091 θC + 0 θD = 310
(2) 0.29091 θB + 1.34545 θC + 0.36364 θD = -198.48484 (3) 0 θB + 0.36364 θC + 0.54545 θD = - 7.87879
Dengan eliminasi atau metode matriks atau dengan kalkulator program didapat hasil:
EI 91493 .
= 355 θB
EI 05626 . -269 C= θ
EI 92956 .
=164 θD
Dan diperoleh besaran momen-momen sebagai berikut:
kNm 22.81 -
= MAB
kNm 205.7885
= MBA
kNm 205.7885 -
= MBC
kNm 281.5884
= MCB
kNm 281.5884 -
= MCD
kNm 60
= MDC
C D A B
MDE
MCD
MBA
MAB MBC MCB MDC
E
Freebody Struktur
kN 14.7518
=
VA VBki=45.2482kN VBka=192.42kN kN
.58 207
=
VCki VCka=67.6986kN
kN .3014 12
=
VDki VDka=20kN
kN 7518 . 14
= VA
kN 6682 . 237
= V + V
=
VB Bki Bka
kN 2786 . 275
= V + V
=
VC Cki Cka
kN 3014 . 32
= V + V
=
VD Dki DCka
Gaya dalam Balok AB :
MF = 6VA - MA = 65.7008 KNm LAF = 14.7518 KN
LFB = -45.2482 KN Balok BC :
Lx = VBka - qx = 192.42 - 40x = 0 x = 4.8105 m
LB = 192.42 KN LC = -207.58 KN
Mmaks = VBka x - 1/2 qx2 - MBC
= 257.0297 KNm MG = 192.42 (5) - 1/2 (40) (5)2 - 205.7885
= 256.3115 KNm Balok CD :
LCH = 67.6986 KN LHD = -12.3014 KN MH = - 10.794 KNm Balok DE
LDE = 20 KN
MBC MCD MDE
6.00
6.00 5.00 5.00 4.00 4.00 3.00
G H F
VDki VDka
VCka
VCki
VBka
VBki
VA
P3 = 20 KN
2 EI
MBA
MAB
q = 40 KN/m P1 = 60 KN
2 EI
MCB
2 EI
MDC
P2 = 80 KN
X
VC=275.2786 G H
F
VDki
12.3014
VDka=20 VCka
67.6986 VCki
207.58 VBka
192.42 VBki
45.2482 VA=14.7518
P3 = 20 kN
2 EI
MB
MA
q = 40 kN/m P1 = 60 kN
2 EI
MC
2 EI
MD
P2 = 80 kN
VB=237.6682 VD=32.3014
MD = - 60 KNm
KESIMPULAN
1. Metode Slope Deflection bisa digunakan pada balok dengan kekakuan yang berbeda dalam satu balok.
Besaran putaran sudut pada titik ujung pertemuan harus dicari terlebih dahulu untuk mendapatkan besar momen primer/Fixed End Moment.
2. Penurunan rumus metode Slope Deflection perlu dilakukan terlebih dahulu jika setiap ada perubahan kekakuan dalam satu balok.
3. Penyelesaian perhitungan dapat menggunakan ilmu matematika yaitu teori Gauss, cara eliminasi atau bisa menggunakan kalkulator program.
192.42
14.7518
12.3014
207.58
20
45.2482
67.6986
L
60 205.7885
M
22.81
65.7008
MG=256.3115 MMAKS = 257.0297
281.5884
10.794
F B G C D E
A
q = 40 kN/m P2 = 80 kN P3 = 20 kN P1 = 60 kN
EI EI EI
EI 2 EI 2 EI
2 EI
3.00 4.00
4.00 5.00
5.00 6.00
6.00
H
4.8105 m
DAFTAR PUSTAKA [1] Slope Deflection
http://en.wikipedia.org/wiki/slope_d eflection_method
[2] C.K.Wang, Intermediate Structural Analysis, Mc Graw Hill International Book Company,. (1985).
[3] A.Ghali, A.M. Neville Structural Analysis, A Unified Classical nd Matrix Approach, London Chapman and Hall,. (1978).
[4] Fanywati Itang Penggunaan Metode Clapeyron Pada Balok dengan Kekakuan yang berbeda" Jurnal Teknik Universitas Pancasila Volume 26 Nomor 1. (2013).
[5] Jemy Wijaya, Fanywati Itang Penggunaan Metode Cross Pada Balok dengan Kekakuan Tidak Merata" Jurnal Kajian Teknologi Volume 9 Nomor 3. (2013).
