Spektrum Dari Keluarga Operator Diferensial Sturm-Liouville
Sutrima
Misalkan gas ideal (polytropic gas) ditampung dalam tabung yang mempunyai sumbu simetri dengan panjang tertentu dan kedua ujungnya tertutup. Jika tabung tersebut digerakkan sejajar terhadap sumbunya, maka akan terjadi goncangan akibat gerakan gas itu. Timbulnya goncangan dari gelombang gas ideal ini merupakan masalah syarat batas Sturm-Liouville (Holland, 2008). Jika diasumsikan tabung dapat ditentukan dengan memutar grafik fungsi 𝑟∶ 0,1 →(0,∞) mengelilingi sumbu horisontal, dan tabung diosilasi pada atau dekat frekuensi resonansi, maka masalah Sturm-Liouville tersebut dipenuhi untuk 𝑟 𝑟 =1𝑟2(𝑟) .
Berdasarkan keluarga fungsi 𝑟 yang membangkitkan tabung dengan variabel irisan-melintang (cross-section), tabung dibedakan menjadi dua macam, pertama adalah tabung admissible, yaitu tabung yang mempunyai struktur geometri dapat mencegah terjadinya goncangan, kedua adalah tabung inadmissible, yaitu tabung yang struktur geometrinya dapat memungkinkan terjadinya goncangan.
Misalkan Γ adalah keluarga dari fungsi positif invarian pada interval (0,1). Faktanya, anggota dari Γ adalah semua fungsi non-negatif 𝑟 yang bersama 1/𝑟 terintegral Lebesgue pada (0,1). Didefinisikan operator diferensial Sturm-Liouville 𝑟 𝑟 , 𝑟∈Γ, spektrum dari 𝑟 dimaksudkan adalah himpunan dari semua nilai eigen dari 𝑟(𝑟) ini. Tujuan dari penelitian ini adalah: menentukan spektrum dari keluarga operator Sturm-Liouville 𝑟(𝑟) untuk 𝑟∈Γ, dan mengidentifikasi tabung admissible dan tabung inadmissible berdasarkan variasi fungsi 𝑟.
