Slide CIV 101 Kalkulus CIV 101 P3 4 5 6 7

(1)

Respect,

Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan

Pertemuan

–

3, 4, 5, 6, 7

Mata Kuliah : Kalkulus

(2)

Respect,

•

Kemampuan Akhir yang Diharapkan

Mahasiswa mampu :

 - menjelaskan arti turunan fungsi

 - mencari turunan fungsi

 - menggunakan aturan rantai

(3)

Respect,

• Sub Pokok Bahasan :

• Turunan fungsi

• Turunan sinus dan kosinus

• Aturan rantai

• Turunan tingkat tinggi

• Turunan implisit

• Penggunaan turunan untuk maksimum dan minimum (global dan lokal)

• Penggunaan turunan untuk kemonotonan dan kecekungan

• Penggunaan turunan dalam penggambaran grafik

(4)

Respect,

Definisi

Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(c, f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞

atau −∞

h

c f h c f m

m

h h

) ( ) (

lim lim

0 sec

0 tan

  



 

 Garis Singgung

y = f(x)

f(c+h) – f(c) (c+h, f(c+h))

(c, f(c))

c c + h

f(c+h)

(5)

Respect,

 Garis Singgung Contoh :

1. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2_{di titik (2,4)} 2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = -x2_{+ 2}_x_{+2 pada}

titik-titik dengan koordinat x = -1, ½ , 2 dan 3.

3. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x di titik (2, ½)

y = x2

y = -x2₊₂_x_{+ 2}

(6)

Respect,

 Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat

Apabila benda P bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan oleh s = f(t). Pada saat c,

benda berada di f(c); pada saat c+h benda berada di f(c+h), maka kecepatan rata-rata pada interval ini adalah :

Sedangkan kecepatan sesaatnya adalah :

Asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞ h c f h c f

v_avg  (  ) ( )

h c f h c f v v h avg h ) ( ) ( lim lim 0 0       perubahan waktu perubahan posisi c c + h

f(c)

(7)

Respect,

 Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat

Contoh :

1. Hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuh dari posisi diam pada t = 3,8 detik dan pada t = 5,4 detik, jika f(t) = 16t2

2. Berapakah waktu yang diperlukan oleh benda jatuh dalam contoh di atas untuk mencapai kecepatan sesaat sebesar 112 m/dt

3. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s (jarak berarah dalam cm yang diukur dari titik asal ke titik yang dicapai setelah t detik) ditentukan oleh fungsi s = f(t) = (5t + 1)½_{. Hitunglah kecepatan sesaat}

partikel setelah 3 detik

4. Problem Set 2.1 No. 18 - 25

(8)

Respect,



Konsep Turunan (Derivative)

Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau

derivative.

Definisi

Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f/_{yang nilainya pada sembarang}

bilangan x adalah

Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞

h

x f h x f x

f

h

) ( ) (

lim )

(

0

/   



(9)

Respect,



Konsep Turunan (Derivative)

Contoh :

1. Andaikan f(x) = 13x – 6. Carilah f/₍₄₎ 2. Jika f(x) = x3_{+ 7}_x_{, carilah}_f/₍_x₎

3. Jika f(x) = 1/x, carilah f/₍_x₎

4. Carilah F/₍_x_{) jika}_F₍_x_{) =}√_x_,_x_{> 0} _{Problem Set 2.2 No. 1 - 22}

Teorema (Keterdiferensiasi-an Mengimplikasikan Kekontinuan Fungsi) Jika f/₍_c_{) ada, maka}_f_{dikatakan kontinu di}_c

Teorema di atas tidak berlaku kebalikannya. Sebagai contoh fungsi f(x = │x│

Tugas : Tentukan di mana saja suatu fungsi menjadi tidak terdiferensiasi ?

Penulisan bentuk lain untuk turunan diberikan oleh Gottfried Leibniz, yang sering dikenal dengan sebutan notasi Leibniz.



  

 

x f D x f x x f x x f x y dx dy x x

x   

(10)

Respect,

 Aturan Mencari Turunan

(11)

Respect,

 Aturan Mencari Turunan Contoh :

1. Tentukan derivatif dari 5x2_{+ 7}_x –_{6 dan 4}_x6 –₃_x5 –₁₀_x2_{+ 5}_x_{+ 16}

2. Misalkan g(x) = x; h(x) = 1 + 2x; f(x) = g(x)∙h(x) = x(1 + 2x). Temukan f/₍_x_),

g/₍_x_{), dan}_h/₍_x_{). Tunjukkan bahwa}_f/₍_x₎≠ _g/₍_x₎∙_h/₍_x₎ 3. Temukan derivatif dari (3x2 –₅₎₍₂_x4 – _x₎

4. Temukan

5. Tentukan D_xy jika

6. Tunjukkan bahwa D_x(x–n_{) =}− _nx –n–1

7. Problem Set 2.3 No. 1 – 44

 



7



5 3

2 



x x dx

d

x x

y 3

1 2

4  

(12)

Respect,

 Turunan Fungsi Trigonometri

(13)

Respect,

 Turunan Fungsi Trigonometri Contoh :

1. Tentukan D_x(3sin x – 2cos x)

2. Tentukan persamaan garis singgung dari fungsi y = 3 sin x di titik (p,0)

3. Tentukan D_x(x2_sin_x₎

4. Tentukan

5. Tentukan D_x(xn_tan_x_{) untuk}_n_{> 1}

6. Problem Set 2.4 No. 1 – 22 

  

  

x x dx

d

(14)

Respect,

 Aturan Rantai

Teorema (Aturan Rantai)

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f◦g, didefinisikan oleh (f◦g)(x) = f(g(x))

terdiferensiasikan di x dan :

(f ◦g)/₍_x_{) =}_f/₍_g₍_x₎₎∙_g/₍_x₎

Atau

D_x(f(g(x))) = f/₍_g₍_x₎₎∙_g/₍_x₎

Atau

D_xy = D_uy∙D_xu

Atau

dx du du dy dx

(15)

Respect,

 Aturan Rantai Contoh :

1. Jika y = (2x2 –₄_x_{+ 1)}60_{, tentukan}_D

xy

2. Jika y = 1/(2x5 –₇₎3_{, tentukan}_dy_/_dx

3. Temukan

4. Jika y = sin 2x, tentukan dy/dx

5. Tentukan F/₍_y_{) jika}_F₍_y_{) =}_y_sin_y2

6. Tentukan

7. Tentukan

8. Tentukan D_xsin3₍₄_x₎

9. Tentukan D_x sin[cos(x2_)] _{Problem Set 2.5 No. 1 - 40}

13 4 3 3 1 2          t t t D_t





        x x x D_x 1 1 3 2

 3

(16)

Respect,

 Turunan Tingkat Tinggi

 Turunan Implisit

 Maksimum dan Minimum

(17)

Respect,

 Turunan Tingkat Tinggi



Operasi diferensiasi fungsi

f

, menghasilkan fungsi baru

f

’, jika

f

’ didefere siasi lagi aka e ghasilka

f

’’, de ikia

(18)

Respect,

 Turunan Tingkat Tinggi Contoh :

1. Jika y = sin 2x, carilah d3_y_/_dx3_,_d4_y_/_dx4

2. Sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya s

memenuhi s = 2t2 –₁₂_t_{+ 8, dengan}_s_{diukur dalam cm dan}_t_{dalam detik} (t > 0). Tentukan kecepatan benda ketika t = 1 dan ketika t = 6. Kapankah kecepatannya nol. Kapankah kecepatannya positif?

3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh s = t3 –₁₂_t2_{+ 36}_t –

30. Di sini diukur dalam desimeter dan t dalam detik. Kapankah

kecepatannya nol? Kapan kecepatannya positif? Kapan titik bergerak mundur (ke kiri)? Kapan percepatannya positif (a = dv/dt = d2_s_/_dt2₎

(19)

Respect,

 Turunan Implisit

Fungsi : y=x

3

+ 2x + 5

disebut fungsi eksplisit

Fungsi : y

3

+7y +x

3

=0

disebut fungsi implisit

Bagaimana mencari derivatif dari suatu fungsi implisit?

Yaitu dengan menggunakan turunan implisit



3 7



(20)

Respect,

 Turunan Implisit

Contoh :

1.

Carilah

dy/dx

jika

4x

2

y

–

3y = x

3

–

1

2.

Carilah

dy/dx

jika

x

2

+ 5y

3

= x + 9

3.

Cari persamaan garis singgung pada kurva

y

3

–

xy

2

+ cos xy = 2

di titik

(0,1)

4

. Jika

y = 2x

5/3

+ (x

2

+ 1)

½

,

Carilah

D

x

y

(21)

Respect,

 Maksimum dan Minimum

Definisi

Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan :

• f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) > f(x) untuk semua x di S

• f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) < f(x) untuk semua x di S

• f(c) adalah nilai ekstrim f pada S bila ia adalah nilai maksimum atau minimum

• Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif

Pada [0,∞) tanpa maks atau min Pada [1,3], maks = 1, min = 1/3

Pada (1,3], tanpa maks, min = 1/3 tanpa maks , min = 0

Teorema

(22)

Respect,

 Maksimum dan Minimum

Teorema

Jika f terdefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni berupa salah satu dari :

• Titik ujung dari I

• Titik stasioner dari f (titik dimana f/₍_c_{) = 0), atau}

• Titik singular dari f (titik dimana f/₍_c_{) tidak ada)}

(23)

Respect,

 Maksimum dan Minimum Contoh :

1. Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3_{+ 3}_x2_{pada [ - ½ , 2]}

2. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3_{, pada [-2,2]}

3. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -2x3_{+ 3}_x2

4. Fungsi F(x) = x2/3_{kontinu di semua interval. Temukan nilai maksimum dan minimumnya di}

[-1,2]

5. Temukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x + 2 cos x pada interval [-p,2p]

6. Problem Set 3.1 No. 1 - 26

Concept Review

1. Suatu fu gsi ….. pada suatu i ter al ….. aka selalu e pu ai ilai aksi u da nilai minimum pada interval tersebut.

2. Istilah ilai ….. e ataka suatu ilai aksi u atau i i u

3. Suatu fungsi dapat mencapai nilai ekstrim hanya pada titik kritis. Titik kritis tersebut

ada tiga je is aitu ….., ….., da …..

4. Titik stasioner untuk f adalah sebuah nilai csede ikia sehi gga …..; titik si gular

(24)

Respect,

 Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi

Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan :

• f(c) adalah nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi

c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) ∩S

• f(c) adalah nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c

sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) ∩ S

(25)

Respect,

 Maksimum dan Minimum Lokal

Teorema (uji turunan pertama)

Jika f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c :

• Jika f ’ x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’ x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka

f(c) adalah nilai maksimum lokal f

• Jika f ’ x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’ x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka

f(c) adalah nilai minimum lokal f

• Jika f ’ x) bertanda sama pada kedua sisi c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f

(26)

Respect,

 Maksimum dan Minimum Lokal Contoh :

1. Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 –₆_x_{+ 5 pada (}−∞,∞₎

2. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari f(x) = 1_/

3x3– x2 – 3x + 4 pada (−∞,∞)

3. Carilah nilai ekstrim lokal dari f(x) = (sin x)2/3_{pada (-}p_{/6, 2}p_/3)

4. Untuk f(x) = x2 –₆_x_{+ 5, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim}

lokal

5. Untuk f(x) = 1_/

3x3 – x2 – 3x + 4, gunakanlah uji turunan kedua untuk

mengenali ekstrim lokal

6. Problem Set 3.3 No. 1 - 18

Teorema (uji turunan kedua)

Jika f dan f ada pada setiap interval terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan

f c = 0 :

• Jika f ’’ c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f

(27)

Respect,

 Kemonotonan dan Kecekungan

(28)

Respect,

 Kemonotonan

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada interval I, dikatakan bahwa :

• f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I

x₁ < x₂ → f(x₁) < f(x₂)

• f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I

x₁ < x₂ → f(x₁) > f(x₂)

(29)

Respect,

 Kemonotonan

Contoh :

1. Jika f(x) = 2x3 –₃_x2 –₁₂_x_{+ 7, cari dimana}_f_{naik dan dimana turun} 2. Tentukan dimana g(x) = x/(1+x2_{) naik dan dimana turun}

Teorema Kemonotonan

Andaikan f kontinu pada interval I, dan

terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I

• Jika f x > 0 untuk semua titik dalam I, maka

f naik pada I

• Jika f x < 0 untuk semua titik dalam I, maka

(30)

Respect,

 Kecekungan

Jika f terdiferensiasi pada interval terbuka I. Dikatakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika f ’ aik pada I dan dikatakan bahwa f cekung ke

bawah pada I jika f ’ turu pada I Teorema Kecekungan

Andaikan f terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka I

• Jika f x > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I

(31)

Respect,

Contoh :

1. Dimana f(x) = x3 – _x2 –₃_x_{+ 4 naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke} bawah

2. Dimana f(x) = x/(1+x2_{) cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah}

(32)

Respect,

 Titik Balik

• Andaikan f kontinu di c, maka titik (c, f(c)) merupakan titik balik dari grafik

f, jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.

• Titik-titik dengan f ’’ x) = 0 atau f ’’ x) tidak ada, merupakan calon-calon untuk titik balik

• Contoh : carilah titik balik untuk F(x) = x1/3_{+ 2}

(33)

Respect,

 Fungsi Dua Variabel atau Lebih

 Limit dan Kekontinuan

 Turunan Parsial

(34)

Respect,

 Fungsi Dua Variabel

y= f(x)  fungsi satu variabel

z= f(x, y)  fungsi dua variabel

 z: variabel tak bebas

 x, y: variabel bebas

Contoh :

Domain z = f(x,y) :

semua titik (x,y) yang memberikan suatu bilangan real untuk f(x,y). Kecualikan x dan y yang menghasilkan bilangan kompleks dan

penyebut nol

 

x

y

x

y

g

y

x

y

x

f

2

,

.

2

3

)

,

(

.

1

2 2



(35)

Respect,

 Fungsi Dua Variabel Contoh :

1. Sket domain asli dari fungsi :

2 2 2 2 ) , ( . 3 4 9 36 3 1 ) , ( . 2 x y y x f z y x y x f      

(36)

Respect,

 Fungsi Dua Variabel

• Untuk membuat sket grafik z = f(x,y) biasanya cukup sulit

• Cara yang lebih simple adalah dengan menyajikan dalam bentuk peta kontour

• Tiap bidang datar z = c akan memotong permukaan dalam bentuk sebuah kurva.

• Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian, dan kumpulan kurva-kurva tersebut dinamakan peta kontour

Contoh :

Gambarkan peta kontour dari permukaan yang berhubungan dengan

2 2

4 9

36 3

1

x y

z

y x

z

 

 

(37)

Respect,

(38)

Respect,



Limit dan Kekontinuan

• Atau secara sederhana dikatakan apabila (x, y) cukup dekat dengan (a, b), maka f(x, y) akan cukup dekat dengan L

Definisi

(Limit Fungsi Dua Variabel)

berarti bahwa untuk setiap



> 0 (betapapun

kecilnya) terdapat



> 0

yang berpadanan sedemikian hingga

|

f(x, y)

–

L

| <



dengan syarat bahwa 0

<

|(x, y)

–

(a, b)|

<



.

L y x f

b a y

(39)

Respect,



Limit dan Kekontinuan

Contoh :

evaluasi limit berikut jika ada

(40)

Respect,

 Kekontinuan Pada Titik

f(x, y) kontinu di titik (a, b) jika

1. f memiliki nilai di (a, b)

2. f memiliki limit di (a, b), dan

3. Nilai f di (a, b) sama dengan limitnya di titik itu

Catatan :

1. Fungsi Polinom kontinu di mana-mana

(41)

Respect,

 Kekontinuan Pada Titik

Contoh : Tentukan titik (x,y) di mana fungsi berikut kontinu

Problem Set 12.3 No. 1 - 26



3 2



2

4

cos

)

,

(

.

4

3

2

)

,

(

.

y

xy

x

y

x

F

b

x

y

x

y

x

H

a







(42)

Respect,

 Turunan Parsial

Definisi

Andaikan

f(x, y)

adalah fungsi 2 variabel, maka atau

f

_x

adalah turunan parsial dari

f

terhadap x, dan atau

f

_y

adalah turunan parsial dari

f

terhadap

y.

x f

 

y f

(43)

Respect,

Note

:

f

_x

dihitung dengan menganggap

y

konstan

(44)

Respect,

Contoh :

1. Tentukan f_x(1,2) dan f_y(1,2) jika f(x,y) = x2_{y + 3y}3

2. Jika z = x2_sin(xy2_{), tentukan}∂z/∂ _dan∂z/∂

tentukan ∂f/∂ dan ∂f/∂y dari fungsi :

(45)

Respect,

 Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Jika

z= f(x,y)

, maka turunan parsial kedua dari

fungsi

f

adalah :

(46)

Respect,

 Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Contoh :

1.

Tentukan empat buah turunan parsial kedua dari

f

(

x

,

y

) =

x

e

y

–

sin(

x

/

y

) +

x

3

y

2

2.

Jika f(x,y,z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan f

_x

, f

_y

, f

_z

Problem Set 12.2 No. 1 - 30

2 2 2 2

,

)

,

(

.

3

2 2 2

z

T

w

x

T

x

w

T

e

z

y

x

w

T

w x y

(47)

Respect,

 Aturan Rantai

Teorema :

Jika

x

=

x

(

t

) dan

y

=

y

(

t

) dapat didiferensialkan di

t

dan

andaikan

z

=

f

(

x

,

y

) dapat didiferensialkan di (

x

(

t

),

y

(

t

)), maka

z

=

f

(

x

(

t

),

y

(

t

)) dapat didiferensialkan di

t

:

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

dz









Contoh :

1. Jika z = x3_{y, dengan x = 2t dan y = t}2_{, tentukan dz/dt}

2. Misalkan w = x2_{y + y + xz, dengan x = cos}q_{, y = sin}q_{dan z =}q2_{. Tentukan}

(48)

Respect,

Teorema :

Jika

x

=

x

(s,

t

) dan

y

=

y

(s,

t

) mempunyai turunan parsial

pertama di (s,t), dan

z

=

f

(

x

,

y

) dapat didiferensialkan di (

x

(s,

t

),

y

(s,

t

)), maka

z

=

f

(

x

(s,

t

),

y

(s,

t

)) mempunyai turunan parsial

t

y

z

t

x

z

t

z

s

y

z

s

x

z

s

z



















Contoh :

1. Jika z = 3x2 _{- y}2, de ga = 2s+7t da = 5st, te tuka ∂z/∂t

2. Misalkan w = x2 _{+ y}2_{+ z}2_{+ xy, dengan x = st, y = s- t dan z = s + 2t,}

(49)

Respect,

Misalkan F(x,y) = 0, dengan aturan rantai dapat didiferensialkan ke x sehingga

y

F

x

F

dx

dy

dx

dy

y

F

dx

x

F

















0

Contoh :

1. Tentukan

dy

/

dx

jika x

3

+ x

2

y

–

10y

4

= 0

2. Jika

F

(

x

,

y

,

z

) = x

3

e

y+z

–

y

sin(

x

–

z

= 0, te tuka ∂z/∂

(50)

Respect,

•

TIU :

 Mahasiswa dapat melakukan turunan fungsi multivariabel

•

TIK :

 Mahasiswa mampu menggunakan uji turunan kedua untuk mencari nilai ekstrim fungsi multivariabel

(51)

Respect,



Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Definisi

Misalkan f adalah fungsi dengan domain S, dan

p

₀

=(x

₀

, y

₀

)

adalah titik di S, maka :

1.

f(p

₀

)

adalah nilai ekstrim (global) dari

f

pada

S

, jika

f(p

₀

)

adalah suatu nilai maksimum (global) atau nilai minimum

(global)

2.

f(p

₀

)

adalah nilai maksimum global dari

f

pada

S

jika

f(p

₀

) 

f(p)

untuk semua p pada S

(52)

Respect,



Di mana nilai ekstrim muncul ?

1.

Titik

–

Titik Batas

2.

Titik Stasioner (f

_x

= 0 ; f

_y

= 0)

(53)

(54)

Respect,

 Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Contoh :

1. Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari

f(x,y) = x

2

–

2x + y

2

/4

(55)

Respect,

 Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Andaikan f(x,y) memiliki turunan parsial kedua

f

_xx

,

f

_xy

, and

f

_yy

dan , maka

1.

Jika

D>0

dan

f

_xx

(x

₀

, y

₀

)<0, f(x

₀

, y

₀

)

adalah lokal maksimum

2.

Jika

D>0

and

f

_xx

(x

₀

, y

₀

)>0, f(x

₀

, y

₀

)

adalah lokal minimum

3.

Jika

D<0

,

f(x

₀

, y

₀

)

adalah titik saddle (bukan nilai ekstrim)

4.

Jika

D=0

, tidak ada kesimpulan

D=

f

_xx

(x

₀

, y

₀

)f

_yy

(x

₀

, y

₀

)- [f

_xy

(x

₀

, y

₀

)]

2

0 )

,

( ₀ ₀ 

(56)

Respect,



Contoh :

1.

Cari nilai ekstrim jika ada, dari fungsi

F(x,y) = 3x

3

+ y

2

–

9x + 4y

2.

Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan

z

2

= x

2

y + 4