Kumpulan Soal Cerita Program Linear. Kumpulan Soal Cerita Program Linear. 1
1.. AAiinnii, , NNiiaa, d, daan n NNiissa pa peerrggi i bbeerrssaammaa--ssamama a kke te tookko o bbuuaahh. . AAiinni i mmeemmbbeelli i 2 k2 kg g aappeell, 2, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk denga
jeruk dengan harga Rpn harga Rp. 0.000,0. 0.000,00. !e0. !entukan harntukan harga 1 kg apel, ga 1 kg apel, 1 kg anggur1 kg anggur, dan " k, dan " kg jeruk.g jeruk. Pembahasan : Pembahasan : misalkan # misalkan # apel $ % apel $ % anggur $ & anggur $ & jeruk $ ' jeruk $ '
(ari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut # (ari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut # 1). 2% * 2& * ' $ 67.000 1). 2% * 2& * ' $ 67.000 2). 3% * & * ' $ 61.000 2). 3% * & * ' $ 61.000 3). % * 3& * 2' $ 0.000 3). % * 3& * 2' $ 0.000 (itan&a # % * & * "' $ ....+ (itan&a # % * & * "' $ ....+
ntuk menjaab pertan&aan seperti ini umumn&a &ang harus
ntuk menjaab pertan&aan seperti ini umumn&a &ang harus kita ari terlebih dahulukita ari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang.
adalah harga satuan masing-masing barang. (ari persamaan no 1 dan
(ari persamaan no 1 dan 2 diperoleh persamaan " #2 diperoleh persamaan " #
(ari persamaan no 2 dan
(ari persamaan no 2 dan 3 diperoleh persamaan / #3 diperoleh persamaan / #
(ari persamaan no " dan
(ari persamaan no " dan / diperoleh #/ diperoleh #
adi harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan " kg jeruk adalah # adi harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan " kg jeruk adalah # % * & * "' $ 12.000 * 1.000 * "7000) $ Rp /.000,00.
2. ada sebuah toko buku, Ana membeli " buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. ia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,00. ika 4ibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan bia&a &ang harus dikeluarkan oleh 4ibah.
Pembahasan : misalkan # buku $ % pulpen $ & pensil $ '
(ari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut # 1). "% * 2& * 3' $ 26.000
2). 3% * 3& * ' $ 21.000 3). 3% * ' $ 12.000 (itan&a # 2& * 3' $ ....+
ntuk menjaab pertan&aan seperti ini umumn&a &ang harus kita ari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. 5arena &ang ditan&a harga 2& * 3', maka kita han&a perlu menari harga satuan & dan '.
(ari 3% * 3& * ' $ 21.000 dan 3% * ' $ 12.000, diperoleh harga satuan pulpen &aitu #
elanjtun&a, substitusi nilai & pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut #
adi, harga 2 pulpen dan 3 pensil adalah #
2& * 3' $ 23.000) * 32."00) $ Rp 13.200,00.
3. eorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokon&a dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu anita paling sedikit 1/0 pasang. !oko tersebut han&a dapat menampung "00 pasang sepatu. 5euntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp
sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 1/0 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar &ang dapat diperoleh oleh pemilik toko.
Pembahasan :
ada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka &ang menjadi ungsi tujuan atau ungsi objektin&a adalah keuntungan penjualan sepatu. adi ungsi tujuann&a adalah #
8%,&) $ 10.000% * /.000& (engan pemisalan #
sepatu laki-laki $ % sepatu perempuan $ &
istem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut # % * & 9$ "00
100 $: % 9$ 1/0 1/0 $: & 9$ 2/0
5arena maksimum sepatu laki-laki han&a 1/0 pasang, maka maksimum sepatu perempuan $ "00 - 1/0 $ 2/0.
(ari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh graik sebagai berikut #
(ari graik jelas telihat baha keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas &aitu titik 1/0,2/0). ;aka nilai maksimum dari ungsi tujuan 8%,&) $ 10.000% * /000& adalah #
81/0,2/0) $ 1/0 10.000) * 2/0 /.000) $ 2.7/0.000
adi, keuntungan terbesar &ang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp 2.7/0.000,00.
". eorang pembuat kue mempun&ai kg tepung dan 2 kg gula pasir. <a ingin membuat dua maam kue &aitu kue dadar dan kue apem. ntuk membuat kue dadar
dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan / gram gula pasir dan /0 gram tepung. ika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00=buah dan kue apem dijual dengan harga Rp /00,00=buah, tentukanlah pendapatan maksimum &ang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.
Pembahasan :
ntuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita men&usun sistem pertidaksamaan dan ungsi tujuan dari soal erita tersebut. 5arena &ang ditan&a pendapatan
maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan ungsi tujuan pada soal ini. ntuk
men&usun sistem pertidaksamaan, &ang perlu kita lakukan adalah menentukan >ariabel dan koeisienn&a.
4ahan &ang tersedia# !epung $ kg $ 000 g ?ula $ 2 kg $ 2000 g
;isalkan # kue dadar $ % kue apem $ &
;aka jumlah tepung, gula, dan harga jual merupakan koeisien. Agar lebih mudah, kita dapat memasukkan data &ang ada pada soal ke dalam bentuk tabel seperti berikut #
(ari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut # 20% * /0& $ 00 ---: 2% * /& 9$ 00
10% */& $ 2000 ---: 2% * & 9$ "00 % :$ 0 dan & :$ 0
dengan ungsi tujuan %,&) $ 300% * /00&
5emudian gambarkan sistem pertidaksamaan &ang sudah disusun dalam graik. ntuk garis 2% * /& $ 00
% $ 0, & $ 160 ---: 0, 160) & $ 0, % $ "00 ---: "00, 0) ntuk garis 2% * & $ "00 % $ 0, & $ "00 ---: 0, "00) & $ 0, % $ 200 ---: 200, 0)
!itik 4 merupakan titik potong garis 2% * /& $ 00 dengan garis 2% * & $ "00
elanjutn&a substitusikan titik A, 4, dan @ ke ungsi tujuan # A0, 160) ---: 8%,&) $ 3000) * /00160) $ 0.000
4100, 1/0) ---: 8%,&) $ 300100) * /001/0) $ 10/.000 @200, 0) ---: 8%,&) $ 300200) * /000) $ 60.000
adi, pendapatan maksimum &ang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 10/.000,00.
/. ;enjelang hari ra&a <dul Adha, ak ;ahmud hendak menjual sapi dan kerbau. arga seekor sapi dan kerbau di ;edan berturut-turut Rp B.000.000,00 dan Rp
.000.000,00. ;odal &ang dimiliki pak ;ahmud adalah Rp 12".000.000,00. ak ;ahmud menjual sapi dan kerbau di Aeh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp B.200.000,00. 5andang &ang ia miliki han&a dapat menampung tidak lebih dari 1/ ekor. Agar menapai keuntungan maksimum, tentukanlah ban&ak sapi dan kerbau &ang harus dibeli pak ;ahmud.
Pembahasan :
5arena ditan&a keuntungan, tentu ungsi tujuann&a adalah besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. ntuk itu, tentukan terlebih dahulu keuntungan menjual sapi dan kerbau sebagai berikut #
untung sapi $ Rp 10.300.000,00 - Rp B.000.000,00 $ Rp 1.300.000,00 untung kerbau $ Rp B.200.000,00 - Rp .000.000,00 $ Rp 1.200.000,00
8%,&) $ 1.300.000% * 1.200.000&
;odel matematika &ang memenuhi soal adalah # % :$ 0 ---: ban&ak sapi tidak mungkin negati & :$ 0 ---: ban&ak kerbau tidak mungkin negati
% * & 9$ 1/ ---: karena kandang han&a dapat menampung 1/ ekor. 5arena modal ak ;ahmud Rp 12".000.000,00 maka #
B.000.000% * .000.000& 9$ 12".000.000 ---: disederhanakan menjadi # B% * & 9$ 12"
elanjutn&a, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam graik.
ntuk % * & $ 1/
jika % $ 0, maka & $ 1/ ---: 0,1/) jika & $ 0, maka % $ 1/ ---: 1/,0)
ntuk B% * & $ 12"
jika % $ 0, maka & $ 1/,/ ---: 0, 16) ---: digenapkan karena jumlah sapi tidak mungkin 1=2. jika & $ 0, maka % $ 13,7 ---: 13 ,0) ---: digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi
graik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 1" karena jika dibulatkan ke 1" maka akan lebih dari Rp 12".000.000,00.
(ari graik di atas dieproleh tiga titik pojok &ang memenuhi s&arat untuk menghasilkan nilai maksimum &aitu titik A, 4, dan @. !iti A dan @ dapat ditentukan seara langsung &aitu
A0,1/) dan @13,0). !itik 4 merupakan titik potong antara garis % * & $ 1/ dan B% * & $ 12".
% * & $ 1/ , maka % $ 1/ - & ---: substitusi ke persamaan B% * & $ 12" B1/ - &) * & $ 12" 13/ - B& * & $ 12" & $ 11 % * & $ 1/ % * 11 $ 1/ % $ " ----: jadi titik 4",11)
elanjutn&a substitusi masing-masing titik ke ungsi tujuan # A0,1/) ---: %,&) $ 1.300.0000) * 1.200.0001/) $ 1.000.000 4",11) ---: %,&) $ 1.300.000") * 1.200.00011) $ 1."00.000 @13,0) ---: %,&) $ 1.300.00013) * 1.200.0000) $ 16.B00.000
adi, agar keuntungann&a maksimum, jumlah sapi dan kerbau &ang harus dibeli pak ;ahmud adalah " ekor sapi dan 11 ekor kerbau.
6. eorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan
gerobak. edagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp .000,00=kg dan pisang Rp 6.000,00=kg. ;odal &ang tersedia Rp 1.200.000,00 dan gerobakn&a han&a dapat
menampung mangga dan pisang seban&ak 10 kg. ika harga jual mangga Rp B.200,00=kg dan pisang Rp 7.000,00=kg, maka tentukanlah laba maksimum &ang diperoleh pedagang tersebut.
Pembahasan :
5arena ditan&a laba maksimum, maka ungsi tujuann&a adalah keuntungan dari menjual buah mangga dan buah pisang perkilon&a.
4erikut untung penjualan #
mangga $ B.200 - .000 $ 1.200 pisang $ 7.000 - 6000 $ 1.000
misalkan # mangga $ % pisang $ &
maka ungsi tujuann&a adalah # 8%,&) $ 1.200% * 1.000&
;odel matematika atau sistem pertidaksamaan &ang memenuhi soal tersebut adalah # % * & 9$ 10
.000% * 6.000& 9$ 1.200.000 ---: "% * 3& 9$ 600 % :$ 0
& :$ 0
!itik potong masing-masing garis terhadap sumbu % dan sumbu & # ?aris % * & $ 10 untuk % $ 0 , & $ 10 ---: 0, 10) untuk & $ 0, % $ 10 ---: 10,0) ?aris "% * 3& $ 600 untuk % $ 0, & $ 200 ---: 0, 200) untuk & $ 0, % $ 1/0 ---: 1/0, 0)
impunan pen&elesaian sistem pertidaksamaan adalah #
(ari graik diketahui ada tiga titik pojok &aitu A, 4, dan @. !itik @ merupakan perpotongan antara garis % * & $ 10 dengan "% * 3& $ 600.
ubstitusi titik pojok pada ungsi objekti 8%,&) 1.200% * 1.000& # A 0, 10) ---: 8%,&) $1.00010) $ 10.000
4 60, 120) ---: 8%,&) $ 1.20060) * 1.000120) $ 1B2.000 @ 1/0,0) ---: 8%,&) $ 1.2001/0) $ 10.000
adi laba maksimum &ang diperoleh pedagang buah adalah Rp 1B2.000,00.
7. ebuah perusahaan properti memproduksi dua maam lemari pakaian &aitu tipe lu% dan tipe sport dengan menggunakan 2 bahan dasar &ang sama &aitu ka&u jati dan at pernis. ntuk memproduksi 1 unit tipe lu% dibutuhkan 10 batang ka&u jati dan 3 kaleng at pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport dibutuhkan 6 batang ka&u jati dan 1
dan Rp 2.000 per unit. ntuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang ka&u jati dan 2" kaleng at pernis. 4ila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lu% paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit " buah, tentukan ban&ak lemari tipe lu% dan tipe sport &ang harus diproduksi agar bia&a produksin&a minimum.
Pembahasan:
5arena &ang ditan&a adalah bia&a produksi minimum, maka ongkos produksi masing-masing tipe lemari merupakan ungsi tujuann&a. 4ila kita misalkan tipe lu% $ % dan tipe sport $ &, maka ungsi tujuann&a adalah sebagai berikut #
8%,&) $ "0.000% * 2.000&
elanjutn&a, model matematika untuk kendala &ang diberikan adalah seperti di baah ini. erhatikan baha tanda pertidaksamaan &ang digunakan untuk soal penentuan nilai
minimum adalah lebih besar dari sama dengan :$) seperti di baah ini # % :$ 2 ---: karena tipe lu% paling sedikit 2 buah
& :$ " ---: karena tipe sport paling sedikit " buah
10% * 6& :$ 120 ---: ka&u jati &ang digunakan paling sedikit 120 batang 3% * & :$ 2" ---: at pernis &ang digunakan paling sedikit 2" kaleng
!itik potong masing-masing kendala terhadap sumbu % dan sumbu & adalah sebagai berikut # untuk 10% * 6& $ 120
misal % $ 0, maka & $ 20 ---: 0,20) misal & $ 0, maka % $ 12 ---: 12,0) untuk 3% * & $ 2"
misal % $ 0, maka & $ 2" ---: 0,2") misal & $ 0, maka % $ ---: ,0)
etelah itu kita gambarkan graik sesuai dengan titik-titik &ang telah kita peroleh dan tentukan daerah himpunan pen&elesaiann&a. 5arena lebih besar sama dengan :$), maka daerah himpunan pen&elesaiann&a adalah daerah di atas=kanan garis.
(ari garik di atas jelas terlihat baha terdapat tiga titik pojok &ang akan diuji untuk dilihat titik manakah &ang menghasilkan nilai minimum.
!itik @ merupakan perotongan antara garis & $ " dan 10% * 6& $ 120. (engan mensubstitusi nilai & $ " pada persamaan 10% * 6& $ 120, maka diperoleh #
10% * 6") $ 120 10% $ B6
% $ B,6 $ B ---: digenapkan B karena tidak mungkin 0,6 buah. maka titik @B,")
!itik 4 merupakan perpotongan antara garis 10% * 6& $ 120 dan garis 3% * & $ 2". (engan metode substitusi diperoleh #
3% * & $ 2" ---: & $ 2" - 3% ---: substitusi ke persamaan 10% * 6& $ 120 10% * 62" - 3%) $ 120
10% * 1"" - 1% $ 120 -% $ -2"
% $ 3
unstitusi % $ 3 ke persamaan & $ 2" - 3% & $ 2" - 33) $ 1/ ---: titik 43,1/)
!itik A merupakan perpotongan antara garis 3% * & $ 2" dengan % $ 2. (engan mensubstitusikan nilai % pada persamaan 3% * & $ 2", maka diperoleh #
32) * & $ 2" & $ 2" - 6
angkah terakhir, substitusi masing-masing titik ke ungsi tujuan 8%,&) $ "0.000% * 2.000& sebagai berikut #
A2,1) ---: 8%,&) $ "0.0002) * 2.0001) $ /".000 43,1/) ---: 8%,&) $ "0.0003) * 2.0001/) $ /"0.000 @B,") ---: 8%,&) $ "0.000B) * 2.000") $ "2.000
adi agar bia&a produksi minimum, perusahaan sebaikn&a memproduksi B buah lemari tipe lu% dan " buah lemari tipe sport dengan bia&a produksi Rp "2.000,00
. eorang pedagang urnitur ingin mengirim barang dagangann&a &ang terdiri atas 1.200 kursi dan "00 meja. ntuk keperluan tersebut, ia akan men&ea truk dan olt. !ruk dapat memuat 30 kursi lipat dan 20 meja lipat, sedangkan olt dapat memuat "0 kursi lipat dan 10 meja lipat. Cngkos sea sebuah truk Rp 200.000,00 sedangkan ongkos sea sebuah olt Rp 160.000,00. !entukan jumlah truk dan olt &ang harus disea agar ongkos
pengiriman minimum.
Pembahasan :
Agar ongkos kirim minimum, maka ungsi tujuann&a adalah ongkos sea. ;isal truk $ % dan olt $ &, maka ungsi tujuann&a menjadi #
8%,&) $ 200.000% * 160.000&
;odel matematika &ang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut # 30% * "0& :$1.200 ---: 3% * "& :$ 120
20% * 10& :$ "00 ---: 2% * & :$ "0 % :$ 0
& :$ 0
!entukan titik koordinat garis kendala &ang diperoleh sebagai beikut # untuk 3% * "& :$ 120
misal % $ 0, maka & $ 30 ---: 0,30) misal & $ 0, maka % $ "0 ---: "0,0) untuk 2% * & :$ "0
misal % $ 0, maka & $ "0 ---: 0,"0) misal & $ 0, maka % $ 20 ---: 20,0)
?ambarkan ke dalam graik dan tentukan daerah himpunan pen&elesaiann&a seperti berikut #
(ari graik di atas,diperoleh titik A0,"0), 4,2"), dan @"0,0). ntuk memastikan titik mana &ang menghasilkan nilai minimum, ada baikn&a kita uji satu-persatu.
A0,"0) ---: 8%,&) $ 200.0000) * 160.000"0) $ 6."00.000 4,2") ---: 8%,&) $ 200.000) * 160.0002") $ /.""0.000 @"0,0) ---: 8%,&) $ 200.000"0) * 160.0000) $ .000.000
adi agar bia&a pengiriman minimum, pedagang tersebut sebaikn&a men&ea truk dan 2" olt.
B. eorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektar. <a merenanakan akan menanami padi seluas 2 hektar sampai dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas " hektar sampai dengan 6 hektar. ntuk menanam padi perhektarn&a diperlukan bia&a Rp
"00.000,00 sedangkan untuk menanam jagung per hektarn&a diperlukan bia&a Rp
200.000,00. Agar bia&a tanam minimum, tentukan berapa ban&ak masing-masing padi dan jagung &ang harus ditanam.
Pembahasan :
(engan memisalkan padi $ % dan jagung $ &, ungsi tujuan &ang memenuhi soal di atas adalah sebagai berikut #
8%,&) $ "00.000% + 200.000&
;odel matematika &ang memenuhi soal di atas adalah # % :$ 2 ---: paling sedikit 2 hektar padi
% 9$ 6 ---: paling ban&ak 6 hektar padi & :$ " ---: paling sedikit " hektar jagung & 9$ 6 ---: paling ban&ak 6 hektar padi
(ari graik diketahui titik pojok A",6), 46,6), dan @6,"). ubstitusi ke ungsi tujuan 8%,&) $ "00.000% + 200.000&, maka diperoleh #
A",6) ---: 8%,&) $ "00.000(") + 200.0006) $ 2.00.000 46,6) ---: 8%,&) $ "00.000(6) + 200.0006) $ 3.600.000 @6,") ---: 8%,&) $ "00.0006) + 200.000") $ 3.200.000
adi agar bia&a tanam minimum, petani sebaikn&a menanam " hektar padi dan 6 hektar jagung.