1
Spatio Temporal Modeling : A Review
Suci Astutik**), Nur Iriawan*), Suhartono*), Sutikno*)
*) Statistics Department FMIPA ITS
**) Statistics Department FMIPA Brawijaya University and student in Statistics Postgraduate Program FMIPA ITS (suci_sp@mhs.statistika.its.ac.id)
Abstract : Research in statistical/econometric models that describe the spatio-temporal evolution of a single variable or multi-variable relationships in space and time started in the mid-seventies and has significantly increased during the last twenty years since it’s closely related to the progress in computer technology and the existence of large databases. Spatio temporal (Space-time) data can be viewed as arising from a time series of spatial processes. This paper discusses complex models which apply to space time dataset, that are hierarchical model and dynamic model. The present paper aims to summarize the proposed methodologies discussing each one through a motivating example that points out the cases where each model class is best suited.
Key words : Spatio temporal data, hierarchical model, dynamic model, process convolution
1. PENDAHULUAN
Penelitian model-model statistika/ekonomi, yang menggambarkan perkembangan spatio temporal dari variabel tunggal atau multi variabel yang berhubungan dalam space dan time dimulai pada pertengahan tahun tujuh puluhan dan berkembang secara signifikan selama dua puluh tahun terakhir seiring dengan kemajuan teknologi komputer dan keberadaan data base yang besar [1]. Data spatio temporal banyak ditemukan dalam konteks yang lain seperti pemetaan penyakit (disease mapping) dan monitoring harga real estate. Seringkali tujuan menganalisis data spatio temporal adalah untuk pemulusan dan prediksi waktu (time) dari variabel respon terhadap domain spasial tertentu. Secara khusus, prediksi yang demikian dapat dibentuk dari data yang diobservasi pada sejumlah besar variable terhadap time dan space yang berubah-ubah. Data spatio temporal ini bisa sangat besar, sebagai contoh pengukuran polusi udara, yang diobservasi setiap hari pada 100 lokasi di UK dalam sepuluh tahun terakhir. Data spatio temporal juga digunakan untuk mendeteksi/mengenali dan mengartikan pola suatu fenomena. Contoh : hidrologi, ekologi, geologi, ilmu sosial, brain imaging, monitoring dan tracking jejak populasi margasatwa dan machine vision. Untuk memperoleh derajat keakuratan yang tinggi dalam analisis dan prediksi variable respon, diperlukan model matematika yang secara langsung melibatkan
Seminar Nasional Statistika IX
2 ketidaktentuan dalam data. Model demikian bersifat statistika dan jika dipilih secara tepat dapat digunakan untuk peramalan di waktu akan datang dan interpolasi terhadap daerah spatial yang diinginkan. Model tersebut juga mengestimasi bias yang berkaitan dengan hasil peramalan. Pemodelan statistika untuk data spatio temporal merupakan tantangan yang memerlukan manipulasi himpunan data besar dan kemampuan untuk mencocokkan dengan kondisi real dan model kompleks. Seringkali solusi yang diperlukan tidak teresedia dalam bentuk matematika sehingga diperlukan metode computer intensif [2].
Data Spatio Temporal
Data Spatio temporal (space-time) didefinisikan sebagai suatu deret waktu yang muncul pada proses spatial [3]. Misalnya himpunan data yang berkaitan dengan indikator ekonomi, biasanya dihubungkan dengan unit time seperti bulan, kwartal atau tahunan juga informasi geografi seperti daerah, negara. Pemodelan statistika yang melibatkan space dan time merupakan alat utama yang dapat mengkuantifikasi efek spasial dan temporal serta interaksi spatio temporal. Beberapa teknik pemodelan space-time juga telah dikembangkan pada bidang environmental dan epidemiologi [4]. Ada banyak literature yang berkaian dengan pemodelan data space-time. Paper ini akan membahas model kompleks data spatio temporal. Model kompleks adalah model yang memuat struktur kovarians (second moment) dari data spatio temporal yang tidak memenuhi satu atau lebih asumsi model umum yaitu separability, stationer, isotropy, full symmetry. Model kompleks adalah model hierarchical yang dikembangkan dibawah paradigm Bayesian dan likelihood. Banerjee, Carlin and Gelfand (2004) dalam [4], mendefiniskan model kompleks hierarchical model dan dynamic model dan dinyakatan sebagai Process Convolution [5].
2. MODEL KOMPLEKS (COMPLEX MODEL)
Cressie (1993) mendiskusikan berbagai macam konsep dalam statistika spatial termasuk kriging yang menggunakan matematika level tinggi tetapi belum menggunakan metode komputasi modern untuk menyelesaikan pemodelan hierarki. Cressie merupakan peneliti yang paling awal memperoleh model statistika untuk data spatio temporal. Ada beberapa teori geostatistika yang disajikan oleh Wackernagel (1998). Lasinio, Sahu and Mardia (2005), mengembangkan Bayesian Kriged kalman Model pada data curah hujan yang merupakan kelanjutan dari model Kriged Kalman Filter oleh Mardia et al.(1998). Mardia (1988) mendiskusikan model autoregressive bersyarat multivariate untuk random field multivariate dan Gelfand et al. (2005) untuk pemodelan spatio temporal
3 menggunakan dynamic model. Salah satu contoh dynamic model adalah model STARMA (Spatio temporal Autoregressive Moving Average) yang dikembangkan oleh Pfeifer and Deutch (1980) dalam [3] untuk space lattice. Stoffer (1984) mengembangkan dan menerapkan teknik pemodelan space time multivariate (STARMAX model) pada bidang lingkungan. Akhirnya Wikle, Berliner, and Cressie (1998) memberikan kontribusi yang signifikan dalam pemodelan space time pada bidang lingkungan dengan menggunakan pendekatan Bayesian Hierarchical. Banerjee, Carlin and Gelfand (2004) dalam [4] awalnya membahas pemodelan hierarki dan analisis data spatial dengan suatu pendekatan Bayesian inference, kemudian mendiskusikan pemodelan spatio temporal dan pemodelan multivariate, spatial epidemiology, pemodelan data area dan lain-lain. Calder (2007) membahas model kompleks dengan pendekatan process convolution (PC) yaitu dengan mengkonvolusi suatu proses white noise kontinu dengan pemulusan Kernel.
Pemodelan spatio temporal melibatkan data/observasi spatio temporal yang dilambangkan Z(s,t), menyatakan data yang memuat informasi lokasi spatial s dalam daerah D, dan titik waktu (time) t ϵ R. Informasi kovariat ditunjukkan dengan x(s,t). Jenis data spatio temporal berbeda-beda, didasarkan pada bagaimana titik s diobservasi dalam D. Ada tiga jenis data spatio temporal : Pertama, jenis point reference data muncul jika s berubah-ubah secara kontinu terhadap suatu daerah D yang fix. Misalkan suatu pengamatan respon Z(s,t) dan covariat pada himpunan n lokasi yang ditunjukkan dengan si, i = 1,…, n dan pada titik waktu t, t = 1,…, T. Himpunan lokasi spatial bisa fix, seperti stasiun monitoring polusi udara, atau bisa juga berubah-ubah, seperti pengukuran data di kapal. Kedua, jenis areal data, yaitu suatu daerah tertentu D dipartisi menjadi sejumlah finit unit daerah seperti kode pos, daerah, Negara, dll. Akhir-akhir ini banyak terdapat penelitian yang menggabungkan analisis spatial areal data dengan tingkat tertentu dari penyakit (disease), misalkan Fuller, Troyo and Beier (2009) yang memodelkan ENSO (EL Nino Southern Oscillation) dan vegetasi sebagai predictor terhadap kasus DF/DHF di Costa Rica. Ketiga, spatial point pattern data muncul ketika suatu kejadian misalkan outbreak dari disease terjadi pada lokasi random D. Ini termasuk pemodelan time diskrit.
Menurut Banerjee, Carlin and Gelfand (2004, Chapter 2) dalam (Sahu 2005), pemodelan data spatio temporal dengan struktur hierarchi sebagai berikut :
Di mana Y(si,t) proses space time dan error proses white noise dan secara khusus
diasumsikan mengikuti saling bebas. dapat berubah terhadap waktu, tetapi dalam beberapa aplikasi dapat diperlakukan sebagai suatu konstan (parsimony).
4 Proses space time dinyatakan sebagai :
Dimana adalah mean proses dari kovariat teramati dan w adalah proses spatial temporal dengan rata-rata nol. Struktur covariance tertentu harus diasumsikan untuk memenuhi proses .
Fungsi kovarians space time didefinisikan sebagai :
Proses spatio temporal dengan rata-rata nol dikatakan covariance stationary jika
Dimana dan . Proses dikatakan isotropi jika
Proses yang tidak isotropi dikatakan sebagai anisotropi.
Asumsi penyederhanaan yang lain adalah proses dikatakan separable jika
Fungsi Cs(.) dan Ct(.) harus diasumsikan. Pilihan yang sangat umum untuk asumsi ini
diadopsi dari fungsi covarians Matern (Matern, 1986 dalam Sahu 2005) dinyatakan oleh :
Dimana Kv(.) adalah fungsi Bessel yang dimodifikasi dari jenis ke-2 dan order v. Kasus
yang umum dari family Bessel adalah : (i) v=1/2; (ii) v=3/2; (iii) Gaussian
Literatur selanjutnya mengembangkan metode untuk membentuk fungsi kovarians spatio temporal yang nonseparable dan nonstasioner (Gneiting (2002) dalam Sahu 2005) melalui process convolution dengan pendekatan Kernel.
3. PENDEKATAN KERNEL CONVOLUTION
Proses stasioner dapat dibangun dengan menggunakan konvolusi kernel (ver Hoef and Barry (1998) dalam [2].
Misalkan K(ds,dt) adalah Kernel gabungan dalam space dan time dimana ds dan dt adalah
jarak dalam space dan time secara berturut-turut. Misalkan wl, l=1,…,L menunjukkan
lokasi grid dimana kernel smoothing spatial akan dipusatkan, secara serupa misalkan tm,
m=1,…,M menunjukkan equi spaced time dimana kernel temporal akan dipusatkan. Ditulis :
5 Di mana menunjukkan jarak antara lokasi s dan wl.
Bentuk sederhana :
Ks dan Kt dipilih sedemikian rupa sehingga fungsi kovarians valid, misalkan dari family Matern. Lasinio et. al. (2009), menggunakan pendekatan kerangka Bayesian untuk mengestimasi model tersebut
4. KESIMPULAN
Dalam review ini telah didiskusikan perkembangan akhir-akhir ini dalam pemodelan data spatio temporal. Beberapa asumsi terhadap fungsi kovarians diperlukan dalam pembentukan model spatio temporal. Model kompleks merupakan model data spatio temporal yang dapat mengatasi tidak terpenuhinya asumsi fungsi kovaians dengan pendekatan kerangka Bayesian. Pada penelitian selanjutnya dibahas lebih detil berkaitan dengan fitting, pemilihan, diagnostic, validasi dan prediksi model kompleks.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Y. Kamarianakis and P. Prastacos, Spatial Time-Series Modeling: A review of the proposed Methodologies, 2005.
http://www.soc.uoc.gr/econ/wpa/docs/103_YK_AGILE_05.pdf
[2] S.K. Sahu and K.V. Mardia, Recent Trends in Modelling Spatio-Temporal Data, 2005. [3] I. Kamarianakis and P. Prastacos, Multivariate Hierarchical Bayesian Space time models in economics, http://www.iacm.forth.gr/regional/papers/ours.pdf
[4] G. J. Lasinio, Spatio temporal data modeling in environmental sciences a review, 2009, http://74.125.153.132/search?q=cache:ElP2GfK9i5oJ:www2.stat.unibo.it/ties2009/slides/J ona%2520Lasinio.pdf+jona+Spatio+temporal+data+modeling+in+environmental+science &cd=1&hl=id&ct=clnk&gl=id
[5] C. Calder, Dynamic factor process convolution models for multivariate space–time data with application to air quality assessment, Environmental and Ecological Statistics, Vol. 14, No. 3, pp. 229-247, 2007
[6] Cressie, N., Statistics for Spatial Data. New York: Wiley, 1993.
[7] Wackernagel, H.,Multivariate Geostatistics: An Introduction with Applications.New York: Springer-Verlag, 1998.
6 [8] G. J. Lasinio, S.K. Sahu and K. V. Mardia , Modeling rainfall data using a
Bayesian Kriged-Kalman model. Technical report, University of Southampton, 2005. [9] K.V. Mardia, C. Goodall , E. J. Redfern , and F. J. Alonso , The Kriged Kalman filter (with discussion). Test, 7, 217–252, 1998.
[10] K.V. Mardia, Multi-dimensional multivariate Gaussian Markov random fields with application to image processing. Journal of Multivariate Analysis, 24, 265– 284., 1988.
[11] A. E. Gelfand, S. Banerjee, and D. Gamerman, Spatial Process Modelling for Univariate and Multivariate Dynamic Spatial Data. Environmetrics, to appear, 2005.
[12] D.S. Stoffer, Estimation and Identification of Space time Armax models in the presence of missing Data, American Statistical Association, Vol. 81 : 395, 1986.
[13] C. K. Wikle, L. M. Berliner and N.A.C. Cressie, Hierarchical Bayesian space-time models. Environmental and Ecological Statistics, 5, 117-154, 1998.
[14] D.O. Fuller, A. Troyo., and J.C. Beier, ENSO and Vegetation Dynamics as Predictors of Dengue Fever Cases in Costa Rica, Environmental Research Letters, 2009.
